离散数学习题课-集合

第六章作业评分要求：1. 合计57分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.一有限集合计数问题(合计20分: 每小题10分, 正确定义集合得4分, 方法与过程4分, 结果2分)要求: 掌握集合的定义方法以及处理有限集合计数问题的基本方法1 对60个人的调查表明, 有25人阅读《每周新闻》杂志, 26人阅读《时代》杂志, 26人阅读《财富》杂志, 9人阅读《每周新闻》和《财富》杂志, 11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志, 8人阅读《时代》和《财富》杂志, 还有8人什么杂志也不读.(1) 求阅读全部3种杂志的人数;(2) 分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂志的人数.解定义集合: 设E={x|x是调查对象},A={x|x阅读《每周新闻》}, B={x|x阅读《时代》}, C={x|x阅读《财富》}由条件得|E|=60, |A|=25, |B|=26, |C|=26, |A∩C|=9, |A∩B|=11, |B∩C|=8, |E-A∪B∪C|=8 (1) 阅读全部3种杂志的人数=|A∩B∩C|=|A∪B∪C|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)=(60-8)－(25+26+26)+(11+9+8)=3(2) 只阅读《每周新闻》的人数=|A－B∪C|=|A－A∩(B∪C)|=|A－(A∩B)∪(A∩C)|=|A|－(|A∩B|+|A∩C|－|A∩B∩C|)=25－(11+9-3)=8同理可得只阅读《时代》的人数为10, 只阅读《财富》的人数为12.2 使用容斥原理求不超过120的素数个数.分析:本题有一定难度, 难在如何定义集合. 考虑到素数只有1和其自身两个素因子, 而不超过120的合数的最小素因子一定是2,3,5或7(比120开方小的素数), 也就是说, 不超过120的合数一定是2,3,5或7的倍数. 因此, 可定义4条性质分别为2,3,5或7的倍数, 先求出不超过120的所有的合数, 再得出素数的个数.解定义集合: 设全集E={x|x∈Z∧1≤x∧x≤120}A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120},B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120},C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120},D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}.则不超过120的合数的个数=|A∪B∪C∪D|－4 (因为2,3,5,7不是合数)=(|A|+|B|+|C|+|D|)－(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+(|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)－|A∩B∩C∩D|－4=(60+40+24+17)－(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)－0－4 (理由见说明部分)=89因此不超过120的素数个数=120－1－89=30 (因为1不是素数)说明: |A|=int(120/2); |A⋂B|=int(120/lcd(2,3));|A⋂B⋂C|=int(120/lcd(2,3,5)); |A⋂B⋂C⋂D|=int(120/lcd(2,3,5,7)).二集合关系证明1 设A,B,C是任意集合, 证明(1) (A－B)－C=A－(B∪C)(2) A∩C⊆B∩C ∧A－C⊆B－C ⇒A⊆B(合计12分: 每小题6分; 格式3分, 过程每错一步扣1分)证明(1) 逻辑演算法: ∀x,x∈(A－B)－C⇔x∈(A－B)∧¬x∈C (－定义)⇔(x∈A∧¬x∈B)∧¬x∈C (－定义)⇔x∈A∧(¬x∈B∧¬x∈C) (∧的结合律)⇔x∈A∧¬(x∈B∨x∈C) (德摩根律)⇔x∈A∧¬x∈B∪C (∪定义)⇔x∈A－B∪C (－定义)所以(A－B)－C=A－(B∪C).集合演算法(A－B)－C=(A∩~B)∩~C (补交转换律)=A∩(~B∩~C) (∩的结合律)=A∩~(B∪C) (德摩根律)=A－(B∪C) (补交转换律)得证.(2) 逻辑演算法: ∀x,x∈A⇔x∈A∩(C∪~C) (排中律, 同一律)⇔x∈(A∩C)∪(A∩~C) (∪对∩的分配率)⇔x∈A∩C∨x∈A－C (∪的定义, 补交转换律)⇒x∈B∩C∨x∈B－C (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C) ⇔x∈(B∩C)∪(B－C) (∪的定义)⇔x∈(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)⇔x∈B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)⇔x∈B (排中律, 同一律)所以A⊆B.集合演算法A=A∩(C∪~C) (同一律, 排中律)=(A∩C)∪(A∩~C) (∩对∪的分配率)=(A∩C)∪(A－C) (补交转换律)⊆(B∩C)∪(B－C) (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C)=(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)=B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)=B (排中律, 同一律)得证.方法三因为A∩C⊆B∩C, A－C⊆B－C, 所以(A∩C)∪(A－C)⊆(B∩C)∪(B－C)|, 整理即得A⊆B, 得证.2 求下列等式成立的充分必要条件(1) A－B=B－A(2) (A－B)∩(A－C)=∅(合计10分: 每小题5分; 正确给出充分必要条件2分, 理由3分)解(1) A－B=B－A方法一两边同时∪A得: A=(B－A)∪A=B∪A ⇒B⊆A; 同理可得A⊆B, 综合可得A=B.另一方面, 当A=B时显然有A－B=B－A. 因此所求充要条件为A=B.方法二∀x,x∈A－B∧x∈B－A⇔x∈(A－B)∩(B－A)⇔x∈∅所以A－B=B－A⇔A－B=∅∧B－A=∅⇔A⊆B ∧B⊆A⇔A=B因此A=B即为所求.(2) (A－B)∩(A－C)=∅⇔(A∩~B)∩(A∩~C)=∅⇔A∩(~B∩~C)=∅⇔A∩~(B∪C)=∅⇔A－(B∪C)=∅⇔A⊆B∪C所以A⊆B∪C即为所求充要条件.说明: 这类题型一般先求出必要条件, 再验证其充分性.三设全集为n元集, 按照某种给定顺序排列为E={x1,x2,…,x n}. 在计算机中可以用长为n的0,1串表示E的子集. 令m元子集A={x i1,x i2,…,x im}, 则A所对应的0,1串为j1j2…j n, 其中当k=i1,i2,…,i m时j k=1, 其它情况下j k=0.例如, E={1,2,…,8}, 则A={1,2,5,6}和B={3,7}对应的0,1串分别为11001100和00100010.(1)设A对应的0,1串为10110010, 则~A对应的0,1串是什么?(2) 设A与B对应的0,1串分别为i1i2…i n和j1j2…j n, 且A∪B, A∩B, A－B, A⊕B对应的0,1串分别为a1a2…a n, b1b2…b n, c1c2…c n, d1d2…d n, 求a k,b k,c k,d k, k=1,2,…,n.(合计15分: (1)3分; (2)12分, 每个结果正确2分, 求解过程4分)解下述运算是二进制数的位运算(1) 01001101(2) a k=i k∨j k, b k=i k∧j k, c k=i k∧¬j k, d k=(i k∧¬j k)∨(¬i k∧j k).说明: 这里c k和d k的求解可以使用主范式求解.c k,d k的真值表如下k kc k⇔m2=i k∧¬j kd k⇔m1∨m2=(¬i k∧j k)∨(i k∧¬j k).。

离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。

为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。

本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。

一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。

答案：(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假：a) 若2+2=5，则地球是平的。

b) 若今天下雨，则我会带伞。

c) 若x>0，则x^2>0。

答案：a)假，b)真，c)真。

2. 用真值表验证下列命题的等价性：a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案：a)等价，b)等价。

三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。

答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。

答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G，其邻接矩阵为：0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。

答案：度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图：a) G1的邻接矩阵为：0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为：0 1 01 0 10 1 0答案：a)不是连通图，b)是连通图。

五、组合数学1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。

答案：C(10,3)=120种选法。

2. 求下列排列的循环节：a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案：a)循环节为(123)(45)(67)，b)循环节为(12)(34)(56)(78)。

离散数学集合论练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN集合论练习题一、选择题1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}BC ．{2}BD ．{2, {2}}B2．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ ）．A ．B ⊂ A ，且B ∈A B ．B ∈ A ，但B ⊄AC ．B ⊂ A ，但B ∉AD ．B ⊄ A ，且B ∉A3．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( )．A ．{{1}, {a }}B ．{∅,{1}, {a }}C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}4.已知A ⊕B ={1,2,3}, A ⊕C ={2,3,4},若2∈ B,则（ ）A ． 1∈CB ．2∈C C ．3∈CD ．4∈C5. 下列选项中错误的是( )A ． ∅⊆∅B ． ∅∈∅C ． {}∅⊆∅D ．{}∅∈∅6. 下列命题中不正确的是（ ）A ． x ∈{x }-{{x }}B ．{}{}{{}}x x x ⊆-C ．{}A x x =⋃,则x ∈A 且x A ⊆D ． A B A B -=∅⇔=7. A , B 是集合，P (A ),P (B )为其幂集，且A B ⋂=∅，则()()P A P B ⋂=( )A ． ∅B ． {}∅C ． {{}}∅D ．{,{}}∅∅8. 空集∅的幂集()P ∅的基数是( )A ． 0B ．1C ．3D ．49．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的 B．对称的C．对称和传递的 D．反自反和传递的10.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对11. 设A={1，2，3，4}，下列关系中为等价关系。

作业答案：集合论部分P90:习题六5、确定下列命题是否为真。

（2）ÆÎÆ（4）{}ÆÎÆ（6）{,}{,,,{,}}a b a b c a b Î解答：（2）假（4）真（6）真8、求下列集合的幂集。

（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}}Æ解答：（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}=，所以该题的结论应该为{,{{1,2}},{{2,1,2}},{{2,1,1,1}},{{1,2},{2,1,2},{2,1,1,1}}}Æ（6）{,{{,2}},2,{{,2},{2}}}ÆÆÆ9、设{1,2,3,4,5,6}E =，{1,4}A =，{1,2,5}B =,{2,4}C =,求下列集合。

（1）A B（2）()A B 解答：（1）{1,4}{3,4,6}{4}A B ==（2）(){1}{2,3,4,5,6}A B ==31、设A,B,C 为任意集合，证明()()()()A B B A A B A B --=-证明：()(){|}{|()()}{|()()()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()(A B B A x x A B x B A x x A x B x B x A x x A x B x B x B x A x A x B x A x x A x B x B x A x x A B x A x B x x A B x A x B x x A B x A B x x AB x A--=Î-ÚÎ-=ÎÙÏÚÎÙÏ=ÎÚÎÙÏÚÎÙÎÚÏÙÏÚÏ=ÎÚÎÙÏÚÏ=ÎÙÏÚÏ=ÎÙÎÚÎ=ÎÙÎ=ÎÙÎ)}B A B AB=-34、设A,B 为集合，证明：如果()()A B B A AB --=，则AB =Æ。

离散数学-习题集《离散数学》习题集第⼀部分判断题⼀、第⼀章—集合1、（）已知集合A的元素个数为10，则集合A的幂集的基=102。

2、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。

2、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。

3、( ) 已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B={Ф}。

4、（）已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B=Ф。

5、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。

6、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。

7、（）已知集合A的元素个数为n，则A×A的幂集的元素个数为n2。

8、（）已知两个集合A、B，则A-B是由属于B但不属于A的元素构成的集合。

⼆、第⼆章—⼆元关系1、（）若R是A上的⼆元关系，I A是A上的恒等关系，则当且仅当I A∈R时，R是A上的⾃反关系。

2、（√）若R是集合A上的⼆元关系，且当（a，b）∈R且（a，c）∈R时，就有（b，c）∈R，则R是A 上的可传递关系。

3、（）设A是集合，A1、A2、．．．A n都是A的⾮空⼦集，令S={A1，A2，．．．,A n}，则如果S是集合A的⼀个划分，那么S⼀定是集合A的⼀个完全覆盖；反之亦然。

5、（）R是⾮空集合A上的等价⼆元关系，则A关于R的商集A/R是集合A的⼀个划分，但不是A的⼀个完全覆盖。

6、（）已知集合A有4元素，易知集合A共有24个互不相同的⼦集合，所以在集合A上⼀共可定义24个互不相同的⼆元关系。

7、（）若R1和R2都是集合A上的可传递⼆元关系，则R1∪R2也是A上的传递关系。

8、（）设R是有限的⾮空集合A上的偏序关系，则A必有极⼤（⼩）元和最⼤（⼩）元。

9、（）若R1和R2都是集合A上的相容关系，则R1∩R2也是A上的相容关系。

10、（）若R1和R2都是集合A的可传递⼆元关系，则R1∩R2也是A上的传递关系。

（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案第1章集合1、列举下列集合的元素 (1) ⼩于20的素数的集合 (2) ⼩于5的⾮负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、⽤描述法表⽰下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下⾯哪些式⼦是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈答：正确 (2) {}{{}}a a ? 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈答：正确 (4) {}{{},}a a a ? 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下⾯哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈错误(2) {}a R ∈正确 (3) {,4,{3}}a S ? 正确 (4) {{},1,3,4}a R ? 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ? 正确 (7) {}a R ?错误 (8) R φ?正确 (9) {{}}a R φ?? 正确 (10) {}S φ?错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ?正确5、列举出集合,,A B C 的例⼦，使其满⾜A B ∈，B C ∈且A C ?答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ?。

6、给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表⽰的A 的⼦集各是什么？应如何表⽰⼦集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '? (2) ()A B C '?? (3) ()A B C ?? (4)()()A B A C (5) ()A B '? (6) A B ''? (7) ()B C '? (8)B C ''? (9) 22A C - (10)22A C ? 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '?=(2) {1}A B ?=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '??= (3) {2}B C ?=，(){1,2,4}A B C ??=(4) {1,2,4,5}A B ?=，{1,2,4}A C ?=，()(){1,2,4}A B A C = (5) (){2,3,4,5}A B '?= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''?= (7){1,2,4,5}B C ?=，(){3}B C '?= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''?=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ?=10、给定⾃然数集N 的下列⼦集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D = (2) (())A B C D φ=(3) ()B A C -?解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ?=，(){4,5}B A C -?= (4) ()A B D '??解：{3,4,5,6}A B B A '?=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '??=11、给定⾃然数集N 的下列⼦集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表⽰为由,,,,A B C D E 产⽣的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =? {3,6,9}=A D ? {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}??L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==??L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-?--?-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ?12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。