2018-2019学年人教版高中数学选修2-1课件：第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质

[活学活用] 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x． 2 x2 y2 y2 x2 解：(1)设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b a b
c 5 由题意知 2b＝12，a＝ 且 c2＝a2＋b2， 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1． 64 36 64 36
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先 化成标准方程，确定方程中 a，b 的对应值，利用 c2＝a2＋b2 得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何 性质．
[活学活用]
求双曲线 9x2－y2＝81 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离 心率和渐近线方程．
2 2 2 2 x y x y 解：将 9x2－y2＝81 变形为 － ＝1，即 2－ 2＝1． 9 81 3 9
性 质
图形
焦点 焦距
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
标准方程 范围 性 对称性 质 顶点 轴
x2 y2 y2 x2 － ＝1 － ＝1 a2 b2 a2 b2 (a>0，b>0) (a>0，b>0) R y≤－a 或 y≥a ， x≤－a或 x≥a， R y∈___ x∈__ 对称轴： 坐标轴 ；对称中心、 原点
∴实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝18； 顶点坐标为(3,0)，(－3,0)； 焦点坐标为(3 10，0)，(－3 10，0)； 离心率 e＝ 10，渐近线方程为 y＝± 3x．
由双曲线的几何性质求标准方程
[典例] x2 2 求过点(2，－2)且与 －y ＝1 有相同渐近线的双 2
曲线的标准方程．
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴：线段 A1A2 ，长： 2a ；
虚轴：线段 B1B2 ，长： 2b ； a ，半虚轴长： b 半实轴长： 性 c 质 离心率 a ∈ (1，＋∞) e＝____ b a y＝± x y＝± x 渐近线 a b ________ __________
3 (2)设以 y＝± x 为渐近线的双曲线方程为 2 x2 y2 － ＝λ(λ≠0)， 4 9 9 当 λ>0 时，a ＝4λ，∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝ ． 4
2Leabharlann 当 λ<0 时，a2＝－9λ，∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1． x2 4y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1． 9 81 9 4
实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[ 解]
x2 y2 双曲线的方程化为标准形式是 － ＝1， 9 4
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13． 又双曲线的焦点在 x 轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)， 实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4， c 13 2 离心率 e＝a＝ ，渐近线方程为 y＝± x． 3 3
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定 a，b 的值和焦点所在的坐标轴， 若给出双曲线的顶点坐标或焦点 c 坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合 c ＝a ＋b 及 e＝a
2 2 2
列关于 a，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程． b (2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y＝± ax，那么此双 x2 y2 曲线方程可设为 2－ 2＝λ(λ≠0)． a b
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) x2 y2 (1)双曲线 － ＝1 的焦点在 y 轴上 2 4 (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔 (3)以 y＝± 2x 为渐近线的双曲线有 2 条
答案：(1)× (2)√ (3)×
( ( (
) ) )
2．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是 A．2 C．4 B． 2 2 D．4 2
2．3．2
双曲线的简单几何性质
预习课本 P56～60，思考并完成以下问题
1．双曲线有哪些几何性质？
2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？
3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？
[新知初探]
1．双曲线的几何性质 x2 y2 标准 － ＝1 a2 b2 方程 (a>0，b>0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0)
(
)
答案：C
x2 y2 3．双曲线 － ＝1 的渐近线方程为 16 9 A．3x± 4y＝0 C．9x± 16y＝0 B．4x± 3y＝0 D．16x± 9y＝0 ( )
答案：A
3 4．双曲线的渐近线方程为 y＝± x，则离心率为________． 4
5 5 答案： 或 4 3
双曲线的几何性质
[典例] 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、 焦点坐标、
2．等轴双曲线 实轴和虚轴 等长 的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线
e＝ 2 ． x ，离心率为_______ 是 y＝±
[点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置； (2) 双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大 小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
[小试身手]
[解] b 2 法一：当焦点在 x 轴上时，由于a＝ ． 2
x2 y2 故可设方程为 2－ 2＝1， 2b b 代入点(2，－2)得 b2＝－2(舍去)； a 2 当焦点在 y 轴上时，可知b＝ ， 2
y2 x2 故可设方程为 2－ 2＝1， a 2a 代入点(2，－2)得 a2＝2． y2 x2 所以所求双曲线方程为 － ＝1． 2 4 x2 2 法二： 因为所求双曲线与已知双曲线 －y ＝1 有相同的渐 2 x2 2 近线，故可设双曲线方程为 －y ＝λ(λ≠0)， 2 代入点(2，－2)得 λ＝－2， x2 2 所以所求双曲线的方程为 －y ＝－2， 2 y2 x2 即 － ＝1． 2 4
双曲线的离心率
x2 y2 [典例] (山东高考)过双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐 a b 近线平行的直线，交 C 于点 P．若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为________．