六年级下册数学试题-奥数几何专题：三角形的面积计算(基础篇)(无答案)全国通用

六年级下册人教版数学奥数题第一章几何运算1.1 三角形的判定根据给定的条件判定下列图形是否为三角形，并给出理由。

1) 图形ABC，AB = AC = 3 cm，∠BAC = 60°。

解析：由于两边相等且夹角为60°，符合边边角（SSA）判定三角形的条件，故图形ABC是一个三角形。

2) 图形PQR，PQ = 6 cm，QR = 7 cm，RP = 10 cm。

解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可以得有：PQ +QR > RP，PQ + RP > QR，QP + RP > QR。

将给定的数值代入可以得到：6 + 7 > 10，6 + 10 > 7，7 + 10 > 6。

这些不等关系成立，因此图形PQR是一个三角形。

3) 图形XYZ，XY = 4 cm，YZ = 8 cm，ZX = 6 cm。

解析：同样利用三角形两边之和大于第三边的性质进行判定，我们可以得到：XY + YZ > ZX，XY + ZX > YZ，YZ + ZX > XY。

将给定的数值代入可以得到：4 + 8 > 6，4 + 6 > 8，8 + 6 > 4。

这些不等关系成立，因此图形XYZ是一个三角形。

1.2 相似与全等判断下列图形是否相似，并给出相似的理由。

1) 图形ABC与图形DEF。

解析：两个三角形相似的条件是对应角相等且对应边成比例。

通过观察可以发现∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

并且，AC : DF = 2 : 4 = 1 : 2，BC : EF = 3 : 6 = 1 : 2。

因此，图形ABC与图形DEF相似。

2) 图形GHJ与图形KLM。

解析：同样利用相似三角形的条件进行观察，我们可以发现∠G = ∠K，∠H = ∠L，∠J = ∠M，并且GH : KL = 4 : 6 = 2 : 3，HJ : LM = 6 : 9 = 2 : 3。

图形的面积专题1、如图，BE=3AB,BC=CD,三角形ABC的面积是15平方厘米，求三角形BDE的面积。

2、如图，三角形ABC的面积是10平方厘米，将AB、BC、CA分别延长一倍到点D、E、F,两两连结D、E、F，得到一个新的三角形DEF，求三角形DEF的面积。

3、如图，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长9厘米、下底长5厘米的等腰梯形(阴影部分)，求这个等腰梯形的面积。

4、如图，AE=12厘米，BC=6厘米ED=3厘米，∠C=135°，四边形ABCD的面积是多少平方厘米?5、如图，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。

6、在下图中，线段BG将一个边长10分米的正方形分成两个高相等(AF=FD) 的直角梯形与一个直角三角形，已知线段EF分成的两个梯形面积的差是10平方分米，且AF=FE，则图中的x长是多少分米?7、如图，四边形ABCD是-一个正方形，边长是6厘米，E，F分别是CD、BC的中点，求阴影部分的面积。

8、如图，正方形ABCD的边长为1厘米，E为D的中点，P为CE的中点，求∆BPD的面积。

9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，CE是4厘米，求阴影部分面积。

10、求下图阴影部分图形的面积和周长。

11、有图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）12、在右图中，平行四边形ABCD的变BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米，求平行四边形ABCD的面积。

13、如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。

14、下图中，BD=2厘米，DE=4里米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米?15、在三角形ABC中，DC=2BD, CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

小学奥数几何题几何作为数学的重要分支之一，在小学奥数竞赛中占据了重要的位置。

几何题目既能培养学生的逻辑思维能力，又能增强他们对图形的认识和理解。

本文将介绍几个适合小学生的奥数几何题，通过解题的过程，帮助小学生进一步理解几何知识。

一、等腰三角形面积问题描述：已知一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为12cm，求这个三角形的面积。

解题思路：首先，我们需要知道等腰三角形的性质，即两个底角相等。

根据这个性质，我们可以将等腰三角形划分为两个等边三角形和一个矩形。

通过计算等边三角形的面积和矩形的面积，再求和，就可以得到等腰三角形的面积。

解题步骤：1. 计算等边三角形的面积：等边三角形的边长可以通过底边和腰长得到，设等边三角形的边长为x。

根据勾股定理，可以列出方程：x^2 = 12^2 - (10/2)^2。

解方程得到x ≈ 8.77cm。

由于等边三角形可以看作是6个等边三角形的组合，所以等边三角形的面积为6 * (x^2 * sqrt(3) / 4) ≈ 76.37cm²。

2. 计算矩形的面积：矩形的宽度等于底边长，长度等于腰长减去等边三角形的边长。

所以矩形的面积为10 * (12 - 8.77) ≈ 31.25cm²。

3. 求和得到等腰三角形的面积：等腰三角形的面积等于等边三角形的面积加上矩形的面积，即76.37cm² + 31.25cm² ≈ 107.62cm²。

因此，这个等腰三角形的面积约为107.62cm²。

二、平行四边形的性质问题描述：已知ABCD是一个平行四边形，且AB = 8cm，BC =6cm，CD = 8cm，求AD的长度。

解题思路：平行四边形的性质之一是对角线互相平分。

根据这个性质，我们可以将平行四边形划分为两个等腰三角形。

通过计算等腰三角形的底边和两个腰的长度，可以得到AD的长度。

解题步骤：1. 计算等腰三角形的底边：等腰三角形的底边等于平行四边形的一边。

面积计算（一）一， 求阴影部分的面积1．如下图，已知6=AB 厘米，10=AD 厘米，三角形ABE 和三角形ADF 的面积各占长方形ABCD 的31，三角形AEF 的面积是多少平方厘米？2.如下图，两个正方形的边长分别是6厘米和2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？3.在四边形ABCD 中，BD AC 和互相垂直并相交于O 点，四个小三角形的面积如下图所示，求阴影部分三角形BCO 的面积。

4.三角形E D ABC ,.中（如下图），是中点，S 甲比S 乙多5平方厘米，三角形ABC 的面积是多少平方厘米？5.图中扇形的半径6==OB OA 厘米，AOB ∠等于︒45，AC 垂直于点C ，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（）取（14.3π6.下图的正方形是由大家熟悉的七巧板拼成的，边长是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？7.如下图，斜边长为30厘米的等腰直角三角形内有一个内接的正方形，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？二，解答题。

1.由三角形面积分别为2,3,5,7的四个三角形拼成一个大三角形，如下图所示。

即已知:SAED∆=2, SAEC∆=5, SBDF∆=7, SBCF∆=3,那么SBEF∆是多少？2.如下图，BD=4厘米，DE=8厘米，EC=4厘米，F是AE的中点，ABC∆在BC边上的高为8厘米,DFE∆的面积是多少平方厘米？3运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉3行3列，要减少多少名运动员？3.如图所示是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点，Q点为正方形一边的中点，那么阴影部分的面积是多少？。

面积计算（二）----等积变形1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。

2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。

3.能在面积计算中熟练运用各定理。

1.推导各个定理的由来和比例公式。

2.理解图形中边长、高与面积的关系，并会在图形中找到这些关系。

3.熟记等积模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型适用的条件，以免混淆。

1.等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如图A C D B C D S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．例1.如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_A _B _G _C _E _F _D 练习1.如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．练习2.在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．等积模型主要在于理解底边、高与面积的关系，等底则高之比即面积之比，等高则底之比即面积之比。

2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例1.如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA练习1.如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA练习2.如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD E在图形中找到共角三角形时，则可运用鸟头定理，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

六年级奥数第13讲三角形面积计算〈学生版〉掌握三角形的面积计算公式； 学会使用拆补法求解三角形面积； 通过题目中给定比例关系求解面积比。

计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。

这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。

例1、已知图12－1中,三角形ABC 的面积为8平方厘米,AE ＝ED,BD=23 BC,求阴影部分的面积。

学习目标知识梳理典例分析ACFE D 12－1例2、在△ABC 中〈图12-2〉,BD=DE=EC,CF ：AC=1：3。

若△ADH 的面积比△HEF 的面积多24平方厘米,求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？例3、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形,如图12－3所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？例4、四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分,且四边形AECF 的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 的面积〈如图12－4所示〉。

例5、如图12－5所示,BO ＝2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。

那么,梯形ABCD12-2B CDAO 12-312 612－4 ABCDEF的面积是多少平方厘米？例6、如图18－17所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。

例7、如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分。

△AOB 的面积是2平方千米,△COD的面积是3平方千米,公园陆地面积为6.92平方千米,那么人工湖的面积是多少平方千米？实战演练B A DCOE12－512－6O C➢ 课堂狙击1、如图所示,AE ＝ED,BC=3BD,S △ABC ＝30平方厘米。

第十三讲几何模型教学目标：1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨：A B一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 S 1 : S 2 = a : b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD = S △BCD ； 反之，如果 S △ACD = S △BCD ，则可知直线 AB 平行于CD ．S 1S 2C Dab④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中， D , E 分别是 AB , AC 上的点如图⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)，= (AB ⨯ AC ) : (AD ⨯ AE )则 S △ABC : S △ADE DAADEEBCB C图⑴图⑵a三、蝴蝶定理A DS 1O S 2S 4任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：① S 1 : S 2 = S 4 : S 3 或者 S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4S ② AO : OC = (S ): (S )3+S +S 1243CB蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．bD梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AS 1O ① S : S = a 2 : b213S 4S 2② S : S : S : S = a 2 : b 2: ab : ab ；1324③ S 的对应份数为(a + b )2．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．S 3B C四、相似模型(平行线分线段成比例)相交线段 AD 和 AE 被平行线段 BC 和 DE 所截，得到的三角形 ABC 和 ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）(一)金字塔模型(二)沙漏模型AE GDADAE DE AG A===ABACBCAFD E G BFC B F CAB 2S ∆ABC =相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方：.AD 2S ∆ADE 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形 ABC 中， AE ， BF ， CD 相交于同一点G ，那么 S ∆ABG : S ∆ACG = BE : EC ．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABG 和∆ACG 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径AS ∆ABG :S ∆AGC =S ∆BGE :S ∆CGE =BE :EC F DS :S =S :S =AF :FC ∆AGB ∆CGB ∆AGF ∆CGF GS ∆AGC :S ∆BGC =S ∆AGD :S ∆BGD =AD :DBBEC知识要点三角形面积公式： S = 1 a ⋅ h2梯形面积： S = 1a +b ）⨯ h （2平行四边形面积： S = a ⋅ h模块一等积变形【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3 个面积相等的三角形；⑵4 个面积相等的三角形；⑶6 个面积相等的三角形．【例2】如图，BD 长12 厘米，DC 长4 厘米，B、C 和D 在同一条直线上．⑴求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？AB D3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4 厘米，BC 的长是3 厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．【例A EB FCD【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56 平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．H DAE GB CF5】长方形ABCD 的面积为36 cm2 ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例A H DE GB F C【例6】如图，把大、中、小三个正方形拼在一起，它们面积分别是10 平方厘米，8 平方厘米和5 平方厘米，连接AG 、GH 、AE ，求阴影部分的面积。

六年级“图形的面积”专项训练题
1、如图，BE=3AB,BC=CD,三角形ABC的面积是15平方厘米，求三角形BDE的面积。

2、如图，三角形ABC的面积是10平方厘米，将AB、BC、CA分别延长一倍到点D、E、F，两两连结D、E、F，得到一个新的三角形DEF，求三角形DEF的面积。

3、如图，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长9厘米、下底长5厘米的等腰梯形（阴影部分），求这个等腰梯形的面积。

4、如图，AE=12厘米，BC=6厘米，ED=3厘米，∠C135°，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
5、如图，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC 的面积相等。

如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。

6、在下图中，线段BG将一个边长10分米的正方形分成两个高相等（AF=FD）的直角梯形与一个直角三角形，已知线段EF分成的两个梯形面积的差是10平方分米，且AF=FE,则图中的x长是多少分米？
7、如图，四边形ABCD是一个正方形，边长是6厘米，E、F分别是CD、BC的中点，求阴影部分的面积。

8、如图，正方形ABCD的边长为1厘米，E为AD的中点，P为CE的中点，求△BPD的面积。

9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，CE是4厘米，求阴影部分面积。

小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思 路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．． 即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。

3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。

已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。

解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。