2014-2015年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2014-2015学年安徽省宣城市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数（1﹣）（1+i）=（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i2．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=6B．a=5C．a=4D．a=73．（5分）若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1D．24．（5分）已知命题p：∀x＞0，2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，2x≤1B．∃x0＞0，2≤1C．∃x0＞0，2＞1D．∃x0＞0，2≥15．（5分）若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．[﹣2，0]D．（﹣2，0）6．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．7．（5分）若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A．3B．1C．0或D．1或﹣3 8．（5分）若y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值巍峨﹣2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点（0，1），则其解析式是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）9．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）10．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）如图，是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．12．（5分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为．13．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．14．（5分）在△ABC中，BC=6，BC边上的高为2，则•的最小值为．15．（5分）关于几何体有以下命题①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．其中正确的有．（请把正确命题的题号写上）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．17．（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求的A1到平面AB1D的距离．18．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．19．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．21．（13分）已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=f（x）+λx2≤0，求λ的取值范围．2014-2015学年安徽省宣城市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数（1﹣）（1+i）=（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i【解答】解：（1﹣）（1+i）==（1+i）2=2i．故选：D．2．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=6B．a=5C．a=4D．a=7【解答】解：执行程序框图，有S=1，k=1不满足条件k＞a，有S=1+，k=2；不满足条件k＞a，有S=1++，k=3；不满足条件k＞a，有S=1+++，k=4；不满足条件k＞a，有S=1++++=，k=5；此时，应该满足条件k＞a，退出循环输出S的值为．故a的值应为4．故选：C．3．（5分）若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1D．2【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即A（0，1）．将A（0，﹣1）的坐标代入z=2x﹣y，得z=0﹣（﹣1）=1，即目标函数z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，2x≤1B．∃x0＞0，2≤1C．∃x0＞0，2＞1D．∃x0＞0，2≥1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以￢p为：∃x0＞0，2≤1．故选：B．5．（5分）若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．[﹣2，0]D．（﹣2，0）【解答】解：由（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，解得：a≤x≤a+2，由集合的包含关系知：（其中等号不同时成立），∴a∈[0，2]，故选：B．6．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=42=+BC2﹣2×4×BC ×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，AC=BC，∠B=∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∠C=120°，△ABC的面积为•AB•BC•sinB=•4•4•=4．当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选：C．7．（5分）若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A．3B．1C．0或D．1或﹣3【解答】解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；当a=﹣时，两条直线分别化为：3x﹣5y+6=0，5x=﹣4，此时两条直线不互相垂直．当a≠﹣，1时，两条直线分别化为：﹣，+．∵直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴=﹣1，解得a=﹣3或1（舍去），综上可得：a=﹣3或1．故选：D．8．（5分）若y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值巍峨﹣2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点（0，1），则其解析式是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由函数的最小值为﹣2可得，A=2，因为图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，可得T=4π，根据周期公式可得ω==，所以有：y=2sin（x+φ），又图象过点（0，1），代入可得sinφ=，且|φ|＜，所以可解得：φ=，所以可得：y=2sin（x+）．故选：A．9．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解，即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立；设函数f（x）=﹣x，x∈[1，5]，∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数，且f（x）的值域为[﹣，1]，要a＞﹣x在x∈[1，5]上有解，则a＞﹣，即实数a的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．10．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能【解答】解：设A（﹣，a），则直线AF的中垂线方程为y=（x﹣），即2px=2ay﹣p2，代入y2=2px，可得y2﹣2ay+p2=0，∴△=0，∵线段FA的中垂线与抛物线相切．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）如图，是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为8π．【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，直三棱锥的高是2，底面的直角边长为，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，故外接球的表面积是4πR2=8π，故答案为：8π．12．（5分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为8．【解答】解：椭圆中，a=2，b=1，c=，∴为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，∴△ABM的周长为4a=8故答案为：813．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为84．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故答案为：84．14．（5分）在△ABC中，BC=6，BC边上的高为2，则•的最小值为﹣5．【解答】解：如图所示，设BC边上的高为AD=2，∵=+，∴=•（+）=+=||•||cosα+||•||•cos（π﹣B）═||•||cosα﹣||•||•cosB=+（﹣||•||）=﹣||•||．令||=x，0＜x＜6，则||=6﹣x，∴则•=22﹣（6﹣x）x=x2﹣6x+4，故当x=3时，则•取得最小值为9﹣18+4=﹣5，故答案为：﹣5．15．（5分）关于几何体有以下命题①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．其中正确的有③．（请把正确命题的题号写上）【解答】解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误．有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故②错误．根据棱锥的定义，可得③正确．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，若侧棱的延长线不能教交与一点，则该几何体不是棱台，故④错误．根据一个直角三角形绕其一个直角边边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，可得⑤不正确，故答案为：③．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）…4分∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）∈[﹣1，2]…6分（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）化简可得：sinC=2sinA，…9分∴由正弦定理可得：c=2a，∵b=，∴由余弦定理可得：cosA===∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分所以可得：f（B）=1…12分17．（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求的A1到平面AB1D的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，在△BA1C中，O为BA1中点，D为BC中点，∴OD∥A1C…（3分）∵OD⊂面AB1D，∴A1C∥平面AB1D…（6分）（Ⅱ）解：由①可知A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离…（8分）∵△AD1B为Rt△，∴…（10分）设点C到面AB 1D的距离为h，则即解得…（12分）18．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．【解答】解：（1）设点F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0）（c＞0），则，故，解得c=4，所以，所以，所以椭圆E的方程为．（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则，因为，所以，即mn=﹣9，又因为圆C的圆心为，半径为，所以圆C的方程为，即（x﹣5）2+y2﹣（m+n）y+mn=0，即（x﹣5）2+y2﹣（m+n）y﹣9=0，令y=0，可得x=8或2，所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．19．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．21．（13分）已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=f（x）+λx2≤0，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（1﹣x）e x﹣1．∴f′（x）=﹣xe x，当x=0时，f′（x）=0；当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减；故f（x）max=f（0）=0．（Ⅱ）由g（x）=（1﹣x）e x+λx2﹣1，得g′（x）=﹣x（e x﹣2λ）．当λ≤0时，由（Ⅰ）得g（x）=f（x）+λx2≤f（x）≤0成立；当时，因为x∈（0，+∞）时g′（x）＜0，所以x≥0时，g（x）≤g（0）=0成立；当时，因为x∈（0，ln2λ）时，g′（x）＞0，所以g（x）＞g（0）=0．综上，知λ的取值范围是．。

A 2014/2015学年第一学期高二年级联考数 学 试 卷台体的体积公式 ()h S S S S V 212131++=(为下底面积为上底面积，21S S ) 一、选择题(每题5分，共10题)1. 已知直线a 、b ，且a ∥α，b ⊂α，则（ ）A ．a ∥bB ．a 与b 相交C ．a 与b 异面D ．a 与b 平行或异面2. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个边长为a 的正方形，那么原平面四边形的面积等于 （ ） A ．a 42 B ．a 22 C ．a 22 D ． a 322 4.在空间四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取H G F E 、、、四点,如果EF与HG 交于点M ，则（ ） A ．M 一定在直线BD 上 B ．M 一定在直线AC 上C ．M 可能在AC 上，也可能在BD 上 D ．M 不在AC 上，也不在BD 上 5.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1AA ⊥面111C B A ，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（ ）D.46. 在正方体1111D C B A A B CD-中与1AD 成︒60角的面对角线的 条数是（ ）A ．4条 B.6条 C.8条 D.10条 7．下列推断错误的是 （ ） A ．一条直线与两个平行平面所成的角相等B ．两个平行平面与第三个平面所成的角相等C ．两条平行直线与同一个平面所成的角相等D ．两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行8.设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是 （ ） A. 若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥ B. 若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥C. 若αβ⊥，m α⊥，则//m βD. 若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β 9（文） 如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是 底面正三角形的中心）中，,,D E F分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ）A 030B 090C 060D 随P 点的变化而变化9（理）．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，则异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A.55B.552C.522 D.522-10.如图所示,在正四棱锥ABCD S - (顶点S 在底面ABCD 上的射影是正方形ABCD 的中心)中,E 是BC 的中点,P 点在侧面SCD ∆内及其边界上运动,并且总是保持AC PE ⊥.则动点P 的轨迹与SCD ∆组成的相关图形最有可能是图中的 （ ）.二、填空题（每小题5分，共5题）11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是_______12.直角梯形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ,BC AD //，2,1===BC AD AB ,把直角梯形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积为_____13．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，1,21===AA BC AB ，则1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为________ 14．如图所示，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．15.（文）已知P 为ABC ∆所在平面外一点，且PC PB PA ,,两两垂直，则下列结论：①BC PA ⊥;②AC PB ⊥;③AB PC ⊥;④BC AB ⊥.其中正确的是______（写出所有正确的命题的序号）15.（理）在三棱锥ABC T -中，TC TB TA ,,两两垂直，T 在底面ABC 内的正投影为D ，下列结论：①D 一定是ABC ∆的垂心； ②D 一定是ABC ∆的外心；③ABC ∆是锐角三角形；④22221111TC TB TA TD ++=；其中正确的是______（写出所有正确的命题的序号）三、解答题（6题，共75分）（13题）（14题）16. (本题满分12分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示. (1)请画出该几何体的直观图； （2）求它的表面积和体积.17．(本题满分12分)如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点．(1)求证：ABE B A 平面//11；(2)求证：AE D B ⊥11.18. （本题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，PA AD ⊥ ，G F E ,,分别是线段 , , PA PD CD 的中点. 求证：（1）面PBC //平面EFG ；（2）平面EFG ⊥平面PAB .19．（本题满分13分）三棱锥P ABC -中△PAC 是边长为4的等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，090ACB ∠=，平面PAC ⊥面 ABC ，E D 、分别为AB 、PB 的中点。

2014-2015学年安徽省宿州市高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）已知f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，则f（﹣1）=．2．（5分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为．3．（5分）在直角坐标系中，直线的斜率是．4．（5分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于．5．（5分）经过点（﹣1，0），且与直线x+y=0垂直的直线方程是．6．（5分）以A（2，0），B（0，4）所连线段为直径的圆的方程是．7．（5分）直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是．8．（5分）直线x+2y﹣3=0关于直线x=1对称的直线的方程是．9．（5分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为．10．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．11．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）已知一个球体的半径为1cm，若使其表面积增加到原来的2倍，则表面积增加后球的体积为．13．（5分）设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；上述命题中，其中假命题的序号是．14．（5分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为．二．解答题（本题总计80分）15．（12分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l 1∥l2？（2）l1⊥l2？16．（12分）求过点A（5，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．17．（14分）已知圆的方程是x2+y2=5，且圆的切线满足下列条件，求圆切线方程：（1）过圆外一点Q（3，1）；（2）过圆上一点P（2，1）．18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD．（1）求证：AQ∥平面CEP；（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP．19．（14分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），B（3，1），C（4，6），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，（1）求直线CM的方程；（2）求点P的坐标．20．（14分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年安徽省宿州市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）已知f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，则f（﹣1）=6．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，∴，解得a=﹣3，b=2．∴f（x）=x2﹣3x+2，∴f（﹣1）=1+3+2=6．故答案为：6．2．（5分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4} ．【解答】解：依题意得，解得﹣2≤x＜4．故函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4}．故答案为：{x|﹣2≤x＜4}．3．（5分）在直角坐标系中，直线的斜率是．【解答】解：∵直线即y=﹣x+3∴直线的斜率为﹣故答案为：﹣4．（5分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于2．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，∴它们的斜率相等，∴=﹣1∴a=2故答案为：2．5．（5分）经过点（﹣1，0），且与直线x+y=0垂直的直线方程是x﹣y+1=0．【解答】解：设与直线x+y=0垂直的直线方程为x﹣y+c=0，把点（﹣1，0）代入，得：﹣1﹣0+c=0，解得c=1．∴经过点（﹣1，0），且与直线x+y=0垂直的直线方程是x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．6．（5分）以A（2，0），B（0，4）所连线段为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：设圆心为C（a，b），由A（2，0）、B（0，4）结合中点坐标公式，得a==1，b==2，可得C（1，2）∵|AB|==2，∴圆的半径r=|AB|=，因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．7．（5分）直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是4．【解答】解：∵直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+15=0平行，∴利用两条平行线间的距离公式，可得=4故答案为：48．（5分）直线x+2y﹣3=0关于直线x=1对称的直线的方程是x﹣2y+1=0．【解答】解：直线x+2y﹣3=0和直线x=1的交点A（1，1），由于所求直线的斜率和直线x+2y﹣3=0的斜率互为相反数，故所求直线的斜率为，故所求直线的方程为y﹣1=（x﹣1），即x﹣2y+1=0，故答案为：x﹣2y+1=0．9．（5分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为±2．【解答】解：由题意可得直线的方程y=x+a根据直线与圆相切的性质可得，∴a=±2故答案为：±210．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．11．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为1．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，，侧棱与底面垂直，侧棱长是∴几何体的体积是=1故答案为：1．12．（5分）已知一个球体的半径为1cm，若使其表面积增加到原来的2倍，则表面积增加后球的体积为．【解答】解：设表面积增加前后球的半径分别为r、R，则∵球的表面积增加到原来的2倍，∴4πR2=2×4πr2，解之得R=r．∵r=1，∴R=∴表面积增加后球的体积为V=R3=故答案为：．13．（5分）设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；上述命题中，其中假命题的序号是①③．【解答】解：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①不正确；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故②正确；③若m∥α，n∥α，则m与n平交、平行或异面，故③不正确；④若m⊥α，n⊥α，由直线平行于平面的性质定理知m∥n，故④正确．故答案为：①③；14．（5分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为10．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y=0 即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10 表示以M（1，3）为圆心，以为半径的圆．由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，AC的长为2．∵点E（0，1），∴ME==．弦长BD最短时，弦BD和ME垂直，且经过点E，此时，BD=2=2=2．故四边形ABCD的面积为=10，故答案为10．二．解答题（本题总计80分）15．（12分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？【解答】解答：由（m+2）（2m﹣1）=6m+18得m=4或m=﹣；当m=4时，l1：6x+7y﹣5=0，l2：6x+7y=5，即l1与l2重合；当m=﹣；时，l1：﹣x+y﹣5=0，l2：6x﹣6y﹣5=0，即l1∥l2．∴当m=﹣时，l1∥l2．（2）由6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）=0得m=﹣1或m=﹣；∴当m=﹣1或m=﹣时，l1⊥l2．16．（12分）求过点A（5，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．【解答】解：设所求的直线l方程为x﹣y+m=0，或y=kx．把点A（5，2）代入上述方程可得：m=﹣3或k=．故所求的直线l方程为x﹣y﹣3=0，或y=x．17．（14分）已知圆的方程是x2+y2=5，且圆的切线满足下列条件，求圆切线方程：（1）过圆外一点Q（3，1）；（2）过圆上一点P（2，1）．【解答】解：（1）若直线不与x轴垂直时，设切线方程为y﹣1=k（x﹣3 ），则圆心（0，0 ）到切线的距离等于半径即=，解得k=2或k=﹣若直线与x轴垂直时，x=3，与圆相离，不合题意；综上所述，所求的切线方程是：x+2y﹣5=0，2x﹣y﹣5=0；（2）过圆上一点P（2，1）的切线斜率为﹣2，切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5=0．18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD．（1）求证：AQ∥平面CEP；（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP CQ．∴AQCP为平行四边形．∴CP∥AQ．∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP．（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，∴AQ⊥EP．∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD．连PQ，ADQP为正方形．∴AQ⊥DP．又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ⊂平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．19．（14分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），B（3，1），C（4，6），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，（1）求直线CM的方程；（2）求点P的坐标．【解答】解：（1）∵A（1，1），B（3，1），点M是线段AB的中点，∴M（2，1）．又C（4，6），∴k CM=．∴直线CM的方程为，化为5x﹣2y﹣8=0．（2）x D=4﹣（3﹣1）=2，∴D（2，6）．∴，∴直线BD的方程为y﹣1=﹣5（x﹣3），化为5x+y﹣16=0．联立，解得．∴．20．（14分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设⊙C的方程为（x﹣m）2+y2=25（m＞0），由题意设，解得m=1．故⊙C的方程为（x﹣1）2+y2=25．（2）由题设知，故12a2﹣5a＞0，所以，a＜0，或．故实数a的取值范围为．（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称．∴PC⊥AB，又a＜0，或，即，∴，∴存在实数，满足题设．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2014-------2015学年度第二学期期末考试参考答案及评分标准高二数学（文）一、选择题1、C2、B3、B4、 D5、 C6、 A7、 A8、C9、 C10、C11、 C12、 C二、填空题(13)2(14)2(15) 4836(16) ①②③三、解答题17．（本小题满分10 分）已知A x x24x0 ,B x x 22(a1)x a 210，其中 a R ，如果【解析】化简得A A∩ B=B ，求实数a的取值范围。

0, 4 ，∵集合 B 的元素都是集合 A 的元素，∴B A 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⑴当 B时，4(a 1)24(a 21) 0 ，解得a 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⑵当B0或 4时，4(a 1)24(a2 1) 0 ，解得a 1 ，此时 B0，满足B A ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4(a1)24(a21)0⑶当B 0, 4 时，2(a1)4，解得 a 1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1或者 a 1 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．（本小题满分 12 分 , 每个小题 6 分）60 ；（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于（2）已知n 0，试用分析法证明：n2n 1n 1n .【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60 ，即均小于 602分则三内角和小于180，4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾，故假设不成立，原命题成立；6分（2）要证上式成立，需证n 2n2n 1需证 ( n 2n )2(2 n 1)28 分97.5%需证 n1n22n需证 (n1) 2n22n需证 n22n1n 22n10 分只需证 10因为 10 显然成立，所以原命题成立.12分考点：（ 1）反证法；（2）分析法 .19．（本小题满分12 分）对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？K 2n( ad bc)2附：(a b)(c d )( a c)(b d )P(K2 ≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.076 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】将列联表补充完整有：有心理障碍没有心理障碍 ]总计女生102030男生107080总计2090110K 2n( ad bc)2，故选择k0 5.024 较由(a b)(c d )(a c)(b d ) ,计算可得K2 6.366 5.024为合适 .10分因此，在犯错的概率不超过0.025 的前提下认为心理障碍与性别有关，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关.12 分考点：独立性检测 .20．（本小题满分12 分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月 7日4月15日4月 21日4月30日温差 x / C101113128发芽数 y / 颗2325302616（1）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中??的另三天的数据，求出y 关于的线性回归方程y b xx；?（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：n? bx i y i nx y? i1，a y bx ）n2?2x i nxi1【解析】 (1)由数据得 x12, y27 ，3x y972 ，3977 ，322 x i y i x i434 ， 3x432 i 1i 1由公式，得?9779725?5b27123 43443222所以 y 关于 x 的线性回归方程为?53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x2（ 2）当x 10时， ?， |22-23|2，当x 8时， ?|17-16|2，所以得到的线y 22y 17,性回归方程是可靠的 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．（本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当x＞0时，f ( x) ＜0，又 f (1)2。

文科答案一、选择题二、填空题11. (-3, -2)∪(0, +∞) 12. 45o 13. 4 14. 4 15. ②④三、解答题16. 若p 真，则2min ()a x ≤，[1,2]x ∈即1a ≤； …………2分 若q 真，则2(1)40a ∆=-->,即3,a >或1a <-； …………4分 若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 与q 为一真一假; …………6分 当p 真q 假时，有11a -≤≤； …………8分 当p 假q 真时，有3a >. …………10分 故当p 或q 为真，p 且q 为假时，11a -≤≤或3a >。

…………12分17. (I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列. …………6分(II)若1,2a c ==，则22b ac ==， ∴2223cos 24a cb B ac +-==，从而sin B ==， ∴△ABC的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=. …………12分 18. 解：设生产书桌x 张，书橱y 个，可获利润z 元。

则由题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≤+≤+Ny y N x x y x y x 且且0060292.01.0 …………3分目标函数为 y x z 6040+= …………5分 作出可行域如图…………9分由⎩⎨⎧=+=+60292.01.0y x y x 得)40,10(A …………11分由上图可知最优解为)40,10(，所以当生产书桌10张，书橱40个时获得的利润最大。

…………12分 19.（I ）2'()369.f x x x =-++ 令'()0f x <,解得1x <-或3,x >所以函数()f x 的单调递减区间为(,1),(3,).-∞-+∞ …………5分 （II ）因为(2)812182,f a a -=+-+=+(2)8121822,f a a =-+++=+所以(2)(2).f f >-因为在(1,3)-上'()0f x >,所以()f x 在[1,2]-单调递增,又由于()f x 在[2,1]--上单调递减,因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值.于是有2220a +=,解得 2.a =- 故32()39 2.f x x x x =-++- 因此(1)13927.f -=+--=-即函数()f x 在区间[2,2]-上的最小值为7-. …………13分20. (I)令1n =，1123S a =- ∴13a =，又1123(1)n n S a n ++=-+, 23n n S a n =-,两式相减得11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+ …………4分(II)按照定理：2,3A B ==，∴{3}n a +是公比为2的等比数列。

2014-2015学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆锥C．一个圆柱、两个圆锥D．两个圆台、一个圆柱2．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n3．（3分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1B．﹣1C．5D．﹣54．（3分）用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2y﹣2=0相切，则实数m=（）A．或﹣B．﹣或3C．﹣3或D．﹣3或3 6．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．8C．10D．67．（3分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1B．（x﹣2）2+（y+1）2=4C．（x+4）2+（y﹣2）2=1D．（x+2）2+（y﹣1）2=18．（3分）正三棱柱有一个半径为cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A．9cm3B．54cm3C．27cm3D．18cm3 9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在斜率为k的直线上，若|AB|=a，则|y2﹣y1|等于（）A．|ak|B．a C．D．10．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（3分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1B．5﹣4C．6﹣2D．12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是．14．（4分）如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是．15．（4分）已知5x+12y=60，则的最小值为．16．（4分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于．17．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18．（7分）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．19．（8分）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点．证明：FE、HG、DC三线共点．20．（9分）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．21．（10分）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．22．（10分）已知实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣4）2=1，求的取值范围．2014-2015学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆锥C．一个圆柱、两个圆锥D．两个圆台、一个圆柱【解答】解：等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰当较长的边是下底时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆柱、两个圆锥当较长的边是腰时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆锥，一个圆台再挖掉一个圆锥故选：C．2．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．3．（3分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5【解答】解：∵过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，∴tan135°==﹣1，解得y=﹣5．故选：D．4．（3分）用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：用一个平行于水平面的平面去截球，截得的几何体是球缺，根据俯视图的定义，几何体的俯视图是两个同心圆，且内圆是截面的射影，∴内圆应是虚线，故选：B．5．（3分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2y﹣2=0相切，则实数m=（）A．或﹣B．﹣或3C．﹣3或D．﹣3或3【解答】解：圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=3，圆心坐标为（0，1），半径为，若直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=，即|m﹣|=2，解得m=﹣或3，故选：B．6．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．8C．10D．6【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，△PAC都是直角三角形；②∵∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．④由三垂线定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．综上可知：直角三角形的个数是8个．故选：B．7．（3分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1B．（x﹣2）2+（y+1）2=4C．（x+4）2+（y﹣2）2=1D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选：A．8．（3分）正三棱柱有一个半径为cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A．9cm3B．54cm3C．27cm3D．18cm3【解答】解：∵正三棱柱有一个半径为cm的内切球，∴由题意知正三棱柱的高为2cm，底面正三角形的内切圆的半径为cm，底面正三角形的边长为6cm，∴正三棱柱的底面面积为9cm2，故此正三棱柱的体积V=9=54（cm3）．故选：B．9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在斜率为k的直线上，若|AB|=a，则|y2﹣y1|等于（）A．|ak|B．a C．D．【解答】解：k≠0时，由弦长公式可得：|AB|=|y2﹣y1|，∴|y2﹣y1|=．当k=0时，上式也成立．∴|y2﹣y1|=．故选：D．10．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如下图所示：∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，∴MN∥AD1，∵∠CMN=90°，∴CM⊥MN，∴CM⊥AD1，由长方体的几何特征，我们可得CD⊥AD1，∴AD1⊥平面CDM故AD1⊥DM即异面直线AD1与DM所成的角为90°故选：D．11．（3分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1B．5﹣4C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是6或﹣2．【解答】解：因为点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，所以|AB|==2，解得x=6或x=﹣2，则实数x的值是6或﹣2．故答案为：6或﹣2．14．（4分）如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是5．【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=2，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．故其面积S=（2+3）×2=5．故答案为：5．15．（4分）已知5x+12y=60，则的最小值为．【解答】解：表示直线l：5x+12y=60的点Q与点P（4，0）的距离，因此当且仅当PQ⊥l时取得最小值d==．故答案为：．16．（4分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，2），C1（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），∴=（1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，1，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，取=（﹣2，2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故答案为：．法二：几何法：如图：取BD的中点O，连接C1O，作CO′⊥C1O．可证CO′⊥平面BDC1．设AB=2，则AA1=4，易求CO′=．CD与平面BDC1所成角为：sin∠CDO′===．17．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18．（7分）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．【解答】解：（1）x=1显然符合条件；（2）当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，得到直线AB与所求的直线平行，k AB=4，所以所求的直线斜率为4，∴y﹣2=4（x﹣1），化简得：4x﹣y﹣2=0，所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2=0，或x=119．（8分）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点．证明：FE、HG、DC三线共点．【解答】解：如图所示，设EF与DC共点于S'，DC与HG共点于S''，RT△CFS'≌RT△BFE，得到CS'=BE=AB，RT△CGS''≌RT△C1GH，得到CS''=C1H=C1D1，则，CS'=CS''（即S'与S''是同一个点），∴EF、GH、DC三线共点．20．（9分）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．【解答】解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1；又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，由此有或解方程组得或，于是r2=2b2=2，所求圆的方程是：（x+1）2+（y+1）2=2，或（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．21．（10分）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．【解答】解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC∴PE2=PC2﹣CE2=3（3 分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）可得PA2=PE2﹣AE2=2，即（5 分）因此，正视图的面积为（6 分）（2）由（1）可知，四棱锥P﹣ABCD的高为PA，，（7 分）底面积为（8分）∴四棱锥P﹣ABCD的体积为（10 分）（3）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）∵在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=2，在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2（12 分）∴BC2=4=AB2+AC2，可得△BAC是直角三角形（13 分）∴AC⊥AB．由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）22．（10分）已知实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣4）2=1，求的取值范围．【解答】解：当x=0时，=0；当x≠0时，=，∵动点落在（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，∴可令x=1+cosθ，y=4+sinθ，令=t，则t==，即t表示经过圆x2+y2=1与定点（﹣1，﹣3）的直线l的斜率，设直线l的方程为：tx﹣y+t﹣3=0，由1=，解得t=，∴t=∈[，+∞），∴+≥，当且仅当y=±x﹣1时等号成立，∴0＜≤，综上所述，0≤≤．。