7.3根号2是有理数吗(第2课时)

青岛版（新）数学八年级下册 7.3 根号2是有理数吗引言在数学中，有两种主要的数的类型：有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的整数比值来表示。

根号2是一个经典的无理数，但在本文中，我们将探讨根号2是否也可以是有理数。

什么是有理数？有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

有理数可以是正数、负数或零。

例如，1、-3、2/5都是有理数。

有理数的特点： 1. 有理数可以写成分数或整数的形式。

2. 有理数的十进制表示要么是有限的，要么是循环的。

什么是无理数？无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

无理数不能用分数或整数的形式来表示，其十进制表示也是无限不循环的。

例如，pi（圆周率）和根号2都是无理数。

无理数的特点： 1. 无理数不能表示为分数或整数的形式。

2. 无理数的十进制表示是无限不循环的。

根号2是否是有理数？在探讨根号2是否是有理数之前，我们首先来看看根号2的性质。

根号2的十进制表示根号2的精确值是无法用有限小数表示的，但可以用无限循环小数来近似表示为1.4142135…。

这个无限循环小数的十进制表示并没有任何规律可循，因此我们可以初步猜测根号2是无理数。

反证法证明根号2是无理数为了证明根号2是无理数，我们将采用反证法的方法。

假设根号2是有理数，那么可以写成一个分数的形式：根号2 = a/b （a、b为整数，并且a和b互质）我们可以将上式平方，得到：2 = (a2)/(b2) （a^2表示a的平方）进一步变形得：a^2 = 2 * b^2这意味着，a的平方是2的倍数。

根据整数的性质，a的平方也必然是2的倍数。

那么，a本身也必然是2的倍数。

我们用a = 2c（c为整数）代入上式得：(2c)^2 = 2 * b^2化简：4c^2 = 2 * b^2可以继续化简得：2c^2 = b^2这意味着b的平方也是2的倍数。

同样地，b本身也必然是2的倍数。

我们可以继续这个过程，得出结论a和b都必然是无穷大的2的倍数。

(2)教材分析：本节课是对无理数的几何解释，通过无理数用数轴上的点表示，加深学生对无理数概念和数轴的认识，通过用尺规作图的方法在数轴上作出无理数的对应点．学情分析：学生在七年级学过数轴，知道有理数可以用数轴上的点表示，通过学习使学生体验数轴上有些点表示有理数，有些点表示无理数，从而加深对数轴的认识．学习目标：知识与技能：12数形结合的思想．过程与方法：在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．情感态度和价值观：通过探究培养学生的观察能力以及运用数形结合的思想分析和解决问题的能力．学习重难点：重点：理解可以用数轴上的点表示无理数.难点：利用图形作出表示无理数的线段.教学过程：复习回顾求出下列图形中线段c的长度．【设计意图】：通过运用勾股定理对线段长度的计算，运用勾股定理对本节课的学习做好铺垫．交流探究已知：单位长度为1的线段（1（2（3观察数轴，数轴上的点表示了哪些数？它们分别是什么数？因此，你能得出什么结论？与同学交流．数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可以用数轴上的点表示．教学设计：在独立探究的基础上，学生分组交流．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．引导学生在数轴上表示出无理数．例题讲解例2．如图方格纸上每个小正方形的边长都是1．（1）分别求出A到B、C、D、E、F各点的距离．（2）以A、B、C、D、E、F中的任意三个点为顶点作三角形，其中有没有等腰三角形？如果有，指出这些三角形．（3）以点B为圆心，为BD半径的圆，还经过方格纸上的哪些格点？如果有，把它们描述出来，标上字母，并说明理由．教学设计：因为点A与点B在方格纸的同一水平线上，因而可直接求的AB=3，求点A到B、C、D、E、F各点的距离应先让学生画出以AC，AD，AE和AF为斜边的直角三角形，再利用勾股定理计算．做题过程需要通过观察、估计和计算确定．当堂检测:1．判断正误：（1）所有的无理数都能在数轴上表示．（）（2）数轴上的点都表示无理数．（）2．在Rt△ABC中，如果∠B是直角，AB=6，BC=5，求AC的长．3．如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在△ABC中边长为无理数的边有（）条A．0 B．1 C．2 D．34．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在三个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三条边长都为无理数．课堂小结:本节课学习了对无理数的几何解释，谈谈自己的收获？作业:课本P.54第1，2题板书设计:(2)复习回顾合作探究例2。

K12学习教育资源
K12学习教育资源引起数学危机的无理数
无理数，顾名思义，与有理数相对。

那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如等等。

如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。

无论是度量长度，重量，还是计时。

第一个被发现的无理数，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。

后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X ，于是。

他想，X 代表对角线长，而，那么X必定是确定的数。

但它是整数还是分数呢？显然，2是1和4之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。

那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数。

无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。

但是，人们很快发现了等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。

无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

初中数学立方根可以是无理数吗立方根可以是无理数，这意味着它不能被表示为一个有限的分数或一个无限循环的小数。

无理数是一类不能表示为两个整数的比值的实数。

要理解为什么立方根可以是无理数，我们需要回顾一下有理数和无理数的定义。

有理数是可以表示为两个整数的比值的实数。

例如，1/2、3/4、-5/3等都是有理数，因为它们可以写成分数的形式。

无理数是不能表示为两个整数的比值的实数。

它们不能被写成一个有限的分数，也不能被写成一个无限循环的小数。

例如，根号2 (√2)、根号3 (√3)、π等都是无理数。

现在我们来看一下立方根是否可以是无理数。

假设我们想找到一个数x的立方根。

我们将其表示为∛x。

如果x是一个完全立方数（一个整数的立方），那么它的立方根可以是一个整数。

例如，8的立方根∛8 = 2是一个整数，因为2³ = 8。

然而，对于大多数数来说，它们的立方根不是一个整数。

这是因为大多数数的立方不是一个完全立方数。

例如，2的立方是8，但3的立方是27，它们都不是完全的立方数。

当我们计算这些数的立方根时，我们得到的结果是无理数。

例如，∛2和∛3都是无理数。

这意味着它们不能被表示为有限的分数或无限循环的小数。

我们可以使用反证法来证明立方根可以是无理数。

假设∛x是一个有理数，可以表示为a/b，其中a和b是整数，并且b不等于0。

我们可以将它表示为∛x = a/b。

然后，我们将两边立方，得到x = (a/b)³ = a³/b³。

这意味着x可以表示为两个整数的比值，即x是一个有理数。

但这与我们假设∛x是一个无理数相矛盾。

因此，我们可以得出结论，立方根可以是无理数。

总结起来，立方根可以是无理数。

大多数数的立方根不是整数，而是无理数。

无理数不能被表示为有限的分数或无限循环的小数。

这是因为它们不能被写成两个整数的比值。

《根号 2 是有理数吗》学习任务单一、学习目标1、理解有理数的概念和特征。

2、掌握证明根号 2 不是有理数的方法。

3、培养逻辑推理和数学思维能力。

二、学习重点1、有理数的定义和性质。

2、反证法在证明根号 2 不是有理数中的应用。

三、学习难点1、理解反证法的逻辑原理。

2、如何通过推理得出根号 2 不是有理数的结论。

四、知识回顾1、有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

例如，整数 5 可以表示为 5/1，有限小数 025 可以表示为 1/4，无限循环小数 0333 可以表示为 1/3。

2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整数，分数的值不变。

五、引入新课在数学的世界里，数的分类是一个重要的基础概念。

我们已经了解了有理数，那么像根号 2 这样的数，它是不是有理数呢？这就是我们今天要探讨的问题。

六、知识讲解1、假设根号 2 是有理数假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个分数 p/q，其中 p 和 q 是互质的整数（即它们的最大公约数为 1）。

即：根号 2 ＝ p/q （p、q 互质）两边平方可得：2 ＝ p^2 ／ q^2 ，即 p^2 ＝ 2q^2 。

这意味着p^2 是偶数。

因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，所以 p 也是偶数。

设 p ＝ 2m（m 是整数），则（2m)＾2 ＝ 2q^2 ，即 4m^2 ＝ 2q^2 ，化简得 q^2 ＝ 2m^2 。

这又说明 q 也是偶数。

但是 p 和 q 都是偶数，与它们互质的假设矛盾。

2、得出结论由于假设根号 2 是有理数会导致矛盾，所以根号 2 不是有理数，而是无理数。

七、例题讲解例 1：证明 3 倍的根号 2 不是有理数。

假设 3 倍的根号 2 是有理数，可表示为 a/b（a、b 互质）。

则 3 倍的根号 2 ＝ a/b ，根号 2 ＝ a ／ 3b 。

按照前面证明根号 2 不是有理数的方法，同样会得出矛盾。

7.3 √2是有理数吗
学习目标：
1．理解无理数的概念．
2．能用无理数估计√2的大致范围，明确无理数与有理数的区别与联系．
3．理解无理数也可以用数轴上的点表示．
学习要点：
1．无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
判断一个数是不是无理数，就看这个数是否满足定义中的三条：（1）小数；（2）无限；（3）不循环三个条件缺一不可．
常见无理数的三种表现形式：
（1）开方开不尽的数，如√2，√3等．
（2）含有π的一类数，如π/2，-2π+1等．
（3）特殊形式的无限不循环小数，如0.2121121112…（小数点后面相邻的两个2之间依次多1个）等．
2．作长度为无理数的线段
作形如√2，√3，√5这些长度为无理数的线段可以通过构造直角三角形，借助勾股定理来确定，也可以在数轴上用几何作图的方法在数轴上表示出来．
注意：并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，
0.1010010001…（小数点后面相邻两个1之间依次多1个0）等．
3．有理数与无理数的区别
有理数是有限小数或无限循环小数，都能写成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式．
有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数；每一个有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示．
拓展：整数、分数统称为有理数．无理数与有理数的和、差仍为无理数，无理数与不为0的有理数的积、商是无理数．。