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● 基础知识落实 ●1、弹簧振子： 2.单摆（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装臵.单摆是实际摆的理想化物理模型.（2）.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.②单摆的周期公式 π2 g lT =，由此式可知T ∝g1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.②测定重力加速度：由gl T π2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl .知识点一、弹簧振子：1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。
2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。
3、弹簧振子的周期：km T π2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。
② 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放臵的环境和放臵的方式无任何关系。
如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T ，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放臵、倾斜放臵还是竖直放臵；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T 。
单摆1. 单摆（1）如果悬挂小球的细线质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆．（2）在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，可将单摆的运动视为简谐运动． （3）周期公式 ①2lT gπ=，其中摆长l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值． ②单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅和小球的质量无关． ③周期公式中，g 与单摆所处的物理环境有关： 不同星球表面，2GMg R =； 单摆处于超重或失重状态时，g 为等效重力加速度0g g a =±，例如：轨道上运行的卫星中，单摆处于完全失重状态，0a g =，此时，单摆不摆动. （4）摆钟快慢问题的分析方法摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，若摆钟周期T 大于标准钟的周期0T ，则为慢钟，若摆钟周期T 小于标准钟的周期0T ，则为快钟，分析时注意：①由摆钟的机械构造所决定，无论准确与否，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一个 定值T .②因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以摆钟的周期T ,即t N T =⋅显,所以在同一时间t 内，钟面指示的时间之比等于摆动次数之比．2. 简谐运动的位移-时间图象（1）简谐运动的图象反映了振子的位移随时间变化的规律，是一条正弦或余弦曲线．要注意简谐运动的图象不是质点的运动轨迹． （2）读图①可读出振幅、周期；②确定任一时刻物体的位移，或由位移确定对应的时刻；③可以判断任一时刻物体加速度的方向（总指向平衡位置）和速度方向； ④可以判断一段时间内物体运动的位移、回复力、速度、加速度、动能和势能的变化情况；⑤可以看出，简谐运动具有对称性，同一段路程的往返时间相等，相邻两次经过同一位置时的速度等大反向．类型一：单摆的周期例1．图中两单摆摆长相同，平衡时两单摆刚好接触．现将摆球A 在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动．以m A 、m B 分别表示摆球A 、B 的质量，则A ．如果m A ＞mB ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B ．如果m A ＜m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C ．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D ．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：碰后两球均做简谐运动，其周期相同，与球的质量无关，下次碰撞一定还在平衡位置． 答案：CD类型二:单摆的周期及能量问题例2. 细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方2l摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示．现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是 A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B ．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C ．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍解析： 碰到钉子后，摆长变短，周期变小．由机械能守恒，左、右两侧最高点在同一水平面上．摆球做圆周运动，两次圆心分别为悬点和钉子，如下图：θ＝2∠O ′OP ，但∠O ′OP ＜∠O ′OP ′，又s ＝r ·α，r ′＝2r，α′＝θ，α＝∠O ′OP ′，故α′＜2α，故s ′＜s ．答案：AB类型三：等效问题例3．如图所示，小球在光滑圆槽内做简谐运动，为了使小球的振动周期变为原来的2倍，可采用的方法是A ．将小球质量减为原来的一半B ．将其振幅变为原来的2倍C ．将圆槽从地面移到距地面为1倍地球半径的高空D ．将圆槽半径增为原来的2倍解析：小球的周期T＝2πgR/，其中重力加速度g＝GM/r2，ｒ为球距地心的距离．答案：C类型四：用单摆测定重力加速度例4．（2015 朝阳期末）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，（1）以下关于本实验的措施中正确的是（选填下列选项前的序号）A．摆角应尽量大些B．摆线应适当长些C．摆球应选择密度较大的实心金属小球D．用停表测量周期时，应取摆球摆至最高点时开始计时（2）某同学用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图1所示，秒表读数为 s．（3）若该同学测量了5种不同摆长与单摆振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图2所示的坐标中，图中个坐标点的标号分别对应实验种5种不同摆长的情况．在处理数据时，该同学实验中的第组数据点应当舍弃．请你在图2中画出T2﹣l图线；（4）该同学求重力加速度时，他首先求出了（3）中T2﹣l图线的斜率k，则利用率k求重力加速度的表达式为g= ．解析：（1）A、摆角过大，就不能再视为简谐运动；故摆角不能太大；故A错误；B、实验中，摆线的长度应远远大于摆球的直径．故A正确．C、减小空气阻力的影响，选择密度较大的实心金属小球作为摆球．故C正确．D、用停表测量周期时，应从球到达平衡位置开始计时，这样误差小一些；故D错误；．故选：BC；（2）根据秒表的读数方法可知，小表盘表针超过了半刻线，故：t=60s+40.6s=100.6s；故其读数为：100.6s；（3）用直线将种点拟合可知，第4点离直一较远，应舍去；（4）根据单摆的周期公式T=，则，则图线的斜率k=，解得g=．答案：（1）BC，（2）100.6；（3）4；如图所示；（4）基础演练1．下列关于单摆的说法，正确的是( )A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－AB．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零答案：C2．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为( )A．T1>T2B．T1＝T2C．T1<T2D．无法确定答案：A3．将秒摆的周期变为4s，下面哪些措施是正确的( )A．只将摆球质量变为原来的1/4B．只将振幅变为原来的2倍C．只将摆长变为原来的4倍D．只将摆长变为原来的16倍答案：C4．一个单摆的摆球运动到最大位移时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小[高考资源网]C ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D ．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大 答案：D5．某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。
弹簧振子的运动特征总结弹簧振子是一种常见的物理实验装置，通过对弹簧的振动特征进行观察和分析，可以深入理解振动现象和相关的物理理论。
本文将对弹簧振子的运动特征进行总结，包括振动周期、频率、振动方程、共振现象以及实际应用等方面。
1. 振动周期与频率弹簧振子的振动周期是指振到某一特定点所需的时间，而振动频率则表示单位时间内完成的振动次数。
弹簧振子的振动周期和频率与弹簧的刚度、质量以及受力情况有关。
一般来说，振动周期和频率的计算公式如下：振动周期（T）= 2π√(m/k)振动频率（f）= 1/T = 1/2π√(k/m)其中，m代表弹簧振子的质量，k代表弹簧的刚度。
2. 弹簧振子的振动方程弹簧振子的振动可以用简谐振动方程来描述。
对于单摆弹簧振子，其振动方程可以表示为：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m为振子的质量，x为振子离开平衡位置的位移，t为时间，k为弹簧的劲度系数。
这个方程描述了振子在弹性力和可恢复力的作用下做往复运动。
3. 共振现象共振是指当一个振动系统与外部周期性力作用时，振动系统受到的外力频率与自身固有振动频率接近，导致振幅显著增大的现象。
在弹簧振子中，共振现象可以通过改变外界驱动频率来观察。
当外界驱动频率接近振动系统的固有频率时，振动幅度将显著增大，这种现象称为共振。
共振现象在日常生活中有许多实际应用。
例如，音箱就是基于共振原理工作的，通过调整音箱内部的振动系统，使其与音源频率接近，从而产生更大的声音效果。
此外，桥梁、摩天大楼等结构物的抗震设计中也需要考虑共振效应，以保证结构的稳定性。
4. 弹簧振子的实际应用弹簧振子在工程和科研领域有广泛的应用。
其中，弹簧振子的质点具有简单的周期性运动特征，适用于频率测量和时间标准的制备。
弹簧振子也可以作为实验装置，用于研究振动现象和探索振动理论。
此外，弹簧振子在机械振动传感器和控制系统中也扮演着重要的角色。
通过测量振子的位移、速度和加速度等变量，可以获得物体振动的相关信息，从而实现对机械系统进行监测和控制。
⏹【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过或其他学习软件，完成课前任务请大家扫码观看“简谐运动”和“单摆的定义”视频，并预习简谐运动的有关知识。
简谐运动单摆的定义⏹【学生】完成课前任务⏹【学生】思考、举手回答传授新知（24 min）⏹【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解机械振动和简谐运动的相关知识⏹知识点描述机械振动的物理量❖【教师】讲解机械振动的物理量1．回复力人们把做机械振动的物体受到指向平衡位置的力，称为回复力。
回复力是以效果命名的力。
回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是一个力或者是某个力的分力。
例如，在水平方向上振动的弹簧振子的回复力，是弹簧在伸长和压缩时产生的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力，是弹簧弹力和重力的合力。
2．平衡位置做机械振动的物体最终停下来的位置被称为平衡位置或中心位置。
平衡位置是回复力为零的位置，但不一定是合力为零的位置。
3．位移振动的位移是指由平衡位置指向振动物体所在位置的矢量线段。
机械振动中，振子的位移起点一定从平衡位置算起，位移的方向是平衡位置指向振子所在位置的方向，位移的大小是平衡位置到振子所在位置的距离。
❖【学生】聆听、理解⏹知识点机械振动的规律❖【教师】讲解机械振动的规律1．大小规律做机械振动的物体在平衡位置时，其位移、回复力和加速度最小（为零），速度最大；在最大位移处（两端）时，其位移、回复力和加速度最大，速度最小（为零）；在向两端运动时，位移、回复力和加速度变大，速度变小；在向平衡位置运动时，位移、回复力和加速度变小，速度变大。
2．方向规律做机械振动的物体，其回复力与加速度方向始终相同，并且总是指向平衡位置，位移的方向总是背离平衡位置。
❖【学生】聆听、理解、记录⏹知识点全振动❖【教师】提出全振动的概念振动物体从某一位置出发再次回到该位置，并保持与出发时刻完全相同的运动状态（速度、加速度）的过程，叫一次全振动。
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律简谐振动是指物体在一个恢复力作用下，以某一特定频率围绕平衡位置来回振动的现象。
其中，弹簧振子和单摆是两种常见的简谐振动体系。
本文将介绍弹簧振子和单摆的运动规律。
一、弹簧振子弹簧振子是通过连接弹性系数为k的弹簧和质量为m的物体来实现的。
弹簧振子的平衡位置是指物体静止时所处的位置，通常是将弹簧的伸长长度设为平衡位置。
1. 振动方程对于弹簧振子而言，其振动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体距离平衡位置的位移。
2. 运动规律根据振动方程，我们可以推导出弹簧振子的运动规律。
假设物体在t=0时刻的位移为x_0，速度为v_0，则弹簧振子的位移可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；ω是角频率，表示单位时间内物体的振动次数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
利用初条件，我们可以求解振幅和初始相位。
物体的速度可以表示为：v = -A * ω * sin(ωt +φ)由于速度和位移之间存在90°的相位差，我们可以得到速度的初相位：φ_v = φ + π/23. 简谐振动的特点弹簧振子的简谐振动具有以下特点：- 振动周期：T = 2π/ω，表示物体完成一个完整振动所需要的时间。
- 振动频率：f = 1/T，表示单位时间内物体的振动次数。
- 动能和势能：弹簧振子的动能和势能之和保持不变，即E =1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2，其中E为总能量。
二、单摆单摆由一个允许转动的杆和一个挂在杆末端的质点组成。
当质点被拉至一侧并释放时，它将在重力的作用下来回摆动。
1. 振动方程对于单摆而言，其振动方程可以表示为：m * a + mg * sinθ = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，θ是质点与竖直方向的夹角。
如何解决弹簧振子的问题如何解决弹簧振子的问题引言：弹簧振子是物理学中常见的一个问题，它具有重要的理论和实际意义。
在解决弹簧振子的问题时，我们需要运用一些基本的物理原理和数学方法。
本文将探讨如何解决弹簧振子的问题，包括弹簧振子的基本原理、解决弹簧振子所需的数学方法等。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子是由一个悬挂在固定支点上的质点与一根垂直于重力方向的弹簧组成的。
当质点受到外力作用使其偏离平衡位置时，弹簧会受到拉伸或压缩的力，恢复力的产生使质点回复到平衡位置，然后继续做周期性的振动。
2. 解决弹簧振子的数学方法在解决弹簧振子的问题时，我们通常使用简谐振动的理论。
简谐振动是指质点在恢复力的作用下，沿着某一直线做来回往复的振动。
对于单摆和弹簧振子这类简谐振动，我们可以使用以下数学方法进行求解。
2.1. 基本方程基本方程是解决弹簧振子问题的出发点，它描述了质点在振动过程中的状态。
对于弹簧振子而言，基本方程可以表示为：m*a + k*x = 0，其中m是质量，a是加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点相对平衡位置的位移。
2.2. 振动方程振动方程是解决弹簧振子问题的核心方程，它描述了质点在振动过程中的变化规律。
对于弹簧振子而言，振动方程可以表示为：m*d^2*x/dt^2 + k*x = 0，其中d^2*x/dt^2是质点的加速度。
2.3. 求解方法解决振动方程可以使用不同的数学方法，例如分离变量法、特征根法等。
这些方法根据具体情况的复杂程度和求解精度的要求而选择。
3. 弹簧振子的实际应用弹簧振子不仅在物理学理论研究中有重要的应用，它也广泛应用于实际生活和工程领域。
3.1. 时间测量弹簧振子的周期性振动可以用作时间测量的基础，例如钟表和计时器。
3.2. 力学系统分析弹簧振子作为一种简谐振动系统，可以用于分析和研究其他力学系统的振动特性，例如机械结构的固有频率和振幅。
3.3. 信号处理弹簧振子的振动信号可以用于信号处理和通信系统中，例如声音和电信号的调制和解调。
