15概率统计强化练习3

专题十五概率统计解答题强化训练31.（2013北京卷理）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; （2018金考卷）(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)2．（2013湖南卷理）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.3 .(2013·课标全国Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．4.据某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：5125ii x==∑，515.36ii y==∑，()()510.64iii x x y y =--=∑；回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()121()ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑， ˆˆˆa y bx =-.5. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．（改编自教材必修3 P135 )6.在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以x （个）（其中60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （元）表示利润． （1）根据直方图计算需求量的中位数；（2）估计利润T 不少于100元的概率； （3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T 的数学期望． （改编自2013全国2卷，另外见一轮资料P187 ）7.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：(1)4ˆ 1.1yx =+，方程乙：(2)26.4ˆ 1.6yx=+． （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务： ①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：ˆˆi i i ey y =-，ˆi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入8.4元；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入7.6元，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）． （回归教材选修2-3 P ）7【2017湖北武汉调研】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准错误！未找到引用源。

（吨），用水量不超过错误！未找到引用源。

的部分按平价收费，超过错误！未找到引用源。

的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，…，错误！未找到引用源。

分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中错误！未找到引用源。

的值；（Ⅱ）若该市政府希望使错误！未找到引用源。

的居民每月的用水量不超过标准错误！未找到引用源。

（吨），估计错误！未找到引用源。

的值，并说明理由；（Ⅲ）已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨，当错误！未找到引用源。

时，估计该市居民的月平均水费．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）6.（2013浙江理）设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ,求.::c b a1．（2013年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.[来源:学科网ZXXK]【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”.所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率923128=⋅=P (Ⅱ)三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).154)51(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).154)48(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).156)45(==Y P 所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).153)42(==Y P 所以 如下表所示:46156901512627019210215342156451544815251)(==+++=⋅+⋅+⋅+⋅=Y E 46)(=∴Y E .共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)4ˆ 1.1yx =+，方程乙：(2)26.4ˆ 1.6yx=+． （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：ˆˆi i i e y y =-，ˆi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润＝收入－成本）． 【解析】解：（1）①经计算，可得下表：…..3分②()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，…..5分 12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好．…..6分（2）若投放量为8千辆，则公司获得每一辆车的收入期望为100.660.4⨯+⨯=，所以一天的总利润为()8.4 1.7800053600-⨯=（元），…..8分若投放量为1万辆，由（1）可知， 每辆车的成本为26.41.6 1.66410+=（元），…..9分每辆车一天收入期望为100.460.67.6⨯+⨯=，…..10分所以公司一天获得的总利润为()7.6 1.6641000059360-⨯=（元）， …..11分 因为5936053600>，所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆．…..12分18．在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以x （个）（其中60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （元）表示利润．（1）根据直方图计算需求量的中位数； （2）估计利润T 不少于100元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T 的数学期望．【答案】（1）85个；（2）0.75；（3）142． 【解析】（1）需求量的中位数8090852+=（个）（其它解法也给分）． （2）由题意，当6090x ≤≤时，利润()51903904180T x x x =+⨯--⨯=-， 当90110x <≤时，利润590390180T =⨯-⨯=，即()()4180609018090110x x T x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤．设利润T 不少于100元为事件A ，利润T 不少于100元时，即4180100x -≥， ∴70x ≥，即70110x ≤≤，由直方图可知，当70110x ≤≤时， 所求概率：()()()110.02570600.75P A P A =-=-⨯-=．（3）由题意，由于46518080⨯-=，475180120⨯-=，485180160⨯-=， 故利润T 的取值可为：80，120，160，180，且()800.25P T ==，()1200.15P T ==，()1600.20P T ==，()1800.40P T ==， 故得分布列为：利润的数学期望：()800.251200.151600.201800.4020183272142E T =⨯+⨯+⨯+⨯=+++=5．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．58．据某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价； （2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：5125ii x==∑，515.36ii y==∑，()()510.64iii x x y y =--=∑；回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()121()ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑， ˆˆˆa y bx =-. 【来源】【全国市级联考word 】安徽省安庆市2017届高三模拟考试（二模）（理科）数学试题【答案】(1) 0.0605ˆ.7y x =+，预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）以此计算x ， y ，()521i i x x =-∑，代入公式求方程系数即可；（2）根据题意， X 的可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和()E X . 试题解析：（1）计算可得： 5x =， 1.072y =，()52110ii x x =-=∑，所以0.640.0641ˆ0b==， 1.0720.0ˆˆ6450.72ˆ5a y bx =-=-⨯=， 所以从3月份至6月份 y 关于x 的回归方程为0.0605ˆ.7y x =+. 将2016年的12月份12x =代入回归方程得：0.060.750.06120.ˆ75 1.47yx =+=⨯+=， 所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.（2）根据题意， X 的可能取值为1,2,3()31241155P X C ===， ()334312327355C P X C ⨯===， ()()()27211355P X P X P X ==-=-==， 所以X 的分布列为因此， X 的数学期望()1272713612355555555E X =⨯+⨯+⨯=.18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】设指针落在A B C 、、区域分别记为事件A B C 、、．则()16P A =，()13P B =，()12P C =， （1）消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在A或B 区域，其概率()()111632P P A P B =+=+=，即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是12．（2）该顾客可转动转盘2次．随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120．()1110224P X ==⨯=；()111302233P X ==⨯⨯=；()11115602263318P X ==⨯⨯+⨯=；()111902369P X ==⨯⨯=；()1111206636P X ==⨯=；其数学期望()030604318E X =⨯+⨯+⨯9012040936+⨯+⨯=．5. （2013陕西理）在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.2. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天 需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶； 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶：如果最高气温低于20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下 面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值?。