九年级上册数学一元二次方程重点难点题型全覆盖附详细答案

九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识点大全单选题1、已知关于x 的一元二次方程标kx 2−(2k −1)x +k −2=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k >−14B ．k <14C ．k >−14且k ≠0D ．k <14且k ≠0答案：C分析：由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．解：由题可得：{k ≠0[−(2k −1)]2−4k (k −2)>0, 解得：k >−14且k ≠0；故选：C ．小提示：本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．2、已知A =x 2+6x +n 2，B =2x 2+4x +2n 2+3，下列结论正确的个数为( )①若A =x 2+6x +n 2是完全平方式，则n =±3；②B －A 的最小值是2；③若n 是A +B =0的一个根，则4n 2+1n 2=659；④若(2022−A )(A −2019)=2，则(2022−A )2+(A −2019)2=4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B分析：①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A =x 2+6x +n 2是完全平方式，∴n =±3，故结论正确；②∵B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2）=x 2-2x +n 2+3=（x -1）2+n 2+2，而（x -1）2+n 2≥0，∴B -A ≥2，∴B -A 的最小值是2，故结论正确；③∵A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3，把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0，得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =−5±√76 当n =−5+√76时，2n +1n =−5+√73+−5−√73=−103,∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649当n =−5−√76时，2n +1n =−5−√73+−5+√73=−103 ∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649;故结论错误； ④∵（2022-A +A -2019）2=（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019）=（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2=9，∴（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误； 故选B ．小提示：本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．3、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．4、已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6D．x1=﹣2，x2=﹣6答案：D分析：根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．小提示：本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．5、已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为（）A．−2022B．0C．2022D．4044答案：B分析：根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．∵m为x2+3x−2022=0的根据，∴m2+3m−2022=0，且m≠0，∴m3+3m2−2022m=0，则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，故选：B．小提示：本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到m2+ 3m−2022=0是解答本题的关键．6、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．7、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．8、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．9、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A．3(x−1)x=6210B．3(x−1)=6210C．(3x−1)x=6210D．3x=6210答案：A分析：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10、一元二次方程x2−25=0的解为（）A．x1=x2=5B．x1=5，x2=−5C．x1=x2=−5D．x1=x2=25答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：x2−25=0，移项得：x2=25，开平方得：x1=5，x2=﹣5，故选B．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．填空题11、若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是___．答案：1分析：根据一元二次方程解的定义把x=1代入到mx2+nx−1=0(m≠0)进行求解即可．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，∴m+n−1=0，∴m+n=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．12、若a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−3a2−3a+2022的值为________．答案：2019分析：根据a是方程x2+x−1=0一个根，可以得到a2+a−1=0，然后即可得到a2+a=1，再整体代入所求式子计算即可．解：∵a是方程x2+x−1=0一个根，∴a2+a−1=0，∴a2+a=1，∴−3a2−3a+2022=−3(a2+a)+2022=−3×1+2022=−3+2022=2019，所以答案是：2019．小提示：本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．13、若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是__________.答案：15分析：利用a是方程2x2=x+5的一个根，得到2a2−a=5，代入6a2−3a即可．解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，∴2a2=a+5，∴2a2−a=5，∴6a2−3a=3(2a2−a)=3×5=15，所以答案是：15．小提示：本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得2a2−a=5是解题的关键．14、近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是______．答案：10%分析：设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1-x）2=8100，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．所以答案是：10%．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x1=0,x2=−1,x3=1.所以答案是：x1=0,x2=−1,x3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.解答题16、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD 边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．答案：(1)4(2)存在，t=3；2√89+30(3)52分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法，得到PD=BQ=10，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到PB=PR=10，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先确定四边形BCMP的周长等于30+QM+CM，再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定QM+CM的最小值即可得到周长最小值，最后求出AP的长即可得到P点运动时间．（1）解：连接BP、DQ，∵BC＝20，点Q为BC中点，∴BQ=CQ=10，要使四边形PBQD是平行四边形，则PD=BQ=10，∴18−2t=10，∴t=4，此时，PD=BQ且PD∥BQ，则四边形PBQD是平行四边形，∴当t为4时，四边形PBQD是平行四边形．（2）存在，t=3；假设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，则有PB=PR=10，在Rt△ABP中，82+(2t)2=102，∴t=3，t=−3（舍去），此时AR=2×3+10=16，符合题意；∴在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且t=3．（3）5；2√89+302如图，连接BP、QM，因为PM=10，∴PM=BQ且PM∥BQ，∴四边形PBQM是平行四边形，∴PB=QM，∵四边形BCMP的周长=PM+PB+BC+CM=10+QM+20+CM=30+QM+CM，∴当QM+CM的值最小时，四边形BCMP的周长最小，作Q点关于AD的对称点G，连接CG，则QG=2QE=16，四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），QM+CM的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，CG=√QG2+QC2=√162+102=2√89，此时，四边形BCMP的周长最小值为2√89+30，∵E点为QG中点，EF∥QC，∴EF=1QC=5，2∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴t=5．2∴当点P从点A向右运动5秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为2√89+30．2；2√89+30．所以答案是：52小提示：本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等，解题关键是能正确建立方程，以及能确定最短路径．17、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（OB<OC）的长是关于x的方程x2−7x+6=0的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为(m,2)，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．答案：(1)y=12x+3；(2)S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；(3)m的值为－3或－1或2或7；分析：（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据△MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．（1）解：解方程x 2−7x +6=0得x 1=6，x 2=1，∵线段OB ，OC （OB <OC ）的长是关于x 的方程x 2−7x +6=0的两个根，∴OB ＝1，OC ＝6，∴B (1,0)，C (−6,0)，∵CO ＝2AO ，∴OA ＝3，∴A (0,3)，设直线AC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，把点A (0,3)，C (−6,0)代入得{−6k +b =0b =3， 解得{k =12b =3， ∴直线AC 的解析式为y =12x +3；（2）解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A (0,3)，B (1,0)代入直线AB 解析式得{3=q 0=p +q， 解得{p =−3q =3， ∴直线AB 的解析式为y =−3x +3，∵PD ⊥x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ，∴P (a,12a +3)，Q (a,−3a +3)，D (a,0)，∴PQ =|(−3a +3)−(12a +3)|=|72a|，CD =|a +6|，∴S=12PQ⋅CD=12×|72a|⋅|a+6|，当点P与点A或点C重合时，即当a=0或a=−6时，此时S=0，不符合题意，当a<−6时，S=12×(−72a)[−(a+6)]=74a2+212a，当−6<a<0时，S=12×(−72a)(a+6)=−74a2−212a，当a>0时，S=12×72a(a+6)=74a2+212a，∴S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；（3）解：∵A(0,3)，B(1,0)，M(m,2)，∴AB=√(1−0)2+(0−3)2=√10，AM=√(m−0)2+(2−3)2=√m2+1，BM=√(m−1)2+(2−0)2=√m2−2m+5，当∠MAB=90°时，AM2+AB2=BM2，∴(√m2+1)2+(√10)2=(√m2−2m+5)2，解得m=−3，当∠ABM=90°时，AB2+BM2=AM2，∴(√10)2+(√m2−2m+5)2=(√m2+1)2，解得m=7，当∠AMB=90°时，AM2+BM2=AB2，∴(√m2+1)2+(√m2−2m+5)2=(√10)2，解得m1=−1，m2=2，∴m的值为－3或－1或2或7．小提示：本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．18、解方程：(1)2x2－5x－3＝0；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2＋3x＋2＝0答案：(1)x1＝－12，x2＝3(2)x1＝2＋√3，x2＝2－√3(3)x1＝－1，x2＝－2分析：（1）直接用公式法求解；（2）用配方法求解；（3）用因式分解法求解．(1)解：∵a＝2，b＝－5，c＝－3，∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)＝49＞0，∴x＝5±√492×2＝5±74，∴x1＝－12，x2＝3；(2)解：移项，得x2－4x＝－1，配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，两边开平方，得x－2＝±√3，即x－2＝√3或x－2＝－√3，∴x1＝2＋√3，x2＝2－√3；(3)解：原方程可变形为(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＋1＝0或x＋2＝0，∴x1＝－1，x2＝－2．小提示：本题考查一元二次方程解法，根据方程的特征，选择适当方法求解是解题的关键．。

一元二次方程（答案版）一元二次方程的有关概念通过化简后只含有一个未知数(一元) 并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程．题型1：一元二次方程的识别1.下列方程中一元二次方程的个数为（）（1）2x2−3=0；（2）x2+y2=5；（3）x(x+3)=x2−1；（4）x2+1x2=2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【解答】解：2x2−3=0是一元二次方程；x2+y2=5含有两个未知数不是一元二次方程；x(x+3)=x2−1展开移项合并3x=-1 没有x的二次项不是一元二次方程；x2+1x2=2未知数在分母中不是一元二次方程；一元二次方程的个数为1个故答案为：A.【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a b c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．根据情况先化简再判断和观察分母有没有字母.题型2：一元二次方程定义与字母的值2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程则m＝.【答案】2【解析】【解答】解：由题意得|m|=2 m+2≠0解得m=2一元二次方程的一般形式：一般地任何一个关于x的一元二次方程都能化成形如这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项是二次项系数；bx是一次项b是一次项系数；c是常数项．注意：(1)只有当时方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时应把一元二次方程化成一般形式指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.题型3：一元二次方程的一般形式3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）．A．2 0 3B．2 1 3C．2 0 －3D．2 1 －3【答案】D【解析】【解答】解：一元二次方程2x2+x＝3化为一般式为2x2+x-3=0∴二次项系数是2、一次项系数是1、常数项是-3.故答案为：D.【分析】先把一元二次方程化为一般式即可得出答案.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.题型4：一元二次方程的解-求字母的值4.关于x的一元二次方程x2−m=0的一个根是3 则m的值是（）A．3B．−3C．9D．−9【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−m=0的一个根是3∴32−m=0∴m=9故答案为：C.【分析】直接将x=3代入原方程中可得关于m的方程求解即可.【分析】把x=1代入方程x-3x+m=0中求出m值.题型5：一元二次方程的解-求代数式的值5.若关于x的一元二次方程为ax2−3bx−5=0(a≠0)有一个根为x=2那么4a−6b的值是（）A．4B．5C．8D．10【答案】B【解析】【解答】把x=2代入方程ax2−3bx−5=04a−6b-5=0 即4a−6b=5故答案为B【分析】将x=2代入ax2−3bx−5=0(a≠0)可得4a−6b-5=0 再化简即可得到4a−6b=5。

第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。

专题02 一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【解析】【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程210x -=的解是（ ）A ．121x x ==B ．120,1x x ==C ．121,1x x ==-D ．120,1x x ==-【答案】C【解析】【分析】先移项，再两边开平方可得解．【详解】解：由原方程可得：x 2=1，两边开平方可得：121,1x x ==-，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（）A．(x＋2)2＝5B．(x－2) 2＝5C．(x－2) 2＝3D．(x＋2) 2＝3【答案】D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =-1，∴x 2+4x +4=-1+4，即（x +2）2=3，故选：D ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程2610x x -+=，原方程可变形为（ ）A ．()2335x -=B ．()238x -=C ．()238x +=D ．()2335x +=【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．【详解】解∶ 2610x x -+=，变形得-=-261x x ，配方得26919x x -+=-+，即2(3)8x -=．故选∶B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)1x -=【答案】B【解析】【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．【详解】解：把方程x 2＝4x ＋1移项，得：x 2−4x ＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，配方得（x−2）2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x 2﹣4x ＝﹣3，配方得，x 2﹣4x +22＝1，故C 错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【解析】【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程264x x -+=W ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-【答案】C【解析】【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．【详解】设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7，x 2-2px +p 2=7，∴x 2-2px =7-p 2，∴x 2-2px +4=11-p 2，∵方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，∴-2p =-6，a =11-p 2，∴p =3，a =11-32=2，即印刷不清的数字是2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-【答案】A【分析】由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+=Q \ 214m m c -=-\22111(244m m m -=--³-1c \£22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c \=-++=-++=´-++=-+23(22n c \=-- 231(24c -³Q 74n \³- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【解析】【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【详解】配方得：226(3)9x x c x c-+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a ≠0)的求根公式。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点单选题1、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．2、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．3、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．4、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3(x −1)x =6210B ．3(x −1)=6210C ．(3x −1)x =6210D ．3x =6210 答案：A分析：设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210， 故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5、已知两个关于x 的一元二次方程M:ax 2+bx +c =0，N:cx 2+bx +a =0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误．．的是（ ） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根 C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x =1 答案：D分析：利用根的判别式判断A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ． 解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根，那么△=b 2-4ac =0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、若方程M 有一个正根和一个负根，那么△=b 2-4ac >0，c a<0，所以a 与c 符号相反，ac<0，所以方程N 也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；C 、如果5是方程M 的一个根，那么25a +5b +c =0，两边同时除以25，得125c +15b +a =0，所以15是方程N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a -c ）x 2=a -c ，由a ≠c ，得x 2=1，x =±1，结论错误，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．6、若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2b的值为（）A．0B．2C．4D．6答案：D分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程ax2−x−b=0得4a-b=2，再把2+8a−2b变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a−2b=2+2(4a−b)=2+2×2=2+4=6，故选：D．小提示：本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．7、直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．1个或2个答案：D分析：根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0，∵方程ax2+2x+1=0，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=b2−4ac=4−4a，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D.小提示：此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.8、若直角三角形的两边长分别是方程x 2−7x +12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A ．6B ．12C ．12或3√72D ．6或3√72答案：D分析：根据题意，先将方程x 2−7x +12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 解方程x 2−7x +12=0得x 1=3，x 2=4当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为12×3×4=6；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为√42−32=√7，面积为12×√7×3=3√72； 则该直角三角形的面积是6或3√72， 故选：D ．小提示：本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．9、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．2或4 答案：A分析：解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．10、把一元二次方程(x+1)(x−1)=3x化成一般形式，正确的是（）A．x2−3x−1=0B．x2−3x+1=0C．x2+3x−1=0D．x2+3x+1=0答案：A分析：先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为x2−3x−1=0,从而可得答案．解：∵(x+1)(x−1)=3x，∴x2−1=3x,∴x2−3x−1=0,∴方程的一般形式为：x2−3x−1=0,故选A小提示：本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)”是解本题的关键．填空题11、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．答案：21分析：先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．所以答案是：21．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b，ax1x2=c．a12、“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．答案：4分析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，由题意得1+x+x(1+x)=25解得x=4或−6（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人所以答案是：4．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．答案：不存在分析：首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)；最后根据图形中的2“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；n=2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n=3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，n=4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，……∴第n个“○”的个数是n(n+1)2，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n−n(n+1)2=2022①，n(n+1)2−3n=2022②解①得：无解解②得：n1=5+√162012,n2=5−√162012所以答案是：不存在小提示：本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．14、如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a与b数量关系是______．答案：b=√5+12a分析：根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ， 则a 2-b 2+ab =0， 方程两边同时除以b 2， 则(a b )2−1+ab =0， 解得：ab =−1±√52， ∵a b不能为负， ∴ab=−1+√52，∴b =√5+12a ， 所以答案是：b =√5+12a ． 小提示：此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题15、如果一元二次方程x 2+3x −2=0的两个根为x 1，x 2，则x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=______．答案：-4分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-3，x 1x 2=-2，根据一元二次方程根的意义得到x 12+3x 1−2，然后利用整体代入的方法计算，即可求得结果． 解：由题意得：x 1+x 2=−3 ， x 1x 2=−2，∴x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=x 1(x 12+3x 1−2)+2(x 1+x 2)−x 1x 2=0+2×(−3)+2 =-4．所以答案是：-4．小提示：本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系的公式和理解一元二次方程根的意义． 解答题16、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)(2√2−x)(2√2+x)=(3+x)2．答案：(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1分析：根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．小提示：本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17、已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值．答案：(1)见解析(2)3分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=2m即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）根据题意可知：Δ=(2m)2−4(m2−9)=36>0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）有题意得：x 1+x 2=2m∴x 1+x 2=2m =6，解得m =3小提示：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．18、综合与探究：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x 2+x =0的两个根是x 1=0，x 2=−1，则方程：x 2+x =0是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x 2+x −6=0； ②2x 2−2√5x +2=0．(2)已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −2)x −2m =0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值．答案：(1)x2＋x −6＝0不是“邻根方程”；2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”(2)m ＝−1或−3分析：（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m 的方程，注意有两种情况．（1）解：①解方程得：(x +3)(x −2)=0，∴x 1=−3，x 2=2，∵2≠−3+1，∴x 2+x −6=0不是“邻根方程”；②x =2√5±√20−164=2√5±24=√5±12， ∴x 1=√5+12，x 2=√5−12， ∵ √5+12−√5−12=1，∴2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”；（2）解：x2−(m−2)x−2m=0(x−m)(x+2)=0，∴x1=m，x2=−2，∵方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数）是“邻根方程”，∴m=−2+1或m=−2−1，∴m=−1或−3.小提示：本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．。

一元二次方程知识归纳与题型突破（12类题型）一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高01 思维导图02 知识速记次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接开平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五、解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六、解一元二次方程-公式法（1）把a acbbx24 2-±-=（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．八、由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．九、一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程题型一　利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．212xx +=C ．221x x y +=+D ．()()22131x x+=+ 1.（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B x=C ．21220x x ++=D ．()22134m x x +-=【答案】D【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义进行判断即可03 题型归纳【详解】解：A 、当0a =时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B 、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；C 、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；D 、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确；故选：D ．2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．7x y -=B ．220x x ++=C ．120x x +=D ．()232x x x -=+3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①2210x x -+=；②20ax bx c ++=；③22350x x +-=；④20x -=；⑤()2212x y -+=；⑥()()22132x x x --=，一元二次方程的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑥()()22132x x x --=，即730x -+=，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；∴一元二次方程有2个，故选：B ．题型二　一元二次方程的一般形式例2. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程()()320x x +-=化为一元二次方程的一般形式是 ．【答案】260x x +-=【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即20(0)ax bx c a ++=¹．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．去括号合并同类项整理即可．【详解】解：∵()()320x x +-=∴22360x x x -+-=∴260x x +-=故答案为：260x x +-=巩固训练1．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程()()223243x x +=-化为一元二次方程的一般形式是 ．2.（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）把一元二次方程()()112x x x +-=化成一般形式后得到二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．【答案】 1 2 1-【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．首先利用平方差公式进行计算，再整理得到2210x x +-=，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．【详解】解：方程()()112x x x +-=整理为一般形式为2210x x +-=，∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是1-，故答案为：1，2，1-．3.（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程2(21)(3)1x x x +-=-化为一般形式为，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．题型三　利用一元二次方程的定义求参数例3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于x 的方程()211450mm x x +++-=是一元二次方程，则m 的值是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；结合一元二次方程的定义，可以得到关于m 的方程和不等式，求解即可得到m 的值．【详解】解：Q 关于x 的方程()211450m m x x +++-=是一元二次方程，\21012m m +¹ìí+=î，解得1m =．故选：C ．巩固训练1.（2024八年级下·安徽·专题练习）关于x 的方程||(2)23m m x mx -++=是一元二次方程，则m 值为（ ）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．0m ³且2m ¹【答案】C【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【详解】解：∵关于x 的方程||(2)23m m x mx -++=是一元二次方程，∴||2m =且20m -¹，解得2m =-．故选：C ．2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若()22210mm x mx ---+=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于x 的方程22(2)430kk x x --+-=是一元二次方程，则k = ．【答案】2-【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．【详解】解：∵关于x 的方程22(2)430k k x x --+-=是一元二次方程，∴22220k k ì-=í-¹î，解得2k =-，故答案为：2-．题型四　一元二次方程的解求参数的值例4. （2024·江苏镇江·二模）已知2x =是方程230x x c -+=的一个根，则实数c 的值是．【答案】2【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把2x =代入230x x c -+=即可求出c 的值．【详解】解：把2x =代入230x x c -+=，可得出22320c -´+=，解得：2c =，故答案为：2．巩固训练1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x 的一元二次方程2320x x m ++-=有一个根为0，则m 的值是（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2.（2024·山东济南·三模）关于x 的一元二次方程2420x x m -+=的一个根14x =，则m =．【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程，把14x =代入方程2420x x m -+=，解关于m 的方程即可．【详解】解：把14x =代入方程2420x x m -+=得161620m -+=解得：0m =故答案为：0．3.（2024·山东济南·二模）已知关于x 的一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3，则m 的值是 ．【答案】4-【分析】根据一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3，将3x =代入原方程得到关于m 的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3，∴将3x =代入方程2260x mx +-=得：223360m ´+-=，解得：4m =-，故答案为：4-．题型五　一元二次方程的解求代数式的值例5. （2024·青海玉树·三模）若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解，则202493a b -+的值为．1.（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x -=+的一个根，则(5)(1)m m +-的值为．【答案】4-【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x -=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解．【详解】解：∵m 是方程2410x x -=+的一个根，∴241m m +=(5)(1)m m +-255m m m =-+-245m m =+-15=-4=-，故答案为：4-．2.（2024·江苏常州·二模）已知m 为方程 ²360x x --=的一个根，则代数式²36m m -+-的值是．3.（2024·福建·模拟预测）已知m 为方程2320240x x +-=的根，那么32220272024m m m +-+的值为【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得232024m m +=，将代数式变形，整体代入求值即可．【详解】∵m 为方程2320240x x +-=的根，∴2320240m m +-=，∴232024m m +=，∴原式3223320242024m m m m m =+---+223320242024()()m m m m m m =+-+-+2024202420242024m m =--+0=．故答案为：0．题型六　一元二次方程的解的估算例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ¹）一个解x 的范围为（ ）x 0.51 1.5232ax bx c++28181042-A ．0.51x ＜＜B ．1 1.5x ＜＜C ．1.52x ＜＜D ．23x ＜＜1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知2310x x -+=，依据下表，它的一个解的范围是（ ）x 2.52.6 2.7 2.8231x x -+0.25-0.04-0.190.44A ．2.5 2.6x <<B ．2.6 2.7x <<C ．2.7 2.8x <<D ．不确定【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，231x x -+的值随着x 的增大而增大，那么在2.6与2.7之间必然有一个数使得代数式231x x -+的值为0，据此可得答案．【详解】解：由表格可知，231x x -+的值随着x 的增大而增大，当 2.6x =时，2310.040x x -+=-<，当 2.7x =时，2310.190x x -+=>，那么在2.6与2.7之间必然有一个数使得代数式231x x -+的值为0，∴方程2310x x -+=的一个解的范围为2.6 2.7x <<．故选：B ．2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程22 1.10x x --=的一个解的取值范围是．x 1.3 1.4 1.51.6 1.7 1.8 1.922 1.1x x --0.71-0.54-0.35-0.14-0.090.340.61【答案】1.6 1.7x <<【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．【详解】解： 1.6x =时，0.14y =-， 1.7x =时，0.09y =，∴一元二次方程22 1.10x x --=的解的范围是1.6 1.7x <<．故答案为：1.6 1.7x <<题型七　用配方法配一元二次方程例7.（23-24八年级下·浙江金华·221x x -=，配方后得到的方程是（ ）A ．2(1)2x -=B ．()212x +=C ．2(1)0x +=D ．2(1)0x -=【答案】A【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案．【详解】解：∵221x x -=，∴22111x x -+=+，即2(1)2x -=，故选：A ．巩固训练1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是（ ）A ．()2854x +=B ．()2854x -=C ．()246x +=D ．()246x -=【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：28100x x -+=，移项得：2810x x -=-，配方得：28161016x x +=-+-，整理得：()246x -=，故选：D ．2.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程22510x x --=，配方正确的是（ ）A ．2533416x æö-=ç÷èø B ．2541416x æö-=ç÷èø C ．252724x æö-=ç÷èø D ．252924x æö-=ç÷èø3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程23430x x --=，应把它先变形为（ ）A ．221339x æö-=ç÷èø B ．2203x æö-=ç÷èø C ．21839x æö-=ç÷èø D ．211039x æö-=ç÷èø题型八　解一元二次方程例8．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于x 的方程（因式分解方法）：(1)230x =；(2)7(3)39x x x -=-．1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：(1) 2490x -=；(2)()221491x +-=．【答案】(1)17x =，27x =-(2)14x =，26x =-【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用直接开平方法求解；（2）先移项，再利用直接开平方法求解．【详解】（1）解：2490x -=，249x =，∴7=±x ，∴17x =，27x =-；（2）解：()221491x +-=，()2125x +=，∴15x +=±，∴14x =，26x =-．2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：()()22325x x -=+3.（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．【答案】(1)17x =，25x =-(2)13x =-，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：22350x x --=，因式分解得()()750x x -+=，即70x -=或50x +=，解得17x =，25x =-．（2）解：()2326x x +=+，移项得()()23230x x +-+=，因式分解得()()3320x x ++-=，即30x +=或320x +-=，解得13x =-，21x =-．4.（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)2120x x --=；(2)22530x x +-=；(3)22770x x -+=．5.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)242x x+=；(2)27304x x--=；(3)2483x x-=-；(4)2441018x x x++=-题型九　解一元二次方程中错解复原问题例9：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程2++=的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：x x2530(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．1.（23-24八年级下·全国·2+=解：∵a =b =c =∴(2244320b ac D =-=-=>，∴2x ==，∴12x =，22x =-.请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.2.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程()()2366x x x -=-的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以()6x -得36x x =-，第2步：移项，得36x x =-，第3步：解得2x =-．小彤的解题过程：第1步：移项，得()()23660x x x ---=，第2步：提取公因式，得()()6360x x x ---=．第3步：则60x -=或360x x --=，第4步：解得16x =，22x =．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．【答案】(1)1，2(2)正确的解法见解析，16x =，23x =-．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0)【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．（1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：小涵的解法中，因为()6x -可能为0，所以不能两边同时除以()6x -，即第一次出错错在第1步；小彤的解法中，第1步移项没错，第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步；故答案为：1；2；（2）解：正确的解法是：()()2366x x x -=-，移项，得()()23660x x x ---=，提取公因式，得()()6360x x x --+=，则60x -=或360x x -+=，解得1263x x ==-，，注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．题型十　根据判别式判断一元二次方程根的情况例10.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2550x x -+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹根的判别式24=b ac D -与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0D >时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．【详解】解：∵2550x x -+=，∴()2541550D =--´´=>，∴方程两个不相等的实数根．故选A ．巩固训练1.（2024·河南周口·三模）关于x 的一元二次方程2220x mx +-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，当240b ac D =->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac D =-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac D =-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--´´=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-´´-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--´´=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--´´= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．22x x=B ．2210x x -+=C ．260x x --=D ．224x x =-【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，当240b ac D =->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac D =-=时，方程有两个相等的实数根；当24<0b ac D =-时，方程没有实数根是解题的关键．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：A 、22x x =可化为：220x x -=2(1)42010D =--´´=>Q ，\方程有两个不相等的实数根；B 、2210x x -+=()2Δ24110=--´´=Q ，\方程有两个相等的实数根；C 、260x x --=()2Δ141(6)250=--´´-=>，\方程有两个不相等的实数根；D 、224x x =-可化为：2240x x -+=2(2)414120D =--´´=-<Q ，\方程没有实数根；故选：D ．题型十一　利用一元二次方程根与系数的关系求值例11．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程2310x x --=的两根分别为a ，b ，则()ab a b += ．1.（2024·江西吉安·一模）已知方程2430x x --=的两个根分别为1x ，2x ，则12x x 的值为 ．2.（2024·广东深圳·模拟预测）若1x ，2x 是方程2210x x --=的两个根，则121222x x x x +-的值为 ．∴121x x =-，122x x +=，∴()()121212122222215x x x x x x x x +-=+-=´--=，故答案为：5．3.（2024·江苏南京·三模）设12x x 、是方程2320210x x --=的两个根，则21122x x x -+= ．【答案】2024【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到123x x +=，之后将1x 代入方程中得到211320210x x -=-，变形为21132021x x -=，两式相加即可得到答案．【详解】解：Q 12x x 、是方程2320210x x --=的两个根，\ 123x x +=，211320210x x -=-，\ 21132021x x -=，\ 22112111220213230224x x x x x x x -+=-+=+=+．故答案为：2024．4.（2024·山东济宁·一模）设a ，b 是一元二次方程23170x x +-=的两个根，则252a a b ++=.题型十二　用一元二次方程解决与图形有关的问题例12：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个矩形蔬菜大棚长32m ，宽20m ，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的532．(1)小路的宽度是多少？(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形ABCD．设边AD的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．(1)求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；<，请求出此时AD的长．(2)若矩形ABCD的面积为54平方米，且AB AD2．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“312++”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽AB 为m 米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m ．【答案】(1)4个(2)6米【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：（1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x ，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．（2）设种植田的宽AB 为m 米，则长BC 为()2232m -+米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据10BC £对求出的根进行取舍．【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x 个小分支，由题意得：2121x x ++=，解得14x =，25x =-（舍），即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支；（2）解：设种植田的宽AB 为m 米，则长BC 为()2232m -+米，由题意得：()223236m m ×-+=，整理得：28120m m -+=，解得12m =，26m =，当2m =时，223221810BC =-´+=>，不合题意，舍去；当6m =时，22362610BC =-´+=<，符合题意；综上可知，该种植田的宽m 为6米．。

北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程☞解读考点知识点名师点晴一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念会识别一元二次方程。

2.一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解。

解法步骤能灵活选择适当的方法解一元二次方程。

根的判别式b2－4ac 是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式会判断一元二次方程根的情况。

根与系数的关系x1＋x2＝b a -，x1x2＝ca会灵活运用根与系数的关系解决问题。

一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．最后要检验结果是不是合理.☞2年中考【2015年题组】1．（2015来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=【答案】A ．【解析】试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．考点：根与系数的关系．2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）A ．2+10x x +=B ．24210x x ++=C ．212360x x ++=D ．220x x +-=【答案】C．考点：根的判别式．3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】B ．【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（2015钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x +=【答案】A ．【解析】试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．考点：解一元二次方程-配方法．5．（2015成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D ．【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．考点：根的判别式．6．（2015攀枝花）关于x 的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．34m >B ．34m >且2m ≠C ．122m -<<D ．324m <<【答案】D．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10【答案】B ．【解析】试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（）A ．2560(1)315x +=B ．2560(1)315x -=C ．2560(12)315x -=D ．2560(1)315x -=【答案】B．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（2015达州）方程21(2)04m x --+=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠C ．3m ≥D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（2015泸州）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）A．B．C．D ．【答案】B ．【解析】试题分析：∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（2015南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题．12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（2015怀化）设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则2221x x +的值是（）A ．19B ．25C ．31D ．30【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（2015安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（）象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D ．【解析】试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（2015山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．【解析】试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（2015枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2【答案】A．考点：根与系数的关系．17．（2015淄博）若a 满足不等式组211122a a-≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于x 的方程21(2)(21)02a x a x a ---++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能【答案】C ．【解析】试题分析：解不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，得a ＜﹣3，∵△=21(21)4(2)()2a a a ---+=2a+2，∵a ＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程21(2)(21)02a x a x a ---++=没有实数根，故选C ．考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（2015烟台）如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为（）A ．2或﹣1B ．0或1C ．2D ．﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：∵201(1)x x x --=+，∴211x x --=，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：12x =，21x =-，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（2015大庆）方程)5(2)5(32-=-x x 的根是．【答案】15x =，2173x =．【解析】试题分析：方程变形得：23(5)2(5)0x x ---=，分解因式得：(5)[3(5)2]x x ---，可得50x -=或3170x -=，解得：15x =，2173x =．故答案为：15x =，2173x =．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（2015甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为．【答案】5．【解析】试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 2234+=5．故答案为：5．考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x=-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________．【答案】2-．【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根．故m=2-．故答案为：2-．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．24．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n mm n +=．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-．∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为．【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（2015绵阳）关于m 的一元二次方程2220n m --=的一个根为2，则22n n -+=．【答案】26．【解析】试题分析：把m=2代入2220n m --=得022742=--n n ，整理得：n n 7212=+，所以721=+n n ，所以原式=21()2n n +-=22-=26．故答案为：26．考点：一元二次方程的解．27．（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是．【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k ++===，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．28．（2015咸宁）将263x x ++配方成2()x m n ++的形式，则m=．【答案】3．考点：配方法的应用．29．（2015荆州）若m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为．【答案】0．【解析】试题分析：∵m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，21m m +=，则原式=2()()m m m n +++=1﹣1=0，故答案为：0．考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（2015曲靖）一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c -->，解得254c <，∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．31．（2015呼和浩特）若实数a 、b 满足(44)(442)80a b a b ++--=，则a b +=__________．【答案】12-或1．【解析】试题分析：设a b +=x ，则由原方程，得：4(42)80x x --=，整理，得：(21)(1)0x x +-=，解得112x =-，21x =．则a b +的值是12-或1．故答案为：12-或1．考点：换元法解一元二次方程．32．（2015吉林省）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m <即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（2015毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则a=．【答案】1．【解析】试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是L ．【答案】20．【解析】试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．35．（2015日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++=．【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54．【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac=-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①，29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误．故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（2015黄石）解方程组：224 4 2 2 x y y ⎧+=⎪+=①②．【答案】111xy=⎧⎨=⎩，2212xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩．考点：高次方程．38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．39．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++．令111234t++=，则原式=11 (1)()(1)55 t t t t -+---=22 114 555t t t t t +---+=1 5问题：（1）计算1111111111111111111 (1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014 -----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程22(51)(57)7 x x x x++++=．【答案】（1）12015；（2）10x=，25x=-．考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（2015十堰）已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-；（2）2．【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-；（2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．46．（2015潜江）已知关于x 的一元二次方程042=+-m x x ．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为1x ，2x ，且满足22521=+x x ，求实数m 的值．【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（2015鄂州）关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求k 的值．【答案】（1）k ＞34；（2）k=2．【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=430k ->，求出k 的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2211k k +=+，结合k 的取值范围解方程即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22(21)4(1)k k +-+=2244144k k k ++--=430k ->，解得：k ＞34；（2）∵k ＞34，∴12(21)0x x k +=-+<，又∵21210x x k =+>，∴10x <，20x <，∵1212x x x x +=，∴1212x x x x --=，∴2211k k +=+，∴10k =，22k =，又∵k ＞34，∴k=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．【2014年题组】1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac 满足的条件是（）A.b2﹣4ac=0B.b2﹣4ac ＞0C.b2﹣4ac ＜0D.b2﹣4ac≥0【答案】B ．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac ＞0．故选B ．考点：一元二次方程根的判别式．2.（2014年广西贵港中考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．﹣1【答案】A．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3.（2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x ﹣2=0的解是（）A.x1=2，x2=1 B.x1=﹣2，x2=1 C.x1=2，x2=﹣1 D.x1=﹣2，x2=﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C ．考点：因式分解法解一元二次方程．4.（2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ B.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ C.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c ，两边同除以a ，得2b c x x a a +=-，两边同加上一次项一半的平方，得222b bc b x x a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭．故选A ．考点：配方法解一元二次方程．5.（2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6.（2014年广西桂林中考）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，且()()112x 2x x 0--=，则k 的值是．【答案】2-或94-．【解析】试题分析：∵()()112x 2x x 0--=，∴1x 2=或12x x =．∵关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，∴若1x 2=，则()22222k 1k 20k 2+++-=⇒=-；若12x x =，则方程()22x 2k 1x k 20+++-=有两相等的实数根，∴()()2292k 141k 20k 4∆=+-⋅⋅-=⇒=-．∴k 2=-或9k 4=-．考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用．7.（2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为．【答案】x1=0或x2=2．【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x （x ﹣2）=0，得到x=0或x ﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程．8.（2014年江西省中考）若,a b 是方程2x 2x 30--=的两个实数根，则22a +b =．【答案】10．【解析】试题分析：∵,a b 是方程2x 2x 30--=的两根，∴2,3a +b =a b =- ．∴()222222610a +b =a +b -a b =+=．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．9.（2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x ﹣1=0．【答案】12x x == ．考点：公式法解一元二次方程．10.（2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x ﹣40）[180﹣10（x ﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x ﹣52）=200个，不符合题意舍去．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2.一般形式:ax2+bx+c=0（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中ax2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（）A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

专题01 一元二次方程的概念【思维导图】◎题型1：一元二次方程的定义【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

例．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2214x x +=B ．20ax bx c ++=C ．()1(3)4x x -+=D ．2470x xy -+=【答案】C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】解：A 、该方程属于分式方程，故本选项错误；B 、该方程中，当a ＝0时，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；C 、()1(3)4x x -+=化简得：2270x x +-=符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、该方程中含有2个未知数，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．变式1．（2020·四川·攀枝花第二初级中学九年级期中）若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ¹-D ．2m ¹±【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得2,20m m ì=ïíï+¹î①②从而可得答案．【详解】解：∵方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，∴2,20m m ì=ïíï+¹î①②由①得：2,m =±由②得：2,m ¹-解得：2,m =故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．掌握定义是解本题的关键．变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠±1B ．m ≥-1且m ≠1C ．m ≥-1D ．m ＞-1且m ≠1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】解：∵方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程，∴210m -¹，解得1m ¹±，10m +³，解得：1m ³-，∴1m >-且1m ¹，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义逐项分析即可求解．【详解】解：A. 211x x+=，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；B. 20ax bx c ++=，当a≠0时，是一元二次方程，当a =0，b ≠0时，是一元一次方程，不合题意；C. (1)(2)1x x ++=，原方程整理得2310x x ++=，是一元二次方程，符合题意；D. 22(3)4x x -+=，原方程整理得6130x -+=，不是一元二次方程，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．◎题型2：一元二次方程的一般形式【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．例．（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x -3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax 2+bx +c =0，再找出二次项的系数即可．【详解】解：∵（x -3）2=5化为一般形式为x 2-6x +4=0，∴二次项系数为1，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x -3）2=5化为一般形式．变式1．（2021·河南周口·九年级期中）把方程22(3)x x =-化成一般式20x mx n ++=，则正确的是（ ）A ．2m =，6n =B ．2m =，6n =-C ．2m =-，6n =D ．2m =-，6n =-【答案】C【解析】【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案．【详解】将22(3)x x =-去括号得226=-x x ；移项得2260=－＋x x ∴2m =-，6n =故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念．变式2．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）A．2，4，7B．2，4，﹣7C．2，﹣4，7D．2，﹣4，﹣7【答案】C【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项，进行分析即可．【详解】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要掌握二次项系数，一次项系数和常数项的定义，先把一元二次方程化成一般形式．◎题型3：一元二次方程的解【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】C【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中，求出a 的值，再根据30a -¹，即可确定a 的值．【详解】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∴30a -¹解得3a ¹故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．变式1．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．﹣1C ．﹣2或1D ．1【答案】B【解析】【分析】把1x =代入一元二次方程22240m x x m -+-=（）中即可得到关于m 的方程，解此方程即可求出m 的值．由20,m -¹即2,m ¹得到11,m =-从而得到答案．【详解】解：1x =Q 是一元二次方程22240m x x m -+-=（）的一个根，()2240m m \-+-=121,2,m m \=-=20,m -¹Q 2,m \¹1 1.m \=-故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．变式2．（2022·四川乐山·九年级期末）m 是方程220x x +-=的根，则代数式2222022m m +-的值是( )A ．-2018B ．2018C ．-2026D ．2026【答案】A【解析】【分析】把x m =代入220x x +-=得到22m m +=，进而得到2224m m +=，代入2222022m m +-进行计算即可求解．【详解】解：∵m 是方程220x x +-=的根，∴220m m +-=∴22m m +=，∴2224m m +=，∴2222022m m +-42022=-2018=-．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．变式3．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【解析】【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+´-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．。

一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理（解析） 考点1：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值考点分析：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等． 题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m －3)x 2＋m ＋2x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( D )A ．m ≠3B ．m ≥3C ．m ≥－2D ．m ≥－2且m ≠3点拨：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3.2．已知关于x 的方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －2)x －1＝0.(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；(2)m 取何值时，它是一元一次方程？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1. 当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0.故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1．若一元二次方程(2a －4)x 2＋(3a ＋6)x ＋a －8＝0没有常数项，则a 的值为___8___．点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －8＝0，2a －4≠0.解得a ＝8. 2．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－1＝0的常数项为0，求m 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(A) A．－1 B．0 C．1 D．2点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.2．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值．解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，得k2－16＝0，解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4，∴k＝4.3．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，求代数式a2－2 015a－a2＋1 2 016的值．解：∵实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，∴a2－2 016a＋1＝0.∴a2＋1＝2 016a，a2－2 016a＝－1.∴a2－2 015a－a2＋12 016＝a2－2 015a－2 016a2 016＝a2－2 015a－a＝a2－2 016a＝－1题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a ＋7)，由－4(a＋7)＝8得a＝－9，故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.考点2：一元二次方程的解法归类考点分析：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( C )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( C )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( C )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝22．解方程：x 2＋4x －2＝0.解：x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.3．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值． 解：x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0，(x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58.方法3 能化成形如(x ＋a )(x ＋b )＝0的一元二次方程用因式分解法求解1．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和22．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.解：(1)x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12. 方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( B ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±322．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，∴x ＝4±642×4， ∴x 1＝32，x 2＝－12.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1．方程4x 2－49＝0的解为( C )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－272．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( C )A ．3B ．－4C ．3和－4D ．3和43．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( B )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝24．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0；(2)2x 2－3x ＋1＝0.解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94，y －12＝±32， ∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x ＝3±12×2，即x 1＝1，x 2＝12. 类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.解：将原方程两边同乘6，得(6x )2＋19×(6x )＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 2．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n (n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4， 所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.方法2 换元法a ．整体换元1．若(a ＋b )(a ＋b ＋2)－8＝0，则a ＋b 的值为( A )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－22．已知x 2－2xy ＋y 2＋x －y －6＝0，则x －y 的值是( B )A ．－2或3B ．2或－3C ．－1或6D ．1或－63．解方程：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.解：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.设x －2＝y ，原方程化为y 2－3y ＋2＝0，解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，x －2＝1，x ＝3，当y ＝2时，x －2＝2，x ＝4.∴原方程的解为x 1＝3，x 2＝4.4．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.b ．降次换元1．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x 2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12； 当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.c ．倒数换元1．解方程：x －2x －3x x －2＝2.解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1. 当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.方法3 特殊值法1．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016.解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029. 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 014＝t，则x－2 013＝t＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t，进而求出x.考点3：根的判别式的四种常见应用考点分析：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(C)A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解点拨：当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，所以当k＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C.2．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．解：(1)根据题意得b2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k>0，解得k<52. (2)由k 为正整数，可得k ＝1或k ＝2.利用求根公式可求出方程的根为x ＝－1±5－2k ，∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数，∴k 的值为2.2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2) x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.题型3 利用根的判别式求代数式的值1．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.2.已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx －2＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，求mn 2（m ＋4）2＋n 2－16的值． 解：由题意可知，b 2－4ac ＝n 2＋8m ＝0，∴8m ＝－n 2，∴mn 2（m ＋4）2＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋16＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋n 2＝mn 2m 2－n 2＋n 2＝mn 2m 2. ∵m ≠0，∴mn 2m 2＝n 2m＝－8.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状解：∵一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根， ∴[2(a －b )]2－4(b －c )·(b －a )＝0，∴4(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴此三角形是等腰三角形2．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a ＋c)x2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4(a ＋c)·a －c 4＝b2－(a2－c2)＝0， 即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形．考点4：一元二次方程与三角形的综合考点分析：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(C)A．3B．4C．3或4D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴△ABC的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用的数学思想是__分类讨论_，确定a值的大小是根据_方程根的定义__．题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____13____．2．已知a，b，c分别是△ABC的三边，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：△ABC 是直角三角形．理由如下： 原方程可化为(b ＋c )x 2－2m ax ＋cm －bm ＝0， Δ＝4ma 2－4m (c －b )(c ＋b )＝4m (a 2＋b 2－c 2)． ∵m >0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知△ABC 的三边a ，b ，c 中，a ＝b －1，c ＝b ＋1，又已知关于x 的方程4x 2－20x ＋b ＋12＝0的根恰为b 的值，求△ABC 的面积．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解得b 1＝4，b 2＝34.当b 1＝4时，a＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b 2＝34时，a ＝34－1<0，不合题意，舍去．因此，△ABC 的面积为6.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1．等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．182．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 的三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则Δ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0，所以2ax (x ＋1)＝0，所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.考点5：根与系数的关系的四种应用类型考点分析：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a ≠0.题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值． (1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵ (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数． 解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2， 令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝⎛⎭⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0. 解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0， Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根， ∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.2.已知关于x 的方程x2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 解：(1)∵22－4×1×(a －2)＝12－4a>0，解得a<3. ∴a 的取值范围是a<3.(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1＝－2，1·x1＝a －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x1＝－3.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝(－4k )2－4×4k (k ＋1)＝－16k ≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k <0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用考点分析：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．题型1 营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x.整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意， 因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x ＋0.5＝150x ＋10， 整理得x 2－90x ＋2 000＝0， 解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意． 因此第二次采购玩具60件．2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5.方程两边同乘以x (x －10)，整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意．因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：⎝⎛⎭⎫50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．题型2 行程问题3．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？3．解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶(x ＋12)千米，依题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72(不合题意，舍去)，x 2＝60. 所以x ＋12＝72. ∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．应用3 工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？解：(1)设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天完成此项工程，由题意得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1，整理，得x 2－10x －600＝0， 解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝⎛⎭⎫20－a 3 (3)由题意得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a3≤64，解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．考点7：几种常见的热门考点考点分析：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．题型1 一元二次方程的根1．若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________． 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c的值．1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015. 2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0.题型2 一元二次方程的解法1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝22．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解是( A ) A ．x 1＝－1，x 2＝3 B ．x 1＝1，x 2＝－3 C ．x 1＝－1，x 2＝－3 D ．x 1＝1，x 2＝3 3．选择适当的方法解下列方程： (1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0； (2)x 2－6x －6＝0；(3)6 000(1－x )2＝4 860； (4)(10＋x )(50－x )＝800； (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7. 3．解：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0， (x －1)(x －1＋2x ) ＝0， (x －1)(3x －1) ＝0， x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0， ∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6， ∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x ＝6±602＝3±15， ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (3)6 000(1－x )2＝4 860， (1－x )2＝ 0.81， 1－x ＝ ±0.9， x 1＝1.9，x 2＝0. 1. (4)(10＋x )(50－x )＝800， x 2－40x ＋300＝ 0， x 1＝10，x 2＝30. (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7， 4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7， x 2－6x ＋8 ＝0， x 1＝2，x 2＝4.题型3 一元二次方程根的判别式1．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥23．在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b )＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.题型4 一元二次方程根与系数的关系1．已知方程x 2－32x ＋1＝0，构造个一元二次方程使它的根分别是原方程两根的倒数，则这个一元二次方程是( )A ．x 2＋32x ＋1＝0B ．x 2＋32x －1＝0C ．x 2－32x ＋1＝0D ．x 2－32x －1＝02．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( A ) A ．3 B ．1C ．3或－1D ．－3或13．已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p 为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．4．关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1＋x 2－x 1x 2＝1－a ，求a 的值．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a ·2(a ＋1)＞0，即(a －1)2＞0，∴a ≠1，∴a ＝－1.5．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a 2＋4a －2＝0的两个实数根，当a 为何值时，x 12＋x 22有最小值？最小值是多少？解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a )2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2⎝⎛⎭⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．题型5 一元二次方程的应用1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x )元，每星期的销量为(300＋20x )件． 根据题意，得(60－x －40)(300＋20x )＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．2．小林准备进行如下操作实验：把一根长为4 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm ，则较长的一段为(40－x ) cm ，由题意，得⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段为40－28＝12＜28(舍去)．∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较长的一段就为(40－m ) cm ，由题意得⎝⎛⎭⎫m 42＋⎝⎛⎭⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.3．某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动．甲运动的路程l (cm )与时间t (s )满足关系：l ＝12t 2＋32t (t ≥0)，乙以4 cm /s 的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？解：(1)当t ＝4时，l ＝12t 2＋32t ＝12×42＋32×4＝14. 答：甲运动4 s 后的路程是14 cm .(2)设它们运动了m s ，根据题意，得12m 2＋32m ＋4m ＝21. 解得：m 1＝3，m 2＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .(3)设它们运动了n s 后第二次相遇，根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎫12n 2＋32n ＋4n ＝21×3. 解得n 1＝7，n 2＝－18(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .4．如图，某海关缉私艇在C 处发现正北方向30海里的A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行．缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度航行，这样可同时到达B 处进行拦截．缉私艇从C 处到达B 处航行了多少小时？解：设缉私艇航行了x 小时到达B 处．根据题意，得302＋(60x )2＝(75x )2，解得x 1＝23，x 2＝－23(不符合题意，舍去)． 答：缉私艇从C 处到达B 处航行了23小时． 点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答．题型6 新定义问题1．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”． 判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．解：不是．理由如下：解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3.|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题03 《配方法解一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《配方法解一元二次方程》中“用配方法解二次项系数为1的一元二次方程”、“用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程”、“利用一元二次方程的配方求字母的值”、“利用一元二次方程的配方法解新定义问题”、“配方法的应用”、“一元二次方程的几何解法”、重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程方法点拨：二次项系数为1时配方法的步骤：（1）找出一次项系数；（2）加一次项系数一半的平方，减一次项系数一半的平方，常数项不管（加了就要减，不改变原式的大小）；（3）配方处理，合并常数项，写成完全平方的形式。