问题：
给定一组坐标(,,)g g g x y z ，1,2,g =…,n ，表示有n 个点。要求用以下二元多项式函数对所给的坐标进行拟合：
,1
1
111,1
11
(,)p q
p q
i j i j ij
ij ij i j f x y a x
y
a x y ----====
=∑∑∑
即
2111121312121222321
112
111231
112
11
123(,)q q q q i i i i q i i i iq p p p p q p p p pq a a y a y a y f x y a x a xy a xy a xy a x a x y
a x y a x y a x a x y a x y a x y ------------++++=
+++++++++++++++L L M L M L
设
1112121222221211,,q q p p pq p q a a a x y a a a x y a a a x y ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
x y A L L
M M O M M M L
则函数又可表示为(,)T f =x y x Ay ，拟合的目标就是求出系数矩阵A 。
最小二乘法：
构造关于系数ij a 的多元函数：
2
112111
1
11
(,,)[(,)]()p
q
n
n
i j pq g g g g g ij g g g i j s a a f x y z a x y z ωω--=====-=-∑∑∑∑L
点（11a ，…，pq a ）是多元函数11(,,)pq s a a L 的极小点，其中g ω为权函数，默认为1，所以点（11a ，…，pq a ）必须满足方程组
0ij
s
a ∂=∂ 在1g ω=的情况下，有
{}2
1
111
1
1111
1[(,)]2[(,)][(,)]2[(,)]2(,)n
g
g
g g ij ij
n
g g g g g g ij n
i j g g g g g g n i j i j g g
g g g g g g s f x y
z a a f x y z f x y a f x y z x y x y f x y x y z ==--=----=∂∂=-∂∂⎧⎫∂⎪⎪=-⎨⎬
∂⎪⎪⎩⎭
=-⎡⎤=-⎣⎦∑∑∑∑
因此可得
1
111
1
1
(,)n
n
i j i j g
g
g g g g g g g x
y
f x y x y z ----===∑∑
1
11
1
11
11
1
1
p q
n
n
i j i j g
g
g
g
g g g g g x
y
a x y x y z αβαβαβ
------=====∑∑∑∑ ,1
111
11
1
1,1
1
p q
n
n
i j i j g
g
g g
g g g g g x
y
a x y x y z αβαβαβ
------====∑∑∑ ,111111
1,111()p q
n n i j i j g g g g g g g g g a x y x y x y z αβαβαβ------===⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 令
1
11
1
1(,)()n
i j g g g g
g u i j x y x y
αβαβ----==∑，11
1
(,)n
i j g
g g g v i j x y z --==∑ 则
,1,1
(,)(,)p q
a u i j v i j αβαβαβ
==∑(,)(11),(,)i j p q =，…, 上式实际共有p q ⨯个等式，可将这p q ⨯个等式写成矩阵的形式有：
111111(1,1)(1,1)(1,1)(,)(,)(,)pq pq pq u u a v u p q u p q a v p q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦L M O M M M L 也就是U*a=V 的形式，其中
1111(1,1)(1,1)(,)(,)pq pq u u u p q u p q ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
U L M O
M L ，11pq a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a M ，(1,1)
(,)v v p q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦V M
