几何图形的计数介绍几何图形的计数方法介绍几何图形的计数方法在数学竞赛试题和中考中,经常出现一些几何计数问题,在数学竞赛试题和中考中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果.必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果.本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法.本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法.学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想,分类讨论思想和感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想,分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离不开分类.不开分类.下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧!下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧!介绍几何图形的计数方法例1你是怎样数的你是怎样数的(一)数线段数线段时,可以线段的左端点进行分类,数线段时,可以线段的左端点进行分类,逐类分别数出线段条数后相加条AB,AC,AD,AE,AF共5条BC,BD,BE,BF共4条共条注意:注意:这里涉及到数学中很重要的思想方分类的思想方法.法——分类的思想方法.在几何计数中怎分类的思想方法CD,CE,CF共3条共条样分类本例所介绍的是方法():):按照样分类本例所介绍的是方法(1):按照DE,DF共2条共条包含同一图形进行分类;(;(2)包含同一图形进行分类;()先划分出基EF共1条共条本图形,本图形,再按照包含基本图形的数目分合计有5+4+3+2+1=15(条)类.合计有(如果一条线段上有n+1个点包括两个端点)(或含有n个"基本线段"),那么如果一条线段上有个点(包括两个端点(或含有个基本线段"个点包括两个端点这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=个点把这条线段一共分成的线段总数为基础训练1.共有某(6+1)÷2=21(条).共有6某÷(n(n+1)2.介绍几何图形的计数方法(二)数角例2数角与数线段相似,数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边ED为一条边的角有:以OA为一条边的角有:为一条边的角有C∠AOB∠AOC∠AOD∠AOE共4个共个同样还有:同样还有:B∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个,,共个∠COD,∠COE共2个共个OA∠DOE 共1个共个E合计有4+3+2+1=10(个)合计有(DC上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是"对应法"这里采用的方法是"对应法",这也是计数中E1D1B4某(4+1)÷2某÷常用的方法,这种方法实际上是数学的另一思常用的方法,C1=10想——转化思想的运用转化思想的运用B1使用对应法时,总是在原图形中(使用对应法时,总是在原图形中(有时需添加OA1A辅助线)辅助线)找出它的某一部分作对应图形(三)数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法)可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法)因为DE上有条线段因为上有15条线段,每条线段的两端点上有条线段,与点A相连可构成一个三角形,共有15个相连,与点相连,可构成一个三角形,共有个三角形,同样一边在BC上的三角形也有上的三角形也有15三角形,同样一边在上的三角形也有所以图中共有30个三角形个三角形.个,所以图中共有个三角形.本题的解决,本题的解决,既有分类法又有对应法介绍几何图形的计数方法基础训练5基础训练下图中共有个三角形A顶点为O,顶点为,且一边在AB上的三角形有上的三角形有3某÷一边在上的三角形有某4÷2=6(个);(一边在BC上的三角形有某5÷2=10(个);一边在上的三角形有4某÷(上的三角形有一边在AC上的三角形有某÷一边在上的三角形有3某4÷2=6(个),(再加△个三角形.再加△ABC,所以共有个三角形.,所以共有23个三角形OBMPQNDFHCC数长方形,(四)数长方形,平行四边形和正方形图中共有---------个长方形线段AM与AE对应着长方形对应着长方形AMPE,线段与对应着长方形,AM与AG对应着长方形对应着长方形AMQG,与对应着长方形AM与AB对应着长方形对应着长方形AMNB,与对应着长方形AM与EG对应着长方形对应着长方形EPQG,与对应着长方形AEGBAM与EB对应着长方形与对应着长方形对应着长方形EPNB,AM与GB对应着长方形对应着长方形GQNB.与对应着长方形就是说AM与AB边的条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形边的6条线段都分别对应着一个长方形就是说与边的条线段都分别对应着一个长方形,个长方形AD边上共有条线段,其余两条线段和MD也都分别对应着个长方形,边上共有3条线段也都分别对应着6个长方形边上共有条线段,其余两条线段AD和也都分别对应着个长方形,所以共有3某所以共有某6=18个长方形个长方形一般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有条线段一般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,),若其横边上共有条线段,纵边上共有m条线段则图中共有长方形(平行四边形)个条线段,纵边上共有条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个例4横边上有8某条线段,条线段,横边上有某(8+1)÷2=36条线段,纵边上有某(7+1)÷2=28条线段,÷条线段纵边上有7某÷条线段所以共有36某个平行四边形.所以共有某28=1008个平行四边形.个平行四边形介绍几何图形的计数方法雨露招生试题)如图,例6(雨露招生试题)如图,图中平行四边形的个数为思考:能否像例那样数平行四边形那样数平行四边形思考:能否像例4那样数平行四边形可以将图形分割成几部分,使每一部分都像例那样的图形可以将图形分割成几部分,使每一部分都像例4那样的图形但分割的块数越少越好假设分为如下图所示的两块,假设分为如下图所示的两块,那么每块中的平行四边形的个数都是2某2+1)4某4+1(()某=3022思考:原图中平行四边形的个数是否等于思考:原图中平行四边形的个数是否等于60思考:如最右侧的图形中也有个平行四边形个平行四边形,思考:如最右侧的图形中也有30个平行四边形,那么原图中平行四边形的个数是否是3某那么原图中平行四边形的个数是否是某30=90不是90,还应减去如下图所示的两个"田字格"中的各个平行四边形因为这18个个平行四边形,不是,还应减去如下图所示的两个"田字格"中的各9个平行四边形,因为这个平行四边形已经包含在前60个之中个之中.平行四边形已经包含在前个之中.所以,原图形中平行四边形的个数是90-所以,原图形中平行四边形的个数是-18=72..注意:在使用分类计数法时,一定要注意是否有遗漏或重复计数的!注意:在使用分类计数法时,一定要注意是否有遗漏或重复计数的!介绍几何图形的计数方法如左,右三图,各包含多少个正方形例5如左,中,右三图,各包含多少个正方形为便于叙述,我们设一个小正方形的边长为1,那么为便于叙述,我们设一个小正方形的边长为,左图中边长为1的正方形的个数是左图中边长为的正方形的个数是3某2=6某边长为2的正方形的个数是边长为的正方形的个数是2某1=2某所以左图中共有正方形3某2+2某1=8(个)某某(这里所采用的方法是分类中图中边长为1的正方形的个数是中图中边长为的正方形的个数是4某3=12某边长为2的正方形的个数是边长为的正方形的个数是边长为3的正方形的个数是边长为的正方形的个数是所以中图中共有正方形右图中边长为1的正方形的个数是右图中边长为的正方形的个数是边长为2的正方形的个数是边长为的正方形的个数是边长为3的正方形的个数是边长为的正方形的个数是边长为4的正方形的个数是边长为的正方形的个数是所以中图中共有正方形3某2=6某2某1=2某6某4=24某5某3=15某4某2=8某3某1=3某6某4+5某4+4某2+3某1=50(个)某某某某(法中的另一种,法中的另一种,是:(3)按照图形的大小分类)4某3+3某2+2某1=20(个)某某某(如果一横行有m个小正方形,一竖行有个假设m≥n)小正方形,如果一横行有个小正方形,一竖行有n个(假设个小正方形)小正方形,那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)那么图中正方形的个数是介绍几何图形的计数方法例7你打算怎样数图中的三角形你打算怎样数图中的三角形FGCALKHDE5形状有某些相似的三角形有▁▁第1类:与三角形类与三角形ABE 形状有某些相似的三角形有▁▁个B形状有某些相似的三角形有▁▁个5形状有某些相似的三角形有▁▁第2类:与三角形类与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个10形状有某些相似的三角形有▁▁第3类:与三角形类与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个5第4类:与三角形形状有某些相似的三角形有▁▁类与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个5形状有某些相似的三角形有▁▁第5类:与三角形类与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个5形状有某些相似的三角形有▁▁第6类:与三角形类与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个所以图中的三角形共有35个所以图中的三角形共有35个35这里所采用的方法是分类法中的另一种,是:这里所采用的方法是分类法中的另一种,(4)按照图形的形状分类)也可以说是(5)按照图形所处的位置分类)介绍几何图形的计数方法例8(华罗庚金杯竞赛题)下图中有(华罗庚金杯竞赛题)个正方形,个正方形,有个三角形.个三角形.能否将图中的正方形分类,能否将图中的正方形分类,按照不同类型分别数出其中的正方形个数出其中的正方形个数分为两类,一类是有一组对边在水平方向的正分为两类,方形,方形,如左图这类正方形的个数是6某6+5某5+4某4+3某3+2某2+1某1=91某某某某某某除上一类为,共有95个正方形除上一类为,还有4个正方形共有个正方形这里所使用的方法是分类法中的()这里所使用的方法是分类法中的(4)按照图形的形状分类个直角边长为1的三角形有某某直角边长为的三角形有6某6某2=72个直角边长为2的三角形直角边长为的三角形1--2行8个2--3行6个3--4行2个4--5行8个,5--6行6个,共30个行个共个行个,行个,行个,行个行个共个行个直角边长为3的三角形1--2行4个,3--5行2个4--6行4个,共10个直角边长为的三角形行个3--6行2个行个思考:还有漏数的三角形吗思考:还有漏数的三角形吗直角边长为4的三角形直角边长为的三角形行个斜边长为2的三角形斜边长为的三角形1--3行各4个,共12个第4行3个行个共个的三角形第5行1个第6行4个,共计个行个行个共计20个思考:还有漏数的三角形吗思考:还有漏数的三角形吗1-6列依次列依次3+3+3+2+3+3=17(个)列依次(思考:还有漏数的三角形吗斜边长为4的三角形思考:还有漏数的三角形吗斜边长为的三角形1-4行1个,2-5行2个,行1个,共4个行个行个4-5行个个所以图中的三角形共计72+30+10+2+20+17+4=155(个)所以图中的三角形共计(这里用了分类法中的()按照图形的大小分类(之后又按图形所处位置分类)这里用了分类法中的(3)按照图形的大小分类(之后又按图形所处位置分类)介绍几何图形的计数方法计数方法:计数方法:1.分类计数法.(1)按照包含同一图形分类;)按照包含同一图形分类;(2)按照图形所包含的"基本图形"的个数分类.)按照图形所包含的"基本图形"的个数分类.(3)按照图形的大小分类;)按照图形的大小分类;(4)按照图形的形状分类;)按照图形的形状分类;(5)按照图形所处的位置分类.)按照图形所处的位置分类.2.对应计数法.几个计算公式:几个计算公式:n(n+1)1.线段,角的计数公式:.线段,角的计数公式:图形个数=课后反思总结22.长方形,平行四边形的计数公式:横边上共有n条线段,.长方形,平行四边形的计数公式:横边上共有条线段条线段,纵边上共有m条线段则图中共有长方形(平行四边形)个条线段,纵边上共有条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个3.正方形的计数公式:如果一横行有m个小正方形,一竖行有个(假.正方形的计数公式:如果一横行有个小正方形一竖行有n个个小正方形,设m≥n)小正方形,那么图中正方形的个数是)小正方形,mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)=mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)某1某问题解答在/问题解答在介绍几何图形的计数方法成就测试答案1.3+2+1=6,∠A1OA4.2.6+5+4+3+2+1=21..,..A3.(4+3+2+1)某(4+3+3+1)=100..某).4.4某1+3某2+2某3+1某4=20.某某某某5..3经过AB到的有▁▁种爬法的有▁▁经过到F的有▁▁种爬法3经过AE到的有▁▁种爬法的有▁▁经过到F的有▁▁种爬法3经过AD到的有▁▁种爬法所以共9种爬法的有▁▁经过到F的有▁▁种爬法所以共种爬法6.如图,图中的长方体和正方体共有多少个.如图,图中的长方体和正方体共有多少个说出你是怎样数的.说出你是怎样数的.与数长方形和正方形的方法类似(3+2+1)某(2+1)某(2+1)=54某某长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个3某2某2+2某1某1=14某某某某正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁DBCDEABCDEGFFECAB7.如图,图中的三角形共有多少个请把它们都用记号表示出来..如图,图中的三角形共有多少个请把它们都用记号表示出来.A△ABC,△ABE,△ABN,△ABF,△△△△△(1)一边在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁一边在AB上的三角形有△ADM,△ADC,△BDG,△BDC一边在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁F△BCA,△BCD,△BCF,△BCG,△△(2)一边在上而另一边一边在BC上而另一边一边在DN△BEA,△BEN,△ECA,△ECM△△△不在AB上的三角形有上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁不在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁G△CAB,△CAD,△CAE,△CAM,△M(3)一边在上而另一边既△CFB,△CFG,△AFB,△AFNB一边在CA上而另一边既一边在E不在AB上也不在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁不在上也不在BC上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁共计8+5+3=16个吗共计个吗上也不在上的三角形有个吗(4)三边不在,BC,CA上的有△MNG三边不在AB三边不在上的有C所以图中的三角形共有8+5+3+1=17个个所以图中的三角形共有介绍几何图形的计数方法图中共有直线6条,设为a,b,c,d,e,f,每3条一组,列表如下图中共有直线条设为条一组,条一组abcabdabeabfacdaceacfadeadfaef计10组组bcdbcebcfbdebdfbef计6组组cdecdfcef计3组计组def计1组,合计组合计10+6+3+1=20组组但是经过同一点的三条直线不能围成三角形,但是经过同一点的三条直线不能围成三角形,所以图中的三角形共有20-所以图中的三角形共有-3=17(个)(这里采用的是对应法,这里采用的是对应法,但是也要注意计数中是否有遗漏或重复adebfc介绍几何图形的计数方法提高训练3.图中共有多少个三角形提高训练.图中共有多少个三角形显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为类(1)最大的三角形个(即△ABC),)最大的三角形1个即,(2)第二大的三角形有1+2=3(个))((3)第三大的三角形有1+2+3=6(个))((4)第四大的三角形有1+2+3+4=10(个))((5)第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个))((6)最小的三角形有)1+2+3+4+5+6+3=24(个)(最后加的3个是哪个最后加的个是哪3个个是哪所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59(个)(所以尖向上的三角形共有图中共有三角形2某图中共有三角形某59=118(个)(介绍几何图形的计数方法提高训练4在8某8的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的"L"形提高训练某的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的""的方格棋盘中如图),一共有多少种不同的方法),一共有多少种不同的方法(如图),一共有多少种不同的方法注意:注意:数"不规则几何图形"的个数时,常用对应法不规则几何图形"的个数时,每一种取法,有一个点与之对应,第1步:找对应图形每一种取法,有一个点与之对应,步这就是图中的A点它是棋盘上横线与竖线的交点,这就是图中的点,它是棋盘上横线与竖线的交点,且不在棋盘边上.在棋盘边上.从下图可以看出,第2步:明确对应关系从下图可以看出,棋盘内的每一步个点对应着4个不同的取法个不同的取法(个点对应着个不同的取法("L"形的"角"在2某2正"形的"某正方形的不同"方形的不同"角"上).第3步:计算对应图形个数由于在8某8的棋盘上,内部有7某7=49(个)交叉点,步计算对应图形个数由于在某的棋盘上,内部有某(交叉点,的棋盘上故不同的取法共有49某第4步:按照对应关系,给出答案故不同的取法共有某4=196(种).步按照对应关系,给出答案故不同的取法共有(A介绍几何图形的计数方法提高训练5下图中的正方形被分成个相同的小正方形它们一共有16个顶点个顶点(提高训练下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有个顶点(共同的下图中的正方形被分成个相同的小正方形,顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点可以构成三角形.),以其中不在一条直线上的个点为顶点,顶点算一个),以其中不在一条直线上的个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个1.显然应先求出阴影三角形的面积.设原正方形的边长是3,则小正方形的边长是1,设原正方形的边长是,则小正方形的边长是,阴影三角形的面积是某2某3=32.思考图中怎样的三角形的面积等于3.思考图中怎样的三角形的面积等于的三角形的面积等于3((1)一边长,这边上的高是的三角形的面积等于(即形如图中阴影三角形).)一边长2,这边上的高是3的三角形的面积等于即形如图中阴影三角形).这时,长为2的边只能在原正方形的边上这样的三角形有2某某的边只能在原正方形的边上,这时,长为的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有某4某4=32(个);(的三角形的面积等于3.(2)一边长,这边上的高是的三角形的面积等于.)一边长3,这边上的高是2的三角形的面积等于这时,长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.这时,长为的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.注意:不能与()这样的三角形有8某这样的三角形有某2=16(个)注意:不能与(1)中的三角形重复(所以这样的三角形共有32+16=48(个)所以这样的三角形共有(。
