2020中考数学 二次函数培优专题：角度和角度关系的存在性问题(含答案)

例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，顶点为D ，抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ．（1）连接DA ，DO ，求∠DOF 的正切值；（2）设P 为x 轴上的一点，∠DAO +∠DPO =∠α，当tan ∠α=4时，求点P的坐标．第一问：研究背景图形【思路分析】①研究解析式、坐标：由抛物线解析式y =-x 2+2x +3可知，A (，)，B (，)，C (，)，D (，).②研究几何图形：连接OD ，在Rt △ODF 中，由tan ∠DOF =DF OF=________；在Rt △COB 中，发现CO =OB =_____，则△COB 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4∴抛物线顶点坐标D (1，4)，对称轴为直线x =1∴F (1，0)，∴OF =1，DF =4连接OD ，在Rt △OFD 中，tan ∠DOF 4DF OF==二次函数压轴题之角度的存在性（习题）第二问：角度的存在性【思路分析】分析不变特征：从顶点入手，定点：_________，动点：_____；∠DAO 可以放在Rt △ADF 中研究，其两直角边分别为2和4．分析形成因素：结合（1），可知tan ∠DOF =tan ∠α=4，则∠DAO +∠DPO =∠α=∠DOF ，由图可知，∠DAO +∠ADO =∠DOF ，则该问题可以转化为∠DPO=________．画图求解：先画其中一种情形，点P 在对称轴右侧，此时，∠OPD =∠ODA ，再结合∠DAO 为公共角，所以此时△ADO ∽△_________．借助对应边成比例，AD AO=_____，可求得AP 长为________，即OP 长为______，则P 1（，）考虑其他情形，则点P 还能在对称轴左侧，此时与上一情形中的点P 位置关于对称轴对称，则P 2（，）结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【过程示范】（2）∵tan ∠DOF =tan 4α∠=∴∠DOF =∠α∵∠DOF =∠DAO +∠ADO =∠α∠DAO +∠DPO=∠α∴∠DPO=∠ADO∴△ADP ∽△AOD∴AD 2=AP ·AO∵AF =2，DF =4∴AD 2=AF 2+DF 2=20∴OP =19同理，当点P 在对称轴左侧时，OP =17∴P 1(19，0)，P 2(-17，0)巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4．（1）求二次函数的表达式．（2）在（1）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移1个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．连接AB，AM，BM，点P是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求点P的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与直线AC：y=-x-6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为-2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使得∠ADC=∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，连接CD．若P 为抛物线上一个动点，过P作PQ⊥CD交直线CD于点Q，使∠CPQ=∠ACO，求点P的坐标．思考小结回顾角度存在性的处理流程分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，确定所求角度的信息（正切值）．分析形成因素：找构成角的两条射线，判断是否有固定的射线；根据角是由两条具有公共端点的射线组成，只需找到另一条射线所在直线即可．画图，求解：结合角度常放到直角三角形中处理，考虑从固定射线上的已知点（定点）为直角顶点构造直角三角形，将所求角放到直角三角形中，借助斜直角的用法，构造三等角模型，表达线段长、坐标，求直线解析式．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】例题示范第一问【思路分析】①A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)，D (1，4)②4；3第二问【思路分析】分析不变特征：A ，D ，O ；P ；分析形成因素：∠ADO画图求解：AP 1D ；1AP AD；20；19；P 1(19，0)；P 2(-17，0) 巩固练习1.（1）y =-x 2+8x -7；（2）P 1(6，5)，P 2(8，-7)．2.P 1(3，1)，2597597()618P ++-，．3.（1）21262y x x =+-；（2）△ACD 的形状为直角三角形，理由略；（3）1848()77P --，．4.P 1(4，-5)，257()24P ，．。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。

二次函数角度类问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=-+与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为(2,1)y a x h k()-．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP∠=∠，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，90t<时，点C的横坐标ABC∠=︒，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当0的取值范围．2．如图，抛物线22(3)(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S ∆∆=，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．3．如图，抛物线(1)()a>与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．y x x a=+-（其中1)（1）直接写出OCA∠的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为ABC∆4，求此抛物线的解析式；∆的外心，且BCD∆与ACO（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()=+-上是否存在一点P，使得CAP DBAy x x a∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2=++经过点(2,0)y ax bx cA-，(4,0)B，与y轴正半轴交于点C，且2OC OA=，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y mx n=+经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA FC+的最小值；+的值最小时，求出点F的坐标及FA FC（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的∆，且满足tan tanRt PEQEQP OCA∠=∠．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线24(0)y ax bx a=++≠与x轴交于点(1,0)A和B，与y轴交于点C，对称轴为直线52x=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且2DQE ODQ∠=∠．在y轴上是否存在点F，得BEF∆为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线132y x=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线213y x bx c=++经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB∆的面积等于252时，求E点的坐标；（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y mx n=+，且与x轴负半轴交于点C，取点(2,0)D，连接DM，求证：45ADM ACM∠-∠=︒．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24(0)=++≠经过点(2,0)y ax bx aA-和点(4,0)B．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将ABC∆的面积分成2:1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当OCA OCB OMA∠=∠-∠时，求t的值．8．如图，抛物线22=++经过(1,0)y ax bxB两点，与y轴交于点C，连接BC．A-，(4,0)（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线:3=+经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个l y kx动点，当//PQ y轴时，作QM PQ⊥，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得CBF DQM∠=∠？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知二次函数．（1）若，，求方程的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图象与轴交于点，、，，且，与轴的负半轴交于点，点在线段上，连接、，满足，． ①求证：；②连接，过点作于点，点在轴的负半轴上，连接，且，求的值．2(0)y ax bx c a =++>12a =2bc ==-20ax bx c ++=x 1(A x 0)2(B x 0)120x x <<y C D OC AC BD ACO ABD ∠=∠1b c x a-+=AOC DOB ∆≅∆BC D DE BC ⊥E 12(0,)F x x -y AF ACO CAF CBD ∠=∠+∠1cx10．如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．23y ax bx =+-x (1,0)A -(3,0)B D P P (03)m m //AE PD 1:22l y x =+E AP DE F y Q PDF ∆1S AEF ∆2S 12S S =P BQ M 45BMQ ∠=︒P B C M Mt11．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．23y ax bx =++(1,0)A -(3,0)B C C P CP x D AC DAC ∆AC P E AC A C PE PEF CAB ∠=∠EF x F F mm12．如图，已知：抛物线与直线交于点，，与轴另一交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点，使的内心在轴上，求点的坐标；（3）是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．在（2）的条件下，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y x bx c =++l (1,0)A -(2,3)C -x B P ACP ∆x P M M x N BM M MBN APC ∠=∠M13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点、，设点的横坐标为．①求的最大值；②连接、，若，求的值．2y x bx c =++x A (1,0)B y (0,3)C -P PD x ⊥D AC E E AC y F G Pm PE DF DG 45FDG ∠=︒m14．如图1，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式；（2）点、在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式；（3）如图2，在（2）条件下，连接交于点，过点作于，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．214y x bx c =++x A x B y C 10OC OB ==P Q P Q CP CQ 180OCP OCQ ∠+∠=︒Q m P n m n AP CO D Q QE AB ⊥E BQ DE P 2AED EQB ∠=∠P15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于和两点，交轴于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作直线轴于，交抛物线于点，过点作于．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点恰好在抛物线上时（与点重合），①求线段的长；②连接，求的值；③试探究在直线上，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．23y ax bx =++x (1,0)A -(5,0)B y C D OB CD CD D 90︒DE E l x ⊥H M C CF l ⊥F F M EH DF tan FDE ∠lG 45EDG ∠=︒G16．已知：在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，过点作射线轴，点是射线上一点，射线交抛物线于点，交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线交轴于点，设点的横坐标为，长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，延长交抛物线于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，延长与过点且垂直于的直线交于点，连接、，若，求的值．xOy 2y x bx c =++x (1,0)A -(3,0)B (0,2)D //DR x E DR AE P y H AE E 90︒EF FB y C P t CH d d t t FE Q x G Q QM x ⊥M DR N QM F QF K AK GK 2180GKF AKG ∠+∠=︒d17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线经过、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，矩形的周长能为10吗？如果能，请求出点的横坐标；如果不能，请说明理由；（3）点是抛物线上的一个动点，当时，请直接写出点的坐标．232y ax x c =-+x A B y C 122y x =+A C D AC D //DE y E E EF y ⊥AC F DE EF DEFG DEFG E P PCA BCO ∠=∠P18．如图所示：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．（1）求直线的函数表达式；（2）如图1，若点为抛物线上线段右侧的一动点，连接，．求面积的最大值及相应点的坐标；（3）如图2，该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．26y x x =--x A B y C AC BC BC M BC CM BM BMC ∆M P ACO BCP ∠=∠P19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线的图象经过、两点，且与轴的负半轴交于点． （1）求二次函数的表达式；（2）若点在直线下方的抛物线上，如图1，连接、，设四边形的面积为，求的最大值；（3）若点在抛物线上，如图2，过点作于点，试问是否存在点，使得中的某个角恰好等于？若存在，请求点的横坐标；若不存在，请说明理由．122y x =-x B y C 212y x bx c =++B C x A D BC DC DB OCDB S S D D DM BC ⊥M D CDM ∆ABC ∠D20．如图抛物线与轴交于、两点在的右侧），且与直线交于，两点，已知点的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是线段上一点，且满足； ①若点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大； ②过点向轴作垂线，交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使得．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．2y x bx c =-++x A B (B A 2y x =+A C B (6,0)E AC 16CE AE =P AC P t t PEA ∆E x x F N NAC FEB ∠=∠N21．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图②，若点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连接，，当的面积等于面积的2倍时，求的值；（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23(0)y ax bx a =++≠x (1,0)A -(3,0)B y C D D (03)m m <<CD BD BCD ∆AOC ∆m P CBP ACO ABC ∠+∠=∠P22．已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）点为第四象限内抛物线上的点，连接，，．设点的横坐标为．①如图1，当时，求的值；②如图2，连接，过点作轴的垂线，垂足为点．过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点．当时，求的值．2y x bx c =++(1,0)A -(0,3)C -x B P CP AP AC P (03)m m <<CP AC ⊥tan PAB ∠AC P x D C AP PD E x F EAD ACO ∠=∠m23．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线为． （1）求抛物线的解析式．（2）过点作直线与抛物线在第一象限的交点为．当时，确定直线与的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点，使．2y ax c =+x A B y CBC 2y x =-A AD D 3ABD ABC S S ∆∆=AD BC P 15PCA ∠=︒24．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，如图1所示．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上，点在轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2所示，抛物线的对称轴与轴交于点，连接，将绕着点顺时针旋转得到△，在旋转过程中，连接，当首次出现时．求直线的函数表达式．23y ax bx =++x (1,0)A -(3,0)B y CD P Q x A C P Q P x N CN OCN ∆N O C N ''OO 'O ON OCN '∠=∠C O ''25．综合与探究：如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过，两点．（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式．（2）点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2168y x x =-++x A B A B y C l B C A B l D l m D DE x ⊥E l F 2DF EF =D y P 2PAB DAB ∠=∠P26．如图，已知抛物线的对称轴为直线且与轴相交于点，与轴相交于点，直线经过点．（1）求该抛物线与直线的表达式；（2）设动点在该抛物线上，当时，求的值．212y x bx c =++52x =-x (6,0)A -y C :2l y x b =+C l (,)P m n 45PAC ∠=︒m27．综合与探究：如图1，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断的形状并说明理由；（3）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y x bx c =++x A B A B y C D 3OA OC ==ACD ∆N AC N n CAN ∆S n S N NAB ABC ∠=∠N（1）求抛物线的解析式；（2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；②点在轴的正半轴上运动，若．请直接写出的值．(,0)E m x E ED x ⊥AB D P BP E OA BPD ∆E E x 45PBD CBO ∠+∠=︒m（1）求抛物线的解析式．（2）是抛物线对称轴上的一点连接，，求的最小值．（3）若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接，，当时，请求出的值．M BM CM BM CM +(,0)E m x E ED x ⊥AB D P BP BC 45PBD CBO ∠+∠=︒m30．抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．213y x bx c =-++x A B (A B y C 4y x =-+B C P BC //PD y BC D D DE AC ⊥E 1021m PD DE =+m P N y A N M 180ANM ACM ∠+∠=︒N答案与解析1．【答案】（1）y 2211(2)144y x x x =--=-（2）(6,3)或5(1,)4-（3）当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x 【详解】（1）抛物线2()y a x h k =-+，顶点P 的坐标为(2,1)-，2h ∴=，1k =-，即抛物线2()y a x h k =-+为2(2)1y a x =--，抛物线2()y a x h k =-+经过O ，即2(2)1y a x =--的图象过(0,0)，20(02)1a ∴=--，解得14a =， ∴抛物线的函数表达为2211(2)144y x x x =--=-； （2）在214y x x =-中，令y x =得214x x x =-， 解得0x =或8x =，(0,0)B ∴或(8,8)B ，①当(0,0)B 时，过B 作//BC AP 交抛物线于C ，此时ABC OAP ∠=∠，如图：在214y x x =-中，令0y =，得2104x x -=， 解得0x =或4x =，(4,0)A ∴，设直线AP 解析式为y kx b =+，将(4,0)A 、(2,1)P -代入得：0412k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AP 解析式为122y x =-， //BC AP ，∴设直线BC 解析式为12y x b '=+，将(0,0)B 代入得0b '=， ∴直线BC 解析式为12y x =， 由21214y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩（此时为点O ，舍去）或63x y =⎧⎨=⎩， (6,3)C ∴；②当(8,8)B 时，过P 作PQ x ⊥轴于Q ，过B 作BH x ⊥轴于H ，作H 关于AB 的对称点M ，作直线BM 交抛物线于C ，连接AM ，如图：(2,1)P -，(4,0)A ，1PQ ∴=，2AQ =，Rt APQ ∆中，1tan 2PQ OAP AQ ∠==， (8,8)B ，(4,0)A ，4AH ∴=，8BH =，Rt ABH ∆中，1tan 2AH ABH BH ∠==，OAP ABH ∴∠=∠， H 关于AB 的对称点M ，ABH ABM ∴∠=∠，ABM OAP ∴∠=∠，即C 是满足条件的点，设(,)M x y ， H 关于AB 的对称点M ，4AM AH ∴==，8BM BH ==，∴222222(4)(0)4(8)(8)8x y x y ⎧-+-=⎨-+-=⎩， 两式相减变形可得82x y =-，代入即可解得80x y =⎧⎨=⎩（此时为H ，舍去）或85165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 8(5M ∴，16)5， 设直线BM 解析式为y cx d =+，将8(5M ，16)5，(8,8)B 代入得； 8816855c d c d =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得342c d ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BM 解析式为324y x =+， 解232414y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得154x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或88x y =⎧⎨=⎩（此时为B ，舍去）， 5(1,)4C ∴-， 综上所述，C 坐标为(6,3)或5(1,)4-； （3）设BC 交y 轴于M ，过B 作BH x ⊥轴于H ，过M 作MN BH ⊥于N ，如图：点B 的横坐标为t ，21(,)4B t t t ∴-，又(4,0)A ， |4|AH t ∴=-，21||4BH t t =-，||OH t MN ==， 90ABC ∠=︒，90MBN ABH BAH ∴∠=︒-∠=∠，且90N AHB ∠=∠=︒，ABH BMN ∴∆∆∽， ∴AH BH BN MN=，即21|||4|4||t t t BN t --= 22|4|41||4t t BN t t -∴==-， 2144NH t t ∴=-+， 21(0,4)4M t t ∴-+， 设直线BM 解析式为2144y ex t t =+-+， 将21(,)4B t t t -代入得2211444t t et t t -=+-+， 4e t∴=-，∴直线BC 解析式为24144y x t t t =-+-+， 由22144144y x x y x t t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩得22141444x x x t t t -=-+-+， 解得1(x t B =的横坐标），22416164t t x t t t-+=-=--+， ∴点C 的横坐标为164t t--+； 当0t <时，164C x t t=--+224=++212=+，∴=时，C x 最小值是12，此时4t =-，∴当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x ．2．【答案】（1）1m =-，3y x =-（2）(2,1)，(1,0)，，（3）7(2Q ∴，5)4-． ：（1）将(3,0)B 代入22(3)(69)y mx m x m =++-+，化简得，20m m +=， 则0m =（舍)或1m =-，1m ∴=-，243y x x ∴=-+-．(0,3)C ∴-，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,3)C -代入表达式，可得，033k b b =+⎧⎨-=⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的函数表达式为3y x =-．（2）如图，过点A 作1//AP BC ，设直线1AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得到直线23P P ．由（1）得直线BC 的表达式为3y x =-，(1,0)A ，∴直线AG 的表达式为1y x =-，联立2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，或21x y =⎧⎨=⎩， 1(2,1)P ∴或(1,0)，由直线AG 的表达式可得(0,1)G -，2GC ∴=，2CH =，∴直线23P P 的表达式为：5y x =-，联立2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2P ∴，3P； 综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1)，(1,0)，，；（3）如图，取点Q 使45ACQ ∠=︒，作直线CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，则ACD ∆是等腰直角三角形，AD CD ∴=，()CDE DAF AAS ∴∆≅∆，AF DE ∴=，CE DF =．设DE AF a ==，则1CE DF a ==+， 由3OC =，则3DF a =-，13a a ∴+=-，解得1a =．(2,2)D ∴-，又(0,3)C -，∴直线CD 对应的表达式为132y x =-， 设1(,3)2Q n n -，代人243y x x =-+-， ∴213432n n n -=-+-，整理得2702n n -=． 又0n ≠，则72n =． 7(2Q ∴，5)4-． 3．【答案】（1）45OCA ∴∠=︒，1AB a ∴=+（2）2(1)(2)2y x x x x =+-=--（3）存在，(1,2)-或1(2-，5)4-【详解】（1）定义抛物线(1)()y x x a =+-，令0y =，可得1x =-或a ， (1,0)B ∴-，(,0)A a ，令0x =，得到y a =-，(0,)C a ∴-，OA OC a ∴==，1OB =，1AB a ∴=+．90AOC ∠=︒，45OCA ∴∠=︒．（2）AOC ∆是等腰直角三角形，45OAC ∴∠=︒，点D 是ABC ∆的外心，290BDC CAB ∴∠=∠=︒，DB DC =， BDC ∴∆也是等腰直角三角形，DBC OAC ∴∆∆∽，∴BC AC =，∴=， 解得2a =或2(2--不是分式方程的根舍弃）， ∴抛物线的解析式为2(1)(2)2y x x x x =+-=--．（3）作点C 关于抛物线的对称轴12x =的对称点C '，连接AC '．(0,2)C -，(1,2)C '-，//PC AB ∴， BC ，AC '关于直线12x =对称， CB AC ∴='，∴四边形ABCP 是等腰梯形，CBA C AB ∴∠=∠'，45DBC OAC ∠=∠=︒，ABD CAC ∴∠=∠'，∴当点P 与点C '重合时满足条件，(1,2)P ∴-．作点P 关于直线AC 的对称点(0,1)E -，则EAC PAC ABD ∠=∠=∠，作直线AE 交抛物线于P '，点P '满足条件， (2,0)A ，(0,1)E -，∴直线AE 的解析式为112y x =-， 由21122y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩（即点)A 或1254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1(2P ∴'-，5)4-， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1,2)-或1(2-，5)4-．4．【答案】（1）4y x =-+（2）3）存在，或【详解】（1）由点A 的坐标知，2OA =， 24OC OA ==，故点C 的坐标为(0,4)，将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：42016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1214a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为2142y x x =-++； 将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式得：044m n n =+⎧⎨=⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的表达式为4y x =-+；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA FC +的值最小，理由：由函数的对称性知，AF BF =， 则AF FC BF FC BC +=+=为最小，当1x =时，43y x =-+=，故点(1,3)F ， 由点B 、C 的坐标知，4OB OC ==，则BC ==即点F 的坐标为(1,3)、FA FC +的最小值为（3）存在，理由：设点P 的坐标为21(,4)2m m m -++、点Q 的坐标为(,4)t t -+， ①当点Q 在点P 的左侧时，如图2，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，由题意得：90PEQ ∠=︒，90PEN QEM ∴∠+∠=︒，90EQM QEM ∠+∠=︒，PEN EQM ∴∠=∠，90QME ENP ∴∠=∠=︒，QME ENP ∴∆∆∽， ∴21tan tan 42PN EN PE OA EPQ OCA ME QM QE OC ===∠=∠===， 则2142PN m m =-++，1ME t =-，1EN m =-，4QM t =-+， ∴214112142m m m t t -++-==--+，解得m =，当m =2142m m -++=故点P的坐标为． ②当点Q 在点P 的右侧时，分别过点P 、Q 作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则1MQ t =-，4ME t =-，2142NE m m =-++、1PN m =-， 同理可得：QME ENP ∆∆∽， ∴tan 2MQ ME EQ PQE EN PN PE===∠=， 即21421142t t m m m --==--++，解得m =（舍去负值），故m =故点P的坐标为， 故点P的坐标为或． 5．【答案】（1）254y x x =-+（2）见解析（3）存在，(0,1)或(0,1)-或25(0,)8 【详解】（1）由题意得：40522a b b a ++=⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得15a b =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为254y x x =-+①；（2）对于254y x x =-+，令2540y x x =-+=，解得1x =或4，令0x =，则4y =， 故点B 的坐标为(4,0)，点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为y kx t =+，则440t k t =⎧⎨+=⎩，解得14k t =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的表达式为4y x =-+，设点P 的坐标为(,4)x x -+，则点Q 的坐标为2(,54)x x x -+，则22(4)(54)4PQ x x x x x =-+--+=-+，10-<，故PQ 有最大值，当2x =时，PQ 的最大值为4CO =，此时点Q 的坐标为(2,2)-；PQ CO =，//PQ OC ，故四边形OCPQ 为平行四边形；（3）D 是OC 的中点，则点(0,2)D ，由点D 、Q 的坐标，同理可得，直线DQ 的表达式为22y x =-+， 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则//QH CO ，故AQH ODA ∠=∠，而2DQE ODQ ∠=∠．HQA HQE ∴∠=∠，则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，故设直线QE 的表达式为2y x r =+，将点Q 的坐标代入上式并解得6r =-，故直线QE 的表达式为26y x =-②，联立①②并解得54x y =⎧⎨=⎩（不合题意的值已舍去）， 故点E 的坐标为(5,4)，设点F 的坐标为(0,)m ，由点B 、E 的坐标得：222(54)(40)17BE =-+-=，同理可得，当BE BF =时，即21617m +=，解得1m =±；当BE EF =时，即225(4)17m +-=，方程无解；当BF EF =时，即221625(4)m m +=+-，解得258m =； 故点F 的坐标为(0,1)或(0,1)-或25(0,)8． 6．【答案】（1）21233y x x =-=-，(3,3)-（2）5(1,)3-或7(2，35)12-（3）见解析 【详解】（1）对于132y x =-+，令1302y x =-+=，解得6x =，令0x =，则3y =， 故点A 、B 的坐标分别为(6,0)、(0,3)， 抛物线213y x bx c =++经过坐标原点，故0c =，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：103663b =⨯+，解得2b =-， 故抛物线的表达式为2123y x x =-； 则抛物线的对称轴为3x =，当3x =时，21233y x x =-=-， 则点M 的坐标为(3,3)-；（2）如图1，过点E 作//EH y 轴交AB 于点H ，设点E 的坐标为21(,2)3x x x -，则点1(,3)2H x x -+， 则EAB ∆的面积21111256(32)22232EHB EHA S S EH OA x x x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯-+-+=， 解得1x =或72， 故点E 的坐标为5(1,)3-或7(2，35)12-； （3）直线AB 向下平移后过点(3,3)M -，故直线CM 的表达式为113(3)3222y x x =---=--， 令13022y x =--=，解得3x =-， 故点(3,0)C -；过点D 作DH CM ⊥于点H ，直线CM 的表达式为1322y x =--，故1tan 2MCD ∠=，则sin MCD ∠=则sin (23)DH CD MCD =∠=+=由点D 、M 的坐标得，DM则sin DH HMD MD ∠=== 故4545HMD DMC ADM ACM ∠=︒=∠=∠-∠=︒，45ADM ACM ∴∠-∠=︒．7．【答案】（1）2142y x x =-++（2）(6,8)-（3）2t =或10 【详解】（1）设抛物线的表达式为12()()y a x x x x =--，则2(2)(4)28y a x x ax ax a =+-=--，即84a -=，解得12a =-， 故抛物线的表达式为2142y x x =-++①； （2）由点A 、B 的坐标知，2OB OA =，故CO 将ABC ∆的面积分成2:1两部分，此时，点P 不在抛物线上；如图1，当123BH AB ==时，CH 将ABC ∆的面积分成2:1两部分， 即点H 的坐标为(2,0)，则CH 和抛物线的交点即为点P ，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为24y x=-+②，联立①②并解得68xy=⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为(6,8)-；（3）在OB上取点(2,0)E，则ACO OCE∠=∠，OCA OCB OMA∠=∠-∠，故AMO ECB∠=∠，过点E作EF BC⊥于点F，在Rt BOC∆中，由OB OC=知，45OBC∠=︒，则2)EF BF==-，由点B、C的坐标知，BC=则CF BC BF=-=则1tan tan3EFECB AMOCF∠===∠，则21tan 3AO AMO OM OM ∠===， 则6OM =，故642CM OM OC =±=±=或10，则2t =或10．8．【答案】（1）213222y x x =-++（2）314（3）存在，(1,0)-或， 【详解】（1）设抛物线的表达式为12()()y a x x x x =--，即22(1)(4)(34)34y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即42a -=，解得12a =-， 故抛物线的表达式为213222y x x =-++； （2）将点A 的坐标代入直线l 的表达式得：03k =-+，解得3k =， 故直线l 的表达式为33y x =+，设点Q 的坐标为213(,2)22x x x -++，则点P 的坐标为(,33)x x +， 由题意得，点Q 、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线32x =， 故点M 的横坐标为3x -，则332QM x x x =--=-，设矩形周长为C ，则22132()2[3233(2)]822C PQ QM x x x x x x =+=-++--++=-+， 10>，故C 有最小值， 当12x =时，矩形周长最小值为314； （3）当12x =时，213212228y x x =-++=，即点Q 的坐标为1(2，21)8， 由抛物线的表达式知，点D 的坐标为3(2，25)8， 5(328)9过点D作DK QM⊥于点K，则25211882D QDK y y=-=-=，同理可得，1QK=，则1 tan2DKDQMQK∠==，CBF DQM∠=∠，故1 tan tan2CBF DQM∠=∠=，在BOC∆中，21 tan42COCBOOB∠===，故BF和BO重合，故点F和点A重合，即点F的坐标为(1,0)-，当点F在直线BC的上方时，5AC=BC=5AB=，222AB AC BC∴=+，90ACB∴∠=︒，则点A关于BC的对称点(1,4)A'，∴直线BF的解析式为41633y x=-+，由24163313222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或53289x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 5(3F ∴，28)9， 综上所述，满足条件的点F 的坐标为(1,0)-或， 9．【答案】（1）△（2）见解析 【详解】（1）当，时，△；（2）①设，则，， 则，即，， ，，，；②，，，，故，， 则， 则， 则， 5(328)92214(2)4(2)82b ac =-=--⨯⨯-=12a =2b c ==-2214(2)4(2)82b ac =-=--⨯⨯-=20ax bx c ++=12b x x a +=-12c x x a =12b x x c a +=-=2x c OC =-=121c x x a a=÷=-2OB x CO ==ACO ABD ∠=∠90COA BOD ∠=∠=︒()AOC DOB ASA ∴∆≅∆OCA CAF CFA ∠=∠+∠ACO CAF CBD ∠=∠+∠CBD AFO ∴∠=∠OB OC =45OCB ∠=︒1CD OC OD OC OA c a=-=-=--1)DE c CE a==+=1)BE BC CE CE c a =-=-=-+11)tan 1c c DE a CBD BE c a ++∠===-。

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线与x 轴相交于原点和点()4,0A ，在第一象限内与直线y x =交于点B ()5,5，抛物线的顶点为C 点．(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)点()3,M m 在抛物线上，连接MO MB ，，求MOB △的面积；(3)抛物线上是否存在点D ，使得DOB OBC ∠=∠？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究如图，已知抛物线238y x bx c =-++与x 轴相交于()4,0A -，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点()0,3C ，连接AC ．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)若过点B 的直线与抛物线相交于另一点D ，当ABD BAC ∠=∠时，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD ，此时在y 轴左侧的抛物线上存在点P ，使23BDP ABD S S =△△，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点()0,2C -，2OC OA =和1tan 2ABC ∠=．直线l ：()0y kx n k =+>与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边）．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当直线l BC ∥时，若MON △的面积被y 轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n 的值； (3)当0n =时，试在抛物线上找一定点P ，使得90MPN ∠=︒，求P 点坐标以及点P 到MN 的最大距离． 4．如图①，抛物线2y ax bx =+的顶点为()2,4D -．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OD ，P 为x 轴上的动点，当AOD ∠与PDO ∠互余时，求点P 的坐标；(3)如图①，点M ，N 都在抛物线上，点M 位于第四象限，点N 位于第二象限，连接MN 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ，连接OM ON 、，求证：若NOF MOE ∠=∠，则直线MN 经过一定点．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A B 、两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ．(1)直接写出、、A B C 三点的坐标；(2)若抛物线上有一点,45D ACD ∠=︒，求点D 的坐标．(3)如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，过点P 的直线(0)y mx n n =+<与抛物线交于另一点Q ，连接AP AQ 、，分别交y 轴于M N 、两点，若2OM ON ⋅=，探究,m n 之间的数量关系，并说明理由．6．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．①抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ①连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，已知(2,0),(3,0)A B -，抛物线24y ax bx =++经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得290BCO PCN ∠+∠=︒？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图1，已知抛物线233y ax bx =++，与x 轴交于点()2,0A -，点()6,0B 与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，其对称轴与x 轴交于Q 点．(1)抛物线解析式为______，顶点M 的坐标为______； (2)判断MAB 的形状，并说明理曲；(3)如图2，点P 是线段MQ 上的一个动点（点P 与点M 、点Q 不重合），连结PA 和PB ，过点B 作BD AP ⊥，射线BD 交射线AP 于点D ，交抛物线于点E ；过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，EF 交射线BP 于点G ． ①当ABD ①EBF 时，请求出此时点P 的坐标； ①当135APB ∠=︒时，请你直接写出BFEG的值． 9．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （﹣1，0），B （3，0），交y 轴于点C （0，﹣3），直线l 经过点B ．(1)求二次函数的表达式和顶点D 的坐标； (2)如图2，当直线l 过点D 时，求①BCD 的面积；(3)如图3，直线l 与抛物线有另一个交点E ，且点E 使得①BAC ﹣①CBE ＞45°，求点E 的横坐标m 的取值范围；(4)如图4，动点F 在直线l 上，作①CFG ＝45°，FG 与线段AB 交于点G ，连接CG ，当①ABC 与①CFG 相似，且S △CFG 最小时，在直线l 上是否存在一点H ，使得①FHG ＝45°存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,0),(2,0),(0,2)A B C -三点，点D 在该抛物线的对称轴l 上．(1)求抛物线的表达式；(2)若DA DC =，求ADC ∠的度数及点D 的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P 在该抛物线上，当PBC DAB ∠=∠时，请直接给出点P 的坐标． 11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标；(3)当点P 是抛物线上第一象限上的点1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______．12．如图，平面直角坐标系中，抛物线24y x nx =-++过点()4,0A -，与y 轴交于点N ，与x 轴正半轴交于点B ．直线l 过定点A ．(1)求抛物线解析式；(2)连接AN ，BN ，直线l 交抛物线于另一点M ，当①MAN ＝①BNO 时，求点M 的坐标；(3)过点(),1T t -的任意直线EF （不与y 轴平行）与抛物线交于点E 、F ，直线BE 、BF 分别交y 轴于点P 、Q ，是否存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值？若存在，求t 的值，若不存在，请说明理由．13．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ①求该抛物线的解析式；①若D 是抛物线上异于点P 一点，满足①DPO ＝①POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE OFOC+是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为123y x =--，求①CAF -①CAD 的度数．(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ①y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)24y x x =- ()2,4 (2)15(3)点D 的坐标为(7,21)或1313,39⎛⎫⎪⎝⎭；2．(1)233384y x x =--+，对称轴为直线=1x -(2)3342y x =-+或3342y x =-；(3)322222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，或12362262⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭， 3．(1)213222y x x =-- (2)149n =(3)()3,2P - 134．(1)24y x x =-(2)()20，或()20-，5．(1)()1,0A -，()3,0B 和()0,3C - (2)()4,5D (3)23n m =-6．(1)-1；6 (2)①存在，5172+或5332+或5332-；①1317,66⎛⎫- ⎪⎝⎭；237,66⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+，当32m =时，有最大值910(3)存在 74m =8．(1)233334y x x =-++和()2,43； (2)①MAB 为等边三角形 (3)①432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；①12BF EG =．9．(1)二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，顶点D 的坐标为（1，﹣4） (2)2(3)﹣23＜m ＜2(4)存在，点H 的坐标为：（65，185）或（95，185）10．(1)22y x x =-++(2)90ADC ∠=︒，点D 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)点P 的坐标为()1,2或15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)2=23y x x -- (2)点P 的坐标为()9,0 (3)点P 的坐标为()4,512．(1)234y x x =--+ (2)250,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或266,525⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，4t =-13．(1)①21944y x =-+；①(-1，2)或(133，229-)(2)OE OFOC+是定值，定值为2．14．(1)抛物线的解析式为y =-12x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +6 (2)45°(3)点P 的坐标为（-2+10，3）或（-2-10，3），QR 的最短长度为3215．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或53224y x -+=+或53224y x --=+．。