反比例函数与几何综合(讲义及答案)

Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。

迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。

反比例函数的综合要点一、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中y=kx，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x，y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：y=kx(k≠0)；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数k的值；(4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=kx中．要点二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．要点诠释：(1)若点(a,b)在反比例函数y=kx的图象上，则点(-a，-b)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；(2)在反比例函数y =k x(k 为常数，k ≠0)中，由于x ≠0且y ≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2．反比例函数的性质(1)如图1，当k ＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．(2)如图2，当k ＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大．要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．要点三、反比例函数y =k x(k ≠0)中的比例系数k 的几何意义过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为||2k ．要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的．例1．两个反比例函数y =3x ，y =6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2020在反比例函数y =6x 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3……x 2020，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3……P 2020分别作y 轴的平行线，与反比例函数y =3x的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3)……Q 2020(x 2020，y 2020)，则y 2020等于()A ．2019.5B ．2020.5C ．2019D ．4039例2．如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y =2k x A ，B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x +b 的解集是．1．一次函数y 1＝k 1x +b 和y 2＝2k x (k 2＞0)相交于A (1，m )，B (3，n )两点，则不等式k 1x +b ＞2k x的解集为()A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3C．x＜0或x＞3D．1＜x＜3或x＜02．反比例函数y=kx和正比例函数y＝mx的图象如图．由此可以得到方程kx＝mx的实数根为()A．x＝﹣2B．x＝1C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝﹣2例3．如图，点A在双曲线y=kx的第一象限的那一支上，AB垂直y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．1．如图，在反比例函数y=4x的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为．例4．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象经过点A(1，－4)，直线y=－2x+m与x轴交于点B(1，0)．(1)求k，m的值；(2)已知点P(n，－2n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=－2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象于点D，当PD=2PC时，结合函数的图象，求出n的值．1．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是()A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0或x＞1．6C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜12．设函数y1＝kx，y2＝kx (k＞0)，当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝()A．4B．6C．8D．103．已知反比例函数y＝8x和y＝3x在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为．4．如图，P1是反比例函数y=kx(k＞0)图象在第一象限上的一点，点A1的坐标为(2，0)．(1)当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？逐渐减少．(2)若点P2在反比例函数图象上，点A2在x轴上，△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求次反比例函数的解析式；②求点A2的坐标．5．如图，反比例函数y=kx图象和一次函数y＝ax+b经过M(1，6)和N(2，a)．(1)求一次函数解析式；(2)一次函数y＝ax+b与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：AM＝BN．6．已知：A (a ，y 1)．B (2a ，y 2)是反比例函数y =k x (k ＞0)图象上的两点．(1)比较y 1与y 2的大小关系；(2)若A 、B 两点在一次函数y =43x+b 第一象限的图象上(如图所示)，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，且S △OAB =8，求a 的值；(3)在(2)的条件下，如果3m =－4x +24，3n =32x ，求使得m ＞n 的x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =k x(x ＜0)的图象经过点A (﹣1，6)，直线y ＝mx ﹣2与x 轴交于点B (﹣1，0)．(1)求k ，m 的值；(2)过第二象限的点P (n ，﹣2n )作平行于x 轴的直线，交直线y ＝mx ﹣2于点C ，交函数y =k x(x ＜0)的图象于点D ．①当n ＝﹣1时，判断线段PD 与PC 的数量关系，并说明理由；②若PD ≥2PC ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx(x＞0)的图象G与直线l：y=kx－4k+1交于点A(4，1)，点B(1，n)(n≥4，n为整数)在直线l上．(1)求m的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域(不含边界)为W．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．【经典例题1】A【解析】解：∵P n 的纵坐标为：2n －1，∴P 2020的纵坐标为2×2020－1=4039．∵y =与y =在横坐标相同时，y =的纵坐标是y =的纵坐标的2倍，∴y 2020=×4039=2019．5．∴A 答案正确．【经典例题2】－5＜x ＜－1或x ＞0【解析】解：根据一次函数平移和反比例函数的对称性可得，直线y =k 1x －b 与双曲线y =2k x 交于第三象限点的坐标为(－5，－1)和(－1，－5)，如下图所示，∴不等式k 1x ＜2k x +b ，即k 1x －b ＜2k x 的解集，即当直线y =k 1x －b 的图象在反比例函数y =2k x 图象的下方对应的自变量x 的取值范围为：－5＜x ＜－1或x ＞0．【举一反三1】D【解析】解：如图，由图象可得：不等式k 1x +b ＞2k x 的解集是1＜x ＜3或x ＜0．故选：D ．【举一反三2】C【解析】解：如图，反比例函数y ＝和正比例函数y ＝mx 相交于点A (﹣2，1)，∴另一个交点为：(2，﹣1)，∴方程＝mx 的实数根为：x 1＝2，x 2＝﹣2．故选：C ．【经典例题3】163【解析】解：连DC ，∵AE =3EC ，S △ADE =3，∴S △CDE =1．∴S △ADC =4．设A (a ，b )，则AB =a ，OC =2AB =2a ．∵D 为OB 的中点，∴BD =OD =12b ．∵S 梯形OBAC =S △ABD +S △ADC +S △ODC ，12(a +2a )·b =12a ·12b +4+12·2a ·b ，∴ab =163．把A (a ，b )代入y =，得k =ab =163．【举一反三1】3【解析】解：设A （x 、y ），由反比例函数y =4x可知xy ＝4，BC ＝AC ＝y ，OD ＝3OC ＝3x ，∴S △OBD ＝BC ×OD ＝×y ×3x ＝xy ＝×4＝3．故答案为：3．【经典例题4】【解析】解：(1)把A(1，－4)代入y=k x，得k=1×(－4)=－4；把B(1，0)代入y=－2x+m，得－2+m=0，解得m=2；(2)反比例函数解析式为y=－(x＞0)，一次函数解析式为y=－2x+2，如图，当y=－2n时，－2x+2=－2n，解得x=n+1，则C(n+1，－2n)，∴PC=n+1－n=1，当y=－2n时，y=－=，∴D(n，－)，∴PD=|－2n+|，∵PD=2PC，∴|－2n+|=2，当－2n+=2时，解得n1=－2(舍去)，n2=1，当－2n+=－2时，解得n1=－1(舍去)，n2=2，综上所述，当PD=2PC时，n=1或n=2．【自我检测1】B【解析】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞1．6时，双曲线y3落在直线y2上方，且直线y2落在直线y1上方，即y3＞y2＞y1，所以若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．6．故选：B．【自我检测2】C【解析】解：∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为＝a①；当x＝2时，y2取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；由①②得a＝2，k＝4，∴ak＝8，故选：C．【自我检测3】25 16【解析】解：设A(a，)，则M(a，)，N(，)，∴AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，∴△AMN的面积＝AN×AM＝××＝25 16，故答案为：25 16．【自我检测4】【解析】解：(1)△P1OA1的面积逐渐减少；(2)作P1C⊥OA1于C，∵△P1OA1为等边三角形，A1(2，0)，∴OC=1，P1C3P1(1，3)．∴反比例函数的解析式为y=3 x．(3)作P2D⊥A1A2于D，如上图，设A1D=x，则OD=2+x，P2D3x，∴P2(2+x3x)．将点P2代入y=3x，得y332x=+．x2+2x－1=0，解得x1=－2，x2=－12＜0(舍)．∴x=－2，OA2=2+x+x=2+2x=2+2(－2)=22．∴A2(22，0)．【自我检测5】【解析】解：(1)∵点M(1，6)在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，把N(2，a)代入得，a＝＝3，∴N(2，3)．∵点M(1，6)和N(2，3)在一次函数y＝ax+b的图象上，∴a+b＝6，2a+b＝3，解得a＝﹣3，b＝9，∴一次函数的关系式为y＝﹣3x+9；(2)过点M、N分别作MC⊥OA，ND⊥OB，垂足分别为C、D，当x＝0时，y＝9，当y＝0时，x＝3，∴一次函数y＝﹣3x+9与x轴的交点B(3，0)，与y轴的交点A(0，9)，由于A(0，9)，B(3，0)，M(1，6)，N(2，3)，∴MC＝1，AC＝9﹣6＝3，ND＝3，BD＝3﹣2＝1，∴MC＝BD＝1，AC＝ND＝3，又∵∠ACM＝∠NDB＝90°，∴△ACM≌△NDB(SAS)，∴AM＝BN．【自我检测6】【解析】解：(1)∵A、B是y=kx(k＞0)图象上的两点，∴a≠0．当a＞0时，A、B在第一象限，a＜2a，∴此时y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2．(2)∵A(a，y1)、B(2a，y2)在y=kx(k＞0)图象上，∴AC=y1=，BD=y2=．∴y1=2y2．又A (a ，y 1)、B (2a ，y 2)在y =a +b 图象上，∴y 1=a +b ，y 2=a +b ．∴a +b =2(a +b )，得b =4a ．∵S △AOC +S 梯形ACDB =S △AOB +S △BOD ，又S △AOC =S △BOD ，∴S 梯形ACDB =S △AOB ，即[(a +b )+(a +b )]•a =8．∴a 2=4，由a ＞0，得a =2．(3)由(2)知，一次函数y =x +8，反比例函数y =．∵A 、B 两点的横坐标分别为2，4，且m =x +8，n =，∴使得m ＞n 的x 的范围，是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点的横坐标取值范围．∴由图可知，2＜x ＜4或x ＜0．【自我检测7】【解析】解：(1)∵函数y =k x (x ＜0)的图象经过点A (﹣1，6)，∴k ＝﹣6．∵直线y ＝mx ﹣2与x 轴交于点B (﹣1，0)，∴m ＝﹣2．(2)①判断：PD ＝2PC ．理由如下：当n ＝﹣1时，点P 的坐标为(﹣1，2)，∵y ＝﹣2x ﹣2交于于点C ，且点P (﹣1，2)作平行于x 轴的直线，∴点C 的坐标为(﹣2，2)，∵函数y =k x(x ＜0)的图象于点D ，且点P (﹣1，2)作平行于x 轴的直线，点D 的坐标为(﹣3，2)．∴PC ＝1，PD ＝2．∴PD ＝2PC ．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3【自我检测8】【解析】(1)解：把A(4，1)代入y=mx(x＞0)，得m=4×1=4；(2)①当n=5时，把B(1，5)代入直线l：y=kx－4k+1得，5=k－4k+1，解得k=4 3-，如图所示，区域W内的整点有(2，3)，(3，2)，有2个；(3)直线l：y=kx－4k+1过(1，6)时，k=53-，区域W内恰有4个整点，直线l：y=kx－4k+1过(1，7)时，k=－2，区域W内恰有5个整点，∴区域W内恰有5个整点时，k的取值范围是－2≤k＜5 3-．。

反比例函数与几何综合讲义及答案一、反比例函数的定义及性质1.反比例函数的定义：如果两个变量的乘积为常数，那么它们之间存在反比例关系，可以表示为y=k/x。

2.反比例函数的性质：函数图像关于坐标轴对称；随着x的增大，y 的值逐渐减小；随着x的减小，y的值逐渐增大。

二、反比例函数的图像与性质1.绘制反比例函数y=k/x的图像。

2.如果k为正数，当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当x趋近于0时，y趋近于正无穷大。

3.如果k为负数，当x趋近于无穷大时，y趋近于负无穷大；当x趋近于0时，y趋近于0。

三、反比例函数的解析表达式和图像的关系1.根据解析表达式y=k/x，结合k的正负性质，分析函数图像的大致形状。

2.当k为正数时，函数图像在第一象限逐渐接近于x轴，且没有定义域为x=0的点。

3.当k为负数时，函数图像在第三象限逐渐接近于x轴，且没有定义域为x=0的点。

四、反比例函数的应用1. 反比例函数的例题：如果旅行的时间与旅行的速度成反比例关系，当速度增大时，时间会减少。

求出速度为60 km/h时需要的时间。

答案：假设旅行的时间为t小时，则速度为60 km/h，根据反比例函数的定义可得60 = k/t，解得k = 60t。

根据题意可得t = k/60 = 1小时。

2.反比例函数出题：已知两个变量x和y成反比例关系，在一组数据中，当x=2时，y=5；当x=4时，y=10。

求出该反比例函数的解析表达式。

答案：根据反比例函数的定义可得k = xy，由已知数据可得2k = 5；4k = 10。

解方程可得k = 5/2、将k带入反比例函数中得到y = (5/2)x。

请注意，以上是一些常见的反比例函数综合讲义及试题及答案，实际上反比例函数的应用非常广泛，可以结合实际问题进行更多的应用练习。

学生做题前请先回答以下问题问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？问题2：什么是关键点？问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？答：反比例函数与几何综合的处理思路：①从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化可将函数特征和几何特征综合在一起进行研究．②对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．问题2：什么是关键点？答：关键点是几何图形与函数图象的交点，在处理反比例函数与几何综合的问题时从关键点入手分析．问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？答：通过关键点坐标与横平竖直线段长的相互转化，可将函数特征与几何特征综合起来一起进行研究．问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？答：可以采用两种方式：①根据函数特征设出坐标，表达线段长，利用几何特征建等式；②根据几何特征设出线段长，表达坐标，代入函数建立等式．反比例函数与几何综合（一）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积之比为4：1，则k的值为( )A. B.C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图，均是等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A(3，0)，B(0，6)分别在x 轴，y轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为( )A.(1，14)B.(2，8)C.(2，7)D.(1，16)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x<0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为( )A.-6B.-8C.-9D.-12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合5.如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为( )A.2B.4C.6D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=3BC，则k的值为( )A.3B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合7.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )A.60B.80C.30D.40答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合8.直线y=-2x-2与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，过点B作x 轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为( )A.-1B.-2C.-4D.-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合。

反比例函数与几何的综合应用点石成金解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知量，然后结合函数的图象用代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待定字母的方程(组) ，解方程(组) 即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值.经典实例剖析如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y＝2x的图象与CB交于点D，函数y=k（k为常数，k≠0）的图象经x过点D，与AB交于点E，与函数y＝2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．（1）求函数y=k的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；x（2）求△AEF的面积．分析：（1）根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标；（2）过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求AE＝1，FG＝3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积．解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y＝2，将y＝2代入y＝2x，得x＝1，∴点D的坐标为（1，2），的图象经过点D，∵函数y=kx，∴2=k1解得k ＝2，∴函数y =k x 的表达式为y =2x ，∴E （2，1），F （﹣1，﹣2）；（2）过点F 作FG ⊥AB ，与BA 的延长线交于点G ，∵E （2，1），F （﹣1，﹣2），∴AE ＝1， FG ＝2﹣（﹣1）＝3，∴△AEF 的面积为：12AE •FG =12×1×3=32．分类训练应用1 反比例函数与三角形的综合1．如图，一次函数y ＝kx +94（k 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数y =m x （m 为常数，m ≠0）的图象在第一象限交于点A （1，n ），与x 轴交于点B （﹣3，0）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P 在x 轴上，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．应用2 反比例函数你与四边形的综合类型1 反比例函数与平行四边形的综合2．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m x 的图象相交于A （﹣1，4），B （a ，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；的图象于点Q，连接PQ．当（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mxBQ＝AP时，求n的值．类型2反比例函数与矩形的综合(k＜0)的图象与矩形ABCO的边相交于E、F两点，且BE＝2AE，E（﹣1，3．如图，反比例函数y=kx2）．（1）求直线EF的解析式；（2）连接EF，求△BEF的面积．类型3反比例函数与菱形的综合4．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．比例函数y=kx（1）求k的值．（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在该函数的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．类型4反比例函数与正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．点B的坐标为（2，2），反比例函数y=kx（1）求k的值；（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．应用3反比例函数与菱形、正方形的综合6．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数y=27x 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．（1）求点C的坐标；（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'CD'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标；（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．应用4 反比例函数与正六边形的综合（k＞0，x＞0）7．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=kx的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．。

反比例函数与几何综合（讲义）一、知识点睛反比例函数与几何综合的解题思路：1. 抓住_______．“关键点”是信息汇聚点，通常是_________和________的______．通过___________和____________的互相转化可将_________与_________综合在一起进行研究． 2. 梳理题干中的条件，__________．3. 集中到___________或__________建等式求解． 二、精讲精练1. 如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y x=图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2y x=-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A ，B ，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．若四边形ACDB 的周长为8，且AB <AC ，则点A 的坐标是_____________．第1题图 第2题图 第4题图2. 如图，正方形OAPB 的顶点B 以及等腰直角三角形AFD 的顶点A ，D 在坐标轴上，点P ，F 在函数9y x=（x >0）的图象上，则点F 的坐标为________．3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数2y x=（x >0）的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数xy 2=（x >0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为____________．4. 如图，已知动点A 在函数4y x=（x >0）的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC ．直线DE 分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ．当QE :DP =4:9时，图中阴影部分的面积等于_________．5. 如图，□A B C D 的顶点A ，B 的坐标分别是A (-1，0)，B (0，-2)，顶点C ，D 在双曲线ky x=（x >0）上，边AD 交y 轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_______．第5题图6.如图，点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在双曲线kyx=（x>0）的图象上，且214x x-=，122y y-=．分别过点A，B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C，D，E，F．AC与BF相交于点G，若四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，则双曲线的解析式为____________________．7.如图，双曲线kyx=经过点A(2，2)与点B(4，m)，则△AOB的面积为___________．第7题图第8题图8.如图，正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数1yx=的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D．连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为____________．9.两个反比例函数kyx=（k>1）和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P 在kyx=的图象上，PC⊥x轴于点C，交1yx=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx=的图象于点B，当点P在kyx=的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是____________（填写序号）．10.如图，一次函数y ax b=+的图象与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数kyx=的图象交于C，D两点，过C，D两点分别作y轴，x轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论： ①△DEF 与△CEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ；④AC =BD ．其中正确的结论是____________（填写序号）．第10题图 第11题图11. 如图，M为双曲线y =M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y =-x +m 于D ，C 两点，若直线y =-x +m 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，则AD ·BC 的值为_____．12. 如图，直线y =-x +6与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是反比例函数4y x=（x >0）图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ．则AF BE ⋅=________．【参考答案】 知识点睛1．关键点，函数图象，几何图形，交点，关键点坐标，横平竖直线段长，函数特征，几何特征2．依次转化3．函数特征，几何特征精讲精练1．(13，3)2．(32+32-+) 3．11) 4．1335．12 6．6y x= 7．38．2 9．①②④ 10．①②④ 11．12．8。

反比例函数与几何的综合应用及答案专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x6(x>0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出使kx ＋b<x6成立的x 的取值范围； (3)求△AOB 的面积．(第1题)2．如图，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝，反比例函数y ＝xk(k ＞0)的图象过CD 的中点E.(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．(第2题)反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图，过反比例函数y ＝x6(x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－x3(x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x3(x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y 轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．(第6题)经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．2 D ．47．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝xk(k>0，x>0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝xk(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．(第7题)反比例函数与正方形的综合8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝xk(x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D(1)求k 的值；(2)若点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．(第8题)反比例函数与圆的综合(第9题)9．如图，双曲线y ＝xk(k>0)与⊙O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 的坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．10．如图，反比例函数y ＝xk(k ＜0)的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率．(第10题)专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点，既有与本学科知识的综合，也有与其他学科知识的综合，题型既有选择、填空，也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念，2个方法，2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝(m －1)x |m|－2是反比例函数，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数 2．某学校到县城的路程为5 km ，一同学骑车从学校到县城的平均速度v(km /h )与所用时间t(h )之间的函数解析式是( )A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x2a(a 为常数且a ≠0)．其中________是反比例函数．(填序号) 2个方法：画反比例函数图象的方法4．已知y 与x 的部分取值如下表： x … －6 －5 －4 －3 －2 －112 3 4 5 6 …y (1)1.21.52 3 6－6－3－2－1.5－1.2－1…析式；(2)画出这个函数的图象．求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y＝xk的图象与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限内相交于点A(1，－k＋4)．试确定这两个函数的解析式．6．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝xm的图象的两个交点．求：(1)反比例函数和一次函数的解析式；(2)直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；(3)方程kx＋b－xm＝0的解(请直接写出答案)；(4)不等式kx＋b－xm<0的解集(请直接写出答案)．(第6题)2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y＝x6的图象，并根据图象回答问题：(1)根据图象指出当y＝－2时x的值；(2)根据图象指出当－2<x<1且x≠0时y的取值范围；(3)根据图象指出当－3<y<2且y≠0时x的取值范围．反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2吨，可用60小时．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x(单位：吨)，库存的原料可使用的时间为y(单位：小时)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并求出自变量的取值范围．(2)若恰好经过24小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x 应控制在什么范围内？1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图，A ，B 是双曲线y ＝xk(k ≠0)上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D点，垂足为C.若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为( )A .34B .38C ．3D ．4(第9题)(第10题)10．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x2和y ＝－x4的图象于A ，B 两点，C 是y 轴上任意一点，则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x3与函数y ＝x6在第一象限内的图象，点P 是y ＝x6的图象上一动点，PA ⊥x 轴于点A ，交y ＝x3的图象于点C ，PB ⊥y 轴于点B ，交y ＝x3的图象于点D.(1)求证：D 是BP 的中点； (2)求四边形ODPC 的面积．(第11题)答案1．解：(1)∵A(m ，6)，B(3，n)两点在反比例函数y ＝x6(x>0)的图象上， ∴m ＝1，n ＝2，即 A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.(第1题)(2)根据图象可知使kx ＋b<x6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3. (3)如图，分别过点A ，B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C ，设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D(4，0)． ∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中，∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA.(2)解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝2，DA ＝， ∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)．∵点E 为CD 的中点，∴点E 的坐标为(3，1)．∴k ＝3×1＝3. (3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称， ∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为(1，3)． ∵1×3＝3，∴点G(1，3)在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA ，AB ∥x 轴，∴四边形ABCO 为平行四边形． ∴AB ＝OC ＝3.设A a 6，则B a6，∴(a －3)·a6＝－3.∴a ＝2.∴A(2，3)，B(－1，3)．∵OC ＝3，C 在x 轴负半轴上，∴C(－3，0)， 设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29. 解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n ，则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)，把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2，所以反比例函数解析式为y ＝x2.因为D点的横坐标为4，所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2，所以2＝CE 2，所以CE ＝1，则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥OB ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形，∴DA ＝21AC ，DB ＝21OB ，AC ＝OB.∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形． (2)解：如图，连接DE ，交AB 于F ， ∵四边形AEBD 是菱形，∴DF ＝EF ＝21OA ＝23，AF ＝21AB ＝1.∴E，19.设所求反比例函数解析式为y ＝xk， 把点E，19的坐标代入得1＝29，解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.(第5题)(第7题)6．D7．解：(1)如图，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F. ∵点D 的坐标为(4，3)，∴OF ＝4，DF ＝3.∴OD ＝5. ∴AD ＝5.∴点A 的坐标为(4，8)．∴k ＝xy ＝4×8＝32. (2)将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，使得点D 落在函数y ＝x 32(x>0)的图象上点D ′处，过点D ′作x 轴的垂线，垂足为F ′.∵DF ＝3，∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上，∴3＝x 32，解得x ＝332，即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．∵D 是BC 的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y ＝xk(x ＞0，k ≠0)的图象经过点D ，∴k ＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时，∵点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y ＝x2. ∴S四边形CQPR＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S四边形CQPR＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2，综上，S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称，圆也关于原点对称，故阴影部分的面积占⊙O 面积的41，则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 2.C 3．①③④4．解：(1)反比例函数：y ＝－x6.(2)如图所示．(第4题)5．解：∵反比例函数y ＝xk的图象经过点A(1，－k ＋4)， ∴－k ＋4＝1k，即－k ＋4＝k ，∴k ＝2，∴A(1，2)． ∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(1，2)， ∴2＝1＋b ，∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x2，一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：(1)将B(2，－4)的坐标代入y ＝xm，得－4＝2m， 解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A(－4，n)在双曲线y ＝x－8上，∴n ＝2.∴A(－4，2)．把A(－4，2)，B(2，－4)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.(2)令y ＝0，则－x －2＝0，x ＝－2. ∴C(－2，0)．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.(3)x 1＝－4，x 2＝2. (4)－4<x<0或x>2.7．解：如图，由观察可知： (1)当y ＝－2时，x ＝－3；(2)当－2<x<1且x ≠0时，y<－3或y>6； (3)当－3<y<2且y ≠0时，x<－2或x>3.(第7题)点拨：解决问题时，画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题，一定要注意数形结合，学会看图．8．解：(1)库存原料为2×60＝120(吨)，根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x120.由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x>2.(2)根据题意，得y ≥24，所以x120≥24.解不等式，得x ≤5，即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：(1)由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．(2)要使机器不停止运转，需y ≥24，解不等式即可．(第9题)9．B 点拨：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵D 为OB 的中点，∴CD 是△OBE 的中位线，则CD ＝21BE.设A x k ，则B 2x k ，CD ＝4x k ，AD ＝x k －4xk.∵△ADO的面积为1，∴21AD ·OC ＝1，即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．(1)证明：∵点P 在双曲线y ＝x6上， ∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x3上，BP ∥x 轴，D 在BP 上， ∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3，BP ＝m 6，故D 是BP 的中点．(2)解：由题意可知S △BOD ＝23，S △AOC ＝23，S 四边形OBPA ＝6. ∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。