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南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）课程名称： 随机信号处理基础 学分： 2 教学大纲编号： 04036001－0试卷编号： A 考试方式： 闭卷 满分分值： 100 考试时间： 120分钟 组卷日期： 组卷老师（签字）： 审定人（签字）： 学生班级： 学生学号： 学生姓名： 一、填充题 （30分，做在试卷上！）1．给出随机变量X和Y相关系数的表达式 ，随机变量X和Y正交条件为 ；线性无关（不相关）的条件为 。
2．随机变量特征函数和其概率密度的关系为:。
3．随机过程和随机变量的关系描述为:。
4．在下图中标出哪个时自相关函数，哪个是自协方差函数？并在下图自相关函数图中标出与均值、方差和均方值有关的统计量？给出自相关函数和自协方差函数关系式，均值、方差和均方值的关系式说明均方值的物理含义 。
5．非因果维纳滤波器的传递函数为 ；因果维纳滤波器．给出经典检测中贝叶斯准则的判决规则 ，在何条件下等价于七、()()()t n t s t x +=，()()t n t s ,是互相正交的随机过程。
采用线性最小均方误差准则由()t x 估计()s t τ+。
（4） 八、讨论高斯白噪声中未知频率、未知幅度和未知到达时间的正弦信号检测和估计（注：本题方法不唯一，只要求给出方法思路）（6）五、设输入信号为一个视频编码的脉冲信号，脉冲内编码信号为5个码元[ 1 1 1 -1 1]−−，求该信号的匹配滤波器冲激响应？画出该匹配滤波器输出波形？ （6）六、对参数θ进行N 次测量， 2i i x n θ=+，N i L 2,1=，i n 服从()2,0σN ，证明θ的最小二乘估计和最大似然估计等价。
（8）七、()()()t n t s t x +=，()()t n t s ,是互相正交的随机过程。
采用线性最小均方误差准则由()t x 估计()s t τ−。
（6）考察平稳随机过程()X t 和()Y t ，如果它们彼此统计独立，则两个随机过程相乘后所得随机过程是否是平稳的，为什么？。
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。
2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。
5．两个随机变量独立的充要条件。
6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。
8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。
9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
简答题1.简述两个随机变量X和Y之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。
答:独立：F XY(x9y) = F x(x) F Y(y),或f XY(x9y) = f x(x)-f Y(y);不相关：加=o或cov(x,r)= o；正交：E[XY] = 0.若X和Y独立则一定不相关，若X和Y不相关则不一定独立; 若X 或Y的数学期望为0,则不相关与正交等价。
2.写出函数X(3)在①e确定t为变量、②t确定e为变量、③e和t都确定、④e和t都是变量四种情况下所代表的意义。
其中如S, s 为样本空间，t为时间参数。
答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。
3.简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。
答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。
所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。
4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。
一般片噪声在任意两个不同时刻不相关，匸态白噪声在任意两个不同时刻独立。
5.若随机过程X⑴是平稳过程，则其功率谱密度Gx@)与自相关函数籤⑺有何关系？请写出关系式。
答:Gx(e)是心⑺的傅立叶变换，G x(CD)=[j x^e-^dT ,或2兀丄°°6?设线性系统的冲激响应为h(t),输入随机过程为X(t),系统输出为Y(t),各自的自相关函数分别为RX(tl,t2)和RY(tl,t2)。
说明二者之间的关系。
答:心(心2)=心(心2)*力(/】)*%2)?7.写出希尔伯特变换的时域形式％)和频域形式H(叽答:力(。
=丄，H(C6)= -j-sgn(C6).m&如果一个正态过程是平稳的，其一维概率密度和二维概率密度各有何特性？答：正态平稳过程的一维概率密度与时间无关，二维概率密度仅与时间间隔有关。
9.简述噪声等效通能带的定义及其等效原则。
答：我们把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效为在一定频带内均匀的物理谱密度，这个频带称为噪声等效通能带，记为◎罟黔等效原则是输出平均功率相等。
10. 随机过程的正态化两种方法:答：1、白噪声通过有限带宽线性系统，输出正态分布;2、宽带随机信号通过窄带线性系统，输出近似正态;11.窄带实信号x(t)相应的复信号表示为X(0 = x(0 + jx(t),说明X (t)与x(t)在频域上的关系。
答:§S) = SS)?[l + sgn(创』2S中),^>0 12?简述白噪声的定义，并写出其自相关函数。
答：均值为0,功率谱密度在整个频率轴上为非零常数的平稳随机过程X(t)称为白噪声。
R x (r) = — J(r) G x (af)= — , -^ < co<13.简述维纳-辛钦定理。
G x(a))=「Rx("严di 答：维纳-辛钦定理：R x (T)=——r Gx (的严de 27T丄*14.简述功率谱密度函数的物理意义。
答：物理含义：随机过程X(t)在单位频带内消耗在1Q 电阻上的平均功率的统计平均。
15.简述希尔伯特变换的定义及物理意义。
答:定义：H[x(t)] = x(t)=丄 f ^^-clT 物理意义：时域：过丄的线性系统;m频域：90。
理想移相器;16.简述随机过程宽遍历的定义。
答：随机过程X(t)的均值和相关函数均具有遍历性。
17.已知随机过程X(t),其相关函数为心⑺二严J 问X(t)是否均方连续、均方可微，并说明之。
答：平稳随机过程X(t)均方连续的充要条件是：lim 心⑺=心(°）r->0平稳随机过程X(t)均方可微的充要条件是：_d*x (C =—R ，，(0)存在dr19.按照随机过程的状态和时间可将随机过程分为几类，并一一列举。
答：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
20.平稳过程可分为哪两类，并简述二者之间的关系。
答：严平稳随机过程、宽平稳随机过程。
严平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
=兀(/)*——计算或证明题I.离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2 3p 0.2 0. 1 0.4 0. 3 求随机变量Y=2X24-1的分布律。
解:Y 3 9 19P 0. 3 0.4 0.32.随机变量X的分布函数为0,兀W (—8 ,0]X玄,心0,4]求X的数学期望和方差。
解:X的概率密度函数为丄f(x) = 4 (0,4]0, else.,E[X]=^xf(x)dx=^xdx冷?士°?16 7 4D[X]=E[X2]-E2[X] = —-22=亍?3.利用重复抛币试验定义一个随机过程Jcos加,出现正面⑴=4,出现反面“出现正面”和“岀现反面”的概率各为l/2o(1)求X(/)的一维分布函数竹(X,*)和F x (兀,1)；(2)求X(r)的二维分布函数F x(x.,x2;|,l) o< 0 或*2 < -1 ,0 < Xj < 1, -1 < x 2 < 2=<%,1 < X,, -1 < x 2 < 2或0 < ^! < 1, 2 < x 21 ，^, > 1, x ? > 24.设随机振幅信号X(/)".sin 则，其中?是常数，随机变量V 的数学期望为0方羌为1,求该随机信号的数学期望、方羌、相关函数和协方差函数。
角军：E[X(0] = E\V ? sin^] = E[V]-sina )Q t = 0,R x (r |9r 2) = E[X(t {)X(r 2)] = E\V 2-sinco^t^ sin690r 2] = E\V 2] sinco 0t^ sin690r 2={D[V] + E [V]} sin?/】sin?/? - sin6^^ sin a )^t 2Kx (A ，2)=Rx (，i ，(2)—E[X(/] )]E[X((2)] = sin ?斤sin 690z 2，D[X(t)] = K x (t,t) = sin 2 a )o t.5.一正态随机过程的均值m x (t) = 2，协方差K (f],/2)= 8cos 〃(f]-心)，写出当厶=0、(2=%时的二维概率密度。
6.某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生X(") = l, X(t,e 2) = sint, X(t,e 3) = cost0 , x < —11, x > 2—1 5 兀v 2 , S[；X (l)<x 2解：° ~ K (/,/) = 8, K (0,*) = 0(x - inf K~l(x - m) = (x, - 2x }-28X2~2⑴计算数学期望加x(0和口相关函数Rx(E；(2)该随机过程是否平稳?解：(l)m x (t) = -(l + sinr + cos/)R x (z15r2) = -[l 4-sinr, sinr2 +cos/】cos^2] = —[l + cos(^ _&)]，(2)因数学期望与时间有关，故为非平稳随机过程。
7.已知RC电路的频率响应为H(e),输入过程N⑴为口噪声，其相关函数为心⑺二牛址)，求输出过程丫⑴的功率谱密度Gg。
解:心⑺与旳㈠G&) =导，???G血上6&).|/7(6<=牛片(测?8.若A(t)、B(t)相互独立，均为平稳随机过程，且二者均值均为零、自相关函数相等,又有X(r) = A(r)?cosr, Y(t) = B⑴?siw。
试证明随机过程Z(r) = X⑴+ W)是宽平稳过程。
HE： E[(t)]=E[X(t)+Y(t)]=E[A(t)cost+B(t)sint]=0+0=0R z(r,r + r) = E[Z(t)Z(t + r)] = E[( A(t)cost+B(t)sint)( A(/ + r)cos (r + r) +B(/ + r)sin(r + r))] =E[A(t)A(t + r) cos t cos(/ + r) + + r) cos t sin(r + r) +B ⑴ B(j + r) sin t sin(r + r) + + r) sin t cos(/ + r)] = R z (r)E[Z2(r)] = /?z(0)<oo故过程为宽平稳过程。
9.随机过程X(/) = a.cos(G/ + O)，其中a、3为常数，?)为均匀分布于(0」)之间的随机变量，BP：O<0<7Velse(1)求随机过程X(/)的自相关函数；(2)判断随机过程x⑴是否是平稳过程。
解:(1) R x (/j, r2)=E[X(/j )X(r2)]=E[a2? cos^az, +0) cos((tz2 4-0)]=一?/ ?E{COS 做/| +/2）+ 20] + COS 阪/厂&）]}1 ? r 1 1 7 =_ ? cr ? I _cos^y （f| +rJ+2&M0—cr ? cos[6J （Z|—f 2）] 2 4 兀‘ 2 （2）m x （/） = d ? E[cos （/tr + 0）] = a ?『一cos （血 + &）d& ?b 兀=—sin （ar+ ^）r =—— sin^f, 与t 有关7171???X ⑴不是平稳过程。
10?已知平稳随机过程的自相关函数/?(T )=-(1+COS6^T ),求其功率谱密2度。
解：根据维纳-辛钦定理，有G (69)= F7*?⑺]=一[2 感◎ + 阳69-?) + 兀沃0)七?)]=刃5(劲+-5((0-兔)+ 丄3((0+山)]11 ?设随机过程X(t)的自相关函数为Rx (E ，又有随机过程Y(t)为X(t)的导数过程，即:dt求X(t)和Y(t)的互相关函数隔(也)和Y(t)的自相关函数他(也)。
12?已知一个平稳随机过程输入到低通滤波器，如下图。
x(/)的自相关函数/?x(也)》(心)皿),求输岀的自相关函数恥)。
解:R XY （/,,t 2） = E[X （G “２）] = E[x X 亿 + 弓zig 〕卜2宀A/2=恤日细绝如沁辿]=讪磁（也+弘）-磁（也）=2心（也）U Ar. U Ar. 弘x 1 2&2T0 A/2R Y 4，S ） = E[Y （t }）Y （t 2）] = E[l.i.m. 乂（八+（）_*仏）y （G ）]8 TO AT ）=lim E[X"+G ）y （f2）_X （M2）] = lim 心『（人+0』2）—心y （W2）= ±（Zj 仏）MTO Ar. % A/2M T0 - & ]d °2靳劭（也）=丽严（也）?X(t)解：Rx C)=灾)O Gx(G )= 11%)= 严 =—i — = —^—(a= —1| R 1 + jajRC a+ jco { RCjX13.已知某RC 电路的冲激响应为h ⑴=2严u ⑴,输入平稳过程X(r) 的自相关函数为Rx ⑺=厂叫求输出过程W)的自相关函数心⑺ 和平均功率回。
