随机信号处理第一章1

随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。

随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。

随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。

主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。

通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。

第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。

随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。

通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。

本章介绍了随机信号的表示与分解方法。

随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。

通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。

第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。

功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。

第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。

相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。

通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。

本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。

滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。

第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。

参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。

第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。

检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。

第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。

随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。

王永德王军编著，电子工业出版社。

2．随机信号分析。

朱华等编著，北京理工大学出版社。

3．随机过程及其应用。

陆大絟编著，清华大学出版社。

第一章 随机信号概论1．1信号与噪声1．1．1信号分类信号一般按数字特点分类，有以下四种方法： 1、确定信号与随机信号 2、连续信号与离散信号 3、周期信号与非周期信号 4、能量型信号与功率型信号我们接触过许多信号处理方法，大致可归纳为：随机过程研究处理的对象：与时序有关的随机信号。

1．1．2 信号·误差·噪声一、信号来源被测的物理量都是信号，按物理特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等内容。

二、信号的测量信号接收、量具测量、仪器测量。

1． 直接测量：用量具或仪器直接测出物理量的量值。

y --被测对象(目标)，x --测量值，x y =2． 间接测量：),,,(21n x x x y y =，n x x x ,,,21 为测量值，y 为测量目标。

通过n x x x ,,,21 计算出y 。

更一般的模型为0),,,,(21=n x x x y F例1：消耗在电阻上的功率P 与电流I 和电阻值R 之间的关系为R I P 2=，可测量出I 与R 的值，算出P 的值。

例2，由雷达系统确定飞机的位置。

为了确定飞机与雷达的距离R ，我们可以发射一个电磁脉冲，这个脉冲在遇到飞机时就产生反射，继而由天线接收的回波将会引起0τ秒的延时，测量现0τ，距离可由方程cR20=τ确定，其中c 是电磁传播速度。

图1.1 雷达发射脉冲图1.2 接收信号3．组合测量：测量目标有多个时，需要通过组合测量，解联立方程组，求得被测量的值。

一般模型为：设m y y y 21,为m 个被测目标，n x x x 21,为n 个被测值，要得出m y y y 21,的值，至少要经过m 次测量，其组合测量的数学模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212221221212111211nm m m m m n m n m x x x y y y F x x x y y y F x x x y y y Fij x 为i x 的第j 次测量值。

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信号分析与应⽤第⼀章答案随即信号分析与应⽤习题答案马⽂平李冰冰⽥红⼼朱晓明第⼀章1.1(1)答：(2)答：T 连续⽽E 离散，从⽽此过程为离散型随即过程。

(3)答：由于样本函数未来得值不能由过去的情况准确的预测，从⽽此过程为不确定随机过程。

1.2答：已知A~N(0,1),B~N(0,1)且A 、B 相互独⽴。

故2222121212121(,)()*())exp()2222AB A B x x x x f x x f x f x π+==--=- 1112()Bt ()Bt X t A X t A =+??=+? ? [X(1t ),X(2t )]是（A ，B ）的线性变换∴[X(1t ),X(2t )]服从⼆维正太分布11X 21(X)exp()22T X K X f K π-=-,其中K = 11122122K K K K ??⽽ 222(){[()()]}1x t E X t E x t δ=-=+1t 1t K K ?=+??=+??且1221121K K t t ==+ 最后将k 代⼊1121()exp()22T x X K X f x K π-=-即可得到答案。

1.4(1)答：该过程式确定性随机过程(2)答：X(t)的分布函数为0 x<10.6 1 x<2F ()0.9 2 x<31 3 xX t ??≤?=?≤??≤?∴X(t)的⼀维概率密度函数为X ()0.6(1)0.3f t t δδδ=-+（x-2）+0.1(x-3)1.6答：22212122211222222221212121222E[X(t)] = E[A +B ]()()47R (,)[()()][(A +B )(A +B )][],16.1B B B X t t tE A t E B t t t t E X t X t E t t t t E A t t ABt t ABt t B t t A B A =+=+===+++= 2互不相关E()=D(A)+[E(A)]E()=D()+[E()2222X 1212121212121122121222121224()51.1282851(,)[(()())()()] (,)()() 0.12(,)0.12X x x X x x X t X R t t t t t t t t t t K t t E X t m t X t m t R t t m t m t t t t t K t t t t δ=∴+++=--=-=+==+2]（，）=161.7答：''2'22()[()][()][]2[()][()][()]3dX t dE X t E X t E t212()()[()][cos3] cos31()[()][()]1[()]1cos3sin33()(,)[()()][]cos3cos3xtytxtXY tm t E X t E V t tm t E Y t E X d tE m dtR t t E X t X t E V t tλλλλλλ==========的均值：的相关函数：1212121212120012001212121212cos3cos3 (,)[()()]12cos3cos32sin3sin39()(,)(,)(Yt tt tY Y Yt tR t t E Y t Y tE X U X V dudv t tu vdudvt tt tt tY tK t t R t t m t======-的协⽅差：2121212121212Y2)()2sin3sin3sin3sin399sin3sin39()sin3()(,)9YYm tt t t tt t t tt tt tY ttt K t ttδ=-===的⽅差:1.9 答：12121211111122[()][()]0(,)(,)()()[()] [()()][()]cos [()]sin 0(,)[()()]{[()cos ()sin ][()cos (Z Z E A t E B t t t t t R m t E Z t E X t Y t E A t t E B t t R t t E Z t Z t E A t t B t t A t t B t τ======+=+===++A B 由题知：R R 2212121212121212121212121212)sin ]}[()()cos cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin sin ]()()[()()][()][()]0[()()][()][()]0(,),Z (0)()Z(t)=()()A B Z Z t t t t R t t t t R t t R R t t t t R R X t Y t τττττ+=-==<∞∴+2故与⽆关，只与有关同时E[(t)]=是宽平稳随机过程1.10答：0020000[()][sin()]sin()() sin()2exp[()]exp[()]21exp()[exp()exp(22E X t E a w t a w t fd a w t d j w t j w t d j a jw t jw j+∞Φ-∞+∞-∞+∞-∞=+Φ=+-=++--+==---??00)] [()]()t d w t E X t X t +∞-∞==∴? 是关于t 的函数是⾮平稳的随机过程1.111.11答：12122X X X X X X 2X ()36exp cos 2036 ()()()cos 20()0()36exp 36()()3666[()](0)R t R t R t R t X t R t X t R E X t R ττττ=+=+===+=∞=??==±==±=12212X 2X X X X X （-20）+3636 是的周期分量的⾃相关函数此分量均值m （-20）是的⾮周期分量的⾃相关函数此分量均值m m m m +m 2X Xt R δ==-=-=2X m 1.12答：2222220000X 000E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = ()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t + Bsin t)= E[A]cos t + E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t + Bsin t)[A cos (t + ) + Bs E AB W W W W t t E W W W δδτττ=+==常数022000000002000020X 2in (t + )]}= A cos t cos (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + )= [cos t cos (t + ) + sin t sin (t + )]= cos R ()(0)X(t)X W W W W W W W W W W W W W W R τττττδττδττδ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过330033332222000000333300E[X (t)]= E[(A cos t + Bsin t)]= E[A cos t + B sin t +3A cos t sin t + 3AB cos t sin t ]=E(A )cos t + E(B )cos t X(t)t X(t)W W W W W W W W W W ∴程判断严平稳过程可由X(t)的三阶矩函数来判断在⼀般情况下，的三阶矩与有关不是严平稳随机过程1.13答：2222220X X(t)Y(t)E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = 5E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = 5()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t - Bsin t) = E[A]cos t - E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t - Bsin t)[A co E AB W t t E δδττ===+==(1)证明、宽平稳随机过程常数2222X s (t + ) - Bsin (t + )]}= A cos t cos (t + ) - ABcos t sin (t + ) - ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + ) = E[cos t cos (t + ) + B sin t sin (t + )]= 5cos R () (0)5X(t)Y(t)X A R ττττττττττ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过程同理是宽平稳随机过XY 121211222212121212121221X(t)Y(t)R (,)E[X()Y()]= E[(A cos - Bsin )(Bcos + A sin )]= E[A cos sin + ABcos cos - ABsin sin - B sin cos ]= 5 (cos sin - sin cos )= 5sin(t - t )= 5sin()=t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t τ=程(2)证明、联合平稳XY XY XY R ()X(t)Y(t)R ()()sin()X Y X Y m m r ττττδδ∴-====、是联合平稳(3)互相关系数1.15答：X(t)E(A) = E(B) = 0()E(A)E(B)=0E[X(t)] = E(Asin t+ Bcos t) = E[A]sin t + E[B]cos t = 0()A X(t)X(t)1lim X(t)dt21lim (Asin t + Bcos t)dtT T TTT E AB TT -→∞-→∞=??====??==∴??(1)证明是均值遍历常数是均值遍历的X 2222X(t)R (,)[X(t)X(t+)]E{(Asin t + Bcos t)[Asin (t + ) + Bcos(t + )]}= E[A sin t sin (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos(t + ) + B cos t cos(t + )]= E[A ]sin t sin (t + ) +E[B ]cos t cos(t t E τττττττττ+==(1)证明是⽅差⽆遍历性X 222X 2X 22222222222t + )R ()[()][()][()] R (0)E[A ]sin t +E[B ]cos tA X (t)1lim (Asin t + Bcos t)dt 21lim (A sin t + 2ABsin t cos t +B cos t)dt 21lim (2TTT T TT T E X t E X t E X t T T A T T ττδ-→∞-→∞→∞==-===??===+??⼜22222X)1()2A X (t)()B T A B X t δ=+??≠∴的⽅差⽆遍历性1.16 答：(E1.19答：*00*00000000000102()20,Z()exp (),()exp[()][()Z()][exp(())exp ()]exp()[()Z()][exp ()exp ()][exp (22)][cos(22f t j w t Z t j w t E Z t t E j w t j w t w jw E Z t t E j w t j w t w E j w t w E w t w φπφπ其它00)sin(22)]0j w t w φτφ+++=1.20 答：11*1111[()][exp()]()exp()(,)[()Z()][exp()exp(()][]exp ()exp()ni i i ni i i Z nni i j j i j nni j j i j i j E z t E A jw t E A jw t R t t E Z t t E A jw t A jw t E A A j w w t jw ττττ========+=+=-+=-∑∑∑∑∑∑要使Z(t 2121 (,)()E Z(t)() ()[]0()[]exp()(0)[]Z Z j i j i i i j nZ i i i n Z i i R t t R t t w w i j w w i j E A A A R E A jw R E A ττττ==+=≠≠==??===∑∑Z )为复平稳过程则与⽆关，[]=m 与⽆关即当时且，不相关时有界此时能使Z(t)为复平稳过程1.24 答：11122122230.70.3 0.40.6(2)0.70.30.70.3 0.40.60.40.60.610.39 0.520.48(3)0.610.390.70. 0.520.48P P P P P P P P P ?? ? ?????= ? ?== ? ?= ? ?== ? ?本题构成⼀个两状态的马⽒链，其⼀步转移概率矩阵为 = 411221230.5830.4170.40.60.5560.444(4)0.5830.4170.70.3 0.5560.4140.40.60.57490.4251 0.56680.4332P (3)0.583 P P (4)0.4332 P (2)0.39= ? ?===从⽽1.25答：1/21/41/2三状1.26 答：00000001010111111121(1)(2)(3)2236233911111111(1)(2)(3)22242228f f f f f f ==?==??===?==??=1.271/21/32/31/31/61/2(1)111111236236111111(2)33333311111132632615138363636141414 =36363614139363636(3)???? ??? ??? ???= ??? ??? ??? ???????? ?(2)、此链接共有3个状态，且此三个状态均为遍历态，此马尔科夫链是不可约的遍历链。