《随机信号基础》复习题.docx

其中
， ，
，
因此 与之对应的最小相位系统为： （公式：2.5.7）
系统的传递函数为：
差分方程为： （公式：2.5.9） 备注：参考 P41 页例 2.5.1。题目会有改动，谱分解+一个系统 2 h(n) x(n) h1(n) y(n) 再对输出求功率谱， h(n) ：P39 页，新息 滤波器去噪。 h1(n) ：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。 再根据 P38 页 2.4.22 式对输出求功率谱。

4
1
4

(1)n 3
Z(Z 1)
(Z 1)(Z 1)
1- 1 Z 1 3
3
3

24
(n)
3
|Z| > 1 2

1 4
( 1 ) n 1 3
(n
|Z|> 1 2
1)
时，输出
2. 一个方差为 1 的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功 率谱为:
，求该系统的传递函数，差分方程。 解：由给定信号的功率谱，得
24
h(n) 2 (1)n (n) 7 ( 1)n (n)
92
LTI
Z
系统，当输入
Z
Z1 2
1 Z 1 Z
Z1 4 Z1
3
94

2 9
Z1
2
7 9
Z1
(3) 因为 H（z）收敛域为 |Z| > 1 ，包含单位圆,所以 H（ejθ）存在: 2
（4）
H (e j
)

H(Z) Y(Z)

2
e j0

E[Z (t )Z (t)] e j[[0 (2t )2]

F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1

Y = 3 X + 1 的分布函数。
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：

南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）课程名称： 随机信号处理基础 学分： 2 教学大纲编号： 04036001－0试卷编号： A 考试方式： 闭卷 满分分值： 100 考试时间： 120分钟 组卷日期： 组卷老师（签字）： 审定人（签字）： 学生班级： 学生学号： 学生姓名： 一、填充题 （30分，做在试卷上！）1．给出随机变量X和Y相关系数的表达式 ，随机变量X和Y正交条件为 ；线性无关（不相关）的条件为 。

2．随机变量特征函数和其概率密度的关系为:。

3．随机过程和随机变量的关系描述为:。

4．在下图中标出哪个时自相关函数，哪个是自协方差函数？并在下图自相关函数图中标出与均值、方差和均方值有关的统计量？给出自相关函数和自协方差函数关系式，均值、方差和均方值的关系式说明均方值的物理含义 。

5．非因果维纳滤波器的传递函数为 ；因果维纳滤波器．给出经典检测中贝叶斯准则的判决规则 ，在何条件下等价于七、()()()t n t s t x +=，()()t n t s ,是互相正交的随机过程。

采用线性最小均方误差准则由()t x 估计()s t τ+。

（4） 八、讨论高斯白噪声中未知频率、未知幅度和未知到达时间的正弦信号检测和估计（注：本题方法不唯一，只要求给出方法思路）（6）五、设输入信号为一个视频编码的脉冲信号，脉冲内编码信号为5个码元[ 1 1 1 -1 1]−−，求该信号的匹配滤波器冲激响应？画出该匹配滤波器输出波形？ （6）六、对参数θ进行N 次测量， 2i i x n θ=+，N i L 2,1=，i n 服从()2,0σN ，证明θ的最小二乘估计和最大似然估计等价。

（8）七、()()()t n t s t x +=，()()t n t s ,是互相正交的随机过程。

采用线性最小均方误差准则由()t x 估计()s t τ−。

（6）考察平稳随机过程()X t 和()Y t ，如果它们彼此统计独立，则两个随机过程相乘后所得随机过程是否是平稳的，为什么？。

随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。

(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

5.2.1.2（1）系统输出的均值
设X(t)是有界的平稳过程，其均值为mX，则
E[Y
(t)]

E


h( )X
(t
)d


h( )E[X (t )]d

mX
h( )d

(5.2.3)
显然，mY
E[Y (t)] mX
h( )d 是与时间无关的常数。
32
RX ( ) FT GX ( )
所以输入的功率谱密度：
GX
()

2
3

()


2
[
(

2
)


(

2
)]
(t)

1

cos 0t

sin(t / 2)
2 t / 2
ea

ea cos 0

1 , 1
这是一个二阶MA过程

2 X

1 ,q
3

2, b0
1,b1

2, b2
1
2, k 0
RZ
(k )


4
3
,
k

1 3
,
k

1 2
0, k 2
可求得功率谱为：
GZ () F[RW (k)]
2
RZ (k)e jk k 2
2 4 (e j e j ) 1 (e j2 e j2 )
式中H(ω )是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω )∣2称之为系统的功率传输函数。

《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

了解随机信号的应用领域
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号应用领域 的了解，包括通信、雷达、声呐、图像处 理等领域的应用。
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随机信号分析基础 第五章习题王永德 答案
目录
• 习题一答案 • 习题二答案 • 习题三答案 • 习题四答案
01
CATALOGUE
习题一答案
题目一答案
总结词：周期性
详细描述：题目一考察了周期性随机信号的特点，包括周期信号的波形、频谱和 功率谱等。通过分析，可以理解周期信号的规律性和稳定性，以及在通信、雷达 、声呐等领域的应用。
掌握随机信号的模拟生成方 法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机 信号的模拟生成方法，包括 基于概率密度函数的生成方 法和基于概率质量函数的生
成方法。
总结词
理解随机信号的数字生成方法
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号数字生成 方法的理解，包括基于离散概率分布的生 成方法和基于连续概率分布的生成方法。
总结词
04
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的表 示方法，包括概率密度函数、概率质 量函数、特征函数等。
06
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号线性变换的理 解，包括线性变换的基本原理和计算方法。
题目二答案
总结词
掌握随机信号的谱分析方法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的谱分析方法，包括谱 估计的基本原理和计算方法，以及谱估计的评价指标。
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的模拟生成方法，包括基于 概率分布的随机抽样和基于确定性函数的随机调制。学生需 要理解这些方法的原理，掌握其实现过程，并能够根据实际 需求选择合适的方法生成随机信号。

E
Tlim
1 2T
X
T
(
,

)
2

lim 1 T 2T
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：

2GX
( )[1
e
j
2
e
j
]
2GX ()(1 cos )
4.16 解：
由题可知,A,B为实常数,X (t)和Y(t)是宽联合平稳的
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
(t)

1

cos0t

sin(t / 2)
2 t / 2
ea

ea cos0
1 , 1
E s2 (t)dt 1

2
S( ) d

2
时域内信号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能量等于频域内信号的能量
S () 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
的功率谱密度的表达式.
4 (4) 1 2 j 6
×
该表达式含有虚部，不是实函数，所以不 是正确的功率谱密度表达式
4.4 解：先求出自相关函数

2.6
解:由图可得下表 ξ1 ξ2 ξ3
X(2) 3 X(6) 5
所以：
4 7
6 2
1 14 E[ X (6)] (5 7 2) ; 3 3 1 55 E[ X (2) X (6)] (3 5 4 7 6 2) ; 3 3
出现一个典型的错误：
1 13 E[ X (2)] (3 4 6) ; 3 3

2
0
cos( ot )d
由定义先求出均方值，就可以得到方差：
E[ X (t )] E[a cos (0t )] 2 1 cos(2 0 t 2 ) E[a ] 2 2 2 a a 2 cos(2 0t 2 )d 22 2 0 a 2
2.12 证明：
dX (t ) E[ X (t ) ] dt
X (t t ) X (t ) E[ X (t )lim ] t t 0
E[ X (t ) X (t t )] E[ X (t ) X (t )] lim t t 0
lim
t 0
RX (t , t t ) RX (t , t ) t
3、随机过程的数字特征 数学期望
m X (t ) E[ X (t )] x p X ( x; t )dx

2 X 2

2 ( t ) E [ X ( t )] x 均方值 p X ( x ; t )dx
2 2 ( t ) D [ X ( t )] E [{ X ( t ) m ( t )} ] 方差 X
第二章 随机信号概论
本章要点： 1、随机过程的概念 可理解为依赖于时间t的一族随机变量或 随机试验得到的一族时间t的函数。 2、随机过程的概率分布

首先讨论平稳性，由题可知
E [ X (t )] 1 T

T 0
S (t )
1 T
d

tT t
S ( ) d
co n st
R X (t 1 , t 2 ) E [ X (t 1 ) X (t 2 )]

T 0
S (t 1 )S (t 2 )
2

T 0
S (t )
2
1 T
d


tT t
S ( )d
2
• 综合以上讨论，该随相周期过程是宽平稳的
现在讨论各态历经性：
X (t ) lim 1 T 1 T 1 2T
T

T T
s(t ) d t

T 0 T 0
s(t ) d t s( ) d
E [ X (t )]
X (t ) X (t ) lim lim 1 T 1 2T 1 2T
T 0
T

T T T T
x (t ) x (t ) d t s(t )s(t ) d t
T

s( )s( ) d
R X ( )
m X lim 4 e
2

co s 0

2
E [ X (t )] m X 5
2 2
R X ( ) 4 e
1

co s co s 3
2
R X ( ) R X ( )
• 噪声分量 • 信号分量
PN R X (0 ) 4
1
PS R X (0 ) 1

随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。

答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。

答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。

若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。

随机信号分析期末试卷(A 卷)班级：__________姓名：__________学号：__________分数：__________（注意：本卷中的τ＝t 2-t 1）一 单选题（写在答题框内，每小题2分，共20分）1 若)()()]()([t m t m t Y t X E Y X =，则随机过程X(t)与Y(t) 一定____________A 独立B 正交C 不相关D 联合平稳2 若联合宽平稳随机过程X(t)与Y(t)的互功率谱密度0)(=ωXY S ，则X(t)与Y(t) ____________A 不相关B 正交C 独立D 联合平稳3 以下关于高斯随机过程的叙述，哪句是不正确的？____________A 高斯过程严平稳与宽平稳等价。

B 高斯过程宽平稳与各态历经性等价。

C 高斯过程独立与不相关等价。

D 高斯过程的不相关和正交等价。

4 若随机变量∑==ni i X Y 12满足2λ分布，则Y R =满足____________A 广义瑞利分布B 2λ分布C 莱斯分布D 瑞利分布 5 白噪声通过理想低通系统后，____________A 平均功率与系统带宽成正比，相关时间与系统带宽成反比。

B 相关性由相关变为不相关。

C 平均功率与相关时间都不发生变化。

D 平均功率与系统带宽成反比，相关时间与系统带宽成正比。

6 白噪声通过理想带通系统后，相关时间____________A 与带通的中心频率0ω有关。

B 与自相关函数的包络有关。

C 因随机过程的起伏增大而减小。

D 与系统的增益系数有关。

7 数学期望为零的实平稳窄带随机过程t t A t t A t t t A t X S C 000sin )(cos )()](cos[)()(ωωω+=Φ+=则____________A)()()(t A t A t A S C += B )()()(22t A t A t A S C += C2)]()([)(t A t A t A S C += D )()()(22t A t A t A S C += 8 各态历经的随机过程____________A 必定是宽平稳B 是非平稳C 不一定平稳D 必定严平稳9 以下关于随机过程的叙述，哪句是不正确的？____________A 随机实验样本空间内所有的样本对应的一族时间函数称为随机过程。

概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程X(t,ζ)是t,ζ两个变量的函数②X(t,ζ)是随时间t变化的随机变量③X(t,ζ)可看成无穷多维随机矢量在∆t→0,n→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）一维：期望函数、方差函数、均方值函数。

（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定6、平稳随机信号自相关函数的性质：0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

（定义、相互关系）8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。

1. X(t)，Y(t)是统计独立，零均值的随机过程，其自相关函数分别为：||()XX R e ττ-=，()(2)YY R cos τπτ=(a) 求1()()()W t X t Y t =+的自相关函数；(b) 求2()()()W t X t Y t =-的自相关函数；(c) 求12(),()W t W t 的互相关。

2. 定义一随机过程X(t)=p(t+ò)，其中p(t)为以周期信号，且周期为T ，ò为在(0,T)上均匀分别的随机变量，试证明01[()()]()()()T XX E X t X t p p d R Tτξξτξτ+=+=⎰3. 证明： (1) |()|(0)XX XX R R τ≤(2) ()()XX XX R R ττ-=4. 随机过程()()()Y t X t X t τ=-+，X(t)是广义宽平稳的。

（a ） 证明若X （t ）是零均值的，则Y(t)也是零均值的；（b ） 证明[]22(0)()Y XX XX R R στ=- （c ） 若Y(t)＝X(t)＋X(t ＋τ)，求[()]E Y t 和2Y σ.5. 给定两个随机过程X(t)和Y(t)，组合一个新的随机过程W(t)=X(t)+Y(t)，试求在以下几种条件下W(t)的自相关函数：(1) X(t)和Y(t)是相关的；(2) X(t)和Y(t)是不相关的；(3) X(t)和Y(t)是零均值不相关的。

6. 试证明互相关函数的性质：|()|XY R τ≤7. 假设对一平稳随机过程X(t)进行N 点采样，每个采样时刻对应i t ，i=1,2,...,N 。

可将每时刻的采样值看作随机变量()i i X X t =，平均值[()]X E X t =的估计通常用下式表示11ˆNii X X N ==∑ (a) 证明ˆ[]E XX = (b) 若采样间隔足够长，可将i X 看作相互独立的，则过程均值的估计方差可写为： 22ˆ/X X N σσ=8. 令A 、B 是随机变量，建立如下随机过程00()()()X t Acos t Bsin t ωω=+，其中0ω是常数。

第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。

如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。

如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：P (A )=0.3P (B )=0.2P (C )=0.1P (D )=0.4P (E |A )=0.25E －迟到，由已知可得P (E |B )=0.4P (E |C )=0.1P (E |D )=0全概率公式：P (E )=P (EA )+P (EB )+P (EC )+P (ED )贝叶斯公式：P (A |E )=P (EA )P (E |A )⋅P (A )0.075P (E )=P (E )=0.165=0.455P (B |E )=P (E |B )⋅P (B )0.08P (E )=0.165=0.485P (C |E )=P (E |C )⋅P (C )0.01P (E )=0.165=0.06P (D |E )=P (E |D )⋅P (D )P (E )=0综上：坐轮船⎧2x -x 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为f ⎪e 2σX 2x(x )=⎨2,⎪σX⎩0,数σX>0，求期望E (X )和方差D (X )。

考察：已知f x(x )，如何求E (X )和D (X )？x >0式中，常x <E (X )=⎰x ⋅f (x )dx-∞22D (X )=E [(X -m x)]=⎰(X -m x)f (x )dx-∞∞∞D (X )=E (X )-E (X )⇒E (X )=⎰x 2⋅f (x )dx-∞222∞6、已知随机变量X 与Y ，有EX =1,EY =3,D (X )=4,D (Y )=16,ρXY=0.5，令U =3X +Y ,V =X -2Y ,试求EU 、EV 、D (U )、D (V )和Cov (U ,V )。

《随机信号基础》知识点1、确定函数、随机变量、随机过程三者之间的关系例题：理解最简单随机过程()()Θ+⋅=t a t X ωcos ，其中ω,a 是常数，t 表示时间，Θ表示随机相位。

（1）当t ，Θ均为变量时，()t X 是一族时间t 的函数，即为随机过程； （2）当Θ给定，t 为变量时，()t X 是一个确定的时间t 的函数，即样本函数； （3）当t 给定，Θ为变量时，()t X 表示一个随机变量，即t 时刻的状态； （4）当Θ，t 均给定时，()t X 是一个常量。

总结：随机过程=时间+随机变量，注意扩展，简述题考查多。

2、随机变量的分布函数与概率密度函数 分布函数：()()x X P x F ≤= 概率密度函数：()()dxx dF x f =例题：设某信号源，每T 秒产生一个幅度为A 的方波脉冲，其脉冲宽度X 为均匀分布于[]T ,0中的随机变量。

这样构成一个随机过程()∞<≤t t Y 0,。

设不同间隔中的脉冲是统计独立的，求()t Y 的概率密度()y f Y 。

解：某个时刻()t Y 可以看做随机变量，取范围()nT t T n <≤-1；()t Y 取值只有两种：(){}()[]{}()T Tn t T n t X P t Y P 110--=--≤== (){}()[]{}TtnT T n t X P A t Y P -=-->==1()()()()A y T tnT y T T n t y f Y --+--=δδ1注意：对于离散随机变量的分布函数可表示为：()()∑-=ii i x x U p x F ；概率密度函数可表示为：()()∑-=ii i x x p x f δ。

例题：利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程：()⎩⎨⎧=出现反面出现正面,2,cos tt t X π 设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5；（1）求X(t)的一维分布函数()1,,21,x F x F X X ⎪⎭⎫⎝⎛（2）求X(t)的二维分布函数⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21;,21x x F X解：令随机变量Y 表示试验结果，Y=1表示正面，Y=0表示反面。