小世界网络及其性质

小世界网络（SWN）及其在经济管理领域的应用
小世界网络(SWN)及其在经济管理领域的应用
小世界网络(SWN)理论由物理、数学、行为科学和计算机科学等多学科交叉生成,用以说明世界上几乎任何两个人都可以通过中间人用较少的连接联系起来,其典型连接数为6-本文称之为"六度分离".SWN 理论一经使用,势必为经济管理领域带来全新思路,提供一种有效的技术工具,展现出广泛的适用性和广阔的发展前景.本文介绍有关SWN的由来、原理及其在经济管理领域的应用.
作者：田颖杰李南江可申作者单位：南京航空航天大学刊名：世界经济研究 PKU CSSCI英文刊名：WORLD ECONOMY STUDY 年，卷(期)：2001 ""(6) 分类号：关键词：网络结构小世界网络随机网络特征路径长度集团化。

多尺度小世界网络的可视化摘要有很多在信息可视化领域下研究的网络是”小世界”网络。

这些网络起先出现在对社会网络的研究并且证明是与其他应用领域相关的模型，如软件逆向工程和生物学。

此外，很多这些网络实际上都有多尺度性质：它们可以看做是一组一组的小世界网络。

我们描述一个设计好的用来识别小世界网络里最弱边的度量标准，从而开发出一个简单的低成本的过滤程序（将一个图分割成很小的并且高度关联的部件）。

我们通过一个基于语义缩放的网络交互式的导航来展示这个度量标准是如何被开发的。

一旦网络分解为一系列的子网层次，用户可以很容易地找到演员群的集体和其子团体，从而了解他们的动态。

关键词:小世界网络，多尺度图，聚类度量，语义缩放。

1．小世界网络小世界现象是第一次被Milgram 提出来的，他是研究社会网络结构的。

他进行了一次如今众所周知的实验，每个志愿者将一封信寄给给一个他们认为最有可能将这封信传递给其‘接受者’的朋友，然后他的朋友再把信寄给他认为更接近这名‘接受者’的朋友（‘接受者’是一名工作在波士顿股票经纪人）。

最终，大部分信件都寄到了这名股票经纪人手中，每封信平均经手6．2次到达。

（Milgram认为世界上任意两个人之间建立联系，最多只需要6个人）这个结果表明：所有的信件都可以以这种方式交付，通过一条平均由六个人组成的路径。

这个理论经常引用为“六度分隔”准则。

这种网络的研究获得了重生并且被Watts和Strongatz 推广到很多其他的领域。

小世界网络的典型特点主要停留在两个结构参数上:1.平均的路径长度2、节点的聚簇索引。

大致上，小世界网络使得结点的子集高度聚集，而结点与结点之间只有几步的距离。

更确切的说，在一个小世界网络中的平均路径长度与一个随机图形（拥有相同的边界号码）的路径长度相比，它的结点的聚簇索引平均更大。

很多重要的现实世界的例子是小世界网络。

这些已经被Watts 在观察神经网络时发现了。

小世界网络在这个领域的应用已经被Kashuringagan更深的讨论了。

关于小世界网络的文献综述一，小世界在P2P网络方面的研究Small-World模型 (也称 W-S 模型 )是由 W atts和 Strogatz于 1998年在对规则网络和随机网络的研究的基础上提出的。

从本质上说 , W-S模型网络是具有一定随机性的一维规则网络。

W -S模型中定义了两个特征值:(1)特征路径的平均长度 L:它是指能使网络中各个节点相连的最少边长度的平均数 ,即小世界网络的平均距离 ;(2)聚类系数 C:表示近邻节点联系紧密程度的参数。

Scale-F ree网络 ,又称无标度网络。

这类网络中，大多数节点的连接度都不大 ,只有少数节点的连接度很高 ,可以将这些少数节点看成中心节点。

这样的节点一般连接不同的区域, 是重要节点 (或称关键节点 ), 起着簇头的作用。

它们使网络通信范围更广, 可用资源更丰富 , 查询和搜索效率更高。

Barabási和 A lbert (BA)等人研究发现节点的连接具有偏好依附的特性。

因此 ,网络规模随着新节点的加入而增大,但新加入的节点偏向于连接到已存在的具有较大连接度的节点上去。

简要介绍了Small-World模型和Scale-Free模型, 详细介绍了小世界现象在P2P网络中资源搜索以及网络安全方面可能的3个应用点, 并提出了一种基于“小世界现象”的高效的资源搜索策略———关键节点资源搜索法。

该搜索法将中央索引模型和泛洪请求模型相结合, 一方面增强了可伸缩性和容错性, 另一方面避免了消息泛滥, 使得搜索效率明显增强。

二、小世界网络概念方面的研究Watts和Strogatz开创性的提出了小世界网络并给出了WS小世界网络模型。

小世界网络的主要特征就是具有比较小的平均路径长度和比较大的聚类系数。

所谓网络的平均路径长度，是指网络中两个节点之间最短路径的平均值。

聚类系数被用来描述网络的局部特征，它表示网络中两个节点通过各自相邻节点连接在一起的可能性，以及衡量网络中是否存在相对稳定的子系统。

小世界效应和无标度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分提供了关于小世界效应和无标度网络的背景和概要信息。

本节将介绍这两个概念的起源和基本定义，以及它们在网络科学领域的重要性和研究意义。

小世界效应是指在一个具有大量节点的网络中，任意两个节点之间的距离很短，通常只需要经过少数几个中间节点即可到达。

这个现象最早由社会学家斯坦利·米尔格拉姆在1967年的实验中发现，并在1998年由弗兰克和温图拉提出了更为系统的定义。

小世界网络在现实生活中存在广泛，例如社交网络、物流网络和互联网等，这种网络结构具有高效的信息传递和快速的交流特点。

无标度网络是另一个重要的网络拓扑结构，在这种网络中，节点的度数（即与其相连的边的数量）遵循幂律分布。

这意味着有少量的节点具有非常高的度数，而大多数节点的度数相对较低。

这种网络结构的重要性得到了巴拉巴西等学者的广泛研究和关注。

无标度网络具有高度的鲁棒性和抗击毁性，在信息传播、疾病传播和网络攻击等方面具有重要的应用价值。

小世界效应和无标度网络在网络科学领域被视为两个重要的研究课题。

研究人员通过模型构建、实证分析和理论解释等多种方法，探索了这两个概念之间的关系和相互作用。

理解小世界效应和无标度网络的特性和行为规律，有助于我们更好地理解和设计现实世界中的各种网络系统，并且对社会、经济和生物系统等领域的研究有着重要的启示作用。

在接下来的章节中，我们将从不同角度对小世界效应和无标度网络进行深入的研究和分析。

我们将讨论它们的定义、原理、特征，探索它们的影响和应用，并探究它们之间的关系和相互影响。

最后，我们将总结主要观点，评价小世界效应和无标度网络的意义和影响，并提出未来进一步研究的建议。

通过这篇长文的阅读，读者将对小世界效应和无标度网络有一个更全面和深入的了解。

文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、小世界效应、无标度网络、小世界效应和无标度网络的关系以及结论。

小世界效应的网络舆情演化迁移元胞模型小世界网络是具有两个重要特性的网络，第一个特性是“短路径”，即通过少数转发节点，信息可以在网络中快速传递。

第二个特性是“聚集性”，即网络中的节点呈现群集化特征，同一社区内的节点联系紧密，而不同社区间联系相对较少。

小世界效应指的就是这种网络结构的特性，它在各种领域的研究中都有广泛应用。

网络舆情是指由网络传播所引发的针对某一主题或事件的舆论。

随着新媒体的发展，网络舆情已成为现代社会的重要问题之一。

研究网络舆情迁移的元胞模型是网络科学领域的一种重要研究方法，它可以帮助我们理解信息在网络中的传播过程，进而预测社会事件的发展趋势。

本文采用元胞自动机模型进行网络舆情演化迁移的分析，基于小世界网络的结构特点，综合考虑舆情节点的情感倾向、信息传播范围等因素，探究网络舆情演化过程中的关键因素和演化规律。

在模型的设计中，我们将网络中的节点分为三类：负面节点、中立节点和正面节点。

对于每个节点，我们设定其具有一定的个体情感倾向，并给出一个取值范围（-1到1之间）。

模型还考虑到每个节点的邻居节点，即与该节点相连的节点，包括近邻节点（直接相连）和远邻节点（通过其他节点连接）。

这种影响范围的设计是基于小世界网络的“短路径”特性。

在模拟过程中，我们假设负面节点的信息传播效率较高，即一个负面节点可以较快地将负面信息传递给其邻居节点；正面节点的信息传播效率较低；中立节点则不会主动传播信息，只有当其邻居节点传来信息时才会转发。

这是基于对不同节点类型信息传播特性的观察。

通过模拟可以发现，网络舆情的演化过程受到两个因素的影响：情感倾向和信息范围。

当负面节点数量较多、正面节点数量较少时，网络舆情往往呈现负面倾向；当正面节点数量占据优势时，网络舆情会逐渐向正面倾向演化。

在情感倾向相同的情况下，节点与邻居的联系紧密程度也会影响信息的传播效率。

在小世界网络中，有些节点既有短程联系，也有长程联系。

这种联系模式面临的挑战是如何在保证短程联系的同时，加强两个社区间的联系。

课题：WS小世界网络模型构造姓名赵训学号 2班级计算机实验班一、WS 小世界网络简介1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念,并建立了WS模型。

实证结果表明,大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的最短路径) 和聚类特性(较大的聚类系数) 。

传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性,但并不具有小世界特性;而ER 随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。

因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。

Watts 和Strogatz建立的WS小世界网络模型就介于这两种网络之间,同时具有小世界特性和聚类特性,可以很好的来表示真实网络。

二、WS小世界模型构造算法1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。

2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。

其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。

在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图a所示。

图a相应程序代码（使用Matlab实现）ws_net.m （位于“代码”文件夹内）function ws_net()disp('WS小世界网络模型')N=input('请输入网络节点数');K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');p=input('请输入随机重连的概率');angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;x=100*cos(angle);y=100*sin(angle);plot(x,y,'r.','Markersize',30);hold on;%生成最近邻耦合网络；A=zeros(N);for i=1:Nif i+K<=Nfor j=i+1:i+KA(i,j)=1;endelsefor j=i+1:NA(i,j)=1;endfor j=1:((i+K)-N)A(i,j)=1;endendif K<ifor j=i-K:i-1A(i,j)=1;endelsefor j=1:i-1A(i,j)=1;endfor j=N-K+i:NA(i,j)=1;endendenddisp(A);%随机化重连for i=1:Nfor j=i+1:Nif A(i,j)==1pp=unifrnd(0,1);if pp<=pA(i,j)=0;A(j,i)=0;b=unidrnd(N);while i==bb=unidrnd(N); endA(i,b)=1;A(b,i)=1;endendend%根据邻接矩阵连线for i=1:Nfor j=1:Nif A(i,j)==1plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on;endendendhold offaver_path=aver_pathlength(A);disp(aver_path);对应输出（取网络节点数N=16，K=2；p分别取0，0.1，1）。

浅谈小世界网络20世纪末，很多科学家发现研究过的自然、社会和技术网络中，大都具有这些特征：高度的集群性、不均衡的度分布以及中心节点结构。

这些特征的出现不是偶然的，为什么现实世界中的网络会具有这些特征呢？这是网络科学的主要问题，目前基本上已经通过建立网络的发展模型解决了。

其中有两类模型被深入地进行了研究，分别是小世界网络和无尺度网络，这里结合原始论文谈谈对小世界网络的认识。

1998年，邓肯·瓦特和斯托加茨在《自然》杂志上发表了关于小世界网络模型的论文Collectivedynamics of‘small-world’ n etworks，首次提出并从数学上定义了小世界概念，并预言它会在社会、自然、科学技术等领域具有重要的研究价值。

所谓小世界网络，就是相对于同等规模节点的随机网络，具有较短的平均路径长度和较大的聚类系数特征的网络模型。

以前，人们认为网络分为完全规则网和完全随机网，这两类网络具有各自的特征。

规则网具有较大的特征路径长度，聚类系数也较大，而随机网络具有较小的特征路径长度，但是聚类系数较小。

难道特征路径长度较大（小）一定伴随着较大（小）的聚类系数？另外，很多现实中的网络如电网，交通网络，脑神经网络，社交网络，食物链等都表现出小世界特性，即具有较小的特征路径长度。

Watt采用一种随机重连边的方法，以探求位于规则网和随机网的中间地带。

如图：规则网有N个节点,每个节点与K个最近邻节点相连（K是偶数）。

上图的规则网有20个节点，每个节点与相邻的4个节点互联。

然后，对每条边进行以概率P进行随机重连（0<=P<=1）。

P=0时对应规则网，P=1时对应完全随机网，通过调整P的值可以得到位于两种网络中间的网络模型，然后探究其特征。

通过实验并统计网络呈现出的特征，得到下图（归一化处理后）。

可见，在P较小时(P<0.01)，特征路径长度急剧下降，而聚类系数几乎没有变化。

这样，我们发现这些网络具有较短的特征路径长度和较大的聚类系数，我们称其为“小世界网络”。

网络科学中的复杂网络模型网络科学是一个快速发展的领域，涉及到许多重要的应用和领域，包括社交网络、生物网络、交通网络、金融网络等等。

这些网络在不同的领域和场景下都有其独特的特点和规律，而其中一个重要的方面就是复杂网络模型。

复杂网络模型是一个包含了许多不同类型节点和边的网络，它们可以呈现出高度动态和非线性的特性，在一定程度上可以反映真实世界的复杂性。

这种网络的特点往往会影响到网络的结构、动态行为和演化轨迹等方面的研究。

因此，我们对复杂网络模型的研究具有重要的理论和实践意义。

在这篇文章中，我们将深入探讨网络科学中常用的复杂网络模型，包括小世界网络、无标度网络、随机网络和人为网络等。

1、小世界网络小世界网络是基于熟人和陌生人社交网络的研究产生的，其特点是节点之间的链接比较紧密，但节点之间的距离又相当短。

实际上，我们在现实世界中所处的社交网络，可以类比为小世界网络。

在小世界网络中，每个节点与相邻节点之间的链接形成了一个固定的结构，而节点之间的链接可以通过随机连接来实现，从而形成了一种与真实世界相似的混合网络模型。

小世界网络在现实生活中得到了广泛的应用，如社交网络、电力网络、交通网络等等。

2、无标度网络在许多复杂系统中，节点之间的连接并不是随机的。

这些系统中的节点往往具有极为不平衡的度分布，即存在少数节点度较高，但绝大部分节点度较低的现象。

这种网络模型被称为无标度网络。

无标度网络在许多生物、社会和技术系统中得到了广泛的应用，如人脑神经网络、因特网、科学合作网络等。

研究人员认为，这种网络模型能够表达一种底层的组织结构，这种结构决定了网络的分布规律和演化规律。

3、随机网络随机网络是一种基于随机规律产生的网络结构，节点之间的连接是随机产生的。

这种网络模型通常不包括任何固定的结构或规则，而是依靠节点之间的随机链接来完成网络的组成。

随机网络广泛应用于电子商务、物流、通信和交通系统等领域。

这种网络模型的特点是节点和链接的随机性，因此能够表达系统中的不确定性和不稳定性。

脑功能连接网络的拓扑结构和信息传递特性分析在人类的大脑中，神经元通过连接形成了复杂的网络结构，这个结构被称为脑的拓扑结构。

拓扑结构决定了脑内信息传递的特性，也是人们理解脑功能的重要基础之一。

本文将对脑功能连接网络的拓扑结构和信息传递特性进行详细分析，并探讨其在神经科学研究中的意义。

首先，脑功能连接网络的拓扑结构主要有三种类型：随机网络、小世界网络和无标度网络。

随机网络是指神经元之间的连接呈随机分布，这种结构下的信息传递效率较低；小世界网络是指大部分神经元之间的连接呈随机分布，但也存在一些高度集中的连接，这种结构下信息传递具有高效性与短路径特性；无标度网络是指部分节点拥有大量连接，而大多数节点只有少数连接，这种结构下信息传递更具高效性与鲁棒性。

了解这些拓扑结构有助于我们理解脑网络的组织方式以及信息传递的特性。

其次，脑功能连接网络的信息传递特性主要有两个方面：小世界性和鲁棒性。

小世界性是指脑网络具有较短的平均路径长度和较高的聚集系数，这使得信息能够快速传递、高效处理；鲁棒性是指脑网络对节点的损失或破坏具有一定的容忍度，能够保持部分功能恢复。

小世界性和鲁棒性是脑功能连接网络能够适应不同环境和应对损伤的重要特性，也是脑网络能够实现高效信息处理的基础。

除了拓扑结构和信息传递特性，脑功能连接网络还具有其他一些重要特征。

例如，模块化和分层性是脑网络的显著特点。

模块化指的是脑网络中存在一些独立的功能单元，这些功能单元之间存在着相对密集的内部连接；分层性指的是脑网络结构的层次性，即不同的层次间存在特定的连接模式和传递方式。

模块化和分层性对于脑网络的信息处理和协调起着重要作用，同时也为研究脑网络的功能模块提供了线索。

研究脑功能连接网络的拓扑结构和信息传递特性对于理解脑功能和疾病机制具有重要的意义。

首先，研究拓扑结构可以帮助我们理解脑网络之间的连接方式以及其与脑功能之间的关系。

例如，一些疾病可能与脑网络的拓扑结构异常有关，通过研究这些异常可以帮助我们识别疾病的机制以及寻找治疗方法。

微观小世界赏析微观小世界是一种错综复杂的网络模型，也被称为小世界网络。

它在复杂网络中具有广泛的应用，如社交网络、互联网、神经网络等。

该模型由美国社会学家斯坦利·米尔格兰姆于1998年首次提出。

微观小世界模型基于以下两个假设：1. 所有节点之间互相连接；2. 在网络中新增一些非常短的边连接相距较远的节点。

在传统的网络模型中，节点之间的连接通常是长距离的，导致信息传播的难度。

而微观小世界模型引入了短距离连接的概念，使得节点之间的距离变得更近，进而提高了信息传播的效率。

在微观小世界模型中，连接两个节点的概率与这两个节点之间的距离成反比。

这种连接方式使得网络的直径保持在较小范围内，从而降低了信息传播的路径长度。

实际上，只需要少数节点即可将信息传递到整个网络中的其他节点。

除了具有短路径长度的特点，微观小世界模型还具有高聚集性的特点。

这意味着在网络中，节点之间的连接更加密集，形成了一个聚集系数较高的结构。

这种高聚集性使信息在网络中更容易传播和扩散。

微观小世界模型的发现对于理解和研究复杂网络具有重要的意义。

它揭示了复杂网络中存在着一种既具有高效传播特性又具有较高聚集性的网络结构。

在实际应用中，微观小世界模型的特点被广泛应用于社交网络、互联网搜索引擎、流行病传播等领域。

在社交网络中，微观小世界网络的特点解释了社交圈子之间的联系。

虽然每个人的社交圈子较小，但通过一两个亲密关系的介绍，任何两个人之间都可以建立联系。

这种联系方式也使得信息在社交网络中快速传播。

在互联网搜索引擎中，微观小世界模型的特点使得搜索引擎可以快速找到与搜索关键词相关的网页。

通过少数几次点击链接，就可以在整个网络中找到相关信息。

在流行病传播中，微观小世界模型可以帮助研究人员预测和控制疾病的传播路径。

通过发现和隔离少数节点，就可以有效地遏制疾病的传播。

总之，微观小世界模型在复杂网络中具有重要的地位和应用前景。

它的短路径特性和高聚集性为信息传播和社交联系提供了理论基础。

小世界网络及其性质复杂网络是多主体系统的一个子集，对它的研究是计算经济学的一个重要研究领域。

而贸易网络又是复杂网络在社会科学领域的一个子集，因此要讨论贸易网络，首先要关注关于复杂网络的一般性研究。

在本章中，我们先介绍复杂网络研究的一个重要成果，即小世界模型，这为后面讨论贸易网络做准备。

因为小世界模型只是一个纯粹的数学问题，并不包含某一学科的特殊含义，因此要首先讨论贸易网络的经济学意义，这是从一个简单的分工协调问题开始的。

之后，我们进一步的追问，贸易网络是否也具有小世界这样一个普遍存在的性质。

1、多主体系统中的复杂网络我们生活在各种各样的网络之中。

在与同学、朋友、老师交往的时候，我们处于一个人际关系网络中；在我们使用各种电器的时候，我们处于一个电力网络中，很多发电厂、变电所、输电线构成了这个网络；我们去银行取钱的时候，便处于一个银行网络之中，而银行又可以与各种投资者，贷款人联系，这又是一个更大的网络。

复杂网络是最近几年新兴起来的一个研究方向，如图 3.1 所示，复杂网络是多主体系统的一个子集，它里面还包括了社会关系网络（社会学）、神经网络（生物学）、计算机网络（计算机科学）、贸易网络（经济学）等等诸多的网络类别。

复杂网络是多主体系统研究的一个重要分支，对社会网络、贸易网络的分析是计算经济学（ACE）的一个主要领域。

ACE 在社会科学角度对复杂网络的研究主要关注以下几个方面：（1）市场或人际关系网络的拓扑结构究竟是什么样的。

（2）这些网络结构的微观基础是什么，即如何从个体的行为出发，通过自下而上的建模涌现出这样的网络。

（3）社会科学领域的网络与其它领域的网络能否找到一致的共性特征。

社会科学可家能是最早观察到小世界现象的，因此可以相信，通过对经济世界中的网络的研究，可能会促进对一般网络的理解。

2、小世界模型在这一节中，我们将介绍小世界模型，这个成果最初由 Duncan J. Watts 以及Steve Strogatz 发表在 1998 年六月的 Nature 杂志上，题目是 Collective Dynamics of Small-World Networks。

复杂网络的小世界性质复杂网络是指由大量节点和连接构成的网络，在现实生活中广泛存在，如社交网络、互联网、神经网络等。

与传统的规则网络和随机网络相比，复杂网络具有许多独特的性质和特征，其中之一就是小世界性质。

本文将探讨复杂网络的小世界性质及其对网络结构和信息传播的影响。

一、小世界性质的定义小世界性质是指复杂网络中节点之间的平均最短路径长度较短，且具有较高的聚类系数。

平均最短路径长度指的是网络中任意两个节点之间的最短路径的平均长度，聚类系数反映了节点邻居之间连接的密集程度。

二、小世界模型为了更好地理解复杂网络的小世界性质，研究者提出了小世界模型。

在小世界模型中，网络由一个规则网络和一个随机网络组成，规则网络保持节点的长程连通性，而随机网络引入了一定的短程连结。

通过适当的调整规则网络和随机网络的比例，可以使得网络既兼具规则性又具备小世界性。

三、小世界性质的重要作用复杂网络的小世界性质对网络结构和信息传播具有重要的影响。

1. 网络结构：小世界性质使得复杂网络具有更高的鲁棒性和快速传播性。

在一个小世界网络中，当节点失败或被攻击时，大部分节点仍然可以通过少数路径快速到达其他节点，网络整体的连通性不会受到很大的影响。

2. 信息传播：小世界性质促进了信息在网络中的快速传播。

由于节点之间的平均最短路径较短，信息可以通过相对较少的步骤传播到网络中的绝大部分节点。

这对于信息传播、病毒传播以及谣言扩散等具有重要的实际应用价值。

四、小世界性质的形成机制小世界性质的形成主要受到节点之间的长程连通和短程连结的影响。

1. 长程连通：规则网络的存在提供了节点之间的长程连通。

每个节点与其远离的节点都保持一定的联系，使得网络能够在不同节点之间进行信息传递和资源共享。

2. 短程连结：随机网络的引入增加了节点之间的短程连结。

每个节点都与一些随机选取的其他节点直接相连，这些短程连结使得节点之间的距离变短，从而缩短了网络的平均最短路径长度。

五、小世界性质的应用领域小世界性质在许多领域具有广泛的应用，其中包括社交网络分析、疾病传播建模、信息传播研究等。

小世界网络MATLAB建模1.简介小世界网络存在于数学、物理学和社会学中，是一种数学图的模型。

在这种图中大部份的结点不与彼此邻接，但大部份结点可以通过任一其它节点经少数几步就可以产生联系。

若将一个小世界网络中的点代表一个人，而联机代表人与人之间是相互认识的，则这小世界网络可以反映陌生人通过彼此共同认识的人而起来产生联系关系的小世界现象。

在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。

小世界网络就是对这种现象的数学描述。

用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。

除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。

许多经验中的图可以用小世界网络来作为模型。

因特网、公路交通网、神经网络都呈现小世界网络的特征。

小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）在1998年引进的，将高聚合系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS模型），这也是最典型的小世界网络的模型。

由于WS小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，纽曼(Newman)和瓦茨(Watts)提出了NW小世界网络模型，该模型是通过用“随机化加边”模式来取代WS小世界网络模型构造中的“随机化重连”。

在考虑网络特征的时候，使用两个特征来衡量网络：特征路径长度和聚合系数。

特征路径长度（characteristic path length）：在网络中，任选两个节点，连同这两个节点的最少边数，定义为这两个节点的路径长度，网络中所有节点对的路径长度的平均值，定义为网络的特征路径长度。

这是网络的全局特征。

聚合系数(clustering coefficient)：假设某个节点有k个边，则这k条边连接的节点之间最多可能存在的边的个数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚合系数。

大量的实证研究表明，许多真实网络都具有小世界效应，有的甚至具有所谓的超小世界效应，小世界网络模型正是模拟了真实网络的这一特点。

1998年Watts和Strogatz提出了一种小世界网络模型（WS)的构造方法：对规则网络中每一个节点的所有连边，以一定的概率P断开一个端点，然后重新连接到其他任意一节点上，如图2．1。

当重连概率P=0时，网络是一个规则网络；P=1时形成的网络为完全随机网络；当0<P<1时，形成的网络为小世界网络。

小世界网络是介于完全规则网络和完全随机网络之间的网络，既具有与规则网络类似的类聚特性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度，即同时具有大的簇团系数和小的平均最短距离。

对WSd"世界网络统计特性模拟研究的结果如图2．3所示，当P=0等于零时，即对于规则网络来说，簇团系数C(P)和最短距离，(p)都较大，当P=l时，即对于随机网络来说，系统的簇团系数和最短距离都较小，而存在一个很大的P的区域，系统同时具有大的簇团系数和较小的最短距离，此即是世界效应。

WS小世界网络的构造，P=0时，是一规则网络，P=1时是完全随机网络，0<P<1时，是一小世界网络，同时具有固定连边和长程随机连边。

随着对网络研究的深入，人们发现真实网络在许多性质上与随机网络仍然有比较大的差别。

在现实世界中很多网络并不能抽象成为规则网络，也不能抽象成为随机网络，而是一种介于规则网络和随机网络之间的一种网络。

这些网络存在我们称之为“小世界效应”的特性。

对于“小世界效应’’的研究可以追溯到1967年。

在那一年，著名的心理学家Mil掣锄在HaⅣard大学做过一个简单的实验。

这个实验的过程可以进行如下简述：Mil孕锄随机的将一些信件分发给内布拉斯加少}I(Nebraska)的一些实验参与者，这些信件的送往的目的地是马萨诸塞州(Massachusetts)的首府波士顿(Boston)(之所以这么选择，是因为Mil留am认为这两个地方相距甚远)。

复杂网络的特性与应用研究复杂网络是指由大量节点和边组成的非线性网络。

在复杂网络中，节点之间相互连接形成了复杂的拓扑结构，这种结构使得网络的行为表现出多样性和非线性，产生了许多有趣的特性。

本文将介绍一些复杂网络的特性和应用研究。

一、小世界网络小世界网络是指在网络中，节点之间的连接呈现出高度的局部聚集性和短路径的全局连通性。

这种结构是由于存在一些“枢纽节点”，这些节点具有极高的度数，连接了大量的节点。

小世界网络在现实世界中广泛存在，例如社交网络、互联网等。

小世界网络的特点是具有高度的效率和鲁棒性。

在网络中引入大量的短程边可以加速信息传播的速度，而且在攻击或随机故障的情况下，小世界网络仍然可以维持连通性和稳定性。

二、无标度网络无标度网络是指节点的度分布呈现出幂律分布的网络。

换句话说，少数节点具有极高的度数，而绝大多数节点的度数较低。

无标度网络可以模拟许多现实世界中的现象，如互联网中的超链接结构、社交网络中的社区结构等。

无标度网络的特点是具有高度的鲁棒性和易受攻击性。

因为少数的高度连接节点对于整个网络的连通性至关重要，所以在攻击或随机故障的情况下，无标度网络的稳定性会受到很大的影响。

三、复杂网络的应用研究复杂网络的应用研究具有广泛的领域，包括社交网络、生物网络、金融网络、交通运输网络等。

在社交网络中，复杂网络可以用来研究人际关系的网络结构和信息传播的机制。

在生物网络中，复杂网络可以应用于研究基因相互作用网络、蛋白质相互作用网络等生物信息学问题。

在金融网络中，复杂网络可以用于分析金融市场的稳定性和研究风险管理策略。

在交通运输网络中，复杂网络可以应用于交通拥堵的模拟和路网优化问题等。

总之，复杂网络是现代科学研究中不可缺少的工具之一。

通过对其特性和应用研究的深入探索，我们可以更好地理解和应对现实中面临的各种问题。