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第1课时函数的单调性与导数[核心必知]1，.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P22～P26的内容，回答下列问题．(1)观察教材P22图1.3－1，，回答下列问题：①函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(0，a)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在_(0，a)上为增函数，h′(t)>0．②函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(a，b)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h′(t)<0．(2)观察教材P23图1，.3－2.函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数；②在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数；③在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－1x2<0，y(x)是减函数．(3)观察教材P26图1.3－7，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？提示：在(0，a)上的导数值大于在(a，＋∞)上的导数值．(4)观察函数f(x)＝错误!，x∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0,1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f′(x)在(0,1)和(1，＋∞)内的大小有什么关系？提示：在(0，1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f′(x)在(0，1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．2．归纳总结，核心必记(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：(2)一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：(1)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．[课前反思](1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？；(2)函数图象的变化趋势与导数绝对值的大小有什么关系？．讲一讲1．(1)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )[尝试解答] (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正；当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．[答案] (1)D (2)D研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．练一练1．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()解析：选D因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，所以f′(x)<0.(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是________．解析：由图象可知，f′(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，故f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．答案：(－∞，0)，(2，＋∞)[思考1]若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？名师指津：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．[思考2]若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？名师指津：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．[思考3]如何判断(证明)可导函数f(x)在(a，b)上的单调性？名师指津：利用f′(x)的符号，规律方法同[思考2]．讲一讲2．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．[尝试解答]由于f(x)＝e x－x－1，所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数， 当x ∈(－∞，0)时，e x <1，即f ′(x )＝e x －1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．利用导数判断函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)得出结论． 练一练2．试证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，2)上是单调递增函数．证明：由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. 由于0<x <2， 所以ln x <ln 2<1， 故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，所以函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数．[思考] f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集与函数f (x )的单调区间有什么关系？名师指津：f ′(x )>0的解集对应函数f (x )的单调递增区间；f ′(x )<0的解集对应函数f (x )的单调递减区间．讲一讲3．(链接教材P 24－例2)求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x －x 3；(2)f (x )＝x 2－ln x . [尝试解答] (1)f ′(x )＝1－3x 2， 令1－3x 2>0，解得－33<x <33. 因此，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3．3，33.令1－3x 2<0，解得x <－33或x >33. 因此，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x .因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示． 练一练3．求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x （x －2）－e x （x －2）2＝e x （x －3）（x －2）2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).讲一讲4．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.讨论f (x )的单调区间．[思路点拨] 由题意，可先求f ′(x )，然后根据a 的取值情况，讨论f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集即可．[尝试解答] f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3. 当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数． 当a >0时，f (x )在⎝⎛⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．练一练4．(1)本讲中f (x )不变，若f (x )为单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0.即实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)本讲中f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，求a 的取值范围． 解：因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)本讲中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1，1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≤3,所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)本讲中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围．解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3．a．3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.(5)本讲中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上不单调，求a的取值范围．解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0，3)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲1；(2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲2；(3)利用导数求函数单调区间的方法，见讲3；(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见讲4.3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如讲3(2)．课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1函数与导函数图象间的关系1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：选A由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是()解析：选B选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的单调递增区间为________．解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．答案：(－1，2)和(4，5]题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.6．证明函数f (x )＝sin x x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝（sin x ）′x －sin x ·（x ）′x 2＝x cos x －sin xx 2.由于x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos x <0，sin x >0，x cos x －sin x <0. 故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1. ∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax ，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋a x >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax <0，得0<x <－a ，所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上减 解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增．2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞. 第2课时 函数的极值与导数[核心必知]1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 29的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 27图1.3－8，函数y ＝h (t )在t ＝a 处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y ＝h (t )在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y ＝h (t )的导数的符号有什么规律？提示：函数y ＝h (t )在t ＝a 处的函数值比它附近的函数值都大；此处的导数为0；在这个点的附近，左侧h ′(t )>0，右侧h ′(t )<0．(2)观察教材P 27图1.3－10和图1.3－11，函数y ＝f (x )在a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y ＝f (x )在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？提示：函数y ＝f (x )在a ，c ，e ，g 的函数值比它附近的函数值都小，在b ，d ，f ，h 处的函数值比它附近的函数值都大；y ＝f (x )在这些点的导数值都是0；在a ，c ，e ，g 点的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0；在b ，d ，f ，h 点的附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0．2．归纳总结，核心必记 (1)极值点与极值 ①极小值点与极小值如图，函数f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，我们把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(2)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[问题思考](1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本P94图3.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．_x1、x3是极大值点．(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？提示：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(4)导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(5)函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．[课前反思](1)函数的极大值、极小值的定义是：；(2)函数的极大值点、极小值点的定义是： ； (3)求函数y ＝f (x )的极值的方法是什么？．讲一讲1.(链接教材P 28－例4)求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2e－x;(2)y ＝ln x x.[尝试解答] (1)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：)当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.(2)函数y ＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－ln x x 2.令y ′＝0，即1－ln x x 2＝0，得x ＝e. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：由表可知，当x ＝e 时，函数有极大值1e.求可导函数f (x )的极值的步骤为：(1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f ′(x )；(3)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(4)列表：方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间 内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．练一练1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴x ∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：)极小值当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.讲一讲2．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [尝试解答] ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． ②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：)由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件．练一练2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，(1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2b3a ＝0， ①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，② 又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．讲一讲3．求函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)的极值．[思路点拨] 分类讨论a 取不同值时，函数的单调性，进而求极值． [尝试解答] f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a . 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：)f )f (∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ， 极小值为f (a )＝－2a a ＋b .利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论．练一练3．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)，递增区间为(1－m ，1＋m )．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m ) ＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求函数的极值，见讲1； (2)已知函数的极值求参数，见讲2； (3)含参数的函数极值问题的求解，见讲3.3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反，这是本节课的易错点．课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上， f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－3 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3. 8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎫－13，1，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内 解析：选A 利用导数法易得函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内递减，在⎝⎛⎭⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内． 2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ，∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，排除A ；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0. 解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．第3课时函数的最大(小)值与导数[核心必知]1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P29～P31的内容，回答下列问题．(1)观察教材P29图1.3－13，回答下列问题：①你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的极大值和极小值吗？提示：极大值有f(x2)，f(x4)，f(x6)；极小值有f(x1)，f(x3)，f(x5)．②你能找出函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值吗？提示：最大值为f(a)，最小值为f(x3)．(2)观察教材P30图1.3－14，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．(3)观察教材P30图1,3－15，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(x3)，最小值为f(x4)．(4)通过以上观察，你认为函数f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值.(5)怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．2．归纳总结，核心必记(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[问题思考]在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a ，b ]上一定存在最值和极值吗？在区间(a ，b )上呢？提示：在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f (x )在[a ，b ]上是单调的，此时f (x )在[a ，b ]上无极值；如果f (x )在[a ，b ]上不是单调函数，则f (x )在[a ，b ]上有极值．当f (x )在(a ，b )上为单调函数时，它既没有最值也没有极值；当f (x )在(a ，b )上不是单调函数时，它有极值但不一定有最值．[课前反思](1)如何求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值？(2)函数f (x )的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？.讲一讲1，.(链接教材P 30－例5)求下列各函数的最值． (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x(x <0)．[尝试解答] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2.又因为f (x )在区间端点处的取值为 f (－3)＝0，f (3)＝－18. 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 练一练1．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1，1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1，1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12， x ＝1时，f (x )取最大值为2. (2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32.。
