六年级下册奥数试题-几何专题 全国通用(含答案) (1)

正方体、长方体（一）姓名1、一个正方体木块的表面积是24平方厘米，将它锯成两个同样大小的长方体，求每个长方体木块的表面积？2、一个正方体表面积是12平方厘米，用4个这样的正方体拼成一个长方体，求长方体的表面积？3、用6个大小完全一样的正方体拼成一个大长方体，它的表面积比留个正方体的表面积减少了56平方厘米，每个小正方体的表面积？4、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积是多少？5、有一个正方体木块，把他分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少？6、一根长2米的长方体木料沿横截面锯成3段之后，表面积增加了0.48平方米，原来这根木料的体积是多少立方米？7、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？8、把一个长方体木块，长4分米，宽3分米，高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？9、有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米，宽是4厘米，高2厘米，现在把三块积木搭成一个大的长方体，怎么样搭表面积最大？最大的表面积是多少平方厘米？10、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？11、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？12、一个正方体木块，表面积是96平方厘米。

把它锯成体积相等的8个小正方体小木块，每个小木块的表面积是多少平方厘米？13、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。

已知小正方体的表面积是150平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？14、一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？15、一个长方体的体积是385立方厘米，并且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积16、有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，那么表面积增加了多少平方米？17、一个长方体，若高截去2分米，则成为一个正方体，表面积比原来减少32平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。

一、拓展提优试题1．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA＝10，则阴影部分的面积是．（π取3）2．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？3．如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是cm2．（π取3.14）4．甲、乙、丙三人去郊游，甲买了9根火腿，乙买了6个面包，丙买了3瓶矿泉水，乙花的钱是甲的，丙花的钱是乙的，丙根据每人所花钱的多少拿出9元钱分给甲和乙，其中，分给甲元，分给乙元．5．若将算式9×8×7×6×5×4×3×2×1中的一些“×”改成“÷”使得最后的计算结果还是自然数，记为N，则N最小是．6．如图是甲乙丙三人单独完成某项工程所需天数的统计图，根据图中信息计算，若甲先做2天，接着乙丙两人合作了4天，最后余下的工程由丙1人完成，则完成这项工程共用天．7．用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成三个三位数（每个数字只能用1次），使最大的数能被3整除；次大的数被3除余2，且尽可能的大；最小的数被3除余1，且尽可能的小，求这三个三位数．8．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是．9．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．10．在救灾捐款中，某公司有的人各捐200元，有的人各捐100元，其余人各捐50元．该公司人均捐款元．11．从1，2，3，4，…，15，16这十六个自然数中，任取出n个数，其中必有这样的两个数：一个是另一个的3倍，则n最小是．12．如图，已知AB＝2，BG＝3，GE＝4，DE＝5，△BCG和△EFG的面积和是24，△AGF和△CDG的面积和是51．那么，△ABC和△DEF的面积和是．13．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．14．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x＝．15．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在C点相遇，若在出发时，甲将速度提高，乙将速度每小时提高10千米，二人依然在C点相遇，则乙原来每小时行千米．16．请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是．17．若（n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是．18．小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）．那么，这本书原来有页．19．已知两位数与的比是5：6，则＝．20．若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有组．21．把一个自然数分解质因数，若所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯书数”如：27＝3×3×3.3+3+3＝2+7，即27是史密斯数，那么，在4，32，58，65，94中，史密斯数有个．22．张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是元．23．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．24．在一个两位数的中间加上小数点，得到一个小数，若这个小数与原来的两位数的和是86.9，则原来两位数是．25．有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是数（填“奇”或“偶”）．26．从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°角的时刻是．27．分子与分母的和是2013的最简真分数有个．28．若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是．29．李华在买某一商品的时候，将单价中的某一数字“7”错看成了“1”，准备付款189元，实际应付147元，已知商品的单价及购买的数量都是整数，则这种商品的实际单价是元，李华共买了件．30．A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是箱，其中装有小球个．31．建筑公司建一条隧道，按原速度建成时，使用新设备，使修建速度提高了20%，并且每天的工作时间缩短为原来的80%，结果共用185天建完隧道，若没有新设备，按原速度建完，则需要天．32．有两辆火车，车长分别是125米和115米，车速分别是22米/秒和18米/秒，两车相向行驶，从两车车头相遇到车尾分开需要秒．33．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．34．如图．从楞长为10的立方体中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后，得到的几何体的表面积是，体积是．（π取3）35．（15分）快艇从A码头出发，沿河顺流而下，途经B码头后继续顺流驶向C码头，到达C码头后立即反向驶回B码头，共用10小时，若A、B相距20千米，快艇在静水中航行的速度是40千米/时，河水的流速是10千米/时，求B、C间的距离．36．一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是．37．对任意两个数x，y，定义新的运算*为：（其中m是一个确定的数）．如果，那么m＝，2*6＝．38．如图，正方形ABCD和EFGH分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10，18和12，则正方形ABCD和EFGH中，面积较大的正方形是．39．早晨7点10分，妈妈叫醒小明，让他起床，可小明从镜子中看到的时刻还没有到起床的时刻，他对妈妈说：“还早呢！”小明误以为当时是点分．40．某小学的六年级有学生152人，从中选男生人数的和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：3×102÷2﹣3×（10÷2）2＝3×100÷2﹣3×25＝150﹣75＝75答：阴影部分的面积是75．故答案为：75．2．解：大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216，切割后小正方体表面积总和是：216×＝720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则解得：（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，化简：由上式可得：b＝9c+24，a＝，当c＝0时，b24＝，a＝24，当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去）当c＝2时，b＝42，a＝15，当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去）当c＝4时，b＝60，a＝6，当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去）当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去）当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．3．解：40÷2＝20（厘米）20÷2＝10（厘米）3.14×202﹣3.14×102÷2×4＝1256﹣628＝628（平方厘米）答：阴影部分的面积是628平方厘米．故答案为：628．4．解：丙花钱是甲的×＝甲：乙：丙＝1：：＝13：12：8（13+12+8）÷3＝11每份：9÷（11﹣8）＝3（元）甲：（13﹣11）×3＝6（元）乙：（12﹣11）×3＝3（元）答：分给甲6元，分给乙3元．故答案为：6，3．5．解：根据分析，先分解质因数9＝3×3，8＝2×2×2，6＝2×3，故有：9×8×7×6×5×4×3×2×1＝（3×3）×（2×2×2）×7×（3×2）×5×（2×2）×3×2×1，所以可变换为：9×8×7÷6×5÷4÷3×2×1＝70，此时N最小，为70，故答案是：70．6．解：依题意可知：甲乙丙的工作效率分别为：，，；甲乙工作总量为：×2+×4＝；丙的工作天数为：（1﹣）＝3（天）；共工作2+4+3＝9故答案为：97．解：根据分析，最大的数最高位是：9，次大的数最高位是：8，最小的数最高位是1，次大的数倍3除余2，且要尽可能的大，则次大的三位数为：875；最小的数被3除余1，且要尽可能的小，则最小的三位数为：124；剩下的三个数字只有，3，6，9，故最大的三位数为：963．故答案是：963、875、124．8．解：＝＝，答：这三个分数中最大的一个是．故答案为：．9．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．10．解：捐50元人数的分率为：1﹣＝，（200×+100×+50×）÷1＝（20+75+7.5）÷1＝102.5（元）答：该公司人均捐款102.5元．故答案为：102.5．11．解：将有3倍关系的放入一组为：（1，3，9）、（2，6）、（4，12）、（5，15）共有4组，其余7个数每一个数为一组，即将这16个数可分为11组，．则第一组最多取2个即1和9，其余组最多取一个，即最多能取12个数保证没有一个数是另一个的三倍，此时只要再任取一个，即取12+1＝13个数必有一个数是另一个数的3倍．所以n最小是13．12．解：作CM⊥AD，垂足为M，作FN⊥AD，垂足为N，设CM＝x，FN＝y．由题意得方程组，解方程组得，所以△ABC与△DEF的面积和是：AB•CM+DE•FN＝×2×8+×5×6＝8+15＝23．故答案为：23．13．解：根据分析得出的规律我们可以得到：图⑩中有3+（4+6+8+10+12+14+16+18+20）＝3+（4+20）×9÷2＝111；故答案为：111．14．解：设原来的分数x是，则：＝则：b＝3（c+a）＝3c+3a①＝则：4c＝a+b②①代入②可得：4c＝a+3c+3a4c＝4a+3c则：c＝4a③③代入①可得：b＝3c+3a＝3×4a+3a＝15a所以＝＝即x＝．故答案为：．15．解：依题意可知：根据甲乙两人的相遇点相同，那么他们的速度比例是不变的．当甲提高时，乙也同样需要提高，而乙提高的是每小时10千米．即10÷＝40千米/小时．故答案为：4016．解：设这个数是a，[（a+5）×2﹣4]÷2﹣a＝[2a+6]÷2﹣a＝a+3﹣a＝3，故答案为：3．17．解：当n＝1时，不等式左边等于，小于，不能满足题意；当n＝2时，不等式左边等于+＝＝，小于，不能满足题意；同理，当n＝3时，不等式左边大于，能满足题意；所以满足题意的n的值最小是3．故答案是：318．解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是1+2+…+n＝n（n+1），由题意可知，n（n+1）＞4979，由估算，当n＝100，n（n+1）＝×100×101＝5050，所以这本书有100页．答：这本书共有100页．故答案为：100．19．解：因为（10a+b）：（10b+a）＝5：6，所以（10a+b）×6＝（10b+a）×560a+6b＝50b+5a所以55a＝44b则a＝b，所以b只能为5，则a＝4．所以＝45．故答案为：45．20．解：53以内的质数有：2、3、5、7、11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，51，53；若三个不同的质数的和是53，可以有以下几组：（1）3，7，43；（2）3，31，19；（3）3，37，13；（4）5，11，37；（5）5，7，41；（6）5，17，31；（7）5，19，29；（8）7，17，29；（9）11，13，29；（10）11，23，19；（11）13，17，23；所以这样的三个质数有11组．故答案为：11．21．解：4＝2×2，2+2＝4，所以4是史密斯数；32＝2×2×2×2×2；2+2+2+2+2＝10，而3+2＝5；10≠5，32不是史密斯数；58＝2×29，2+2+9＝13＝13；所以58是史密斯数；65＝5×13；5+1+3＝9；6+5＝11；9≠11，65不是史密斯数；94＝2×472+4+7＝13＝9+4；所以94是史密斯数．史密斯数有4，58，94一共是3个．故答案为：3．22．解：（1﹣30%）×（1+10%）＝70%×110%，＝77%；5880÷12÷[30%﹣（1﹣77%）]＝490÷[30%﹣23%]，＝490÷7%，＝7000（元）．即李阿姨的月工资是 7000元．故答案为：7000．23．解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3＝11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．24．解：根据题意可得：86.9÷（10+1）＝7.9；7.9×10＝79．答：原来两位数是79．故答案为：79．25．解：每人答对x道，不答y道，答错z道题目，则显然x+y+z＝20，z＝20﹣x﹣y；所以一个学生得分是：25+3x+y﹣z，＝25+3x+y﹣（20﹣x﹣y），＝5+4x+2y；4x+2y显然是个偶数，而5+4x+2y的和一定是个奇数；2013个奇数相加的和仍是奇数．所以所有参赛学生得分的总和是奇数．故答案为：奇．26．解：分针每分钟走的度数是：360÷60＝6（度），时针每分钟走的度数是：6×5÷60＝0.5（度），第一成直角用的时间是：90÷（6﹣0.5），＝90÷5.5，＝16（分钟），第二次成直角用的时间是：270÷（6﹣0.5），＝270÷5.5，＝49（分钟）．这时的时刻是：12时+49分＝12时49分．故答案为：16，12时49分．27．解：分子与分母的和是2013的真分数有，，…，共1006个，2013＝3×11×61，只要分子是2013质因数的倍数时，这个分数就不是最简分数，因数分子与分母相加为2013，若分子是3，11，61的倍数，则分母一定也是3，11或61的倍数．[1006÷3]＝335，[1006÷11]＝91，[1006÷61]＝16，[1006÷3÷11]＝30，[1006÷3÷61]＝5，[1006÷11÷61]＝1，1006﹣335﹣91﹣16+30+5+1＝600．故答案为：600．28．解：长方体的高是：56÷4÷（1+2+4），＝14÷7，＝2，宽是：2×2＝4，长是：4×2＝8，体积是：8×4×2＝64，答：这个长方体的体积是64．故答案为：64．29．解：189＝3×3×3×7＝27×7147＝3×7×7＝21×7正好是27×7＝189中把27看成21×7＝147所以这种商品的实际单价是21元，卖了7件．故答案为：21，7．30．解：根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4＝64个，最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2＝8个，由于小球的转移不改变总数，所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8＝40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2＝4个，D中有40÷2＝20个，总数不变，所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20＝36个，于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2＝2个，C中有小球36÷2＝18个，D中有小球20÷2＝10个，B中有小球64﹣2﹣18﹣10＝34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2＝17个，C中有小球18÷2＝9个，D中有小球10÷2＝5个，B中有小球64﹣17﹣9﹣5＝33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5；而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个；答：开始时装有小球最多的是A箱，其中装有33小球个；故答案为：A，33．31．解：（1﹣）÷[（1+20%）×80%]＝÷[120%×80%]，＝，＝；185÷（+）＝185÷，＝180（天）．答：按原速度建完，则需要180天．故答案为：180．32．解：（125+115）÷（22+18）＝240÷40＝6（秒）；答：从两车头相遇到车尾分开需要6秒钟．故答案为：6．33．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．34．解：10×10×6﹣3×22×2+2×3×2×10，＝600﹣24+120＝696；10×10×10﹣3×22×10，＝1000﹣120＝880；答：得到的几何体的表面积是696，体积是880．故答案为：696，880．35．解：设B、C间的距离为x千米，由题意，得+＝10，解得x＝180．答：B、C间的距离为180千米．36．解：商是10，除数最大是9，余数最大是8，9×10+8＝98；被除数最大是98．故答案为：98．37．解：（1）1*2＝＝，即2m+8＝10，2m＝10﹣8，2m＝2，m＝1，（2）2*6，＝，＝，故答案为：1，．38．解：小正方形的面积之和为30时，两正方形的面积差最小，则大正方形的面积越大，即EFGH的面积较大；故答案为：EFGH．39．解：早晨7点10分，分针指向2，时针指7、8之间，根据对称性可得：与4点50分时的指针指向成轴对称，故小明误以为是4点50分．故答案为：4，50．40．解：设男生有x人，（1﹣）x＝152﹣x﹣5，x+x＝147﹣x+x，x＝147，x＝77，答：该小学的六年级共有男生77名．故应填：77．。

几何综合（一）几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD 、AP ，396.42DPG DFP APD PG PG S S S FP FP ∆∆∆===⨯=有925122015872.22ABC AIPD BEPFCGPHIFP DGP EHP S SSSS S S ∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712. 而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78. 所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k ，宽为8k ，则①号正方形的边长为5k ，又是整数，所以k 为整数，有长方形的面积为962k ,不大于100．所以k 只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC，所以△A OC为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-几何综合(二)内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=1010=100,ABCD S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ∆⨯又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆ 阴影部分的面积为:DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米).方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800, ∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12). 1020251,,2,,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,2,2.4,4.8,5), 131025147813101,,,,,1,,,,636333313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8.如图30-8，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E ，F 分别为边AB,BC 的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，连接EC ，并在某些点处标上字母，因为AE 平行于DC ，所以四边形AECD 为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEG DCG S S ∆∆=, AGD ECG AEG DCG S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,且有AGD ECG S S ∆∆=,所以:1:2AEG ADG S S ∆∆=,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG ：GD=1:2，同理FH ：HD=1:2．有AED AEG AGD S S S ∆∆∆=+,而111822AED ABCD S S ∆=⨯⨯=(平方厘米) 有EG:GD=:AEG AGB S S ∆∆,所以1612AEG AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 21212AGD AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 同理可得6HFC S ∆=(平方厘米), 12DCH S ∆=(平方厘米),44624DCG AEG S S ∆∆==⨯=(平方厘米)又GHD DCG DCH S S S ∆∆∆=-=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =. 所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-= (平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A ，右下图中的每一部分阴影称为B ．大半圆的面积为13332A B ++小圆的面积219322ππ=⨯⨯=而小圆的面积为π，则9133223A B πππ⎛⎫+=-÷= ⎪⎝⎭， 原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A 、B 的面积和，即为5236πππ+=14.如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫过部分的面积．(π取3.14)【分析与解】 如下图所示，如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．所以=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。

三角形的认识
三角形
定义：由不在同一条直线上的三个点连接所构成的图形称为三角形.
特点：1．它有三条边； 2．它有三个角； 3．它有三个顶点.
直角三角形：有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形. 等腰三角形：等腰三角形是三条边中有两条边相等的三角形. 等边三角形：三边相等的三角形.(又称正三角形)
生活中的三角形
【拓展】
(★★)
如果是四个这样的三角形，能否拼成：正方形，长方形，三角形，平行四边形，梯形，请试一试.
(★★)
用下面两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成那些图形，请画出来.
例1
例2
(★★)
求下图中各三角形的周长.(单位：厘米)
例3
(★★★)
请数出下面图形中包含了个三角形.
【经典精讲】
三角形的底
三角形的高，从底的对顶点向底做垂线，所得到的线段，就是三角形的高.例如：
做高之后，如下所示：
注意：底和高是成对出现的.
(★★★★)
由下面的的6个点可以组成多少个不同的三角形？
例4
例5
(★★★)
请画出下面图形底边AB边的高线.
例6
(★★★★)
如果要将一个等边三角形分成4个完全一样的小三角形怎么分？如果是分成9个完全一样的小三角形呢？
【趣味大挑战】
(★★★)
学校买了6盆花，要排成3行，每行排3盆，如何排？请你画出图案.
【知识总结】。

第二讲几何之五大模型及其应用1．回顾几何图形中的倍比关系；2．精讲五大模型及其应用。

【例1】★★★（思维训练导引）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

ABCDEF解：BC×14=CD×16，BC ：CD=16：14，BC+CD=，BC=×=20 752752161614ABCD 面积=14×20=280（平方厘米）【例2】★★★（小学数学奥林匹克）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为（ ）【解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【点评】本题渗透等量代换思想，方程中有相抵成份，不必害怕未知数太多。

【例3】三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

【解】如图，连接KF，EG，BD。

设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V，由KF∥EG∥BD，S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。

设阴影阴影的面积为S,则S= S △KGE + S △DEG = S △FGE + S △BGE = S BEFG正方形BEFG 的周长为14厘米，边长为3.5厘米。

所以S BEFG =3.52=12.25(平方厘米)【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。

【例4】如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

【解法1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的深色三角形的面积。

已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设大长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，则有：GH 的长度为：312341221a a a -=++所以，阴影部分的面积为××b=××10=(平方厘米)12221a 122211021【解法2】如图，S 阴影=S △ABH -S △ABG =S 长方形ABFP -S 长方形ABOE 1212长方形ABFP=×长方形ABCD=×10334+37长方形ABOE=×长方形ABCD=×10112+13S 阴影=×（×10-×10）=(平方厘米)1237131021【点评】本题除了体现等积变形的思想，另外主要运用了长方形等宽时，面积与长的正比关系。

小学六年级奥数几何题、计算题1.小学六年级奥数几何题篇一有一个长方体木块，长125厘米，宽40厘米，高25厘米。

把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。

这个大正体的表面积是多少平方厘米？分析与解一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。

题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。

我们应该从整体出发去思考这个问题。

按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。

这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。

已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。

进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。

长方体的体积是125X40X25=125000(立方厘米)将125000分解质因数：125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5=(2×5×5)×(2×5×5)×(2×5×5)可见大正方体的棱长是2×5×5=50(厘米)大正方体的表面积是50X50X6=15000(平方厘米)答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。

2.小学六年级奥数几何题篇二1、一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。

已知圆形的半径是6厘米,那么图中阴影的面积是多少平方厘米？2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加2平方分米,求这根木料原来的体积。

3、有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下的物体的体积和表面积各是多少？4、一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方米。

原来正方体的表面积是多少平方厘米？5、把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少46平方厘米，而长是原来的2倍。

1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2. 用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理：S△ABG : S△AGC S△BGE :S△EGC BE:EC；S△BGA :S△BGC S△AGF :S△FGC AF:FC ；S△AGC :S△BCG S△ADG : S△DGB AD:DB ；问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴， A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼. 同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明一下燕尾定理：五年级第四讲提高班｜12 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积 . 又因为阴影部分是一个不规则四边形， 所以我们需要 对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（ 法一 ） 连接 CF ，因为 BD DC ， EC 2AE ，三角形 ABC 的面积是 30，所以S △ABFS △ABC 7.5 ，S △BFD 15 7.5 7.5 ，4所以阴影部分面积是 30 10 7.5 12.5 ．（ 法二） 连接 DE ，由题目条件可得到 S △ABE 1S △ABC 10 ，△ ABE 3 △ ABCS△ BDE1S BEC S△ BEC 12S △ ABC 10 ，所以AF S △ABE12 23 FDS△BDE111 1 1 11S△ DEF S△ DEAS△ADCS△ ABC2.522 3 2 32而 S △CDE2 1S △ ABC 10．所以阴影部分的面积为 12.5． 32铺垫］ 右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那 么，阴影三角形的面积是 ．S △ ABF AE 1，S △ ABF BD1 CDS△CBFEC2S△ ACFS△ ABC10， S △ ABD3△ ABC△ ABDS△ ABC2△ ABC15． 根据燕尾定理，举例 ： 如右 图 ，D 是 BC 上 任 意 一 点 ，请 你 说 明S 1:S 4 S 2:S 3 BD:DC分析】 三 角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底， 所以有 S 1:S 4 BD:DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，S 1 : S 2ED : EA 三角形 ACE 与三角形 CED 同高， S 4: S 3 ED : EA ，所以 S 1:S 4 S 2:S 3；综上可得 S 1:S 4 S 2:S 3 BD:DC.【例 1】 用燕尾定理求面积如图，已知 BD DC ， EC 2 AE ，三角形 ABC 的面积是 30，求阴影部分面积所以S △ABEA分析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任五年级第四讲提高班｜3何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S阴影1 3 :4，解得S阴影2.方法二：回顾下燕尾定理，有2（: S阴影4）1:3 ，解得S阴影2.例2】如右图，三角形ABC 中，BD :DC 4:9，CE:EA 4:3，求AF:FB. 分析】燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，S△ABO BD4S△ ACO DC9S△ ABOAE3，S△ CBOEC，4所以S△ ACO4 4 27S△BCO9 3 16所以 AF :FB27:16 ..我例3】如图在△ ABC 中，DCDBEA FB 1,求△GHI的面积的值EC FA 2 ,求△ ABC的面积分析】连接BG,设S△BGC 1 份，根据燕尾定理S△AGC:S△ BGCAF :FB 2:1, S△ABG :S△ AGC BD :DC 2:1 , 得S△ AGC 2（份），S△ABG4（份）, 拓展］则S△ABC 7（份），因此S△AGCS△ABC22, 同理连接7AI、CH 得S△ABHS△ABCS△BICS△ABC所以S△GHIS△ ABC72 22如右图，三角形ABC 中，AF:FB BD:DC CE:AE 3 : 2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．4 ｜五年级第四讲提高班｜A A5 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜分析］ 连接 BG ， S △BGC 4份根据燕尾定理， S △AGC :S △BGC AF:FB 3:2， S △ABG : S △AGC BD:DC 3:2 得 S △AGC 6(份)， S △ABG 9(份)，则S △ABC 19 (份) ，因此 S△AGC6S△ ABC19例 4 】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，己知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少 ?分析】 设 S △ AOE x ， S △ BOF y ，根据燕尾定理 , 得分析】 令 BE 与 CD 的交点为 M ， CD 与 EF 的交点为 N ，连接 AM ，BN ．在 △ ABC 中，根据燕尾定理， S △ ABM :S △ BCM AE :CE 1:1 , S △ACM : S △ BCMAD :BD 1:1同理连接 AI 、CH得S△ABH6, S △ BIC6,S △ ABC19S △ ABC19所以S△GHI19 6 6 6 1S△ ABC19 19三角形GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19S△ ABO :S△ ACOS △ BDO : S △ CDOS △ ABO : S △ BOC S △ AOE : S △COE (84 y):(x 35) 4:3(84 y):(40 30) x:35 ，即3(84 y) 4(x 35) ，解得35(84 y) 70xx 70 y 56所以三角形 ABC 的面积是 84 40 30 35 56 70 315例 5 】 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米， D 为 AB 中点， E 为AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积．所以S△ABMS△ ACMS△ BCN1 S△ ABC3由于S△ AEM 11S△ AMC S△ABM S，所以BM2△ AMC 2△ABM:ME 2:1在△ EBC 中，根据燕尾定理，S△ BEN :S△CEN BF :CF1:1S△ CEN :S△ CBN ME :MB 1: 2设S△ CEN 1（份），则S△ BEN 1（份），S△ BCN2（份），S△BCE 4（份），所以S△ BCN1 1,S△BCES△ABC, S△ BNE241S△4BCE1 S△ABC ，BCES△ ABC8因为 BM :ME2:1,F 为BC中点所以S△ BMN2S2△ BNE1S△ ABC 1SS△ ABC ,11 S△ BFNS△ BNC11S△ ABC 338122248所以S阴影11 S△ ABC△ ABC5 S△ ABC△ ABC5 15 3.125 （平方厘米）128△ ABC24△ ABC24例6】如右图，△ ABC中， G是AC的中点， D 、 E 、 F是BC边上的四等分点， AD与BG交于 M，AF 与 BG 交于 N ，已知△ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？连接CM 、CN．根据燕尾定理，S△ABM : S△CBM AG :GC 1:1 ，S△ ABM :S△ ACM BD :CD 1:3 ，所以1；S△ABM S△ ABC ；△ABM 5△ ABC再根据燕尾定理，S△ ABN: S△ CBN AG:GC 1:1 ，所以S△ABN :S△ FBN S△CBN:S△ FBN4:3 ，所以AN:NF 4:3 ，那么S△ ANG 14 2 2，所以SFCGN1 S△ AFC51 S△ ABC△ ABC5 S△ ABC △ABCS△ AFC 24 3 7FCGN7△AFC7428△ABC根据题意，有1S△ ABC 5SS△ABC7.2 ，可得S△ABC 336 （平方厘米）528拓展］如右图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC，分析】CF FG GA，三角形ABC 被分成9 部分，请写出这9 部分的面积各是多少?6 ｜五年级第四讲提高班｜五年级 第四讲 提高班 ｜ 7分析］ 设 BG 与 AD 交于点 P ，BG 与 AE 交于点 Q ，BF 与 AD 交于点 M ，BF 与 AE 交于点 N ．连接 CP ，CQ ， CM ，CN ．根据燕尾定理， S △ABP :S △CBP AG:GC 1: 2 ， S △ABP : S △ ACP BD:CD 1:2，设 S △ABP 1（份），分析】 观 察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题 目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕 尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接 EO 、 AF ，根据燕尾定理：S △AOE:S△ AOFa :b ，S△AOF:S△EOFa :b所以 S △AOE :S △EOF a 2 :b 2 ，作 OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，2同理可得，S △ABQ,S △ ABN,而S △ABG1，所以 S △ APQ 2 1 7 23 7 53 35 1 39 5,1 151, S四边形 MNED, S四边形 NFCE, S四边形 GFNQ四边形 MNED 335 7042 四边形 NFCE3 21 426 四边形 GFNQ42已知四边形 ABCD ，CHFG 为正方形， S 甲:S 乙1:8 ，a 与 b 是两个正方形的边长，求a:b同理， S △BPMS△BDM1 , 所以S 四边形 PQMN21则S △ ABC 1 22 5（ 份），所以 S △ABP53 ，1 21 ，S△ AQG353 72121111 3 21 68 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜∵ AE EF22∴ OM :ON a 2 :b 2 ∴ S 甲 :S 乙 a 3 :b 3 1:8 ∴ a:b 1:2求面积方法的综合运用例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中， BE EC ， CF 2FD ．求阴影面积与空白面积的比．分析】方法一：因为 BE EC ， CF 2FD，所以 S △ABES 四边形 ABCD ，4S △ ADFS 四边形 ABCD ．6因为 AD 2BE ，所以 AG 2GE ，所以S △ BGE1S1S， S △ABES四边形 ABCD ，312 S△ABG2S 1SS △ ABES四边形 ABCD36同理可得，1 ， 1．S△ ADHS四边形 ABCD ，S △ DHFS 四边形ABCD ．因为S △BCD12S 四边形ABCD，所以空白部分的面积 (1212 241 2，)S四边形 ABCDS四边形 ABCD ，83所以阴影部分的面积是 1S 四边形ABCD ．3 四边形12 1:21:2 ，所以阴影面积与空白面积的比是 331:2．方法二：连接 CG 、 CH 、AC, AC 交BD 于 O ，有 AO OC 在 △ ABC 中， 根据燕尾定理可以得到 S △ABG : S △ACGBE :CE 1:1 , S △ ABG :S △ CBGAO :OC 1:1 ,所以S△BCGS△ ACGS △ABCS Y ABCD ,所以S △ BGE3 △6 Y△S△ AGOS YABCD ,12 Y同理在 △ ACD 中， 根据燕尾定理可以得到 S △ AHC1S △ ACD2△1, 1 1 , SY ABCD, S△ DCHS△ ACDSY ABCD,4 △4 △8所以S △AHO 2 S △AHC1, 1S Y ABCD , S △ DFH S △ DCH8 YABCD △DFH 3 △ DCHSY ABCD24 YABCD五年级 第四讲 提高班 ｜ 9分析］ 连 接 BN ．△ABC 的面积为 3 2 2 3所以 S 阴影S△ BEG S△AGOS△ AHOS△DHF1 1 1 1()SYABCD 12 12 8 24 YS Y ABCD3Y所以阴影面积与空白面积的比 1: 2 1:233例 9 】 如图，在一个梯形内有两个面积分别为 10 与 12 的三角形，已知梯形的上底长是下底长的 2，那3分析】 设上底为 2a, 则下底为 3a, 梯形的高为 2 10 2a 2 123a18 a梯形的面积为1.1 18 (2a 3a) 45, 2a所以阴影部分面积为 45 10 12 23BE: EC 3:1 ， D 是 AE 的中点，那么 AF :FC分析】 连接 CD ．由于S △ ABD :S △ BED1:1 ，S△ BED : S△BCD 3: 4 ，所以S △ ABD :S △BCD根据燕尾定理， AF :FCS△ ABD :S△ BCD3: 4 ．2 ，CB3 ，AM BM ，那么三角形 AMN ( 阴如图所示，在 △ ABC 中，3: 4 ，2.三角形 ABC 中， C 是直角，已知 AC 2 ， CD影部分 ) 的面积为多少？A10 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜根据燕尾定理， △ACN :△ABN CD:BD 2:1 ； 同理 △CBN :△CAN BM :AM 1:1设△AMN 面积为 1 份，则 △MNB 的面积也是 1 份，所以 △ ANB 的面积是 1 1 2份，而 △ACN 的面积就是 2 2 4份，△CBN 也是 4份，这样△ ABC 的面积为 4 4 1 1 10份，所以 △AMN 的面积为 3 10 1 0.3．3.三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，且 BE 2EC ， F 是 CD 的中点．那么阴影部分的面积是 平方厘米．分析】 连接BF ，根据燕尾定理 S △ACF : S △ABF CE:BE 1: 2,又因为 F 是CD 的中点，所以 S △ACF S △ADF ， 所以 S △ ADFS △ BDF ,即D 是 AB 的中点，设 S △ECF1（ 份），则S △BEF 2（份）, S △BDF 3（份）, S 阴影 5（份）， S △ABC 2 （1 2 3） 12（份），所以 S 阴影 5 S △ABC 5 （ 平方厘米 ）12 124.如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？分析】 这 个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看 . 作辅助线 BO ，则图形关于 BO 对称，设△ ADO 的面积为 2 份，则△ DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份 . 因为 S △ABE 6 10 2 30，而阴影部分的面积为 4 份， 所以阴影部分的面积为 30 8 4 15115.如图， △ABC 中AE AB ，AD AC ， ED 与BC 平行， △EOD 的面积是 1平方厘米． 那44么 △AED 的面积是平方厘米．11分析】因为AE AB，AD AC， ED与BC平行，44所以 ED:BC 1:4, EO:OC 1:4，S△EOB 4S△EOD 4，则S△CDE 4 1 5，又因为S△AED : S△CDE AD :DC 1:3 所以S△ AED 5 1 5（平方厘米）．33五年级第四讲提高班｜11A12 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜许多追踪这个富有者的乌鸦立刻 成群飞来。

立体图形的计算【表面积的计算】例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。

那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。

（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。

原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。

所以，60块长方体的表面积之和是（1×1）×24＝24（平方米）。

例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。

求这个立体图形的外表面积。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。

于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。

俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。

所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。

【体积的计算】例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。

故可设正方即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。

例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。

（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。

讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。

三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。

2015年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少? 37421812523．由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。

专项分类必刷卷 (十一) 图形与几何(一)(基础卷)建议用时：40分钟满分:50+10分一、填空题。

(每空1分，共9分)1.将长20cm、宽14cm的长方形纸对折，变成两个同样大小的长方形，长方形的长可以是( )cm,也可以是( )cm。

2.一个平行四边形相邻两条边的长度分别是15cm和10cm。

一条底边上的高是12cm,这个平行四边形的周长是( ) cm,面积是( )cm²。

3.“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处事的道理。

如图，外面正方形的边长为10dm，那么正方形内最大圆的半径是( )dm，这个圆的周长是( )dm,面积是( )dm²。

4.一个圆锥形的沙堆，底面直径是6m，高是2.5m，这堆沙子的体积是( )m³。

5.一个高30cm的圆锥形容器，盛满水倒入和它等底等高的空圆柱形容器中后水面高度是( )cm。

二、选择题。

(每题2分，共8分)1.下列说法中，正确的有( )个。

①萌萌画了一条4 cm长的射线。

②强强在黑板上画了两条线段，如果它们不相交，那么它们一定互相平行。

③有一组对边平行的四边形是梯形。

④一个三角形三个内角的度数比是2：3：5，那么它是一个直角三角形。

A.1B.2C.3D.42.下列图形中，( )不是正方体的展开图。

3.用一根铁丝，先围成一个正方形，展开后再围成一个圆形，两次围成图形的面积( )。

A.相等B.正方形的面积大C.圆的面积大D.无法比较4.油漆 4 根圆柱形柱子，就是油漆柱子的( )。

A.体积B.表面积C.侧面积D.容积三、计算题。

(共8分)1.求图中涂色部分的面积。

(单位：cm)(4分)2.求图中立体图形的体积。

(单位：cm)(4分)四、操作题。

(共9分)1.量出∠AOB的度数，并分别过P点画出AO的平行线，BO 的垂线。

(6分)2.画出如图所示的物体从不同方向看到的形状。

(3分)五、解决问题。

(共16分)1.沙漏是古代计量时间的工具之一。

【导语】⼏何是研究空间结构及性质的⼀门学科。

它是数学中最基本的研究内容之⼀，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

⼏何学发展历史悠长，内容丰富。

它和代数、分析、数论等等关系极其密切。

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1.⼩学六年级奥数⼏何题 求下列圆柱体的表⾯积： ⑴底⾯半径是5分⽶，⾼20厘⽶； ⑵底⾯圆的直径是16厘⽶，⾼3厘⽶； ⑶底⾯圆的周长是12. 56分⽶，⾼20厘⽶； ⑷求下列圆柱体的侧⾯积： ①底⾯半径是4分⽶，⾼21厘⽶； ②底⾯直径是16厘⽶，⾼3厘⽶；　2.⼩学六年级奥数⼏何题 1、画⼀个周长12．56厘⽶的圆，并⽤字母标出圆⼼和⼀条半径，再求出这个圆的⾯积。

2、学校有⼀块圆形草坪，它的直径是30⽶，这块草坪的⾯积是多少平⽅⽶？如果沿着草坪的周围每隔1．57⽶摆⼀盆菊花，要准备多少盆菊花？ 3、⼀个圆和⼀个扇形的半径相等，圆⾯积是30平⽅厘⽶，扇形的圆⼼⾓是36度。

求扇形的⾯积。

4、前轮在720⽶的距离⾥⽐后轮多转40周，如果后轮的周长是2⽶，求前轮的周长。

5、⼀个圆形花坛的直径是10厘⽶，在它的四周铺⼀条2⽶宽的⼩路，这条⼩路⾯积是多少平⽅⽶？ 6、学校有⼀块直径是40M的圆形空地,计划在正中央修⼀个圆形花坛,剩下部分铺⼀条宽6⽶的⽔泥路⾯,⽔泥路⾯的⾯积是多少平⽅⽶? 7、有⼀个圆环，内圆的周长是31.4厘⽶，外圆的周长是62.8厘⽶，圆环的宽是多少厘⽶？ 8、⼀只挂钟的分针长20厘⽶,经过45分钟后,这根分针的尖端所⾛的路程是多少厘⽶? 9、⼀只⼤钟的时针长0.3⽶,这根时针的尖端1天⾛过多少⽶?扫过的⾯积是多少平⽅⽶？3.⼩学六年级奥数⼏何题 1、⼀挂钟时针长10厘⽶,经过⼀昼夜时针的顶端⾛多少厘⽶? ⼀昼夜⾛两圈 ⾛的路程为：2*2πr=2*2*3.14*10=125.6厘⽶ 2、⼩刚⽤⼀根长452.6分⽶的绳⼦绕⼀棵树⼲正好绕6圈,这棵树⼲的周长是多少厘⽶?横截⾯的⾯积是多少平⽅厘⽶? 这棵树的周长为：452.6÷6≈75.4分⽶ 半径为：75.4÷(3.14*2)≈12分⽶ 横截⾯积为：3.14*12=452.16平⽅分⽶ 3、⼀根铁丝在⼀个圆形缸⼝上绕了3圈,正好⽤去3.768⽶,这个缸⼝的⾯积是多少平⽅⽶? 这个缸⼝的'周长为：3.768÷3=1.256⽶ 半径为：1.256÷(3.14*2)=0.2⽶ ⾯积为：3.14*0.2=0.0628平⽅⽶4.⼩学六年级奥数⼏何题 1、有⼀队学⽣，排成⼀个中空⽅阵，最外层⼈数是52⼈，最内层⼈数是28⼈，这队学⽣共多少⼈？ 解：（1）中空⽅阵外层每边⼈数=52÷4+1=14（⼈） （2）中空⽅阵内层每边⼈数=28÷4-1=6（⼈） （3）中空⽅阵的总⼈数=14×14-6×6=160（⼈） 答：这队学⽣共160⼈。

1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2. 用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理： S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC ； S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC ； S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ；问：为什么称之为燕尾定理？ 答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：举例：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC【分析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，第4讲直线型面积—燕尾定理G F D AG F E D C B AS 3S 1S 4S 2EDCBA所以有S 1:S 4 =BD :DC ；三角形ABE 与三角形EBD 同高，S 1:S 2 =ED :EA 三角形ACE 与三角形CED 同高，S 4:S 3=:ED EA ，所以S 1:S 4 =S 2:S 3；综上可得S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC .【例 1】 如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.EFAEF B AEF A【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．［铺垫］ 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．【分析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（），解得2S =阴影.用燕尾定理求面积4321【例 2】 如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB . 【分析】 燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，49ABO ACO S BD S DC ==△△，34ABO CBO S AE S EC ==△△， 所以44279316ACO BCO S S =÷=△△， 所以:27:16AF FB =.【例 3】 如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIHG FEDCB A【分析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△［拓展］ 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA［分析］ 连接BG ，BGC S △=4份根据燕尾定理，::3:2AGC BGC S S AF FB ==△△，::3:2ABG AGC S S BD DC ==△△ 得6AGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△, O FEDCBA35304084O FEDC BA所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【例 4】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少? 【分析】 设AOE S x =△，BOF S y =△，根据燕尾定理,得::ABO ACO BDO CDO S S S S =△△△△,::ABO BOC AOE COE S S S S =△△△△即 (84):(35)4:3y x ++=，(84):(4030):35y x ++=，即3(84)4(35)35(84)70y x y x +=+⎧⎨+=⎩，解得7056x y =⎧⎨=⎩， 所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【例 5】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．F CBAF CB【分析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△ 设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 6】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【分析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)［拓展］ 如右图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA［分析］ 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【例 7】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =乙甲baGHOFEDCBA 乙甲baNMGHOFED CBA【分析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．H ABCF G【分析】 方法一：因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =△四边形，16ADF ABCD S S =△四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==△△四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==△△四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =△四边形，124DHF ABCD S S =△四边形．因为12BCD ABCD S S =△四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，求面积方法的综合运用所以阴影部分的面积是13ABCDS四边形．12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．GHOFDCA方法二：连接CG、CH、AC,AC交BD于O，有AO OC=在ABC△中，根据燕尾定理可以得到::1:1ABG ACGS S BE CE==△△,::1:1ABG CBGS S AO OC==△△,所以1136BCG ACG ABC ABCDS S S S===Y△△△,所以112BGE AGO ABCDS S S==Y△△,同理在ACD△中，根据燕尾定理可以得到1124AHC ACD ABCDS S S==Y△△,1148DCH ACD ABCDS S S==Y△△, 所以1128AHO AHC ABCDS S S==Y△△,11324DFH DCH ABCDS S S==Y△△所以11111()12128243BEG AGO AHO DHF ABCD ABCDS S S S S S S=+++=+++=Y Y△△△△阴影所以阴影面积与空白面积的比12:1:233=【例 9】如图，在一个梯形内有两个面积分别为10与12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的23，那么余下的阴影部分的面积是______．1210【分析】设上底为2a,则下底为3a,梯形的高为2102121823a a a⨯⨯+=，梯形的面积为118(23)2a aa⨯+⨯=45,所以阴影部分面积为45101223--=1.如图所示，在ABC△中，:3:1BE EC=，D是AE的中点，那么:AF FC=．FE D C B AFE DCB A【分析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△． 2.三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？［分析］ 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=． 3. 三角形ABC 的面积是1平方厘米，且BE =2EC ，F 是CD 的中点．那么阴影部分的面积是平方厘米．CACA【分析】 连接BF ，根据燕尾定理::1:2ACF ABF S S CE BE ==△△,又因为F 是CD 的中点，所以ACF ADF S S =△△，所以ADF BDF S S =△△,即D 是AB 的中点，设1ECF S =△(份)，则2BEF S =△(份),3BDF S =△(份),5S =阴影(份)，2(123)12ABC S =⨯++=△(份)， 所以551212ABC S S ==△阴影(平方厘米) 4.如图，线段AB 与BC 垂直，已知AD =EC =4，DB =BE =6，那么图中阴影部分面积是多少？ECBA ECBA【分析】 这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，设△ADO 的面积为2份，则△DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份.因为610230ABE S =⨯÷=△，而阴影部分的面积为4份， 所以阴影部分的面积为 308415÷⨯=5.如图，ABC △中14AE AB =，AD 14AC =，ED 与BC 平行，EOD △的面积是1平方厘米．那么AED △的面积是 平方厘米．【分析】 因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，所以:1:4ED BC =,:1:4EO OC =，44EOB EOD S S ==△△， 则415CDE S =+=△，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ==△△,所以15533AED S =⨯=△(平方厘米)．CBODEA富乌鸦树上落了一只嘴里衔着一大块东西的乌鸦。