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《组合数学》教学大纲《组合数学》教学大纲一、课程基本信息1、课程中文名称：组合数学2、课程类别：专业选修课3、适用专业：数学与应用数学、计算机专业4、课程地位：专业选修课5、总学时：30学时6、总学分：27、先修课程：数学分析、微分方程、高等代数二、课程目标1、组合数学是计算机应用领域中十分重要的基础理论课程，是计算机应用技术研究生的学位专业基础课。
学习该课程的主要目的是使学生掌握组合数学的理论、技术和方法。
应用组合数学方法解决实际工作中的计算机应用问题。
组合数学是一门提高思维分析能力和自我构造算法本领的必修课程。
2、通过组合数学这门课程的学习，可以有效地锻炼学生的论证能力，培养学生用组合学的思想和方法分析问题和解决问题的能力。
使学生能得到严格的逻辑推理与抽象思维能力的训练，建立数学模型与计算机科学实践之间的内在联系，不仅可以提高专业开发能力，而且为计算机教育打好数学基础。
通过本课程的学习，应达到知识和能力两方面的目标：(1)知识方面：系统地学习组合数学中的排列与组合、容斥原理及其应用、递归关系、生成函数、整数的分拆、鸽巢原理和定理、二分图问题和组合设计。
为解决实际问题，提高计算机专业开发能力打好知识基础。
(2)能力方面：使学生能得到组合数学的思想、方法和理论严格的逻辑推理与抽象思维能力的训练，了解数学中的抽象思维与计算机科学实践之间的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力3、本课程开设时间比较灵活，总学时数为30学时。
三、课程内容第一章排列与组合（8学时）[教学目的与要求]本部分集中介绍排列和组合。
使学生认识到排列和组合是组合数学研究的最简单、最基本的课题。
通过三个基本计数原理及排列、组合公式的研究，进一步讨论了几个计数问题，能体会要想完满地解决一个排列和组合问题，往往需要较强的组合思维、巧妙的组合方法、熟练的组合技巧。
本章内容初步展示了组合数学的迷人魅力，有利于激发学生学习后续内容的兴趣。
§1.1 加法规则和乘法规则§1.2 排列§1.3 组合§1.4二项式定理§1.5组合恒等式第二章鸽笼原理（4学时）[教学目的与要求]本部分集中介绍鸽笼原理和定理，所谓的鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey 定理的特例。
高中数学组合数学与应用组合数学是高中数学的一个重要内容，它是数学中研究离散结构、组合问题的一个分支，也是许多实际问题的数学建模工具。
在本文中，我们将介绍组合数学的基本概念和应用。
一、组合数学的基本概念组合数学主要研究离散的、无序的集合以及其中的元素组合的方式。
下面是组合数学中常用的概念：1. 排列排列是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行有序排列的方法数，通常用$P(n,m)$表示。
2. 组合组合是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行无序组合的方法数，通常用$C(n,m)$或$\binom{n}{m}$表示。
3. 排列组合公式排列和组合之间存在一定的关系，可以通过以下公式进行转化：$$C(n,m)=\frac{P(n,m)}{m!}=\binom{n}{m}$$4. 二项式系数二项式系数是指二项式展开的系数，通常用$\binom{n}{k}$表示。
它的计算公式是：$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$二、组合数学的应用组合数学在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 梅化尔问题梅化尔问题是组合数学中的经典问题之一。
问题描述为：在一个$n$个人的舞会中，每个人都想和其他所有人跳一次舞。
问需要进行多少次舞会可以满足所有人的需求？解答该问题需要使用组合数学的知识，即求解$n$个元素的排列数$P(n,n)$。
答案为$(n-1)!$次。
2. 集合运算组合数学中的集合运算包括并集、交集和差集等。
这些运算在数据库查询、信息检索等领域中得到广泛应用。
3. 赛事安排在体育赛事中，如何安排参赛队伍的对战组合是一个常见的问题。
组合数学可以帮助我们确定合适的赛程安排，以确保每个队伍都能与其他所有队伍进行比赛。
4. 密码学密码学是组合数学的重要应用领域之一。
组合数学中的排列和组合技术被广泛应用于密码的生成、破解以及信息加密等方面。
5. 图论图论是组合数学中的一个重要分支，它研究的是离散结构中的节点和边的关系。
组合数学引论教学设计引言组合数学是数学中非常重要的分支，其研究对象是离散的结构和离散的问题。
组合数学的研究范围非常广阔，涉及到很多计算机、统计学、优化问题等领域，因此其教学也非常重要。
本文主要介绍组合数学引论的教学设计，旨在提高学生的兴趣，增强其掌握组合数学的能力。
教学目标•了解组合数学的基本概念和方法•掌握组合数学的常见应用•能够熟练运用组合数学的知识解决实际问题教学内容第一章：组合数学基础知识•排列与组合的定义•排列与组合的计算公式•排列与组合的应用第二章：图论与组合•图的基本概念•图的遍历算法•图的连通性问题•图的匹配问题第三章：树形计数•卡特兰数的定义•卡特兰数的递推公式•卡特兰数的应用第四章：生成函数•生成函数的定义•普通生成函数与指数型生成函数•生成函数的应用第五章：容斥原理•容斥原理的定义•容斥原理的应用•容斥原理的拓展应用教学方法•讲授法•课堂演示法•问题解决法•案例分析法教学评价课堂表现•准确性：理论知识掌握情况是否正确•严谨性：掌握概念和运算的准确性•灵活性：是否能够根据问题选择正确的解决方法•应用性：是否能够将理论知识用于实际问题的解决考试成绩•课堂测试：每章的小测验•期末考试：覆盖整个课程的考试教学资源•教材：《组合数学引论》（第2版）•幻灯片：基础概念、定理和例子的演示•作业：课后习题教学时间安排章节时间（周）第一章 2第二章 2第三章 2第四章 2第五章 2章节时间（周）期末复习 1期末考试 1总共时间10总结组合数学引论的教学设计任务繁重，但是非常重要。
本文提出了教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源和教学时间安排等方面的指导，旨在帮助教师制定更有针对性的教学计划，提高学生的学习效果。
同时，在教学实践中，还应根据学生的实际情况不断调整教学内容和方法，使教学更加灵活、科学、高效。
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学全集教案高中上册教材：高中上册《组合数学全集》
教案内容：
第一章：基本概念
1.1 组合数学的概念及基本性质
1.2 排列与组合的概念及计算方法
1.3 排列与组合的应用
第二章：二项式定理
2.1 二项式定理的概念及推导
2.2 二项式定理的应用
第三章：二项式系数
3.1 二项式系数的概念及性质
3.2 二项式系数的计算方法
第四章：二次项展开
4.1 二次项展开的概念及性质
4.2 二次项展开的计算方法
第五章：多项式系数
5.1 多项式系数的概念及性质
5.2 多项式系数的计算方法
第六章：多项式展开
6.1 多项式展开的概念及性质
6.2 多项式展开的计算方法
教学目标：
1. 理解组合数学的基本概念和性质
2. 掌握排列与组合的计算方法及应用
3. 熟练运用二项式定理及二项式系数进行计算和推导
4. 熟练掌握二次项展开及多项式系数的计算方法
5. 能够运用多项式展开的知识解决实际问题
教学方法：
1. 讲授与演示相结合，示范解题过程
2. 小组合作，讨论解题思路
3. 练习与应用相结合，强化知识点的理解和应用能力
评估方式：
1. 课堂练习
2. 作业
3. 期中期末考试
教学时数：40课时
教学内容比较丰富，需要学生在课下进行反复练习，巩固所学知识点。
希望同学们能够在本学期内掌握组合数学的各种理论知识，提高计算能力和解题能力。
祝大家学习进步！。
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
然而，如果指定的排列问题的存在性容易解决，那么计算实现该排列的方法的数目则是可能的。
在例外的情形下(即当它们的数目较小时)，这些排列可以被列出来，理解列出所有的排列与确定它们的数目之间的区别很重要。
一旦这些排列被列出，它们就可通过与整数集{1，2，3，…，n}之间建立一一对应而被数出，其中n 是某个整数。
我们计数的方法就是：1，2，3…，n。
但是，我们主要关心的是事先不列出指定类型的排列而确定它们的数目的方法。
当然，这些排列的总数也许很大以至于不可能把它们部列出来，概括地说，许多组合学问题常呈现下列形式：“能否排列…?”“存在一个……吗?”“能用多少方法—…?”“计算……的数目。
”与上述问题同时出现的另外两种组合学问题是：研究一个巳知的排列 当人们建立起满足某些指定条件的一个排列(可能不容易)以后，可能要考察这个排列的性质和结构，这样的结构可能会涉及到分类问题，也许还涉及到一些潜在的应用，它还可能牵扯到下面的问题。
构造一个最优的排列 如果有可能存在多于一个的排列，人们也许想要确定满足某些优化准则的一个排列，即找出某种规定意义下的“最好的”或“最优的”的排列。
因此，组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。
组合数学中解决问题的主要工具之一为数学归纳法。
归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。
用数学归纳法证明一个强结果常常比证明一个弱结果更容易。
虽然在归纳阶段验证多一些是必要的，但归纳假设却是更强的一步。
数学归纳法的部分技巧就是找到假设的正确的平衡来进行归纳。
然而．一般说来，许多组合数学问题的解决需要某些特别的论证。
人们不能总是退到已知的结果或公理那里。
人们必须研究情况，挖掘洞察力，并运用他们灵活的谋略来解决问题，这里并不是说不存在可以使用的一般原则和方法；比如：容斥原理、所谓的钨巢原理、递归关系和生成函数的方法等就是一般的原则和方法，我们将在后面各章讨论这些原则和方法。
但是，洞察到这些原则和方法能够使用以及如何使用常常需要智慧。
这样的经验在解决组合问题时是非常重要的。
也就是说，用组合数学解决问题一般说来和用数学解决问题一样，你解决的问题越多，那么能够解决下一个问题的可能性就越大。
为了使前面的讨论更加具体，现在让我们转到组合问题的几个实例。
这些例子从相对简单(但需要解题的灵感)的问题直到其解曾是组合数学中主要成就的那样一些问题。
有些问题在后面的章节中还要更详细地讨论。
例1：棋盘的完美覆盖考虑一张普通的国际象棋棋盘，它被分成88⨯(8行8列)的64个正方形。
设有形状一样的多米诺牌，每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格。
那么，是否能够把32张多米诺牌摆放到棋盘上，使得任何两张多米诺牌均不重叠，每张多米诺牌覆盖两个方格，并且棋盘上所有的方格都被覆盖住？我们把这样一种排列称为棋盘被多米诺牌的完美覆盖。
这是一个简单的排列问题，人们能够很快构造许多不同的完美覆盖。
但是，计算不同的完美覆盖的总数就不足一件容易的事情，不过，这还是有可能做到的。
这个数由Fischer 在1961年发现，它是12988816＝2)901(2⨯。
这种普通的国际象棋棋盘可以用排成m 行n 列的mn 个方格的一般棋盘代替。
此时，这种棋盘的完美覆盖就未必存在了。
比如33⨯的棋盘就确实不存企完美覆盖，那么，对于什么样的m 和n 存在完美覆盖呢? 不难看出，当且仅当m 和n 中至少有一个是偶数时。
n m ⨯棋盘存在完美覆盖。
或者说，当且仅当棋盘的方格数为偶数时．n m ⨯棋盘存在完美覆盖。
Fischer 已经得出涉及到三角函数的用来计算n m ⨯棋盘的不同完美覆盖数的更一般公式。
再来考查8x 8的国际象棋棋盘并用一把剪刀剪掉棋盘一副对角上的两个方格，总共剩下62个方格。
那么，是否能够排列31张多米诺牌来得出对这副被剪过的棋盘的完美覆盖?虽然这副被剪过的棋盘与8x 8棋盘非常接近，且后者有一干二百多万个完美覆盖，但是，这副被剪过的棋盘却没有完美覆盖。
其证明是简单而巧妙的组合推型的一个实例。
在一副普通的8x 8棋盘上交替地将方格涂成黑色和白色，则其中32个方格是白色的。
而另外32个方格是黑色的。
如果我们剪掉棋盘一副对角上的两个方格，那么我们就剪除了同样颜色的两个方格，比如两个白色方格。
这就变成了32个黑方格和30个白方格、但是每张多米诺牌需要覆盖一个黑方格和一个白方格，于是，31张不重叠的多米诺牌则盖住31个白方格和31个黑方格。
因此，这副被剪过的棋盘没有完美覆盖，上述推理可总结为：313230m⨯棋盘上的方格交替徐成黑色和自色，切除一些方格，更一般地．可以将n得到一块切过的棋盘什么时候能有一个完美覆盖？为使完美覆盖存在，这块被切过的棋盘必须又有相等的黑方格数和白方格数但是，这个条件却不是充分的，图l-1中的例子指出了这一点。
图l-1具有相等的黑方格数和白方格数因此，我们要问：一块被切过的棋盘县有完美覆盖的必要和充分条件是什么?这个问题可以应用二分图中的匹配理论得到完全的解决力案。
这个问题存在一个实际的公式表示。
但它是以指派申请人去做他们有资格胜的上作的术语给出的。
（可参看布鲁迪 Brualdi著，冯舜玺，罗平等译，《组合数学》，机械工业出版社，第九章）。
m⨯棋盘被多米诺牌完美覆盖的问题，还存在另外一种一般化的方法，对于n设b是一个正整数。
我们用由b个1Xl的方格并排连接成的1xb的方格条来代替多米诺牌，我们称这些方格条为b-牌(bomino)，因此，一张b牌可以盖住一行上或是一列上b个连续的方格。
图1-2画出了和一张5-牌。
一张2-牌就是上面提到的普通的多米诺牌，1-牌叫做单牌。
m x n棋盘被b-脾的一个完美覆盖是b-牌在棋盘上的这样一个排列、使得盘上没有两张牌重叠，每一条b-牌盖住盘上的b个方格，并且盘上的所有方格都被盖住。
那么．何时m x n棋盘将具有一个b-牌的完美覆盖?既然盘上的每个方格恰被一条5-牌覆盖，于是，要想使覆盖成为完全覆盖，b就必须是mn的一个因子。
的确，完美覆盖存在的一个充分条件就是：b是m 的一个因子或b是n的一个因子。
因为，如果b是m的一个因子，我们就可对n 列的每一列用n/b个b-牌铺盖并进而完成对m x n棋盘的完美覆盖，而如果b 是n的一个因子，我们就可对m行的每一行用m/b个b-牌铺盖并进而完成对m x n棋盘的完美覆盖。
这样的充分条件是否也是完美覆盖存在的必要条件呢?现在设b是素数且存在m x n棋盘被b-牌的完美覆盖。
于是，b是mn的因子。
且由素数其本性质可知b或者是m的因子，或者是n的因子。
我们断言，至少在b是素数的情况下，一块m x n棋盘被-牌完美覆盖当且仅当b是m的因子，或者b是n的因子。
当b不是素数时，我们要用不同的方式讨论。
设我们有对m x n棋盘的b-牌完美覆盖。
此时我们证明，m和n分别被b除所得余数至少有一个是零。
设用b除m和n分别得到商p和q，以及余数r和s。
bqsn<s+,=0≤+rrbbpm<=0≤,；b如果r＝o，则b是m的因子。
如果s＝o，则b是n的因子。
我们不妨设sr≤，因为如果必要，我们可将棋盘的行列互换。
下面我们要证r＝o。
现在我们把在讨论用多米诺牌(b＝2)覆盖国际象棋盘时将棋盘方格交替涂成黑白色的情况推广成涂成b种颜色。
把b种颜色标成1，2，…,b。
我们用图1-3所示的方式将bxb棋盘涂色，并用这种方法对m＝10,n＝11，b＝4的情况以图1-4所示的方式延伸到m x n棋盘的涂色。
完美覆盖中的每张b牌盖住b个方块且每个方块各占一种颜色。
因些，盘上每种颜色的方块数目必然是相同的。
我们把棋盘分为三部分：上面pb行n列部分，左下方r行qb列部分。
以及右下方r行s列部分。
上面部分的每一列中各种颜色均出现p次，故各种颜色在盘上总共出现np次。
盘的左下部分每行各种颜色均出现q次，故各种颜色在盘上总共出现rq次。
既然每种颜色在整个棋盘上出现的次数都是相同的，那么，棋盘的右下方r行s列部分每种颜色出现的次数也必然是相同的。
右下方r xs部分中的颜色1(从而每种颜色)究竟出现多少次?由于已经假设r≤，我们的涂色特点使得颜色1在石下方r xs部分的每一行出现一次从而在s这个r xs部分出现r次。
现在让我们计算这r x s部分中方块的数日。
一方面，它有rs个方块；另一方面，b种颜色中的每一种颜色有r个方块从而共有rb个方块。
于是，rs＝rb。
如果0r，则两边消去r得到s＝b，这与s<b矛盾。
因≠此，正如所料，r＝o。
我们总结如下：一张m行n列棋盘有一个b-牌的完美覆盖，当互仅当b是m的一个因子或者b是n的一个因子。
上述结论的一个惊人的改述如下：如果完美覆盖中所有的b-牌都是水平摆放或者所有的b-牌都是垂直摆放，则称其为平凡的。
