偏微分方程数值习题解答

偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。

一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。

试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。

1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。

第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t 춶=ﶶïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。

偏微分方程教程答案【篇一：偏微分方程数值解习题解答案】class=txt>3页13页【篇二：3.1 常微分方程课后答案】方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx解：取?0(x)?0 12x 002xx11152x ?2(x)?y0??[x??1(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?002220x1152x)]dx ?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11= x2?2201604400dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；dx ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x解：令?0(x)?012x 002xx12212152?(x)?y?[x??(x)]dx?[x?(x)]dx?x?x201?0?02220x1152x)]dx?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11 =x2?2201604400则?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x3 题求初值问题：?dy??x2r：x??1，y?1 ?dx??y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；b1解：因为 m=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)= m41则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 4令 ?0(x)=0 ;11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+; 33x0x?2(x) 13xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+ 3942186333?12x又 ?f(x,y)?2=l ?ym*l2311则：误差估计为：?2(x)??(x)?h= 24(2?1)2dy334 题讨论方程：?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， dx21并求通过点（0，0）的一切解；?f(x,y)13解：因为=y在y?0上存在且连续； ?y2?23 而y3在y???0上连续 2dy33由 ?y有：y=（x+c）2 dx2131又因为y(0)=0 所以：y=x另外 y=0也是方程的解；?3?2故方程的解为：y=?x??0x?0 x?032或 y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设k为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数，且满足不等式：tf(t)?k+?f(s)g(s)ds,??t???t则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t???t证明：令r（t）=?f(s)g(s)ds,则r(t)=f(?r(t)-r(t)g(t)= f(t)g(t)- r(t)g(t)?kg(t)r(t)- r(t)g(t)?kg(t);t两边同乘以exp(-?g(s)ds)则有：?tt r(t) exp(-?g(s)ds)-r(t)g(t) exp(-?g(s)ds)??t? kg(t) exp(-?g(s)ds)?两边从?到t积分：tttr(t) exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds???tt即 r(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds?stt又 f(t) ?1?k+r(t) ?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds?sts?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)stt即 f(t) ?k?g(r)dr;?7题假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的不增函数，试证方程dy= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；dx证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x)则满足：x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0xx而?(x)- ?(x)= ?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dxx0x0x=?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dxx0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的增函数，则：f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0x则?(x)- ?(x)= ?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0x0则?(x)- ?(x)?0所以 ?(x)- ?(x)=0，即 ?(x)= ?(x) 则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；【篇三：同济第五版高数习题答案】试说出下列各微分方程的阶数:(1)x(y′)?2yy′+x=0;解一阶.(2)xy′?xy′+y=0;解一阶.(3)xy′′′+2y′+xy=0;解三阶.(4)(7x?6y)dx+(x+y)dy=0;解一阶.(5)解二阶.;222(6) .解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy′=2y, y=5x;解y′=10x.22 因为xy′=10x=2(5x)=2y, 所以y=5x是所给微分方程的解.(2)y′+y=0, y=3sin x?4cos x;解y′=3cos x+4sin x.因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x?4cos x=7sin x?cos x≠0,所以y=3sin x?4cos x不是所给微分方程的解.(3)y′′?2y′+y=0, y=xe;x2xxxx2x22 解y′=2xe+xe, y′′=2e+2xe+2xe+xe=2e+4xe+xe . 因为y′′?2y′+y=2e+4xe+xe?2(2xe+xe)+xe=2e≠0,所以y=xe不是所给微分方程的解.12122x2xx2x2xxxx2xxx2x解 , .因为=0,所以是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x?2y)y′=2x?y, x?xy+y=c;解将x?xy+y=c的两边对x求导得2x?y?xy′+2y y′=0,即(x?2y)y′=2x?y,所以由x?xy+y=c所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0, y=ln(xy).解将y=ln(xy)的两边对x求导得再次求导得, 即 .2222222.注意到由可得 , 所以从而(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0,即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x?y=c, y|=5;x=0222 ,解由y|=0得0?5=c, c=?25, 故x?y=?25.x=012222 (2)y=(c+cx)e, y|=0, y′|=1;解y′=ce+2(c+cx)e. 21222xx=02x x=02x由y|=0, y′|=1得 x=0x=0,解y′=ccos(x?c).12, 即,解之得c=1, 1, 故 , 即y=?cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为y=y(x), 则曲线上点(x, y)处的切线斜率为y′, 由条件y′=x, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点p(x, y)处的法线与x轴的交点为q, 且线段pq被y轴平分.解设曲线为y=y(x), 则曲线上点p(x, y)处的法线斜率为 , 由条件第pq中点的横坐标为0, 所以q点的坐标为(?x, 0), 从而有, 即yy′+2x=0.6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压p对于温度t的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解, 其中k为比例系数.习题12?111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y′?xy?x=1;解设方程的解为, 代入方程得,即 .可见a?1=0, 2a?a?1=0, (n+2)a1202n+2?a=0(n=1, 2, ? ? ?),n 于是,,, , , ? ? ?. , ? ? ? ,所以,即原方程的通解为 .(2)y′′+xy′+y=0;解设方程的解为, 代入方程得,即 ,于是, , ??, , , ? ? ?.所以,即原方程的通解为.(3)xy′′?(x+m)y′+my=0(m为自然数);解设方程的解为, 代入方程得,?即 .可见(a?a)m=0, (n?m)[(n+1)a01 n+1?a]=0 (n≠m),n于是a=a, , .01所以,即原方程的通解为(其中c1, c2为任意常数).(4)(1?x)y′=x2?y;解设方程的解为, 代入方程得,即可见a1+a0=0, 2a2=0, 3a3?a2?1=0, (n+1)an+1?(n?1)a n=0(n≥3),于是a1=?a0, a2=0, , (n≥4).因此原方程的通解为(c=a(5)(x+1)y′=x20为任意常数). . ?2x+y..。

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。

本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。

一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。

要求求解此偏微分方程。

解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。

此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。

我们可以采用特征线法来求解此类方程。

首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。

将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。

得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。

2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。

偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。

解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。

《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

偏微分方程数值习题解答对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有⎰⎰-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(ϕϕ则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶广义导数,并记kk dxfd x g =)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使 0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n ba n -≤-⎰ 00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f nb a n -≤-⎰对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立⎰⎰=∞→ba b a n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ⎰⎰=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ由⎰⎰-=ba nb a ndx x x f dx x x f )()()()(''ϕϕ取极限得到dx x x f dx x x g ba b a ⎰⎰-=)()()()('ϕϕ 即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满足齐次边界条件.w 满足的方程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为⎩⎨⎧==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w EHw E ∈=∈ 其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.而Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从而**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u 使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈∀0),(),(0=--v Lu f v Lw应用分部积分,⎰⎰+-=-=-b a b a b a dx dxdvdx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈∀,成立0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu而⎰⎰-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ⎰⎰=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dxvd dx u d b a =+⎰定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=⎰,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀),(),(v f v u a =1-41.用Galerkin Ritz -方法求边值问题⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ 又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''⎰-+πππjx ix sin sin 21 由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-⎰jj j dx x j x x x x ππϕ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,用0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是用Galerkin Ritz -方法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x ii =-=ϕ,写出Galerkin Ritz - 方程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分方程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分方程为 0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ⎰⎰+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分方程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ⎰--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x ii,...,2,1,)()(=-=ϕ,则Galerkin -Ritz 方程为⎰⎰∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβϕβϕϕϕ⎰+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''ϕϕϕϕϕϕ取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==⎰ϕϕ221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ,)(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=⎰ϕϕϕϕ3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=⎰ϕϕ3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=⎰⎰ββββ 得到方程组为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b 特别取1,0==b a ,有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型方程有限元法§1.1 用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y 解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数.Galerkin 形式的变分方程为),(),(v f v Lu =,其中⎰⎰+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,⎰=1)(2sin 2),(dx x xv v f π又dx v u dx v u v u vdx u ⎰⎰⎰=+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''⎰+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应用仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξϕ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=++=⎰⎰⎰⎰1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπϕπϕϕϕd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211πϕϕ+=a122)1(41[),(210221πξξξπϕϕ+-=-+-=⎰d h h a⎰⎰-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπϕd d h h f ⎰⎰-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπϕd h f ⎰+=102)2121(2sin 2),(代数方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(212122212111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,方程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i ijiϕϕϕ应用局部坐标ξ表示,⎰⎰-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπϕϕd hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=⎰dξξξπϕϕd hh a j j ])1(41[),(1021⎰-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=⎰d 964),(21πϕϕ+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=⎰⎰ξξξξϕd h d h f j⎰⎰-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπϕd h x h d h x h f j j j ⎰⎰-++++=1010)1)](441(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j ⎰⎰++⨯=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就非齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元方程.解:设方程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈∀)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表示为)(),(v F v u A = 设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =ϕ 则有限元方程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=ϕϕϕ具体计算使用标准坐标ξ.。

偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=ϕ，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈ϕ,有⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1ϕϕ ⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有 ⎰⎰-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(ϕϕ则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶广义导数,并记kk dxfd x g =)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n ba n -≤-⎰00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f n ba n -≤-⎰对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立⎰⎰=∞→ba ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ⎰⎰=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ由⎰⎰-=b a nba ndxxxfdxxxf)()()()(''ϕϕ取极限得到dxxxfdxxxg baba⎰⎰-=)()()()('ϕϕ即')(fxg=,即)(1IHf∈,且||||||||||||''1→-+-=-ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(axxu-+=βα,则0uuw-=满足齐次边界条件.w满足的方程为LufLuLuLw-=-=,即w对应的边值问题为⎩⎨⎧==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w EHw E ∈=∈ 其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.而Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从而**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈∀0),(),(0=--v Lu f v Lw应用分部积分,⎰⎰+-=-=-b a b a b a dx dxdv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),(( 还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈∀,成立0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu而⎰⎰-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ⎰⎰=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dxvd dx u d b a =+⎰定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=⎰,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀),(),(v f v u a =1-41.用Galerkin Ritz -方法求边值问题⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ 又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''⎰-+πππjx ix sin sin 21由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-⎰jj j dx x j x x x x ππϕ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,用0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是用Galerkin Ritz -方法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差. 证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=ϕ,写出Galerkin Ritz -方程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分方程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分方程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ⎰⎰+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分方程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ⎰--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=ϕ,则Galerkin -Ritz 方程为⎰⎰∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβϕβϕϕϕ⎰+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''ϕϕϕϕϕϕ取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==⎰ϕϕ221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ,)(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=⎰ϕϕϕϕ3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=⎰ϕϕ3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=⎰⎰ββββ 得到方程组为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型方程有限元法§ 用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数.Galerkin 形式的变分方程为),(),(v f v Lu =,其中⎰⎰+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,⎰=1)(2sin 2),(dx x xv v f π又dx v u dx v u v u vdx u ⎰⎰⎰=+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''⎰+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应用仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξϕ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=++=⎰⎰⎰⎰1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπϕπϕϕϕd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211πϕϕ+=a122)1(41[),(210221πξξξπϕϕ+-=-+-=⎰d h h a⎰⎰-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπϕd d h h f ⎰⎰-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπϕd h f ⎰+=102)2121(2sin 2),(代数方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(212122212111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,方程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i ijiϕϕϕ应用局部坐标ξ表示,⎰⎰-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπϕϕd hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=⎰dξξξπϕϕd hh a j j ])1(41[),(1021⎰-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=⎰d 964),(21πϕϕ+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=⎰⎰ξξξξϕd h d h f j⎰⎰-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπϕd h x h d h x h f j j j ⎰⎰-++++=1010)1)](441(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j⎰⎰++⨯=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就非齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元方程.解:设方程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈∀)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表示为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =ϕ 则有限元方程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=ϕϕϕ具体计算使用标准坐标ξ.。