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空间向量及其加减与数乘运算

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空间向量加减数乘及数量积运算解读

空间向量加减数乘及数量积运算解读

3.共面向量定理及推论
b
O
C
p
P
A a
B
①点 P 在平面 上 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb
② 点 P 在平面 ABC 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC
是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC
点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC , 则点 P 在平面 ABC 内（ x y z 1 .）
例.如图，线段AB, BD在平面内，BD AB, AC , AB a, BD b, AC c, 求C , D之间的距离 以及异面直线CD与AB所成的角的余弦值。
D
D
C
A
B
F A E B C
例3
在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E在A1 D1上，且 2 A1 E 2 ED1 , F 在对角线A1C上，且A 1 F FC 3 求证：E,F,B三点共线 D1
A1 E C1 B1 F
D
A B
C
解： AC AC AB, AC BD
CD CA AB BD
C
2


2
CA AB BD 2CA AB
2
2
2
c b D
2CA BD 2 AB BD
a
c a b2 2来自2AB
CD c 2 a 2 b2
CD AB CA AB BD AB
空间向量 加减、数乘 及数量积运算
1.共面向量
平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

空间向量

空间向量

1一、空间向量及其加减与数乘运算1.定义：在 ，我们把 ，叫做空间向量.____________叫做向量的长度或模.2.几个概念：零向量、单位向量、相反向量、相等的向量 3.向量的运算1、类似于平面向量，定义空间向量的加法运算如下：三角形法则、平行四边形法则推广:. 2.实数λ与a 的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为： (1)长度是 .(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . 二．【典例分析】 例1.判断下列命题的真假（1）若空间向量||||=，则b a =（2）零向量没有方向。

（3）零向量与任意向量共线。

（4) 若空间中向量,,，满足//,//，则//（5）若空间向量,,,p n m 满足p n n m ==,，则p m= （6）若0 =a λ，则0=λ或0 =a例2.已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++；③12AB AD CC '++ ； ④ 1()3AB AD AA '++例3. M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB ，CD 的中点，求证：1()2MN AD BC →→→=+变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，求证：1()3AG AB AC AD =++ .=++++-n n A A A A A A A A 14332212二、空间向量基本定理（一）、共线向量：表示空间向量的基线________或_______的向量.共线向量定理:对空间任意、(≠0), ∥两个向量的充要条件是存在实数λ,使_________.（二）、共面向量：平行于__________平面的向量.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量与向量a ,b 共面的充要条件是存在______的一对实数x,y ，使___________.（三）推论空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对（x,y ）,使得AC y AB x AP +=;或对于空间任意一点O,有AC y AB x OA OP ++=. （四）空间向量分解定理如果三个向量,,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使______________。

向量及其加减法,向量与数的乘法

向量及其加减法,向量与数的乘法
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b

本四 空间向量的数乘及其几何意义

本四 空间向量的数乘及其几何意义

(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c)
数乘分配律
k (a b) k a＋k b
作业
空间四边形ABCD中， AB a ， BC＝b ， AD c ， 试用a , b, c来表示CD， AC, BD.
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
加法交换律 加法结合律 数乘分配律
ab ba
成立吗？
k (a b) k a＋k b
加法结合律： (a b) c
O
a (b c)
O
a
C
A
a b
A
+
c
C
b
B
c
b
B
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明
b a
向量加法的平行四边形法则
终要 点让 相向 b 接量 指两 向相 a 前减 向量减法的三角形法则 ，
a
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：
ab ba (a b) c a (b c) k (a b) k a＋k b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
①( AB + BC )+ CC1 ;②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 ;③( AB + BB1 )+ B1C1 ;④ ( AA1 + A1B1 )+ B1C1 .
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0

空间向量加减运算和数乘运算

空间向量加减运算和数乘运算

ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
ur
r b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
r
Aa
B
p
P
如图r ,r平面 为经过已知点 A 且平行两不共线的非零向 量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P 呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
ur
r b
C
r
Aa
B
p
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
段互相平行或重合；
r
r
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量.
r
r
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
r
r
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
r
⑶当 0 时, a 是零向量.
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
数乘分配律： (a b) a＋b 数乘结合律： (a) ()a
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
b
a
a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则(首尾相连)
三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
推广:
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
11
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?

空间向量及其运算


关键提示：利用空间向量基本定理将所求向量表示成 已知向量的形式．
立体设计·走进新课堂
第九章 立体几何初步
→ → → → 解：OB′＝OA＋AB＋BB′＝a＋b＋c， → → → → O′B＝O′O＋OA＋AB＝－c＋a＋b＝a＋b－c， → → → → AC′＝AB＋BB′＋B′C′ → → → ＝OC＋OO′＋AO＝b＋c－a， → → → → → GH＝GB＋BA＋AA′＋A′H 1 → → ＋OO′＋1A′C′ → → ＝ C′B＋CO 2 2 1 → → ＋OO′＋1AC → → ＝ O′A＋CO 2 2 1 → → )＋CO＋OO′＋1(AO＋OC) → → → → ＝ (O′O＋OA 2 2 1 1 ＝ c－ b. 2 2
立体设计·走进新课堂
第九章 立体几何初步
考点一 空间向量基本定理的应用 【案例1】 如图，长方体OABC—O′A′B′C′中， G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，若 → → → OA ＝a， OC ＝b， OO′ ＝c，用a、b、c表示如下向量： → → → → OB′、O′B、AC′、GH.
立体设计·走进新课堂
第九章 立体几何初步
4．在空间直角坐标系中，若点P的坐标为(x，y，z)， → 则向量OP的坐标为(x，y，z)． 二、空间向量的坐标运算 1．一条直线的方向向量有无数个． 2．所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的 向量，一个平面的法向量也有无数个． 3．若直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法 向量是v＝(a2，b2，c2)，则有：
立体设计·走进新课堂
第九章 立体几何初步
【即时巩固2】 如图所示，在60°的二面角α－AB－β
中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、 B，已知AB＝AC＝BD＝a，求线段CD的长．

基础考试高等数学之向量及其运算


OA x i ，
OB y j ，
OC z k 。
由向量的加法得
z
zC
x
i
k
o
j
xA
OM OA AQ QM OA OB OC
即 OM xi yj zk 。
①
M (x, y, z)
y
B
y
Q
①式称为向量 OM 的坐标表示式，记作 OM x , y, z
或 OM (x , y, z ) ，其中(x , y, z) 称为向量OM 的坐标 。
(a ybz azby )i (axbz azbx ) j (axby a ybx )k ，
即若
a
{a x
,
a
y,
az
}、b
{bx
,by
,
bz
}
，
i jk
则
ab
ax
ay
az 。
bx by bz
若
a
{a x
,ay
,az}、b
{bx
,by
, bz }
为两非零向量，则
a ∥b
ab 0
零向量：模等于零的向量，记作 0 ，其方向不定。
负向量：模为
a
而方向与
a
相反的向量，记作
a
。
若
a
与
b
的
方向相同或相反，则称
a
与
b
平行或共线，
记作
a
∥b
。
显然零向量0 与任何向量
a
都平行。
不论
a
与
b
起点是否一致，若它们的方向相同，模
相等，则称 a
与

空间向量及其加减数乘运算(北师大版选修2-1)

E C
B
A
D C
B
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 数乘
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka
ka
CA OA OC
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
B
b
O
b
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
C1
B1
a
D A C
B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量
a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1

高二数学——空间向量全部课件共面定理


（2）求证：面ABCD∥EFGH。
D
C
A
B
H
G
E
F
组ur（x，ry）使r得： p = xa + yb
则三个向量共面
rr 共 么面upr 定与理ar：, br 如共果面a的, b充两要个条向件量是不存共在线一，对那
有序实数组（ur x，yr）使得r： p = xa + yb
例1：已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平
面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，
AE上，且BD=3BM，AE=3AN，求证：
MN∥平面CDE。 F
E
N
A
D
M B
例2：设空间任意一点O和不共线的三点A，
B，Cu，uur若点Pu满uur足关系uuur uuur OP = xOA + yOB + zOC
（x+y+z=1）试问：P，A，B，C四点是 否共面？
例向3量:已知OuuEu平r 行kO四uuAur边,Ouu形Fur ABkCOuDuB，ur ,Ou从uGur平面kOuAuCuCr外,Ouu一Hur 点 kOOu引uDur 求证（1）四点E、F、G、H共面； O
共面向量定理
复习
1.空间向量的定义；
2.空间向量的加减法则；
3. 空间向量的加法和数乘运算满足运算律:
rr rr (1)a + b = b + a
rr r r rr (2)(a + b) + c = a + (b + c)
rr r r (3)l (a + b) = l a + l b
4.平面向量的共线定理。
新授
D1 A1
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3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算
教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握
空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。

（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思
想方法，并体验数学在结构上的和谐性。

教学重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

教学难点：空间向量加减法和数乘运算律的灵活应用。

一．新知预习
1.在 ，我们把 ，叫做空间向量.
____________叫做向量的长度或模.
2.与平面向量一样，空间向量也用 表示，此表示法为空间向量的 . 如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ，
也可记作 .其模长记为__________或 .
3. 叫做零向量，记为 ,
零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB =
4. 的向量称为单位向量.
5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .
6. 的向量称为相等的向量.
因此，在空间， 的有向线段表示 或 .
7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如下：
OB = = ,
AB = = .
推广
:
. 为什么平面向量的加减法运算法则能推广到空间? 你是如何理解的?
8.空间向量的加法运算满足：
交换律： ; 结合律： .你能尝试利用图形来进行说明吗?
9.实数λ与a 的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：
(1)长度是 .
(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . =++++-n n A A A A A A A A 1433221
10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.
分配律： . 结合律： .
二．典例分析
例1、已知平行六面体,''''D C B A ABCD -化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量
堂堂清：
⑴ 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .
EF OF OE +-= .
⑵ 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.
①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++ ； ③12AB AD CC '++ ； ④ 1()3
AB AD AA '++
作业布置：
课后习题及《学海导航》
；
⑴BC AB +；
⑵'AA AD AB ++。