(全国甲卷)高考数学三轮增分练高考小题分项练4函数与导数理

高考小题分项练4 函数与导数1．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中y＝f(x)的图象大致是( )答案 C解析由函数y＝xf′(x)的图象可知：当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．故符合f(x)的图象为C.2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式e x f(x)>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)答案 A解析令g(x)＝e x f(x)－e x，∴g′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)－1]，∵f(x)＋f′(x)>1，∴g′(x)>0，∴y＝g(x)在定义域上单调递增，∵e x f (x )>e x＋3，∴g (x )>3，∵g (0)＝3，∴g (x )>g (0)，∴x >0，故选A.3．不等式e x－x >ax 的解集为P ，且(0,2]⊆P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1) D ．(e ＋1，＋∞)答案 A解析 不等式e x－x >ax 在(0,2]上恒成立，即a <(e xx －1)min ，x ∈(0,2]，令y ＝exx－1，x ∈(0,2]，则y ′＝e x x －1 x 2＝0⇒x ＝1，列表分析可得x ＝1时，y ＝e xx－1取最小值e －1，从而a 的取值范围是(－∞，e －1)， 故选A.4．若函数f (x )＝－ab ln x －a ＋1b(a >0，b >0)的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 2 C ．2 D. 2答案 D解析 f (x )＝－a b ln x －a ＋1b(a >0，b >0)， 所以f ′(x )＝－a bx，则f ′(1)＝－a b为切线的斜率， 切点为(1，－a ＋1b)， 所以切线方程为y ＋a ＋1b ＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0. 因为切线与圆相切，所以1a 2＋b2＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤2，即a ＋b 的最大值为 2.5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意的实数x 都有f (x )≥0，则f 1f ′ 0的取值范围是( )A ．[32，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[52，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵f ′(0)>0，∴b >0，又∵∀x ∈R ，都有f (x )≥0，∴a >0，∴Δ＝b 2－4ac ≤0⇔ac ≥b 24⇒ac b 2≥14⇒a b ·c b ≥14，∴c >0.∴f 1f ′ 0＝a ＋b ＋c b ＝1＋a b ＋cb≥1＋2a b ·cb≥1＋214＝2， 当且仅当a b ＝c b ＝12⇒a ＝c ＝12b >0时，等号成立，∴f 1f ′ 0的取值范围是[2，＋∞)，故选B.6．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 f ′(x )>0时，f (x )单调递增，f ′(x )<0时，f (x )单调递减．f (x )的图象如图所示，显然f (x )在(a ，b )内的极小值点只有一个．7．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f ee，b ＝f ln 2ln 2，c ＝f －3－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <a <b答案 D解析 因为xf ′(x )－f (x )<0， 所以[f x x ]′＝xf ′ x －f x x 2<0，函数f xx在(0，＋∞)上递减，又因为y ＝f (x )是奇函数，所以c ＝f －3 －3＝f 33，由3>e>ln 2知f 3 3<f e e<f ln 2ln 2，即c <a <b ，故选D.8．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现判断函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为( ) A ．(12，1)B ．(－12，1)C ．(12，－1)D ．(－12，－1)答案 A解析 依题意，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，得x ＝12，又f (12)＝1，∴函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－94D.94答案 C解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x . ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，∴f ′(2)＝－94.10．若f ′(x 0)＝－3，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh等于( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12答案 B 解析 lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝2f ′(x 0)＝－6.11．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )<e x的解集为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(4，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 D 解析 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝e xf ′ x －e xf x e x 2＝f ′ x －f xe x， ∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )是R 上的减函数． ∵函数f (x ＋2)是偶函数， ∴函数f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (0)＝f (4)＝1.∵原不等式等价于g (x )<1，∴不等式f (x )<e x等价于g (x )<g (0)． ∵g (x )是R 上的减函数，∴x >0. ∴不等式f (x )<e x的解集为(0，＋∞)． 故选D.12．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－x 2，在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p ，q ，若不等式f p ＋1 －f q ＋1p －q>1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[15，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(－∞，15]D ．(－∞，6]答案 A 解析f p ＋1 －f q ＋1p －q>1⇒f p ＋1 － p ＋1 －[f q ＋1 － q ＋1 ]p ＋1 － q ＋1>0，∴g (x )＝f (x ＋1)－(x ＋1)在(0,1)内是增函数， ∴g ′(x )>0在(0,1)内恒成立， 即ax ＋2－(2x ＋3)>0恒成立，∴a >[(2x ＋3)(x ＋2)]max ，∵x ∈(0,1)时，(2x ＋3)(x ＋2)<15， ∴实数a 的取值范围为[15，＋∞)， 故选A.13．ʃ31(4－ x －2 2＋3)d x ＝______________. 答案2π3＋3＋6 解析 令y ＝4－ x －2 2，则(x －2)2＋y 2＝4，所以ʃ314－ x －2 2d x 表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆在第一象限内1≤x ≤3部分的面积，其面积为16×4π＋2×12×1×3＝23π＋ 3.所以ʃ31(4－ x －2 2＋3)d x ＝ʃ31(4－ x －2 2)d x ＋ʃ313d x ＝2π3＋3＋(3x )|31＝2π3＋3＋6. 14．(2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ， 又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.15．如图，阴影部分的面积是________．答案323解析 联立直线y ＝2x 与抛物线y ＝3－x 2，解得交点为(－3，－6)和(1,2)．设阴影部分面积为S ，如图，则S ＝ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝－x 33－x 2＋3x |1－3＝(－13－1＋3)－(9－9－9)＝323. 16．设函数f (x )＝e x，g (x )＝ln x ＋m .有下列五个命题：①若对任意x ∈[1,2]，关于x 的不等式f (x )>g (x )恒成立，则m <e ； ②若存在x 0∈[1,2]，使得不等式f (x 0)>g (x 0)成立，则m <e 2－ln 2；③若对任意x 1∈[1,2]及任意x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)>g (x 2)恒成立，则m <e －ln 2； ④若对任意x 1∈[1,2]，存在x 2∈[1,2]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，则m <e ； ⑤若存在x 1∈[1,2]及x 2∈[1,2]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，则m <e 2. 其中，所有正确结论的序号为__________． 答案 ①②③④⑤解析 ①对任意x ∈[1,2]，关于x 的不等式f (x )>g (x )恒成立，即f (x )－g (x )>0恒成立，令F (x )＝f (x )－g (x )＝e x －ln x －m ，F ′(x )＝e x －1x>0 (x ∈[1,2])，只需F (1)＝e －m >0，即m <e ；②若存在x 0∈[1,2]，使得不等式f (x 0)>g (x 0)成立，由①可知只需F (2)＝e 2－ln 2－m >0，即m <e 2－ln 2；③若对任意x 1∈[1,2]及任意x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)>g (x 2)恒成立，即f (x )min >g (x )max ，即f (1)>g (2)，所以m <e －ln 2；④若对任意x 1∈[1,2]，存在x 2∈[1,2]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，则f (x )min >g (x )min ，即f (1)>g (1)，所以m <e ；⑤若存在x 1∈[1,2]及x 2∈[1,2]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，则f (x )max >g (x )min ，即f (2)>g (1)，所以m <e 2.。

高考小题分项练7 数 列1．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前五项的积为( )A ．±3B ．3C ．±1D ．1答案 D解析 因为a 4＝a 1q 3,3＝19×q 3，q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝(19×9)5＝1，故选D.2．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3答案 D解析 a 1＝a 2－2，a 5＝a 2＋6，∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3，故选D. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则a 2a 3等于( )A ．2 B.32 C.23 D.13答案 C解析 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3a 3＝3a 2a 3＝3＋12， ∴a 2a 3＝23.故选C. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin2n π2，则该数列的前12项和为( ) A ．211 B ．212 C ．126 D ．147答案 D解析 ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos2n π2)a n ＋sin2n π2，∴a 3＝a 1＋1＝2，a 4＝2a 2＝4，…，a 2k －1＝a 2k －3＋1，a 2k ＝2a 2k －2 (k ∈N *，k ≥2)． ∴数列{a 2k －1}成等差数列，数列{a 2k }成等比数列．∴该数列的前12项和为(a 1＋a 3＋…＋a 11)＋(a 2＋a 4＋…＋a 12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝＋2＋6－2－1＝21＋27－2＝147.故选D.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13等于( ) A ．52 B ．78 C ．104 D ．208答案 C解析 由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8， 所以，S 13＝a 1＋a 132＝13a 7＝104，故选C.6．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2 016等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．－1答案 A解析 ∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 4 031＝6， ∴a 22 016＝6，∵a 2 016>0， ∴a 2 016＝6，a 2 016＝1.7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n 等于( )A ．3(3n －2n) B ．3n＋2 C ．3nD ．3·2n －1答案 C解析 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝S 1＝32a 1－1，a 1＋a 2＝32a 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9，代入选项检验，只有C 符合．8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升B.6766升C.4744升 D.3733升 答案 B解析 设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即4a 1＋6d ＝3，①3a 1＋21d ＝4，②②×4－①×3得：66d ＝7，解得d ＝766，代入①得：a 1＝1322，则a 5＝1322＋(5－1)×766＝6766.9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 015等于( ) A ．22 015－1B ．21 009－3 C ．3×21 007－3D ．21 008－3答案 B解析 ∵a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n，∴a 2＝2， ∴当n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，∴a n ＋1a n －1＝2n2n －1＝2， ∴数列{a n }中奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 015＝1－21 0081－2＋－21 0071－2＝21 009－3，故选B.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31答案 A 解析 ∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2(23×34×…×n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2，又因为S n <－5＝log 2132⇒2n ＋2<132⇒n >62，故使S n <－5成立的正整数n 有最小值63.故选A.11．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．－100 C ．100 D ．10 200答案 B解析 ∵f (n )＝n 2cos(n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n 为奇数n 2n 为偶数＝(－1)n ·n 2，∴由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2 015a 2 016>1，a 2 015－1a 2 016－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 2 015a 2 017－1>0；③T 2 016的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数等于4 030.其中正确的结论为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 C 解析 由a 2 015－1a 2 016－1<0可知：a 2 015<1或a 2 016<1.如果a 2 015<1，那么a 2 016>1，若a 2 015<0，则q <0； 又因为a 2 016＝a 1q2 015，所以a 2 016应与a 1异号，即a 2 016<0，这与假设矛盾，所以q >0.若q ≥1，则a 2 015>1且a 2 016>1，与推出的结论矛盾，所以0<q <1，故①正确．a 2 015a 2 017＝(a 2 016)2<1，故②错误．由结论①可知a 2 015>1，a 2 016<1，所以数列从第2 016项开始小于1，所以T 2 015最大．故③错误．由结论①可知数列从第2 016项开始小于1，而T n ＝a 1a 2a 3…a n ，T 4 031＝a 1·a 2·…·a 4 031＝(a 1·a 4 031)·(a 2·a 4 030)·…·(a 2 015·a 2 017)·a 2 016<1，所以T n >1对应的最大自然数为4 030，故④正确．13．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 解方程x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4.因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，所以a 1＝1，a 3＝4.设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 3a 1＝41＝4，所以q ＝2.则S 6＝a 1－q 61－q＝－261－2＝63.14．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克．若该患者坚持长期服用此药，则________明显副作用(此空填“有”或“无”)． 答案 350 无解析 设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克， 所以a 1＝200，a 2＝200＋a 1(1－50%)＝300，a 3＝200＋a 2(1－50%)＝350.由a n ＝200＋0.5a n －1 (n ≥2)， 得a n －400＝0.5(a n －1－400) (n ≥2)， 所以{a n －400}是一个等比数列， 所以a n －400＝－200×0.5n －1<0，∴a n <400.所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用．15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.答案 2n 2＋6n解析 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a n ＝T n －T n －1＝n 2＋3n －[(n －1)2＋3(n －1)] ＝2(n ＋1)，∴a n ＝4(n ＋1)2(n ≥2)．令n ＝1，∴a 1＝4⇒a 1＝16，∴a n ＝4(n ＋1)2， ∴a nn ＋1＝4(n ＋1)．∴a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝4(2＋3＋…＋n ＋1)＝4·2＋n ＋12·n ＝2n 2＋6n .16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 k ≥38解析 a n ＋1＝Aa n ＋B ⇒a n ＋1－B1－A＝A (a n －B1－A)， 因此a n ＋1－12＝12(a n －12)，故{a n －12}是首项为3，公比为12的等比数列．因此2S n －n ＝12(1－12n )，故不等式可化简为k ≥2n －32n .因此令函数f (n )＝2n －32n ，令f ′(n )＝2·2n－n －nln 2n2＝0，解得2n ＝2ln 2＋3，正整数n 可取2或3，f (2)＝14，f (3)＝38.所以k ≥38.。

高考小题限时练41．(2016·天津)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3} D ．{1,4}答案 D解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10， 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.2．(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵3a>3b>3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3.例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．3．下列四个函数中，属于奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( ) A ．y ＝(12)|x |B ．y ＝x －42－xC ．y ＝log 2|x |D ．y ＝－x 13答案 D解析 选项A ，y ＝(12)|x |为偶函数，因此排除；选项B ，y ＝x －42－x ＝－x －4x －2＝－(1－2x －2)＝－1＋2x －2的对称中心为(2，－1)，在(2，＋∞)和(－∞，2)上递减，不符合题意，排除；选项C ，y ＝log 2|x |是偶函数，因此不符合题意，排除C.故选D. 4．复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i答案 C解析 因为z ＝(3－2i)i ＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C.5．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40答案 A解析 由a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0， 又a m ≠0，所以a m ＝2， 则S 2m －1＝m －a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78 答案 D解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.7．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A ．3 B.52C ．2D ．2 2 答案 C解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图(阴影部分，含边界)所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22，其面积为12×AB ×AC ＝2.8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞) D ．(1,1＋2)答案 D解析 设A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，则F 2A →＝(－2c ，b 2a )，F 2B →＝(－2c ，－b 2a ).F 2A →·F 2B →＝4c2－(b 2a)2>0，e 4－6e 2＋1<0,1<e <1＋ 2.9．(2016·浙江)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；当b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关，但与c 无关，故选B.10．(2015·课标全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01；运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01；运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01.输出n ＝7.故选C.11．(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.33 D.13答案 A解析 如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n . 故m 、n 所成角的大小与B 1D 1、CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小． 而B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，因此∠CD 1B 1＝π3，得sin∠CD 1B 1＝32，故选A.12．(2016·四川)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634D.37＋2334答案 B解析 由题意，|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，所以D 到A ，B ，C 三点的距离相等，点D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0，所以DB ⊥AC ，同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而点D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且点D 是△ABC 的中心．DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系，B ，C ，D 三点坐标分别为B (3，－3)，C (3，3)，D (2,0)，由|AP →|＝1，设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)， 而PM →＝MC →，即点M 是PC 的中点， 可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2， 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，|BM →|2取得最大值494.故选B.13．(2016·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 －2解析 ∵T k ＋1＝C k5(ax 2)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝a 5－k C k 5x 5102k-，由10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2.14．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝5x ＋a ，当某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________． 答案 9.5解析 由表中数据得x ＝7，y ＝5.5，由(x ，y )在直线y ^＝45x ＋a ^上，得a ^＝－110，即线性回归方程为y ^＝45x －110.所以当x ＝12时，y ^＝45×12－110＝9.5，即他的识图能力为9.5.15．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案π6解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.16.如图，VA ⊥平面ABC ，△ABC 的外接圆是以AB 边的中点为圆心的圆，点M 、N 、P 分别为棱VA 、VC 、VB 的中点，则下列结论正确的有________(把正确结论的序号都填上)．①MN ∥平面ABC ； ②OC ⊥平面VAC ；③MN 与BC 所成的角为60°； ④MN ⊥OP ；⑤平面VAC ⊥平面VBC . 答案 ①④⑤解析 对于①，因为点M 、N 分别为棱VA 、VC 的中点， 所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABC ， 所以MN ∥平面ABC ，所以①是正确的； 对于②，假设OC ⊥平面VAC ，则OC ⊥AC ，因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，矛盾，所以②是不正确的；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN与BC所成的角为90°，所以③是不正确的；对于④，易得OP∥VA，又VA⊥MN，所以MN⊥OP，所以④是正确的；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，所以⑤是正确的．综上，应填①④⑤.。

高考小题分项练3 函数的图象与性质1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝x 3＋x C ．y ＝－1xD ．y ＝－log 2x答案 B解析 若函数是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，故排除A 、D ；对C ：y ＝－1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，故C 错，故答案为B.2．已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.3．已知函数f (x )＝ln(2x ＋4x 2＋1)－22x ＋1，若f (a )＝1，则f (－a )等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 D解析 因为f (a )＋f (－a )＝－22a＋1＋－22－a ＋1＝－2， 所以f (－a )＝－2－f (a )＝－2－1＝－3.故选D.4．设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝g (b )＝0，则( ) A ．f (b )<0<g (a ) B ．g (a )<0<f (b ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0答案 B解析 易知f (x )是增函数，g (x )在(0，＋∞)上也是增函数，由于f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，所以0<a <1；又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，所以1<b <2，所以f (b )>0，g (a )<0，故g (a )<0<f (b )．5．若函数f (x )＝1＋2x ＋12＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k >0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4答案 D解析 f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x ＝1＋2(2x＋1－12x ＋1)＋sin x ＝3－22x ＋1＋sin x ，m ＋n ＝f (－k )＋f (k )＝6－2(12－k ＋1＋12k ＋1)＋sin(－k )＋sin k ＝6－2＝4.6．函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是()答案 A解析 由解析式知函数为偶函数，故排除B 、D.又f (0)＝4－1＝3>0，故选A.7．设函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，则满足上述条件的f (x )可以是( ) A ．f (x )＝cos πx3B ．f (x )＝sin πx3C ．f (x )＝2cos 2πx 6 D ．f (x )＝2cos2πx 12答案 C解析 根据y ＝f (x )是偶函数，排除B ；由f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)知道y ＝f (x )是周期函数，6是它的一个周期，C 选项可整理为f (x )＝1＋cos πx 3，其周期为T ＝2ππ3＝6，符合题意，故选C.8．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)．已知五个方程的相异实根个数如下表所述：α为f(x)A．0<α<10 B．10<α<20C．－10<α<0 D．－20<α<－10答案 B解析方程f(x)－k＝0的相异实根数可化为方程f(x)＝k的相异实根数，方程f(x)＝k的相异实根数可化为函数y＝f(x)与水平线y＝k两图形的交点数．依题意可得两图形的简略图有以下两种情形：(1)当a为正时，(2)当a为负时，因极大值点位于水平线y＝10与y＝20之间，所以其纵坐标α(即极大值)的范围为10<α<20. 9．奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于( )A．14 B．10C．7 D．3答案 B解析由图可知，图1为f(x)的图象，图2为g(x)的图象，m∈(－2，－1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))＝0⇔g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1⇔x＝－1，x＝1，x＝m，x＝0，x＝n，x ＝－2，x＝2，∴方程f(g(x))＝0有7个根，即a＝7；而方程g(f(x))＝0⇔f(x)＝m或f(x)＝0或f(x)＝n⇔f(x)＝0⇔x＝－1，x＝0，x＝1，∴方程g(f(x))＝0有3个根，即b＝3.∴a＋b＝10，故选B.10．当函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x >0，－2x＋a ， x ≤0有且只有一个零点时，a 的取值范围是( )A ．a ≤0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 D解析 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴当x ≤0时，函数f (x )没有零点，故－2x ＋a >0或－2x＋a <0在(－∞，0]上恒成立，即a >2x，或a <2x在(－∞，0]上恒成立，故a >1或a ≤0，故选D. 11．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由题意，得点A (－2，－1)， 故－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，∴2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝n m ＋m n ＋2＋12≥4＋12＝92，当且仅当m ＝n ＝23时，等号成立．故选D. 12．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－2 015)＋f (－2 014)＋f (－2 013)＋…＋f (2 014)＋f (2 015)等于( ) A ．0 B ．2 014 C ．4 028 D ．4 031答案 D解析 ∵f (x )＝x 3＋sin x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋cos x ，f ″(x )＝6x －sin x ，又∵f ″(0)＝0，而f (x )＋f (－x )＝x 3＋sin x ＋1－x 3－sin x ＋1＝2， 函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1图象的对称中心的坐标为(0,1)， 即x 1＋x 2＝0时，总有f (x 1)＋f (x 2)＝2，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋f (－2 013)＋…＋f (2 014)＋f (2 015)＝2×2 015＋f (0)＝4 030＋1＝4 031.故选D.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－2， x ≥1，log 3x 2＋， x <1，则f (f (－2))＝________；f (x )的最小值为________． 答案 1 0解析 f (f (－2))＝f (log 33)＝f (1)＝1＋2－2＝1. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－2≥22－2；当x <1时，f (x )＝log 3(x 2＋1)≥0. 故f (x )的最小值为f (0)＝0.14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室．则从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 0.6解析 当t ＝0.1时，可得1＝(116)0.1－a，∴0.1－a ＝0，a ＝0.1，由题意可得y ≤0.25＝14，即(116)t －0.1≤14，即t －0.1≥12， 解得t ≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．15．已知函数f (x )的定义域为R ，直线x ＝1和x ＝2是曲线y ＝f (x )的对称轴，且f (0)＝1，则f (4)＋f (10)＝________. 答案 2解析 ∵直线x ＝1和x ＝2是曲线y ＝f (x )的对称轴， ∴f (2－x )＝f (x )，f (4－x )＝f (x )，∴f (2－x )＝f (4－x )，∴y ＝f (x )的周期T ＝2， ∴f (4)＋f (10)＝f (0)＋f (0)＝2.16．给定方程：(12)x＋sin x －1＝0，则下列命题中：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； ④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1. 正确的命题是________． 答案 ②③④解析 对于①，若α是方程(12)x ＋sin x －1＝0的一个解，则满足(12)α＝1－sin α，当α为第三、四象限角时，(12)α>1，此时α<0，因此该方程存在小于0的实数解，故①不正确；对于②，原方程等价于(12)x－1＝－sin x ，当x ≥0时，－1<(12)x－1≤0，而函数y ＝－sin x 的最小值为－1，且有无穷多个x 满足－sinx ＝－1，因此函数y ＝(12)x －1与y ＝－sin x 的图象在[0，＋∞)上有无穷多个交点，因此方程(12)x＋sin x －1＝0有无数个实数解，故②正确； 对于③，当x <0时，由于x ≤－1时，(12)x－1≥1，函数y ＝(12)x－1与y ＝－sin x 的图象不可能有交点，当－1<x <0时，存在唯一的x 满足(12)x＝1－sin x ，因此该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确；对于④，由上面的分析知，当x ≤－1时，(12)x－1≥1，而－sin x ≤1且x ＝－1不是方程的解，因此函数y ＝(12)x－1与y ＝－sin x 的图象在(－∞，－1]上不可能有交点，因此只要x 0是该方程的实数解，则x 0>－1，故④正确． 故答案为②③④.。

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：04 导数及其应用（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．【答案】(1)(−∞,e+1](2)证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为e xx −xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0，再利用导数即可得证.(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=(1x −1x2)e x−1x+1=1x(1−1x)e x+(1−1x)=x−1x(e xx+1)令f(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f′(x)<0,f(x)单调递减当x∈(1,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增f(x)≥f(1)=e+1−a，若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(−∞,e+1](2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x1<1<x2要证x1x2<1,即证x1<1x2因为x1,1x2∈(0,1),即证f(x1)>f(1x2)因为f(x1)=f(x2),即证f(x2)>f(1x2)即证e xx −lnx+x−xe1x−lnx−1x>0,x∈(1,+∞)即证e xx −xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0下面证明x>1时，e xx −xe1x>0,lnx−12(x−1x)<0设g(x)=e xx−xe1x,x>1，则g′(x)=(1x −1x2)e x−(e1x+xe1x⋅(−1x2))=1x(1−1x)e x−e1x(1−1x) =(1−1x)(e xx−e1x)=x−1x(e xx−e1x)设φ(x)=e xx (x>1),φ′(x)=(1x−1x2)e x=x−1x2e x>0所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x<e所以e xx−e1x>0,所以g′(x)>0所以g(x)在(1,+∞)单调递增即g(x)>g(1)=0,所以e xx−xe1x>0令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1ℎ′(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2<0所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递减即ℎ(x)<ℎ(1)=0,所以lnx−12(x−1x)<0；综上, e xx −xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0,所以x1x2<1.【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式ℎ(x)=lnx−12(x−1x)这个函数经常出现，需要掌握2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)y=2x(2)(−∞,−1)【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a分类讨论,对x分(−1,0),(0,+∞)两部分研究(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xe x ,f(0)=0,所以切点为(0,0)f′(x)=11+x+1−xe x,f′(0)=2,所以切线斜率为2所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x (2)f(x)=ln(1+x)+ax e xf′(x)=11+x+a(1−x)e x=e x+a(1−x2)(1+x)e x设g(x)=e x+a(1−x2)1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=e x+a(1−x2)>0,即f′(x)>0所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意2°若−1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞),则g′(x)=e x−2ax>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0,即f′(x)>0所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0故f(x)在(0,+∞)上没有零点,不合题意3°若a<−1(1)当x∈(0,+∞),则g′(x)=e x−2ax>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增g(0)=1+a<0,g(1)=e>0所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f′(m)=0当x∈(0,m),f′(x)<0,f(x)单调递减当x∈(m,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增所以当x∈(0,m),f(x)<f(0)=0当x→+∞,f(x)→+∞所以f(x)在(m,+∞)上有唯一零点又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞)上有唯一零点(2)当x∈(−1,0),g(x)=e x+a(1−x2)设ℎ(x)=g′(x)=e x−2axℎ′(x)=e x−2a>0所以g′(x)在(−1,0)单调递增g′(−1)=1e+2a<0,g′(0)=1>0所以存在n∈(−1,0),使得g′(n)=0当x∈(−1,n),g′(x)<0,g(x)单调递减当x∈(n,0),g′(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0又g(−1)=1e>0所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f′(t)=0当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减有x→−1,f(x)→−∞而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(−1,0)上有唯一零点所以a<−1,符合题意所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围为(−∞,−1)【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.3．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)a=1(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当b>1时，e x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数均为2，构建新函数ℎ(x)=e x+lnx−2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)f(x)=e x−ax的定义域为R，而f′(x)=e x−a，若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.g(x)=ax−lnx的定义域为(0,+∞)，而g′(x)=a−1x =ax−1x.当x<lna时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,lna)上为减函数，当x>lna时，f′(x)>0，故f(x)在(lna,+∞)上为增函数，故f(x)min=f(lna)=a−alna.当0<x<1a 时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1a)上为减函数，当x>1a 时，g′(x)>0，故g(x)在(1a,+∞)上为增函数，故g(x)min=g(1a )=1−ln1a.因为f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值，故1−ln1a =a−alna，整理得到a−11+a=lna，其中a>0，设g(a)=a−11+a −lna,a>0，则g′(a)=2(1+a)2−1a=−a2−1a(1+a)2≤0，故g(a)为(0,+∞)上的减函数，而g(1)=0，故g(a)=0的唯一解为a=1，故1−a1+a=lna的解为a=1.综上，a=1.(2)由（1）可得f(x)=e x−x和g(x)=x−lnx的最小值为1−ln1=1−ln11=1.当b>1时，考虑e x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数.设S(x)=e x−x−b，S′(x)=e x−1，当x<0时，S′(x)<0，当x>0时，S′(x)>0，故S(x)在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，所以S(x)min=S(0)=1−b<0，而S(−b)=e−b>0，S(b)=e b−2b，设u(b)=e b−2b，其中b>1，则u′(b)=e b−2>0，故u(b)在(1,+∞)上为增函数，故u(b)>u(1)=e−2>0，故S(b)>0，故S(x)=e x−x−b有两个不同的零点，即e x−x=b的解的个数为2.设T(x)=x−lnx−b，T′(x)=x−1x，当0<x<1时，T′(x)<0，当x>1时，T′(x)>0，故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以T(x)min=T(1)=1−b<0，而T(e−b)=e−b>0，T(e b)=e b−2b>0，T(x)=x −lnx −b 有两个不同的零点即x −lnx =b 的解的个数为2. 当b =1，由（1）讨论可得x −lnx =b 、e x −x =b 仅有一个零点， 当b <1时，由（1）讨论可得x −lnx =b 、e x −x =b 均无零点， 故若存在直线y =b 与曲线y =f(x)、y =g(x)有三个不同的交点， 则b >1.设ℎ(x)=e x +lnx −2x ，其中x >0，故ℎ′(x)=e x +1x −2，设s(x)=e x −x −1，x >0，则s ′(x)=e x −1>0，故s(x)在(0,+∞)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即e x >x +1， 所以ℎ′(x)>x +1x−1≥2−1>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，而ℎ(1)=e −2>0，ℎ(1e 3)=e 1e 3−3−2e 3<e −3−2e 3<0，故ℎ(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x 0，1e 3<x 0<1且： 当0<x <x 0时，ℎ(x)<0即e x −x <x −lnx 即f(x)<g(x)， 当x >x 0时，ℎ(x)>0即e x −x >x −lnx 即f(x)>g(x)，因此若存在直线y =b 与曲线y =f(x)、y =g(x)有三个不同的交点， 故b =f(x 0)=g(x 0)>1，此时e x −x =b 有两个不同的零点x 1,x 0(x 1<0<x 0)， 此时x −lnx =b 有两个不同的零点x 0,x 4(0<x 0<1<x 4)， 故e x 1−x 1=b ，e x 0−x 0=b ，x 4−lnx 4−b =0，x 0−lnx 0−b =0 所以x 4−b =lnx 4即e x 4−b =x 4即e x 4−b −(x 4−b)−b =0， 故x 4−b 为方程e x −x =b 的解，同理x 0−b 也为方程e x −x =b 的解又e x 1−x 1=b 可化为e x 1=x 1+b 即x 1−ln(x 1+b)=0即(x 1+b)−ln(x 1+b)−b =0， 故x 1+b 为方程x −lnx =b 的解，同理x 0+b 也为方程x −lnx =b 的解， 所以{x 1,x 0}={x 0−b,x 4−b}，而b >1， 故{x 0=x 4−bx 1=x 0−b 即x 1+x 4=2x 0. 【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系. 4．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=xe ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x >0时，f(x)<−1，求a 的取值范围；(3)设n ∈N ∗，证明：√12+1√22+2+⋯√n 2+n >ln(n +1)．【答案】(1)f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞). (2)a ≤12 (3)见解析 【解析】 【分析】（1）求出f ′(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性.（2）设ℎ(x)=xe ax −e x +1，求出ℎ″(x)，先讨论a >12时题设中的不等式不成立，再就0<a ≤12结合放缩法讨论ℎ′(x)符号，最后就a ≤0结合放缩法讨论ℎ(x)的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得2lnt <t −1t 对任意的t >1恒成立，从而可得ln(n +1)−lnn <√n 2+n 对任意的n ∈N ∗恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. (1)当a =1时，f(x)=(x −1)e x ，则f ′(x)=xe x ， 当x <0时，f ′(x)<0，当x >0时，f ′(x)>0， 故f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞). (2)设ℎ(x)=xe ax −e x +1，则ℎ(0)=0，又ℎ′(x)=(1+ax)e ax −e x ，设g(x)=(1+ax)e ax −e x ， 则g ′(x)=(2a +a 2x)e ax −e x ， 若a >12，则g ′(0)=2a −1>0， 因为g ′(x)为连续不间断函数，故存在x 0∈(0,+∞)，使得∀x ∈(0,x 0)，总有g ′(x)>0， 故g(x)在(0,x 0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，故ℎ(x)在(0,x 0)为增函数，故ℎ(x)>ℎ(0)=−1，与题设矛盾. 若0<a ≤12，则ℎ′(x)=(1+ax)e ax −e x =e ax+ln(1+ax)−e x ， 下证：对任意x >0，总有ln(1+x)<x 成立，证明：设S(x)=ln(1+x)−x ，故S ′(x)=11+x −1=−x1+x <0， 故S(x)在(0,+∞)上为减函数，故S(x)<S(0)=0即ln(1+x)<x 成立. 由上述不等式有e ax+ln(1+ax)−e x <e ax+ax −e x =e 2ax −e x ≤0， 故ℎ′(x)≤0总成立，即ℎ(x)在(0,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x)<ℎ(0)=−1.当a ≤0时，有ℎ′(x)=e ax −e x +axe ax <1−1+0=0， 所以ℎ(x)在(0,+∞)上为减函数，所以ℎ(x)<ℎ(0)=−1. 综上，a ≤12. (3)取a =12，则∀x >0，总有xe 12x −e x +1<0成立， 令t =e 12x ，则t >1,t 2=e x ,x =2lnt ，故2tlnt <t 2−1即2lnt <t −1t 对任意的t >1恒成立. 所以对任意的n ∈N ∗，有2ln√n+1n <√n+1n−√nn+1，整理得到：ln(n +1)−lnn <√n 2+n ，故√12+1√22+2⋯√n 2+n >ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(n +1)−lnn =ln(n +1)， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.5．【2021年甲卷理科】已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增； 在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=． 当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a gx g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意；当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x ax a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a=有且仅有两个交点． ①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+． 当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有0ln 1,ln 10,a a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<． 综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x x x x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==． 因为0x >，由()0f x '=得ln ax a=． 当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a <<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递减． 因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa aa a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a aaaaa aa -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->． 令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠．故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论． 方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.6．【2021年乙卷理科】设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】（1）1a =；（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ； （2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-， 又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，ln(1)11()ln(1)ln(1)+-==+--x x g x x x x x，其定义域为(,0)(0,1)-∞．要证()1g x <，即证111ln(1)+<-x x ，即证1111ln(1)-<-=-x x x x．（ⅰ）当(0,1)x ∈时，10ln(1)<-x ，10x x -<，即证ln(1)1->-x x x ．令()ln(1)1=---xF x x x ，因为2211()01(1)(1)--=-=>--'-x F x x x x ，所以()F x 在区间(0,1)内为增函数，所以()(0)0F x F >=．（ⅱ）当(,0)x ∈-∞时，10ln(1)>-x ，10x x ->，即证ln(1)1->-x x x ，由（ⅰ）分析知()F x 在区间(,0)-∞内为减函数，所以()(0)0F x F >=． 综合（ⅰ）（ⅱ）有()1g x <．[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-<， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <->， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->； 令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞，1x t =-，令()1ln t t t t ϕ=-+，()1ln 1ln t t t ϕ'=-++=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单减，故()()10t ϕϕ>=； 当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单增，故()()10t ϕϕ>=； 综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞恒成立.[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明令()ln (1)ϕ=--x x x ，因为11()1x x x xϕ-'=-=，所以()ϕx 在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,)+∞内是减函数，所以()(1)0x ϕϕ≤=，即ln 1≤-x x （当且仅当1x =时取等号）．故当1x <且0x ≠时，101x >-且111x ≠-，11ln 111<---x x ，即ln(1)1--<-x x x ，所以ln(1)1->-x x x ． （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0ln(1)1>->-xx x ，所以1111ln(1)-<=--x x x x ，即111ln(1)+<-x x ，所以()1g x <．（ⅱ）当(,0)x ∈-∞时，ln(1)01->>-xx x ，同理可证得()1g x <． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当1x <且0x ≠时，ln(1)1ln(1)+-<-x x x x ，即()1g x <．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当(0,1)x ∈时，转化为证明ln(1)1->-x x x ，当(,0)x ∈-∞时，转化为证明ln(1)1->-xx x ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当()0,1x ∈时，()()1ln 10x x x +-->成立和当(),0x ∈-∞时，()()1ln 10x x x +-->成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数()ln (1)ϕ=--x x x ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论ln 1≤-x x （当且仅当1x =时取等号）．然后换元得到ln(1)1->-xx x ，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.7．【2021年新高考1卷】已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令11,m n a b==，命题转换为证明：2m n e <+<，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+． 由()()1ln f x x x =-得，()ln f x x '=-，当1x =时，()0f x '=；当()0,1x ∈时()0f x >′；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间(]0,1内为增函数，在区间[)1,+∞内为减函数， (2)[方法一]：等价转化由ln ln b a a b a b -=-得1111(1ln )(1ln )a a b b -=-，即11()()f f a b=．由a b ，得11a b≠． 由（1）不妨设11(0,1),(1,)b a ∈∈+∞，则1()0f a >，从而1()0f b >，得1(1,)e b∈，①令()()()2g x f x f x =--，则22()(2)()ln(2)ln ln(2)ln[1(1)]g x f x f x x x x x x ''=---'=-+=-=--， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1内为减函数，()()10g x g >=， 从而()()2f x f x ->，所以111(2)()()f f f a a b->=，由（1）得112a b -<即112a b<+．① 令()()h x x f x =+，则()()'11ln h x f x x '=+=-，当()1,x e ∈时，()0h x '>，()h x 在区间()1,e 内为增函数，()()h x h e e <=， 从而()x f x e +<，所以11()f e b b+<．又由1(0,1)a∈，可得11111(1ln )()()f f a a a a b<-==， 所以1111()f e a b b b+<+=．②由①②得112e a b<+<． [方法二]【最优解】：ln ln b a a b a b -=-变形为ln ln 11a b a b b a-=-，所以ln 1ln 1a b a b ++=． 令11,m n a b==．则上式变为()()1ln 1ln m m n n -=-， 于是命题转换为证明：2m n e <+<．令()()1ln f x x x =-，则有()()f m f n =，不妨设m n <． 由（1）知01,1m n e <<<<，先证2m n +>．要证：()()()222)2(m n n m f n f m f m f m +>⇔>-⇔<-⇔<-()()20f m f m ⇔--<．令()()()()2,0,1g x f x f x x =--∈，则()()()()()2ln ln 2ln 2ln10g x f x f x x x x x '='+'-=---=⎡⎤⎣≥-⎦--=， ()g x ∴在区间()0,1内单调递增，所以()()10g x g <=，即2m n +>． 再证m n e +<．因为()()1ln 1ln m n n m m -=⋅->，所以()1ln n n n e m n e -+<⇒+<． 令()()()1ln ,1,h x x x x x e =-+∈，所以()'1ln 0h x x =->，故()h x 在区间()1,e 内单调递增． 所以()()h x h e e <=．故()h n e <，即m n e +<． 综合可知112e a b<+<． [方法三]：比值代换证明112a b+>同证法2．以下证明12x x e +<．不妨设21x tx =，则211x t x =>， 由1122(1ln )(1ln )x x x x -=-得1111(1ln )[1ln()]x x tx tx -=-，1ln 1n 1l t x t t=--， 要证12x x e +<，只需证()11t x e +<，两边取对数得1ln(1)ln 1t x ++<， 即ln(1)1ln 11t t t t++-<-， 即证ln(1)1ln t t t t+<-． 记ln(1)(),(0,)s g s s s ∈=+∞+，则2ln(1)1()s s s g s s '-++=. 记()ln(1)1sh s s s=-++，则211()0(1)1h s s s '=-<++， 所以，()h s 在区间()0,∞+内单调递减．()()00h s h <=，则()'0g s <， 所以()g s 在区间()0,∞+内单调递减．由()1,t ∈+∞得()10,t -∈+∞，所以()()1g t g t <-， 即ln(1)1ln t t t t+<-． [方法四]：构造函数法由已知得ln ln 11a b a b b a-=-，令1211,x x a b ==，不妨设12x x <，所以()()12f x f x =．由（Ⅰ）知，1201x x e <<<<，只需证122x x e <+<． 证明122x x +>同证法2．再证明12x x e +<．令2ln 21()(0)()(ln ,)ex h x x e h x x e x xe x '-++-=<<=--． 令()ln 2(0)e x x x e x ϕ=+-<<，则221()0e x ex x x xϕ-'=-=<． 所以()()()0,0x e h x ϕϕ>='>，()h x 在区间()0,e 内单调递增． 因为120x x e <<<，所以122111ln ln x e x e x x --<--，即112211ln ln x x x ex e -->-- 又因为()()12f x f x =，所以12212112ln ln 1,1x x x ex x x ex x --=>--，即()()2222111212,0x ex x ex x x x x e -<--+->．因为12x x <，所以12x x e +<，即11e a b+<．综上，有112e a b<+<结论得证． 【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于120e x x +-<的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.8．【2021年新高考2卷】已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2xf x x e a =-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增， 若()()ln 2,0x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； 当12a =时，()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增； 当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增， 若()()0,ln 2x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； (2)若选择条件①：由于2122e a <，故212a e <≤，则()21,010b af b >>=->，而10f e b b ⎛⎛=--+< ⎝⎝，而函数在区间(),0-∞上单调递增，故函数在区间(),0-∞上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a >--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于2122e a <，212a e <≤，故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点.综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210fb a =-≤-<， 当0b ≥时，24,42ea ><，()2240f e ab =-+>，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1xH x e x =--，则()1x H x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()()0,H x H x '<单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ≥恒成立，从而有：1x e x ≥+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-，当x >()()2110a x b -+->，取01x ，则()00f x >，即：()00,10f f ⎫<>⎪⎪⎭，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于102a <<，021a <<，故()()ln 22ln 20a a a -<⎡⎤⎣⎦， 结合函数的单调性可知函数在区间(),0-∞上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．9．【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围. 【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21xf x x ='+-，由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----， 记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-， 令()()21e 102xh x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10xh x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=， 故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102xx x ---恒成立， 故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 因此，()()2max7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. [方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a． 只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x xf x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e74244e -+++⇔≤xx x x ， 令()223e7424()(0)e-+++=≥xx x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x xx x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=xx x x ()2(2)2e 9e⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0,()h x h x '<单调递减； 当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增； 当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e1(1)e 122xx x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2xg x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--2(23)42]121)2)1[e ((22x x x x x x a x a a -=--+++=----，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x xg x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21xg x x x -=+≤+恒成立， 所以12a ≥时，满足题意. 综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！10．【2020年新课标2卷理科】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()f x ≤（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .【答案】（1）当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增. （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)[方法一]由题意将所给的式子进行变形，利用四元基本不等式即可证得题中的不等式； (3)[方法一]将所给的式子进行恒等变形，构造出(2)的形式，利用(2)的结论即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,33x x ππ==， 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减， 当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增. (2)[方法一]【最优解】：基本不等式法 由四元均值不等式可得24262[()]sin sin 24sin cos =⋅=⋅=f x x x x x 222244sin sin sin 3cos 33⋅⋅⋅≤⋅x x x x 42222sin sin sin 3cos 27464⎛⎫+++= ⎪⎝⎭x x x x ，当且仅当22sin 3cos =x x ， 即3x k ππ=-或()3x k k ππ=+∈Z 时等号成立．所以|()|f x ． [方法二]：构造新函数+齐次化方法因为()()333222222sin cos 2tan ()2sin cos sin cos tan 1===++x xxf x x x x x x ，令tan (0)=≥x t t ，则问题转化为求()3222()(0)1=≥+t g t t t的最大值．求导得()()()22222213()1+'-=+t t t g t t，令()0g t '=，得t =当∈t 时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；当)∈+∞t 时，()0g t '<，函数()g t 单调递减． 所以函数()g t的最大值为==g|()|f x ≤． [方法三]：结合函数的周期性进行证明注意到()()()()22sin sin 2sin sin 2f x x x x x f x πππ+=++==⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00f f π==，23f π⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 据此可得：()max f x =⎡⎤⎣⎦()minf x =⎡⎤⎣⎦ 即()f x (3)[方法一]【最优解】：利用(2)的结论 由于()32223332sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2==nn x xx x xx 23312|sin |sin sin 2sin 2sin2sin 2-=n n n x x xx x x ()12|sin |()(2)2sin 2-≤n n x f x f x f x x ()1()(2)2-n f x f x f x ，所以232223sin sin 2sin 24⎫≤=⎝⎭n n nn x xx ． [方法二]：数学归纳法+放缩当1n =时，222sin sin 2sin sin 2sin 2⋅=≤x x x x x 33244≤≤x ，显然成立； 假设当n k =时原式成立，即22223sin sin 2sin 4sin 24≤kkk x x x x ．那么，当1n k =+时，有222221sin sin 2sin 4sin 2sin 2+≤kk x x x x x 2234sin 2cos 24⎛⎫⋅⋅⋅≤⎪⎝⎭kk kx x332cos22sin 2cos24sin 2⎛⎫⋅⋅≤ ⎪⎝⎭k kk kk x x x x 32cos248sin 2⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭k k k x x 11334tan 24++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k k kx ， 即当1n k =+时不等式也成立．综上所述，不等式对所有的n *∈N 都成立． 【整体点评】(2)方法一：基本不等式是证明不等式的重要工具，利用基本不等式解题时一定要注意等号成立的条件；方法二：齐次化之后切化弦是一种常用的方法，它将原问题转化为一元函数的问题，然后构造函数即可证得题中的不等式；方法三：周期性是三角函数的重要特征，结合函数的周期性和函数的最值证明不等式充分体现了三角函数有界限的应用.(3)方法一：利用(2)的结论体现了解答题的出题思路，逐问递进是解答题常见的设问方式； 方法二：数学归纳法是处理与自然数有关的命题的常见策略，放缩法是不等式证明中常见的方法.11．【2020年新课标3卷理科】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得到1()02f '=，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得2311()32()()422f x x x x '=-=+-，易知()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可. 【详解】（1）因为2()3f x x b '=+，由题意，1()02f '=，即：21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得33()4f x x x c =-+，2311()33()()422f x x x x '=-=+-， 令()0f x '>，得12x >或12x <-；令()0f x '<，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <， 即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0'x ， 即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1. ［方法二］【最优解】：设0x 是()f x 的一个零点，且01x ≤，则30034c x x =-+． 从而()332200000333()444f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭． 令22003()4h x x x x x =++-，由判别式2220003Δ43304x x x ⎛⎫=--=-≥ ⎪⎝⎭，可知()0h x =在R 上有解，()h x 的对称轴是011,222x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦220002200031(1)104231(1)1042h x x x h x x x ⎧⎛⎫=++-=+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+-=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()h x 在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有一根为1x ，在区间0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有一根为2x ，进而有121,1x x ≤≤，所以()f x。

高考小题分项练函数与导数．已知函数()的导函数为′()，且满足()＝′()＋，则′()＝.答案－解析∵′()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝－.．定义在上的函数()满足()＋′()>，()＝，则不等式()>＋(其中为自然对数的底数)的解集为．答案(，＋∞)解析令()＝()－，∴′()＝()＋′()－＝[()＋′()－]，∵()＋′()>，∴′()>，∴＝()在定义域上单调递增，∵()>＋，∴()>，∵()＝，∴()>()，∴>.．若函数()的定义域为，′()>恒成立，(－)＝，则()>＋的解集为．答案(－，＋∞)解析设()＝()－(＋)，则(－)＝(－)－(－＋)＝－＝，又∵对任意∈，′()>，∴′()＝′()－>，即()在上单调递增．∴()>的解集为(－，＋∞)，即()>＋的解集为(－，＋∞)．．若函数()＝－(－)＋在(，＋∞)上是减函数，则的取值范围是．答案(－∞，－]解析由题意可知′()＝－＋＋≤在(，＋∞)上恒成立，即≤(－)在∈(，＋∞)上恒成立，由于φ()＝(－)＝－(∈(，＋∞))的值域是(－，＋∞)，故只要≤－即可．．已知函数()＝－，若存在∈[]，使得()<，则实数的取值范围是．答案(－)解析当≤时，()＝(－)，′()＝－≥，因此()＝()<－<，>－，即－<≤；当>时，若∈[]，则()＝<，满足条件，即≤≤；若∉[]，则()＝{()，()}<，即－<或－<，解得－<<，因此<<或<<，综上实数的取值范围是(－)．．已知定义域为的奇函数＝()的导函数为＝′()，当≠时，′()－()<，若＝，＝，＝，则，，的大小关系是．(用“<”连接)答案<<解析因为′()－()<，所以[]′＝<，函数在(，＋∞)上递减，又因为＝()是奇函数，所以＝＝，由>>知<<，即<<.．已知函数()的导函数为′()，且满足关系式()＝＋′()＋，则′()的值等于．答案－解析∵()＝＋′()＋，∴′()＝＋′()＋，∴′()＝＋′()＋，∴′()＝－.．已知定义在上的可导函数()的导函数′()满足′()<()，且(＋)为偶函数，()＝，则不等式()<的解集为．答案(，＋∞)解析设()＝，则′()＝＝，。

高考小题限时练31．若会合2*4*， y∈ A} 中元素的个数为 ()A＝ { x|x－ 7x<0， x∈N} ，则 B＝ { y|∈ NyA ． 3B ．2C． 1D． 0答案A分析∵ x2－7x<0，∴ 0<x<7，又∵ x∈ N*，∴ x＝ 1,2,3,4,5,6，4*又∵ B＝{ y| ∈ N ， y∈ A} ，∴ B＝ {1,2,4} ，即 B 中的元素个数为 3.2．若等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，且 a3＋ a8＝ 13，S7＝35，则 a8等于 () A ． 8 B ．9C． 10D． 11答案B分析2a1＋ 9d＝ 13，设 a n＝ a1＋ (n－ 1)d，依题意7a1＋ 21d＝ 35，a1＝2，解得因此 a8＝ 9.d＝ 1，3．将某选手的 9 个得分去掉 1个最高分，去掉 1 个最低分， 7 个节余分数的均匀分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图以后有 1 个数据模糊，没法辨识，在图中以x 表示：则 7个节余分数的方差为 ()11636A. 9B. 767C． 36 D.7答案B分析由题意知 87＋94＋ 90＋91＋ 90＋90＋ x＋ 91＝91，解得x＝4.因此s2＝ 1[(87 － 91)2＋ (9477－91)2＋ (90－ 91)2＋ (91－ 91)2＋ (90－91)2＋ (94－ 91)2＋ (91－ 91)2]136＝7(16＋ 9＋ 1＋ 0＋ 1＋ 9＋ 0)＝7 .4．“m＝ 1”是“直线 x－ y＝ 0 和直线 x＋my＝ 0 相互垂直”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D ．既不充足也不用要条件答案C分析因为当 m＝ 1 时，两直线分别是x－ y＝0和 x＋ y＝ 0，两直线的斜率分别是 1和－ 1.因此两直线垂直，因此充足性建立；当直线x－y＝ 0 和直线 x＋my＝ 0 相互垂直时，则1×1＋ (－ 1)m＝ 0，因此 m＝ 1，因此必需性建立．应选 C.5． (2016 课·标全国乙 )如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π，则它的表面积是 () 3A． 17πB． 18πC． 20πD．28π答案 A分析由题意知，该几何体的直观图如下图，1它是一个球 (被过球心O 且相互垂直的三个平面)切掉左上角的后获得的组合体，其表面积是球面面积的7和三个1圆面积之和．844314328πR＝ 2.由πR－× πR ＝，得球的半径3833易得球的半径为2，则得 S＝7212＝ 17π，应选 A.＋ 3×8× 4π×24π×212π) 6．已知 sin2α＝，则 cos ( α－)等于 (3412A．－3B．－312 C.3 D.3答案D1＋π分析πα－21＋ sin2α∵ cos2(α－ )＝＝，4222π2∴ cos ( α－)＝ .437．(2015 课·标全国Ⅱ )下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．履行该程序框图，若输入的a， b 分别为 14,18，则输出的 a 等于 ()A ． 0B ．2C． 4D． 14答案B分析由题意知，若输入a＝ 14， b＝18，则第一次履行循环构造时，由 a＜ b 知， a＝ 14， b＝ b－ a＝ 18－ 14＝ 4；第二次履行循环构造时，由 a＞ b 知， a＝ a－b＝ 14－ 4＝ 10， b＝4；第三次履行循环构造时，由 a＞ b 知， a＝ a－b＝ 10－ 4＝ 6， b＝4；第四次履行循环构造时，由 a＞ b 知， a＝ a－b＝ 6－4＝ 2， b＝ 4；第五次履行循环构造时，由 a＜ b 知， a＝ 2，b＝ b－a＝ 4－ 2＝ 2；第六次履行循环构造时，由 a＝ b 知，输出a＝ 2，结束，应选 B.228．(2015 ·北湖 )设 X～ N(μ，σ)， Y～ N(μ，σ) ，这两个正态散布密度曲线如下图．以下结1122论中正确的选项是()A ． P(Y≥μ2) ≥P(Y≥μ1)B ． P(X≤σ) ≤P( X≤σ)21C．对随意正数t ， P(X≥t) ≥P(Y≥t) D ．对随意正数t ，P(X≤t) ≥P(Y≤t)答案D分析对于 A 项，因为正态散布密度曲线对于直线x＝μ对称，因此μ1<μ2.因此P(Y≥μ1)>0.5＝ P(Y≥μ2)．故A项错误；对于 B 项，因为 X 的正态散布密度曲线比Y 的正态散布密度曲线更“瘦高”，因此σ1<σ2.因此 P(X≤σ1)<P(X≤σ2)．故 B 项错误；对于 C 项，由图象可知，在 y 轴的右边某处，明显知足P(X≥t)<P(Y≥t)．故 C 项错误；对于 D 项，在 y 轴右边作与 x 轴垂直的一系列平行线，可知：在任何状况下，X 的正态散布密度曲线与 x 轴之间围成的图形面积都小于Y 的正态散布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积，即对随意正数 t， P(X≤t) ≥P(Y≤t)．故 D 项正确．9． (2016 北·京 )已知 A(2,5)， B(4,1)，若点 P(x， y)在线段 AB 上，则2x－ y 的最大值为 ()A ．－ 1B．3C．7D．8答案C分析线段 AB 的方程为y－ 1＝5－12－4(x－ 4)， 2≤x≤ 4.即 2x＋ y－ 9＝ 0,2 ≤x≤4，因为 P(x， y)在线段 AB 上，因此 2x－ y＝ 2x－ (－ 2x＋ 9)＝4x－ 9.又 2≤x≤4，则－ 1≤4x－ 9≤7，故 2x－ y 的最大值为7.10．已知函数f(x) ＝x2＋2x＋ 1－ 2x，则 y＝f(x)的图象大概为()答案 A分析f(x)＝ x 2＋2x ＋ 1－ 2x ＝ (x ＋ 1)2－ 2x ，令 g(x)＝ (x ＋ 1)2， h(x)＝ 2x ，则 f(x)＝ g(x)－ h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图， 依据函数图象的变化趋向能够发现g(x)与 h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大挨次设为x 1，x 2，x 3，在区间 (－ ∞， x 1)上有 g(x)>h(x)，即f(x)>0 ；在区间 (x 1，x 2)上有 g(x)<h( x)，即 f( x)<0 ；在区间 (x 2， x 3)上有 g(x)>h(x)，即 f(x)>0 ；在区间(x 3，＋ ∞)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0. 联合图象可知， A 切合．2211． (2016·标全国丙课 )已知 O 为坐标原点，F 是椭圆xyC ： a 2 ＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右极点． P 为 C 上一点，且PF ⊥ x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 ()A.13B.12C.23D. 34答案 A分析设 M (－ c ， m)，则 E 0，am， OE 的中点为 D ，则 D 0，am ，又 B ， D ，a － ca －cM 三点共线，因此－m ＝－ m1a － c， a ＝ 3c ， e ＝ .a ＋ c3－ lnx ， 0<x<1，12．(2016 四·川 )设直线 l 1，l 2 分别是函数 f(x)＝图象上点 P 1，P 2 处的切线，lnx ， x>1l 1 与 l 2 垂直订交于点 P ，且 l 1， l 2 分别与 y 轴订交于点 A ，B ，则 △ PAB 的面积的取值范围是 ()A ． (0,1)B ．(0,2)C ． (0，＋ ∞ )D ． (1，＋ ∞)答案 A分析由题设知：不如设P 1， P 2 点的坐标分别为P 1( x 1， y 1)， P 2(x 2， y 2)，此中 0<x 1 <1<x 2，则因为 l 1， l 2 分别是点 P 1， P 2 处的切线，－ 1， 0<x<1， x而 f ′(x)＝1， x>1 ，得： l 1 的斜率 k 1 为－ 1 ， l 2 的斜率 k 2 为 1；x 1x 2又 l 1 与 l 2 垂直，且 0<x 1<x 2， 可得： k 1·k 2＝－1 1x 1 · ＝－ 1? x 1·x 2＝ 1，x 21l 1与 l 2的方程分别为：l1：y＝－(x－ x1)－ lnx1，①1l 2： y＝x2 (x－ x2)＋ lnx2，②此时点 A 的坐标为 (0,1－ lnx1) ，B的坐标为 (0，－ 1＋ln x2)，由此可得： AB＝ 2－ lnx1－ lnx2＝2－ ln( x1·x2) ＝2，①，②两式联立可解得交点P 的横坐标为x1x2－ ln x1 x2＝2，x＝x1＋ x2x1＋ x2△ PAB 的面积为 S△PAB＝1AB·P x2122＝×2×＋ x＝≤1，x1＋x11当且仅当x1＝即x1＝1时等号建立，而 0<x1<1，因此 S△PAB<1 ，应选 A.13．圆 x2＋ y2＋ x－2y－ 20＝0 与圆 x2＋ y2＝ 25 订交所得的公共弦长为________．答案45分析公共弦的方程为 (x2＋ y2＋ x－ 2y－ 20)－ (x2＋ y2－ 25)＝ 0，即 x－ 2y＋ 5＝ 0，圆 x2＋ y2－25＝0的圆心到公共弦的距离d＝ |0－ 2×0＋ 5|＝5，而半径为 5 ，故公共弦长为52 52－52＝4 5.14．某班班会准备从含甲、乙两人的7 名同学中选派 4 名学生讲话，要求甲、乙两人中起码有 1 人参加，则甲、乙都被选中且讲话时不相邻的概率为________．答案1 6分析由题意可分两种状况：只有甲乙中一人参加，有134C2C5A 4＝480(种 )状况；甲乙两人都参加有 C52A 44＝240(种 )状况，则知足条件总的讲话总数为480＋ 240＝720(种 )．甲乙两人参加，且讲话时不相邻的状况有C52A 22A 32＝ 120(种 ) ，则甲、乙都被选中且讲话时不相邻的概率为120＝1.720615．已知△ PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面相互垂直， PA＝ PD ＝AB＝2，∠ APD＝ 90°，若点 P、A、 B、 C、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________．答案12π分析如图在 Rt △PAD 中， AD ＝4＋ 4＝22，过△ PAD 的外心 M 作垂直于平面 PAD 的直线 l，过四边形ABCD 的外心 O 作垂直于平面ABCD 的直线 m，两线交于点 O，则点 O 为四棱锥 P－ ABCD 的外接球球心，2R＝ AC＝4＋8＝ 23(R 为四棱锥 P－ ABCD 外接球的半径 )，即 R＝ 3，∴四棱锥P－ ABCD 外接球的表面积S＝ 4πR2＝ 12π.→→→16．已知△ABC 中的内角为A，B，C，重心为 G，若 2sinA·GA＋3sinB·GB＋ 3sinC·GC＝ 0，则 cosB＝ ______.答案1 12分析设 a， b， c 分别为角 A， B，C 所对的边，由正弦定理得→＋→→2aGA3bGB＋ 3cGC＝ 0，→→→→→则 2aGA＋3bGB＝－ 3cGC＝－ 3c(－ GA－ GB) ，→→→ →2a－ 3c＝ 0，3b－ 3c＝ 0，即即 (2a－ 3c)GA＋ (3b－ 3c)GB＝ 0，又因为 GA，GB不共线，则2a＝3b＝ 3c，3b，c＝222因此 a＝3b，∴ cosB＝a＋ c － b＝1 232ac12.。

高考小题分项练7数列1．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前五项的积为() A ．±3B ．3C ．±1D ．1答案D解析因为a 4＝a 1q 3,3＝19×q 3，q ＝3， 所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝(19×9)5＝1，故选D. 2．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案D解析a 1＝a 2－2，a 5＝a 2＋6，∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3，故选D.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则a 2a 3等于() A ．2B.32C.23D.13答案C解析当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3a 3＝3a 2a 3＝3＋12， ∴a 2a 3＝23.故选C. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2，则该数列的前12项和为() A ．211B ．212C ．126D ．147答案D解析∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2， ∴a 3＝a 1＋1＝2，a 4＝2a 2＝4，…，a 2k －1＝a 2k －3＋1，a 2k ＝2a 2k －2 (k ∈N *，k ≥2)． ∴数列{a 2k －1}成等差数列，数列{a 2k }成等比数列．∴该数列的前12项和为(a 1＋a 3＋…＋a 11)＋(a 2＋a 4＋…＋a 12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝6×(1＋6)2＋2(26－1)2－1＝21＋27－2＝147.故选D. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13等于()A ．52B ．78C ．104D ．208答案C解析由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，故选C. 6．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2016等于()A ．1B ．2 C.2D ．－1答案A解析∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 4031＝6，∴a 22016＝6，∵a 2016>0，∴a 2016＝6，log2016＝1.7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n 等于() A ．3(3n －2n ) B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1 答案C解析由已知得，⎩⎨⎧ a 1＝S 1＝32(a 1－1)，a 1＋a 2＝32(a 2－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9， 代入选项检验，只有C 符合．8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A ．1升B.6766升 C.4744升D.3733升 答案B解析设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即4a 1＋6d ＝3，①3a 1＋21d ＝4，②②×4－①×3得：66d ＝7，解得d ＝766， 代入①得：a 1＝1322，则a 5＝1322＋(5－1)×766＝6766. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2015等于()A ．22015－1B ．21009－3C ．3×21007－3D ．21008－3答案B解析∵a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，∴a 2＝2，∴当n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，∴a n ＋1a n －1＝2n2n －1＝2， ∴数列{a n }中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2015＝1－210081－2＋2(1－21007)1－2＝21009－3，故选B. 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ()A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31答案A解析∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2(23×34×…×n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2， 又因为S n <－5＝log 2132⇒2n ＋2<132⇒n >62， 故使S n <－5成立的正整数n 有最小值63.故选A.11．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于()A ．0B ．－100C ．100D ．10200答案B解析∵f (n )＝n 2cos(n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2(n 为奇数)n 2(n 为偶数)＝(－1)n ·n 2， ∴由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)， 得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2015a 2016>1，a 2015－1a 2016－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 2015a 2017－1>0；③T 2016的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案C解析由a 2015－1a 2016－1<0可知：a 2015<1或a 2016<1. 如果a 2015<1，那么a 2016>1，若a 2015<0，则q <0；又因为a 2016＝a 1q 2015，所以a 2016应与a 1异号，即a 2016<0，这与假设矛盾，所以q >0.若q ≥1，则a 2015>1且a 2016>1，与推出的结论矛盾，所以0<q <1，故①正确．a 2015a 2017＝(a 2016)2<1，故②错误．由结论①可知a 2015>1，a 2016<1，所以数列从第2016项开始小于1，所以T 2015最大．故③错误．由结论①可知数列从第2016项开始小于1，而T n ＝a 1a 2a 3…a n ，T 4031＝a 1·a 2·…·a 4031＝(a 1·a 4031)·(a 2·a 4030)·…·(a 2015·a 2017)·a 2016<1，所以T n >1对应的最大自然数为4030，故④正确．13．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案63解析解方程x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4.因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，所以a 1＝1，a 3＝4.设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 3a 1＝41＝4， 所以q ＝2.则S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1×(1－26)1－2＝63. 14．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克．若该患者坚持长期服用此药，则________明显副作用(此空填“有”或“无”)．答案350无解析设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克，所以a 1＝200，a 2＝200＋a 1(1－50%)＝300，a 3＝200＋a 2(1－50%)＝350.由a n ＝200＋0.5a n －1 (n ≥2)，得a n －400＝0.5(a n －1－400) (n ≥2)，所以{a n －400}是一个等比数列，所以a n －400＝－200×0.5n －1<0，∴a n <400.所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用．15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 答案2n 2＋6n解析记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴a n ＝T n －T n －1＝n 2＋3n －[(n －1)2＋3(n －1)]＝2(n ＋1)，∴a n ＝4(n ＋1)2 (n ≥2)．令n ＝1，∴a 1＝4⇒a 1＝16，∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a nn ＋1＝4(n ＋1)． ∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝4(2＋3＋…＋n ＋1) ＝4·2＋n ＋12·n ＝2n 2＋6n . 16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________． 答案k ≥38解析a n ＋1＝Aa n ＋B ⇒a n ＋1－B1－A ＝A (a n －B 1－A )， 因此a n ＋1－12＝12(a n －12)， 故{a n －12}是首项为3，公比为12的等比数列． 因此2S n －n ＝12(1－12n )， 故不等式可化简为k ≥2n －32n . 因此令函数f (n )＝2n －32n ，令f ′(n )＝2·2n －(2n －3)2n ln2(2n )2＝0， 解得2n ＝2ln2＋3，正整数n 可取2或3， f (2)＝14，f (3)＝38. 所以k ≥38.。

高考小题限时练11．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3 D ．－1,4答案 A解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2，故选A.2．(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 C解析 ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C. 3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4 C.π3 D.56π 答案 A解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则A ∈(0，π2)，sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.4．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率约为( ) A ．0.2 B ．0.41 C ．0.74 D ．0.67答案 C解析 5次预报中至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报，恰有4次准确；5次预报都准确．故5次预报，至少有4次准确的概率为C 45×0.84×0.2＋C 55×0.85×0.20≈0.74.故选C.5．点O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，点P 为C 上一点．若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4答案 C解析 由题意易知抛物线的焦点为F (2，0)，|OF |＝ 2.过P 点作准线的垂线交准线于点M ，则|PM |＝4 2.点F 在线段PM 上的射影记为点F ′，则|F ′M |＝22，故|F ′P |＝2 2.在Rt△PF ′F 中，由勾股定理可知，|F ′F |＝26，故S △POF ＝12×2×26＝2 3.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201答案 A解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1， 所以S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2答案 D解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为12×2×2×2＋4×2×2＋4×22＝20＋82，故选D.8．若(x －2x)n的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A ．6B ．10C ．12D ．15答案 C解析 ∵T k ＋1＝C k n(x )n －k(－2x)k ＝C k n (－1)k 2k x32n k -，∴T 5＝C 4n ·24·x122n -.∵n －12＝0，∴n ＝12.9．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v 的值为( )A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1；i＝2，v＝1×2＋2＝4；i＝1，v＝4×2＋1＝9；i＝0，v＝9×2＋0＝18.i＝－1，跳出循环，输出v＝18，故选B.10．(2016·课标全国丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.11．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案 D解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合． 12．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π2＋k π)＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.13．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 答案 (2－1，2＋1)解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.14.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞) 解析 如图，连接AQ .∵PA ⊥平面AC ，∴PA ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩PA ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点， ∴a2≥1，a ≥2. 15．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________． 答案 [－22，＋∞)解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)． 当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0时，g (x )>0恒成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.16．(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y≥0，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y . 作出可行域为图中的四边形，100×60＋900×100＝216 000(元)．。