10小学奥数——数阵+进位制 试题及解析

1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．[分析与解]记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a 可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．[分析与解]设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．[分析与解]在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．于是得到下图：4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?[分析与解]我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．能得到14的只有6+8，如果*填8那么和为14的线段另一端为6，则和为11的线段另一端为5，和为8的另一端为3，则和为12的线段另一端无法填出；所以，*只能填6，可以如上分析得到填完的下图：5．图18-5的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．[分析与解]当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是(6×23+6)÷2＝72．于是九个数的中间数是72÷9＝8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12＝23，故x＝11，y＝12和x=12，y＝11．首先考虑x＝11，y＝12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23－7＝16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f＝7，于是c ＝4，d＝5，再由a+b＝23－6＝17，可知a、b均不为10，e＝10，a＝8，b ＝9，于是得到下图：当x＝12，y＝11时，同理可得：6．将1，2，3，…，9，10这10个数分别填入图18-6中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?[分析与解]在2～90中被13除余2的数有2，15，28，41，54，67，80．其中可以被分解成1～10中两数乘积的有：2＝1×2，15＝3×5，28＝4×7，54＝6×9，80＝8×10，正好1～10中每个数字出现了一次，因此可得如下的结果，当然将下图对称变换，旋转变换得到的图形仍然符合题意．有2×1÷13＝0……2；3×5÷13＝1……2；4×7÷13＝2……2；6×9÷13＝4……2；8×10÷13＝6……2．这些商的和为0+1+2+4+6＝13．7．在图18-7的中间圆圈内填一个数，计算每一线段两端的两数之差(大减小)，然后算出这3个差数之和．那么这个差数之和的最小值是多少?[分析与解]中间数只要在19与65之间，19和65与它的差数(大数减小数)之和都是65－19＝46，所以中间的数填48，三个差数之和最小．那么差数之和为65－48+48－48+48－19＝65－19＝46．8．请在图18-8中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997．[分析与解]设1左边圈内的数为a，则从a开始顺时针依次对给出的七个差做加法或减法运算，最后结果仍等于a，也就是说，加上的数的和应等于减去的和．又1+2+3+4+5+6+7+8＝28，于是给出的七个数应当分成和为14的两组．经分析可知仅有4种不同的分法：①7+6+1＝2+3+4+5，②7+5+2＝1+3+4+6，③7+4+3＝1+2+5+6，④7+4+2+1=3+5+6．其中①又可以分为两种情况：☆加上2、3、4、5，减去7、6、1，这时七个数的总和时7a+32，★加上7、6、1，减去2、3、4、5，这时七个数的总和时7a－32．同样②③④也都分两种情况．②的第一种情况就是加上1、3、4、6，减去7、5、2，七个数的和时7a+16．因为1994＝7×285+2，所以①的两种情况都无法使总和为1994，这是因为32－2与32+2都不是7的倍数，而②的第一种情况满足，此时a＝283(1994＝7×283+16)，具体填法如下：9．图18-9是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，J，h，i 处分别填入整数l至9．如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？[分析与解]设每个圆内的数字之和为k，则五个圆圈内的数字之和时5k，它等于1~9的和即45，再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4＝10，最大是6+7+8+9＝30，所以，有5k在(45+10＝)55～75(＝45+30)之间的，那么k在11～15之间．验证，当k＝11，13，14时对应有如下填法，当时当k＝12，15时无解．所以，这个相等的和最大是14，最小为11．评注：这道题，同学往往只是计算到k在11～15之间，然后说最大为15，最小为11，但是没有进一步去验证是否存在这样的填法，导致错误，所以同学们以后在自己认为已经解决问题时，不妨验证一下，对于有些问题，不妨深究深究．[分析与解]10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2+3+…+11再加上两个重复的数，和倍3整除．因为2+3+…+11＝65，要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这和数是24．和数为24是可能的，如下两图：[分析与解]图中十个数点和为45，除去中心圆圈中的数后是3的倍数，因此中心圆圈只可能为0，3，6，9．当中心为0时，每个阴影三角形三顶点和为15．考虑包括中心圆圈的三个阴影三角形中，除0以外另两个数和为15．而0～9中这样的数组只有(6，9)，(7，8)两组，因此中心为0时没有正确填图；当中心为9时，同理可知也不存在正确的填图；当中心为3时，阴影三角形三顶点和为14，含3的三个阴影三角形中另两个数和为11，这样的数组只有(2，9)，(4，7)，(5，6)．简单尝试可知中心为3时也没有正确的填图；当中心填6时，经尝试有如下的结果：13．如图18-13，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等．问这5个数的和最大可能是多少?[分析与解]1~9和为45．设3个只属于一条边的数和为3k，则每条边上五个数字和为(45×2－3k)÷30＝30－k．3k最小时，取3k＝1+2+3＝6，一条边上的和为30－6÷3＝28；3k最大时，取3k＝9+8+7＝24，一条边上的和为30－24÷3＝22．因此这个和最大为28，最小为22．以和为28为例，此时三边中间的小三角形内的数为1，2，3，有上方两个三角形和+1+左边两个三角形和＝28；左边两个三角形和+3+右边两个三角形和＝28；右边两个三角形和+2+上方两个三角形和＝28；于是有2倍(上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和)+1+3+2＝28+28+28，即上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和＝39．可得上方两个三角形和为14，左边两个三角形和为13，右边两个三角形和为12．下面我们给出一种填法：每边和为22时，同理可得，我们给出一种填法：14．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入图l8-14的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式．[分析与解]除式只有4种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如下两种填法：15．图18-15包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?[分析与解]如下图所示，设最左边的四个数为a，b，c，d，则第一组数算式计算结果为a+b，c+d，a+c，b+d．而最右边圆圈内数为，a+b+c+d，也就是四个数的和，因此我们可以重新理解题目为找到四个自然数，使它们两两相加的四个和与它们自身全不相等，求它们和的最小值．最小的四个数(1，2，3，4)易知不符合题意，同样(1，2，3，5)也不成立，当这四个数为(1，2，3，6)时有正确填图如下，因此最右边的数最小为12．。

第10讲数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1—9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

练习2：1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

第1题第二题第三题【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

练习3：1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

第1题第二题第三题【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

练习4：1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第10课《数阵图》试题附答案第十二讲数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1〜8这八个自然数分别填入下图中的八个。

内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上,应如何填？例2请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图Q）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？例3如下图Q）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等,应怎样填？例5将1~16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中已填好八个数，请将其余的数填完.答案第十二讲数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个O内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？分析为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如上图（2）.由条件得出以下四个算式:a+b+c=14(1)c+d+e=14(2)e+f+g=14(3)a+h+g=14(4)由(1)+(3),得：a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h)-(d+h)=28,d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8,又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.又由对称性，不妨设b=2,f=6,d=3,h=5.a,c,e,g可取到1,4,7,8若a=l,则c=14-(1+2)=11,不在1,4,7,8中，不行.若c=l,则a=14-(1+2)=11,不行, 若81,则c=14-(1+3)=10,不行. 若g=l,则a=8,c=4,e=7.填的飘嘉踊畿篇分析思考过程可以看出‘确定各边顶点所应例2请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）・设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+3k2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=l,则k=10,直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中, 2+7=3+6=44-5=9,因此得到一个解为：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.若平4,则k=12,直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，117=2+6=3+5=8,因此得到第二个解为:a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.若a=7,则k=若,直线上另外两个数的和为7•在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+47,因此得到第三个解为：a=7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5, g=4.解：共得到三个解：如下图.上几霜翳疆胪，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数用每条直线例3如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三 个数的和都等于大圆圈上三个数的和.分析为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）⑴+（2）+（3） （a+b+c ）+56=3（a+b+c ）a+b+c=28贝Ua=28-（4+9）=15 b=28-（8+9）=11 c=28-（17+9）=2解：见图. H 892例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等,应怎样填？分析为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图(2)所示.设A+B+C=A+F+G-A+D+E=B+D+F=C+E+G=k(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.因为56+A为5的倍数，得A=4,进而推出k=12.因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=l,F=5,D=6,则012-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.解：得到一个基本解为：（见图）例5将1―16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中己填好八个数，请将其余的数填完.分析为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示.9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,c+d+e+f=34,化简得:a+c=104+6=10.e+g=193+16=19,6+13=19b+d=131+12=13,f+h=152+13=15,3+12=15.a,b,c,d,e,f,g,啦分别从1,2,3,4,6,12,13,16中选取.因为a+c=10,所以只能选a+c=4+6；b+d=13,只能选b+d=13；e+g=19,只能选e+g=3+16；f+h=15,只能选£+11=2+13若d=l,c=4,则e+f=34-1-4=29,有巳=16,f=13.若#1,c=6,则e+f=34-1-6=27,那么e、f无值可取,使其和为27.若d=12,c=4,则e+f=34-12-4=18,有巳=16,f=2.若#12,c=6,则e+若34-12-6=16,有『3,f=13.解：共有三个解（见图）.习题十二L如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于121其他条件不变，又应如何填？2.请在下图（1）中圆圈内填入1〜9这九个数，其中6,8已填好，要求A、B、C、D四个小三角形边上各数字之和全都相等.3,将1-10这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23,应怎样填？和四个正方形.若想打电话，必须首先将1〜12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打电话，那么你将怎样填数？5 .请在下图的空格内填入1〜46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之 和都等于93.应怎样填？6 .把1〜8这八个数字分别填入下图Q ）中的圆圈内，使每个圆周上与每条 直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.，下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的 数，使交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？四年级奥数上册：第十二讲数阵图习题中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形4.右图是一部古怪的电话, 0管/§习题十二1.如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于12”，其 他条件不变，又应如何填？2,请在下图Q ）中圆圈内填入1~9这九个数，其中6,8已填好，要求A 、B 、C 、D 四个小三角形边上各数字之和全都相等.3,将1~10这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字 之和都等于23,应怎样填？和四个正方形.若想打电话，必须首先将1〜12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打 电话，那么你将怎样填数？5.请在下图的空格内填入1〜46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之 和都等于93.应怎样填？ 中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形 4.右图是一部古怪的电话, Q4率由(1)6.把1〜8这八个数字分别填入下图Q）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.7,下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的数，使交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

10⼩学奥数——数阵+进位制试题及解析⼩学奥数——数阵、进位制⼀.选择题（共16⼩题）1.在右图的66⽅格内，每个⽅格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每⾏、每列、每个标有粗线的23长⽅形的六个字母均不能重复.那么，第四⾏除了⾸尾两个⽅格外，中间四个⽅格填⼊的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填⼊⼀个的表格中，使得每⾏每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各⼀个，⽽除以4的商也恰为0、1、2、3各⼀个.表格中已经填好了⼏个数，那么，这个表格中最下⽅⼀⾏的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.5283.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33的幻⽅中，使横向、纵向和对⾓线⽅向数字和相等，则(+=)A E4.将1，2，3，4，5，6分别填⼊66的⽅格⽹（如图所⽰）的36个⼩⽅格中，使得每⼀⾏每⼀列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现⼀次，并且满⾜与不等号相邻的两个数中⼩数是⼤数的约数，那么，第⼆⾏从左到右的第6个数是()（左图是⼀个33的例⼦）A.5B.4C.3D.25.9、“九宫阵”是⼀个99的⽅阵，它是由九个33的“九宫格”（图中⿊实线围住的⽅阵）组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填⼊空格内，使得每⾏、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现⼀次.当填写完后，那么，位于第4⾏第4列的数字是()A.2B.4C.6D.86.在如图⽅格表中的每个⽅格中填⼈⼀个字母，使得⽅格表中每⾏、每列及两条对⾓线上的四个⽅格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在⽅格应填的字母是()C.CD.D7.我国古代的“河图”是由33的⽅格构成，每个⽅格内均有数⽬不同的点图，每⼀⾏、每⼀列以及每⼀条对⾓线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④8.如图的九个⽅格中，分别填⼊九个整数，使得每⼀横⾏，每⼀竖列及每⼀条对⾓线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻⽅），现在已填⼊三个整数：1，3，4及⼀个☆号，那么含有“☆”号的⼩⽅格中应填⼊的数是()A.9B.8C.7D.69.如图有九个空格，要求每个格中填⼊互不相同的数，使得每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数之和都相等，则图中左上⾓的数是()A.9B.1610.九宫图的每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数的和都相等，那么x等于()A.47B.48C.50D.5111.古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的()A.出⼊相补原理B.等差数列求和C.⼗进制计数法12.⽤a，b，c，d，x分别表⽰五进制中5个互不相同的数字.如果adx，adc，aab是由⼩到⼤排列好的连续⾃然数，那么cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰是( ) A.48B.71C.82D.10813.⼆进制数2(101)可⽤⼗进制表⽰为2120215?+?+=，⼆进制2(1011)可⽤⼗进制表⽰为32120212111?+?+?+=，那么⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为( )A.25B.27C.29D.3114.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.213415.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.016.下列数不是⼋进制数的是( ) A.125D.128⼆.填空题（共30⼩题）17.N 是⼀个⼗进制中的⾃然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则⼗进制中N 最⼩值是 .18.在r 进制中有这样⼀个算式：10(120)(44)(2016)r r ?=，其中结果已转换为⼗进制，那么r = .（填数字）19.⼀个超过20的⾃然数N ，在14进制与20进制中都可以表⽰为回⽂数（回⽂数就是指正读与倒读都⼀样的数，⽐如12321、3443都是回⽂数，⽽12331不是回⽂数），N 的最⼩值为（答案⽤10进制表⽰）.20.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(230)(255)(+= 10). 21.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(135)(12)(+= 10).22.如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，⽐如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=?-+?-+?-+?-+?-，所以20就是“中环数”，⽽227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在⼩于1000的正整数中，“中环数”有个.23.将六进制中的数2015改写成⼗进制是 .24.请将⼗进制数120转化成⼆进制： .25.两个七进制整数454与5的商的七进制表⽰为 . 26.计算：(2)(2)1101101?=(2).27.⼗进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= 7（结果⽤七进制表⽰）28.巴依⽼爷请阿凡提为其整修花园，要求⼀个⽉完成，3⽉1⽇开始，31⽇结束，每天的⼯钱为⼀钱黄⾦.巴依⽼爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算⼯钱，巴依⽼爷只有⼀块31钱的⾦条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了次切割，就解决了问题.29.⼗进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2⽉23⽇，计算：77(2014)(223)+=7.（结果⽤七进制表⽰）.30.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? ⼆进制11011100101110111100031.仔细观察下⾯表⽰数的⽅式，第六⾏表⽰ .32.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1021024=，在⼆进制中就是10000000000.那么⼆进制中的“10110”⽤⼗进制表⽰是.33.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1021024=，在⼆进制中就是10000000000.那么，⼗进制中的2014⽤⼆进制表⽰是.34.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1022014=，在⼆进制中就是10000000000.那么，⼗进制中的1039⽤⼆进制表⽰是.在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了10111+=，?那么，⼆进制中的“111100”⽤⼗进制表⽰是 .36.⼗进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2⽉23⽇，计算：55(2014)(223)+=5.37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = .38.⼗进制计数法，是逢10进1，如102421041=?+?，21036531061051=?+?+?；计算机使⽤的是⼆进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=?+?+?=，3210212121202011100=?+?+?+?=，如果⼀个⾃然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最⼩的m = ，n = .（注:)n n aa a a a a ={个39.在美洲的⼀个⼩镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果⼗进制中的147在20进制中的读⾳是“seyth ha seyth ugens ”，⽽⼗进制中的49在20进制中的读⾳是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读⾳是“dew ha naw ugens ”的数指的是⼗进制中的数 .40.有⼀天，唐僧师徒四⼈来到⼀个被称为“长寿岛”的地⽅，迎⾯⾛来⼀位青年，他⾃称有101岁了，孙悟空灵机⼀动，出了⼏道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23?=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310?=.孙悟空仰天⼀笑，⼤声说，我知道你是岁.41.欢欢，迎迎各有4张卡⽚，每张卡⽚上各写有⼀个正整数.两⼈各出⼀张卡⽚，计算两张卡⽚上所写数的和，结果发现⼀共能得到16个不同的和.那么，两⼈卡⽚上所写数中最⼤数最⼩是 .42.⼆进制数进⾏加、减、乘、除运算时是满进⼀，退⼀作 . 43.把⼗进制数分别化成⼆进制数.44.⼀个⾃然数在四进制表⽰当中的各位数字之和是5，在五进制表⽰当中的各位数字之和是4，那么这个⾃然数除以3的余数是2，满⾜要求的最⼩⾃然数是（⼗进制表⽰） .45.把⼆进制数2(10111)化为⼗进制数是10；把⼗进制数10(37)化成⼆进制数是2.46.把5盏电灯并排安在台⼦上，⽤〇表⽰点亮的电灯，⽤●表⽰关掉的电灯.〇和●按⼀定的顺序排列，可以表⽰⼀定的数值，如图：“00101” 5=，省略最前⾯的零可简写成“1” 1=，“10” 2=，“11” 3=，“100” 4=，那么“11011” = ，“11110” = . 三.计算题（共4⼩题）47.⼆进制是计算技术中⼴泛采⽤的⼀种计数⽅法，⼆进制数是⽤0和1两个数字来表⽰的.其加、减法的意义我我们平时学习的⼗进制类似. （1）⼆进制加法.在⼆进制加法中，同⼀数位上的数相加只有四种情况：000+=，011+=，101+=，1110+=. ⼆进制加法算式和⼗进制写法⼀样，算法也⼀样，也要求数位对齐，从低位到遍位依次运算，但“满⼆进⼀”.例：（2）⼆进制减法.⼆进制减法算式和⼗进制写法⼀样，算法也⼀样，也要数位对齐，从低位到⾼位依次运算，相同数位上的数不够减时，向⾼⼀位借，但“借⼀当⼆”.例：阅读以上关于⼆进制的介绍，请你完成以下⼆进制计算.（要求列竖式计算）（1）10111- （2）101101101+.48.（1）把⼆进制数101011100写成⼗进制数是什么？（2）把⼗进制数234写成⼆进制数是什么？ 49.把下列⼗进制数分别改写成⼆进制数.（1）(10)17 （2）(10)23 50.计算下列各题. （1）(2)(2)10011100+ （2）(2)(2)10111001- （3）(2)(2)100111? （4）(2) (2)1110111÷参考答案与试题解析⼀.选择题（共16⼩题）1.在右图的66⽅格内，每个⽅格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每⾏、每列、每个标有粗线的23长⽅形的六个字母均不能重复.那么，第四⾏除了⾸尾两个⽅格外，中间四个⽅格填⼊的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E 【解析】依题意可知：⾸先根据排除法看第⼀宫格，第⼀列不能有A，第⼆⾏不能有A.那么A只能在第⼀⾏第⼆列.幻⽅规律排除法确定第三⾏第四列也是A；第四⾏第四列的数字是C；接着第五⾏第四列就是F；那么第⼆⾏的第四列是B；继续推理得：故选：C.2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填⼊⼀个的表格中，使得每⾏每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各⼀个，⽽除以4的商也恰为0、1、2、3各⼀个.表格中已经填好了⼏个数，那么，这个表格中最下⽅⼀⾏的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.528【解析】依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独.商的数独注意某两个格⼦如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利⽤这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格.故选：A.3.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33的幻⽅中，使横向、纵向和对⾓线⽅向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.24【解析】所以，151732+=+=A E故选：A.4.将1，2，3，4，5，6分别填⼊66的⽅格⽹（如图所⽰）的36个⼩⽅格中，使得每⼀⾏每⼀列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现⼀次，并且满⾜与不等号相邻的两个数中⼩数是⼤数的约数，那么，第⼆⾏从左到右的第6个数是()（左图是⼀个33的例⼦）A.5B.4C.3故选：D.5.9、“九宫阵”是⼀个99的“九宫格”（图中⿊实线围住的⽅阵）的⽅阵，它是由九个33组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填⼊空格内，使得每⾏、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现⼀次.当填写完后，那么，位于第4⾏第4列的数字是()A.2B.4C.6D.8【解析】由分析可知位于第4⾏第4列的数字是2；故选：A.6.在如图⽅格表中的每个⽅格中填⼈⼀个字母，使得⽅格表中每⾏、每列及两条对⾓线上的四个⽅格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在⽅格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D【解析】如上图：①D≠、C、A，只能是B；同理，★部分的字母A≠、B、D，只能是C，所以，★部分的⽅格中填⼊的字母是C.故选：C.7.我国古代的“河图”是由33的⽅格构成，每个⽅格内均有数⽬不同的点图，每⼀⾏、每⼀列以及每⼀条对⾓线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④【解析】每个点表⽰1，中间数就是5，幻和是5315=.左下⾓的数是：15528--=，P点的数是：15816--=.P点有6个点组成，与③相同.故选：C.8.如图的九个⽅格中，分别填⼊九个整数，使得每⼀横⾏，每⼀竖列及每⼀条对⾓线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻⽅），现在已填⼊三个整数：1，3，4及⼀个☆号，那么含有“☆”号的⼩⽅格中应填⼊的数是()A.9B.8C.7D.6【解析】如图341B=，=，即12A B A=?，☆31249=?÷=.，因此4☆312C3C B=☆4故选：A.9.如图有九个空格，要求每个格中填⼊互不相同的数，使得每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数之和都相等，则图中左上⾓的数是()A.9B.16C.21D.23【解析】如图，设相应⽅格中的数为1x ，2x ，3x ，4x ；由已知条件：⾏、列及对⾓线的三个数的和都相等，可以列出下⾯的等式（⽅程）: ？⼗1x ⼗2x =？3413213x x x x x ++=++=⼗419x +，这样，前⾯两个式⼦的和就等于后⾯两个式⼦的和，即有2?？1x +⼗23411319x x x x ++=++⼗234x x x ++，所以1319162+==. 答：图中左上⾓的数是16. 故选：B .10.九宫图的每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数的和都相等，那么x 等于( )A.47B.48C.50D.51【解析】幻和是：23739x x ++=+， (39)1623c x x =+--=， (39)372321a x x =+--=-，(39)(21)1639211644b x x x x =+---=+-+-=； (39)443742e x x =+--=-；所以：(21)(42)39x x x x +-+-=+214239x x x x ++--=+ 2102x = 51x =. 故选：D .11.古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的( ) A.出⼊相补原理B.等差数列求和C.⼗进制计数法【解析】古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的⼗进制计数法；故选：C .12.⽤a ，b ，c ，d ，x 分别表⽰五进制中5个互不相同的数字.如果adx ，adc ，aab 是由⼩到⼤排列好的连续⾃然数，那么cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰是( ) A.48B.71C.82D.108【解析】由于是连续的正整数，且adc ，aab ，个位与⼗位均发⽣了变化，可知是发⽣了进位，因为1adc adx -=，所以1c x -=. ⼜因1aab adc -=，即：(5)(5)1a b d c +-+=，所以5()()1a d b c -+-=；由于a ，b ，c ，d ，e 都是0⾄4之间的不同整数，从⽽可以推知：1a d -=，4c b -=.经检验，得4c =，0b =，3e =，2a =，1d =，于是有： 5(413)cdx =，210451535+=?+??， 42553=?++， 10053=++， 108=.答：cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰108. 故选：D .13.⼆进制数2(101)可⽤⼗进制表⽰为2120215?+?+=，⼆进制2(1011)可⽤⼗进制表⽰为32120212111?+?+?+=，那么⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为( )A.25B.27C.29D.31【解析】2(11011)，432101212021212=?+?+?+?+?， 168021=++++，2421=++，27=；⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为27. 故选：B .14.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.2134【解析】因为五进制数不可能出现5，6，7，8，9，所以55、106、732不可能是五进制数，2134有可能是五进制数，所以有可能是五进制数的是2134. 故选：D .15.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.0【解析】3894971÷=?，（末位） 974241÷=?， 24460÷=?， 6412÷=?， 1401÷=?，把所有余数倒序排列，即：12011. 所以，10(389)(=412011)，所以，把389化为四进制数的末位为1. 故选：A .16.下列数不是⼋进制数的是( )A.125B.126C.127D.128【解析】⼋进制的数是由除以8的余数得来的数计数的，不可能出现8，所以128不合题意；故选：D .⼆.填空题（共30⼩题）17.N 是⼀个⼗进制中的⾃然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则⼗进制中N 最⼩值是 13 .【解析】从上表可以看出符合条件的数最⼩是13. 故答案为：13.18.在r 进制中有这样⼀个算式：10(120)(44)(2016)r r ?=，其中结果已转换为⼗进制，那么r = 7 .（填数字）【解析】10(120)(44)(2016)r r ?=2(12)(44)2016r r r ?+??+= (1)(2)789r r r ?+?+=?? 7r =故答案为：7.19.⼀个超过20的⾃然数N ，在14进制与20进制中都可以表⽰为回⽂数（回⽂数就是指正读与倒读都⼀样的数，⽐如12321、3443都是回⽂数，⽽12331不是回⽂数），N 的最⼩值为 105 （答案⽤10进制表⽰）.【解析】因为20N >，所以N 在14进制与20进制中都不是⼀位数，我们希望N 尽可能⼩，故设1420()()N aa bb ==，即1420N a a b b =+=+，所以1521N a b ==，即N 是15的倍数，⼜是21的倍数，即是357105??=的倍数，⽽101420(105)(77)(55)==，符合题意，故N 的最⼩值为105. 故答案为105.20.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(230)(255)(+= 197 10). 【解析】26(230)2636017218090=?+?+?=++=26(255)26565172305107=?+?+?=++= 90107197+=故答案为：197.21.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(135)(12)(+= 67 10). 【解析】解法⼀：666(135)(12)(151)+=2106(151)1656163618567=?+?+?=++=解法⼆：2106(135)1636563618559=?+?+?=++=106(12)16268=?+?= 59867+=故答案为：67.22.如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，⽐如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=?-+?-+?-+?-+?-，所以20就是“中环数”，⽽227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在⼩于1000的正整数中，“中环数”有 31 个.【解析】由题意，910210002<<，所以1000化为⼆进制为10位数，由于如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。