平面向量的实际背景及概念2.1

平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为() A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线D ．单位向量的长度为1 3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．。

2. 1平面向受的卖际背素及基本概念你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15〜32°C,东南风3〜4级.天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速.前者在选怎单位后，用一个实数就可以确切地表示：而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向.回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数疑T".类似地，我们可以对力、位務……这些捲进行抽象，形成一种新的量，即本盯知识——向量.1.概念(1) 向量：既有一大小_ ,又有一方向一的量叫做向量,如力、位移等.(2) 数量：只有大小，没有—方向—的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等.［知识点拨］向量与数量的区别：向董有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小.终点).4(起点)(3) 有向线段：带有一方向_的线段叫做有向线段.其方向是由」起点一指向一终点一，以A 为起点、B为终点的有向线段记作施(如图所示),线段亠—的长度也叫做有向线段而的长度，记作丽I.书写有向线段时，起点写在终点的前而，上而标上箭头.(4) 有向线段的三个要素：一起点一、一方向_ 、一长度•知道了有向线段的起点、方向、长度，它的—络点—就唯一确定.2. 向量的表示法(1) 几何表示：用一有向线段一表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向疑的大小就是向量的—坟度_(或称模)，如果向昼花的长度记作厢I •(2) 字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母万、了、…•还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.3. 有关概念［知识点拨］1 •理解向量概念应关注的三点(1) 本书所学向董是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.(2) 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量.2. 对平行向呈、相等向呈概念的理解(1) 平行向量是指方向相同或相反的非零向董，规定零向量与任意向董平行，即对任意的向董心都有0〃心这里注意槪念中提到的“非零向量”・(2) 对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向董，因为向量完全由它的方向和模确定的.(3) 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向董.1. 下列物理疑中不是向量的有(A )(1)质量(2)速度⑶力(4)加速度(5)路程(6)密度(7)功(8)电流强度A. 5 B・ 4C・3 D・2［解析］看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1) (5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量.2. 单位向量的长度等于(B )A. 0B・1D ・不确定3. 设O 是等边三角形ABC 的外心，则向虽:页，OB,竟是(D )A.相同起点的向量 B.平行向量C.相等向量D.模相等的向量［解析］如图，易知A 、B 、C 均错误；由題意得点O 到AAFC 的三个顶点的距离相等,：.\OA\=\OB\ = \CO\,故选 D.4.如图所示，四边形ABCD 为正方形，ABCE ■为等腰直角三角形,(1) 图中与鯨共线的向量有 炭、昂、匪、宜、应吕、甬： (2) 图中与鯨相等的向量有 匪、匪:⑶图中与鯨模相等的向量有 廃、豆、鬲、庭、融、易1_、莊一、毎険 :(4) 图中与荒相等的向量有丽•［解析］根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形.命题方向1 e 向呈相等' 向呈共线的概念 典例1给岀下列命题： ⑴平而向量的方向一立相同；(2) 向量的模一泄是正数：(3) 始点不同，但方向相同且模相等的向屋是相等向量：(4) 若向昼範与筋是共线向虽:，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上.英中正确的序号是(3).［思路分析］从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各 自的特例对命题的影响.［解析］(1)错误.两向量方向相同或相反都视为平行向量.(2)错误.101=0.(3)正确.对 于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.(4)错误.共线向量即平行向量, 只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量而，必须在同一直线上.故填(3).C. 2『规律总结』对于判斷命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.〔跟踪练习1〕给出下列几种说法：①若非零向虽a与〃共线，则a=b；②若向量a与&同向,且lal>0l,则a>/»；③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等：④若a//b, b//c,贝I］ a//c.其中错误的序号是①②③④一.［解析］①错误.共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等.②错误.向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小.③错误.两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同.④错误•当力=0时，则a与c就不一定平行了.命题方向2 *考查向呈相等或共线典例2如图所示，AABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC, AB, BC的中(1) 写出与丽共线的向量；(2) 写出与寿长度相等的向量：(3) 写出与丽相等的向量.［思路分析］(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可：(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可: (3) 相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位宜无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与丽的方向相同的向量.［解析］(1)VE, F分别是AC, AB的中点、：.EF"BC、.•.与乔共线的向量为袪，Sb. DB, DC, CD, BC, CB.(2)VE, F, D 分别是AC, AB, BC 的中点，:・EF=*BC, BD=DC=*BC, :.EF=BD=DC.TAB, BC, AC均不相等，•••与訂长度相等的向量为産，BD. DB. DC. CD.(3) 与寿相等的向量为丽，&)・〔跟踪练习2〕如图所示，点0为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB 都是正方形.在图中所示的向量中：(1) 分别写岀与花、岚相等的向量：(2) 写出与花共线的向虽:；(3) 写出与花的模相等的向量；(4) 向量花与竟是否相等？［解析］(\)AO=BF. BO=AE；(2) 与花共线的向量为：BF, CO, DE,(3) 而=1死1=说1=1希=1丽=1希=能1=1旋1；向呈的几何表示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确左方向，最后依据向量模的大小确左向量的终点.必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量.典例3 —辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50。