2015-2016年湖南省娄底市高三(下)期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年湖南省娄底市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）命题：“能被4整除的数一定是偶数”，其等价命题（）A．偶数一定能被4整除B．不是偶数不一定能被4整除C．不能被4整除的数不一定是偶数D．不是偶数一定不能被4整除2．（4分）已知命题P：x=1是ax2+bx+c=0的一个根，命题q：a+b+c=0，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要3．（4分）已知等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9等于（）A．12 B．24 C．36 D．484．（4分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和为10，则项数n为（）A．11 B．99 C．120 D．1215．（4分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log356．（4分）设x，y为正数，若x+y=1，则+最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．157．（4分）一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x恒成立，则k的范围是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，0]C．（﹣∞，﹣3]D．（0，+∞）8．（4分）若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC为（）三角形．A．等腰B．等边C．等腰直角D．等腰或直角9．（4分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）10．（4分）在抛物线y2=8x中，以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．x﹣4y﹣3=0 B．x+4y+3=0 C．4x+y﹣3=0 D．4x+y+3=0二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．12．（4分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为．13．（4分）已知实数x，y满足则z=2x+4y的最大值为．14．（4分）设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是．15．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1，F2为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，△F1F2M的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共60分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16．（10分）已知命题p：方程（2x﹣a）（x+a）=0的两个根都在[﹣1，1]上；命题q：对任意实数x，不等式x2+2ax+2a≥0恒成立，若命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．17．（10分）设二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，函数g（x）=2x+3，（1）求a与b的值；（2）解不等式f（x）＞g（x）．18．（10分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，（1）求∠A的大小；（2）求的值．19．（10分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a3=6，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求前n项和S n；（3）求证：++…+＜1．20．（10分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．21．（10分）椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．（1）求的值；（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．2014-2015学年湖南省娄底市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）命题：“能被4整除的数一定是偶数”，其等价命题（）A．偶数一定能被4整除B．不是偶数不一定能被4整除C．不能被4整除的数不一定是偶数D．不是偶数一定不能被4整除【解答】解：根据原命题与逆否命题是等价的命题，得；命题：“能被4整除的数一定是偶数”，它的等价命题是“不是偶数一定不能被4整除”．故选：D．2．（4分）已知命题P：x=1是ax2+bx+c=0的一个根，命题q：a+b+c=0，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】证明：先证明充分性：∵x=1，∴ax2+bx+c=a+b+c=0，是充分条件，再证明必要性：∵a+b+c=0，∴x=1是ax2+bx+c=0的一个根，是必要条件，故选：C．3．（4分）已知等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9等于（）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：等差数列{a n}中，S10=120，S10==5（a1+a10）=5（a2+a9）=120，∴a2+a9=24，故选：B．4．（4分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和为10，则项数n为（）A．11 B．99 C．120 D．121【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是a n==﹣，∵前n项和为10，∴a1+a2+…+a n=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，解得n=120，故选：C．5．（4分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选：B．6．（4分）设x，y为正数，若x+y=1，则+最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．15【解答】解：∵x，y为正数，x+y=1，∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当y=2x=时取等号．∴+最小值为9．故选：B．7．（4分）一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x恒成立，则k的范围是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，0]C．（﹣∞，﹣3]D．（0，+∞）【解答】解：由于k≠0，令y=2kx2+kx﹣，∵y＜0对一切实数x恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k＜0，且△=k2+3k＜0，解得﹣3＜k＜0；综上所述，k的取值范围为﹣3＜k＜0．故选：A．8．（4分）若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC为（）三角形．A．等腰B．等边C．等腰直角D．等腰或直角【解答】解：∵△ABC满足acosA=bcosB，∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故选：D．9．（4分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．10．（4分）在抛物线y2=8x中，以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．x﹣4y﹣3=0 B．x+4y+3=0 C．4x+y﹣3=0 D．4x+y+3=0【解答】解：设以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线交抛物线为：A（x 1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=8（x1﹣x2），∵，∴y1+y2=﹣2，∴=﹣4，∴以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线的斜率为﹣4，∴以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为：y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0，所以，所求的直线方程为：4x+y﹣3=0，故选：C．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0．【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”12．（4分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为8．【解答】解：∵椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，∴|PF1|+|PF2|=14，即P到另一个焦点的距离为14﹣6=8故答案为：813．（4分）已知实数x，y满足则z=2x+4y的最大值为14．【解答】解：画可行域如图三角形ABC，令z=0得直线l 图中蓝线，平移l过点A（1，3）时z有最大值14，故答案为14．14．（4分）设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．【解答】解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．15．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1，F2为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，△F1F2M的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为．【解答】解：设M（x0，y0），∵G为△F1MF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵IG∥x轴，∴I的纵坐标为，又∵|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F 1F2|•|y0|，又∵I为△F1MF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1MF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|MF 1|+|F1F2|+|MF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共60分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16．（10分）已知命题p：方程（2x﹣a）（x+a）=0的两个根都在[﹣1，1]上；命题q：对任意实数x，不等式x2+2ax+2a≥0恒成立，若命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．【解答】解：由（2x﹣a）（x+a）=0得或x=﹣a，∴当命题p为真命题时，且﹣1≤﹣a≤1，解得﹣2≤a≤2且﹣1≤﹣a≤1，∴﹣1≤a≤1，即p：﹣1≤﹣a≤1．又当命题q为真命题时，“对任意实数x，不等式x2+2ax+2a≥0恒成立”即抛物线y=x2+2ax+2a图象在x轴上方或者与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a≤0，∴0≤a≤2，即q：0≤a≤2．若命题“p∧q”是真命题，则p为真命题且q为真命题，∴0≤a≤1，即a的取值范围是[0，1]．17．（10分）设二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，函数g（x）=2x+3，（1）求a与b的值；（2）解不等式f（x）＞g（x）．【解答】解：（1）∵ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}；则﹣2，1是方程ax2+bx+1=0两根；∴，∴；（2）f（x）=，则＞2x+3，即x2+5x+4＜0；解得﹣4＜x＜﹣1，∴不等式的解集为{x|﹣4＜x＜﹣1}．18．（10分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，（1）求∠A的大小；（2）求的值．【解答】解：（1）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，代入原式得a2﹣c2=b2﹣bc，即a2=b2+c2﹣bc．根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bcCosA，∴2cosA=1，cosA=，∴A=60°．（2）在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴==sin60°=．19．（10分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a3=6，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求前n项和S n；（3）求证：++…+＜1．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差是d，依题意得解得∴数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=2n；（2）解：∵a n=2n，∴S n===n（n+1）；（3）证明：∵，∴=．∴．20．（10分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．21．（10分）椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．（1）求的值；（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得x 1x 2+y1 y 2=0（2分）∵y1=1﹣x1，y2=1﹣x2∴2x1x2﹣（x1+x2）+1=0①又将y=1﹣x代入可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0∵△＞0∴，（4分）代入①化简得．（6分）（2）∵∴∴（8分）又由（1）知（9分）∴∴，（11分）∴长轴2a∈[]．（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．2016的相反数是（）A．2016 B．﹣2016 C．D．﹣【答案】A.【解析】试题分析：只有符号不同的两个数互为相反数，由此可得2016的相反数是﹣2016，故答案选A.考点：相反数.2．已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（）A．M B．N C．P D．Q【答案】D．【解析】试题分析：观察数轴可知，点Q到原点的距离最远，所以点Q的绝对值最大．故答案选D．考点：数轴；绝对值.3．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．5a﹣2a=3a2C．（a3）4=a12D．（x+y）2=x2+y2【答案】C.考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．4．下列命题中，错误的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．内错角相等【答案】D．答案选D．考点：命题.5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：选项A，圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，本选项错误；选项B，圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，本选项正确；选项C，球的主视图、俯视图都是圆，本选项错误；选项D，三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，本选项错误．故答案选B．考点：几何体的三视图.6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．70°【答案】C.【解析】试题分析：根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案选C．考点：圆周角定理.7．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B.【解析】试题分析：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．故答案选B．考点：中位数.8．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2【答案】A．【解析】试题分析：由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x﹣2≠0，即x≥0且x≠2．故答案选A．考点：函数自变量的取值范围．9．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）A．C n H2n+2B．C n H2n C．C n H2n﹣2D．C n H n+3【答案】A．考点：数字规律探究题.10．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B 、C 不重合），作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则BE+CF 的值（ ）A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小 【答案】C ．考点：锐角三角函数的增减性．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知反比例函数y=xk的图象经过点A （1，﹣2），则k= ． 【答案】﹣2． 【解析】试题分析：已知反比例函数y=xk的图象经过点A （1，﹣2），所以k=1×（-2）=-2. 考点：反比例函数图象上点的坐标特征．12．已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为 ． 【答案】1.12×105． 【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数且为这个数的整数位数减1，,由于112000亿有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．即112000=1.12×105．考点：科学记数法.13．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C=∠D ，则AB 与CD 的位置关系是 ．【答案】AB ∥CD ． 【解析】试题分析：已知四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，由圆内接四边形的对角互补的性质可得∠A+∠C=180°又因∠C=∠D ，可得∠A+∠D=180°，所以AB ∥CD ． 考点：圆内接四边形的对角互补的性质；平行线的判定.14．如图，已知∠A=∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【答案】∠B=∠DEF （答案不唯一，符合要求即可） 【解析】试题分析：已知∠A=∠D ，当∠B=∠DEF 时，△ABC ∽△DEF ，因为AB ∥DE 时，∠B=∠DEF ，添加AB ∥DE 时，使△ABC ∽△DEF ． 考点：相似三角形的判定．15．将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ． 【答案】y=2x ﹣2．考点：一次函数图象与几何变换．16．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．【答案】54.试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为54. 考点：概率公式.17．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD 的周长为 ．【答案】13．考点：翻折变换（折叠问题）．18．当a 、b 满足条件a ＞b ＞0时，+=1表示焦点在x 轴上的椭圆．若+=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 【答案】3＜m ＜8． 【解析】试题分析：由题意得，m+2＞0,2m-6＞0，m+2＞2m-6，解得3＜m ＜8，所以m 的取值范围是3＜m ＜8， 考点：阅读理解题.三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）19．计算：（π﹣）0+|2﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°．【答案】2. 【解析】试题分析：根据零指数幂、绝对值的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值依次计算后试题解析：原式==1+2﹣1+2﹣2=2． 考点：实数的运算.20．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数．【答案】原式=3-x x，当x=2时，原式=2-.考点：分式的化简求值．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）21．在2016CCTV 英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于60分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到如图的两幅不完整的统计图表： 根据所给信息，解答下列问题：（1）在表中的频数分布表中，m= ，n= ．（2）请补全图中的频数分布直方图．（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若娄底市共有4000人参数，请估计约有多少人进入决赛？【答案】(1)80，0.20；(2)详见解析；（3）1200.【解析】试题分析：（1）用抽查的总人数乘以成绩在70≤x＜80段的人数所占的百分比即可求得m；用成绩在80≤x＜90段的频数除以总人数即可求得n；（2）根据（1）求出的m的值，直接补全频数分布直方图即可；（3）用娄底市共有的人数乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案．答：估计约有1200人进入决赛．考点：频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本估计总体．22．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）【答案】立柱BH的长约为16.3米．【解析】试题分析：设DH=x米，由三角函数得出CH=3x，即可得BH=BC+CH=2+3x，再求得AH=3BH=23+3x，由AH=AD+DH得出方程23+3x=20+x，，解方程求出x，即可得出结果．解得：x=10﹣3，∴BH=2+3（10﹣3）=103﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．考点：解直角三角形的应用．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的21，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． （1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米． 【解析】试题分析：（1）设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是21x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据“甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟”列方程解方程即可；（2）用（1）的结果乘以2即可．试题解析：解：（1）设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是21x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意得230002600300021600-=-+x x x， 解得：x=300，经检验x=300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）∵300×2=600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米． 考点：分式方程的应用.24．如图，将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1B 1C 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1、BC 1分别交于点E 、F ． （1）求证：△BCF ≌△BA 1D ．（2）当∠C=α度时，判定四边形A 1BCE 的形状并说明理由．【答案】(1)详见解析；（2）四边形A1BCE是菱形，理由详见解析.∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D；（2）解：四边形A1BCE是菱形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）25．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．【答案】(1)详见解析；（2）（i）CE=65；（ii）详见解析.【解析】试题分析：（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB 中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；（2）（i ）因为BC 2=AB •BE ，所以△ABC ∽△CBE ，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan ∠ACD=tan∠B ，利用勾股定理即可求出CE 的值；（ii ）过点A 作AF ⊥CD∴∠ACD=∠B ，（2）（i ）∵BC 2=AB •BE ， ∴ECBE AB BC ， ∵∠B=∠B ，∴△ABC ∽△CBE ，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B ，∴tan ∠ACD=tan ∠B=43， 设BE=4x ，CE=3x ，由勾股定理可知：BE 2+CE 2=BC 2，∴（4x ）2+（3x ）2=100， ∴解得x=25，∴CE=65；∴直线CD与⊙A相切．考点：圆的综合题．26．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．【答案】（1）y=x 2﹣5x ﹣6；（2）存在，P （2，﹣12）；（3）Q 点一共有5个，（25，﹣25）．【解析】试题分析：（1）抛物线经过点A （﹣1，0），B （5，﹣6），C （6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣6），代入B （5，﹣6）即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形PACB 分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P （m ，m 2﹣5m ﹣6），四边形PACB 的面积为S ，用字母m 表示出四边形PACB、 a=1，∴y=（x+1）（x ﹣6）=x 2﹣5x ﹣6；（2）存在，如图1，分别过P 、B 向x 轴作垂线PM 和BN ，垂足分别为M 、N ，设P （m ，m 2﹣5m ﹣6），四边形PACB 的面积为S ，则PM=﹣m 2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m ，CN=6﹣5=1，BN=5，∴S=S △AMP +S 梯形PMNB +S △BNC =21（﹣m 2+5m+6）（m+1）+21（6﹣m 2+5m+6）（5﹣m ）+21×1×6 =﹣3m 2+12m+36=﹣3（m ﹣2）2+48，当m=2时，S 有最大值为48，这时m 2﹣5m ﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，∴Q 3（25，﹣25）．考点：二次函数综合题.。

2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word ）第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()U A C B 等于（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（ ）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7.下列坐标对应的点中，落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．()1,4- D ．()1,88.在ABC ∆中，已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（ ）A B D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9.比较大小：2log 5_____2log 3（填“>”或“<”）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11.某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5，则输出的y 值为________.12.若1a >，则11a a +-的最小值是________． 三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.(本小题满分6分) 已知4sin ,052παα=<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 14.（本小题满分8分）已知在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=． （1）求n a ；（2）令2n an b =，判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并说明理由．15.（本小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ； （2）求三棱锥1B ACB -的体积． 16.（本小题满分8分）已知圆C 经过()3,2A 和()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程． 17.（本小题满分10分） 已知函数()()2log 1f x x =+．（1）将函数()f x 的图像上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图像，写出函数()g x 的表达式；（2）若关于x 的函数()()223y g x mg x =-+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值．第Ⅱ卷（共５0分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.）18.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -= D. 22143x y -=19.甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种 B ．36种 C ．54种 D.24种 20.已知集合()(){},|M x y y f x == ，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){},|sin 1M x y y x ==+；③(){}2,|log M x y y x ==；④(){},|2x M x y y e ==-，其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．②④B ．②③C ．①④ D.①②二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 21.若“0,,tan 3x x m π⎡⎤∀∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，则实数m 的最大值为________． 22．已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=_________．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23. （本小题满分12分）现有长分别为123m m m 、、的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计） ． （1）求X 的分布列；（2）若()21,1Y X E Y λλ=-++>，求实数λ的取值范围．24. （本小题满分13分） 已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>．（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值； （3）求证：()()()223*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题 1.D 2. C3. D 【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 4．A 5．B 6．A 7．A 8．C 二、填空题9. > 10.100 11. 4 12. 3 三、解答题14．【解析】（1）设数列{}n a 的公差是d ，则31231a a d -==-， 故()12123n a n n =-+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）可得2322na n nb -==，所以()21321232242n n n n b b +-+-===是一常数，故数列{}n b 是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 15.【解析】（1）∵1DD ⊥面ABCD ，∴1AC DD ⊥． 又∵BD AC ⊥且1,DD BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11B BDD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）111111113326B ACB B ABC ABC V V S BB AB BC BB --∆===⨯⨯⨯=． 16．【解析】（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--， 故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组2602x y y x -+=⎧⎨=⎩得24x y =⎧⎨=⎩，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y kx -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，解得2k =或12k =-． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 17．【解析】（1）()()2log 0g x x x =>；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）()()()222223log 2log 3y gx mg x x m x =-+=-+令[]()2log 0,2t x t =∈得()222233y t mt t m m =-+=-+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ① 若0m <，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递增，∴当0t =时，min 32y =≠，无解； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ② 若02m ≤≤，则当t m =时，2min 32y m =-=，解得1,1m =-（舍去）， ∴1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分③ 若2m >，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递减，∴当2t =时，min 742y m =-=，解得524m =<，不符合条件，舍去； 综上可得1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分第II 卷一、选择题 18. D 19.B 20．A 二、填空题22．12 三、解答题23．【解析】（1）X 可能的取值为2，3，4，5，6．()()2113332299112;3124C C C P X P X C C ======；()()21111333332299114;534C C C C C P X P X C C +======； ()23291612C P X C ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）()111112345641243412E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵21Y X λλ=-++，∴()()22141E Y E X λλλλ=-++=-++，∵()1E Y >，∴214104λλλ-++⇒<<． ∴实数λ的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 24.【解析】（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数，因为()()()()()221ln 111ln 1101xx x x x f x x x x -++⎡⎤⎣⎦++++'==-<+，所以函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当0x >时，()()()11ln 11x x k f x k x x+++⎡⎤⎣⎦>⇔>+设函数()()()11ln 1x x g x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()21ln 1x x g x x--+'=， 设()()1ln 1h x x x =--+，则()11011x h x x x '=-=>++， ∴()h x 在区间()0,+∞上是增函数 又()()21ln 30,32ln 40h h =-<=->所以存在()02,3x ∈，使得()00h x =即()001ln 1x x -=+， 从而当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()()()()0min 11ln 1x x g x g x k x+++⎡⎤⎣⎦==>恒成立的最大正整数3k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由（2）知：当0x >时，()31f x x >+恒成立，即()1ln 131x x x ++>+， 从而()33ln 11211x x x x +>-=-++， 令()11x n n =+-得()()311ln 122311n n n n n n ⎛⎫+>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∴()()111ln 12231,ln 2323223⎛⎫⎛⎫⨯>--⨯>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1111ln 3423,,ln 123341n n n n ⎛⎫⎛⎫⨯>--+>--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭， 将这n 个不等式相加得：()22213ln 1231231232311n n n n n n n ⎛⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+>---=-+>- ⎪⎣⎦++⎝⎭， ∴()222231231n n n e -⨯⨯⨯⨯⨯+>，∴()()()223*1!1n n n en N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分。

2015-2016学年湖南省娄底市高三（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：（每题5分）1. 若复数（是虚数单位），则A. B.C. D.2. 设集合，，则A.B.C.D.3. 设、都是不等于的正数，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移单位B.向右平移单位C.向左平移单位D.向右平移单位5. 命题“，且”的否定形式是（）A.，且B.，或C.，且D.，或6. 设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数7. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A.B.C.D.8. 已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C.D.9. 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A. B. C. D.10. 若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A. B. C. D.11. 设函数，则满足（）的的取值范围是（）A.B.C.D.12. 若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A.B.C.D.二．填空题：（每题5分）1. 已知，，则的值为________．2. 在等差数列中，若，则________．3. 若非零向量满足，且，则与的夹角为________．4. 曲线与所围成的封闭图形的面积为________．三．解答题：（第17题10分，其余的每题12分）1. 已知向量，，，且．（1）求；（2）设向量与的夹角为，求的值．2. 设．（1）求的单调区间；（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．3. 设为实数，给出命题：函数是上的减函数，命题：关于的不等式的解集为．（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为真命题，求的取值范围；（3）若“且”为假命题，“或”为真命题，求的取值范围．4. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．（1）求数列，的通项公式（2）当时，记，求数列的前项和．5. 设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点（）处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围．6. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；（3）求证!!．参考答案与试题解析2015-2016学年湖南省娄底市高三（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：（每题5分）1.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数，则，故选：．2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】求解一元二次方程化简，求解对数不等式化简，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由，，得．故选：A.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求解，得出，，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：、都是不等于的正数，∵，∴，∵，∴，即，或求解得出：或或，根据充分必要条件定义得出：“”是“”的充分条不必要件，故选：．4.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移单位．故选：．5.【答案】D【考点】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，或，故选：．6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数，函数的定义域为，函数，所以函数是奇函数．排除，，正确结果在，，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，时，；时，，显然，函数是增函数，所以错误，正确．故选：．7.【答案】A【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】由已知当时总有成立，可判断函数为减函数，由已知是定义在上的奇函数，可证明为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设，则的导数为：，∵当时总有成立，即当时，恒小于，∴当时，函数为减函数，又∵，∴函数为定义域上的偶函数又∵，∴函数的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式或，或．故选：．8.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】依题意可求，又当时，函数取得最小值，可解得，从而可求解析式，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【解答】解：依题意得，函数的周期为，∵，∴．又∵当时，函数取得最小值，∴，，可解得：，，∴．∴．，，又∵，而在区间是单调递减的，∴故选：．9.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【解析】建系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化，由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，∵，∴，∴，，∴，由基本不等式可得，∴，当且仅当即时取等号，∴的最大值为，故选：．10.【答案】D【考点】等比数列的性质等差数列的性质【解析】由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于，的方程组，求得，后得答案．【解答】解：由题意可得：，，∵，，可得，，又，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴，，则．故选：．11.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】令，则，讨论，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论时，以及，，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令，则，当时，，由的导数为，在时，，在递增，即有，则方程无解；当时，成立，由，即，解得，且；或，解得，即为．综上可得的范围是．故选．12.【答案】C【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】根据导数的概念得出，用代入可判断出，即可判断答案．【解答】解；∵，∴，即，当时，，即故，所以，一定出错，故选：．二．填空题：（每题5分）1.【答案】【考点】两角和与差的正切公式【解析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解：，，可知，即，解得．故答案为：．2.【答案】【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将的值代入即可求出值．【解答】解：由，得到，则．故答案为：．3.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】由，便得到，进行数量积的运算，并带入即可得到，从而得出．【解答】解：根据条件，；∴；∴；∴与的夹角为．故答案为：．4.【答案】【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为直线与曲线所围图形的面积而∴曲边梯形的面积是．故答案为：．三．解答题：（第17题10分，其余的每题12分）1.【答案】解：（1）由，，则，解得，因为，所以，．则，则，即有；（2）由（1）知，，则，即有，所以，所以．【考点】两角和与差的正切公式数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）由向量的数量积的坐标公式化简即得，由同角公式，求得，，得到向量，，再由模的公式即可得到所求的值；（2）运用向量的夹角公式，求得，进而得到，，再由两角和的正切公式，即可得到所求的值．【解答】解：（1）由，，则，解得，因为，所以，．则，则，即有；（2）由（1）知，，则，即有，所以，所以．2.【答案】解：（1）由题意可知，由，可解得：，；由，可解得：，；所以的单调递增区间是，；单调递减区间是：，；（2）由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．【考点】正弦函数的单调性两角和与差的正弦公式余弦定理【解析】（1）由三角函数恒等变换化简解析式可得，由，可解得的单调递增区间，由，可解得单调递减区间．（2）由，可得，，由余弦定理可得：，且当时等号成立，从而可求，从而得解．【解答】解：（1）由题意可知，由，可解得：，；由，可解得：，；所以的单调递增区间是，；单调递减区间是：，；（2）由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．3.【答案】解：（1）命题：“函数是上的减函数”为真命题，得，∴；（2）由为真命题，则由，得；（3）∵且为假，或为真，∴、中一真一假，若真假，则不存在；若假真，则或；综上，的取值范围为：或．【考点】复合命题的真假命题的真假判断与应用【解析】（1），（2）根据指数函数的性质求出的范围即可；（3）通过讨论，的真假，求出的范围即可．【解答】解：（1）命题：“函数是上的减函数”为真命题，得，∴；（2）由为真命题，则由，得；（3）∵且为假，或为真，∴、中一真一假，若真假，则不存在；若假真，则或；综上，的取值范围为：或．4.【答案】解：（1）设，由题意可得，解得，或，当时，，；当时，，；（2）当时，由（1）知，，∴，∴，∴，∴，∴．【考点】数列的求和【解析】（1）利用前项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当时，由（1）知，写出、的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设，由题意可得，解得，或，当时，，；当时，，；（2）当时，由（1）知，，∴，∴，∴，∴，∴．5.【答案】解：（1），∵在处取得极值，∴，解得．当时，，，∴，，∴曲线在点（）处的切线方程为，化为：；（2）解法一：由（1）可得：，令，由，解得，．当时，，即，此时函数为减函数；当时，，即，此时函数为增函数；当时，，即，此时函数为减函数．由在上为减函数，可知：，解得．因此的取值范围为：．解法二：由在上为减函数，∴，可得，在上恒成立．令，，∴在上单调递减，∴．因此的取值范围为：．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1），由在处取得极值，可得，解得．可得，，即可得出曲线在点（）处的切线方程；（2）解法一：由（1）可得：，令，由，解得，．对分类讨论：当时；当时；当时．由在上为减函数，可知：，解得即可．解法二：“分离参数法”：由在上为减函数，可得，可得，在上恒成立．令，利用导数研究其最大值即可．【解答】解：（1），∵在处取得极值，∴，解得．当时，，，∴，，∴曲线在点（）处的切线方程为，化为：；（2）解法一：由（1）可得：，令，由，解得，．当时，，即，此时函数为减函数；当时，，即，此时函数为增函数；当时，，即，此时函数为减函数．由在上为减函数，可知：，解得．因此的取值范围为：．解法二：由在上为减函数，∴，可得，在上恒成立．令，，∴在上单调递减，∴．因此的取值范围为：．6.【答案】解：（1），当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为；（2）令，则，若，即，在上是增函数，，，无解．若，即，在上是减函数；在上是增函数，，即．，即，∴．若，即，在上是减函数，，即，∴，综上所述，．（3）证明：令，此时，所以，由（1）知在上单调递增，∴当时，，即，∴对一切成立，∵，，则有，要证!，只需证；；所以原不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题不等式的证明【解析】（1）求导，从而判断函数的单调性；（2）令，从而求导，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可；（3）令，此时，从而可得，且在上单调递增，从而可得，即对一切成立，从而可得若，，则有，从而化!为；从而证明．【解答】解：（1），当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为；（2）令，则，若，即，在上是增函数，，，无解．若，即，在上是减函数；在上是增函数，，即．，即，∴．若，即，在上是减函数，，即，∴，综上所述，．（3）证明：令，此时，所以，由（1）知在上单调递增，∴当时，，即，∴对一切成立，∵，，则有，要证!，只需证；；所以原不等式成立．。