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13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数

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非正弦信号及傅立叶级数分解

非正弦信号及傅立叶级数分解

13.1 非正弦周期信号
特点：周期性；非正弦。

例如：（见幻灯片）
13.2 周期函数分解为傅立叶级数
一、傅立叶级数的收敛定理：
按照傅立叶级数展开法，任何一个满足狄里赫利(Dirichlet)条件的非正弦周期信号(函数)都可以分解为一个恒定分量与无穷多个频率为非正弦周期信号频率的整数倍、不同幅值的正弦分量的和。

二、几种典型的非正弦周期函数信号的展开式
（见幻灯片以及本章附表13-1）
三、将方波展开为傅立叶级数
利用EWB5.12软件仿真各次谐波叠加的结果
令E m =1，πω1001=，（f=50Hz ），计算得出：A 1=1.27，A 3=0.42，A 5=0.25，
A 7=0.18，A 9=0.141
演示曲线合成，分量越多越接近方波。

四、频谱（见幻灯）
定义：用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率高低把它们依
次排列起来
五、利用对称性简化傅立叶级数的计算
1.纵轴对称：（偶函数）b k =0
2.关于原点对称：（奇函数）a k =0
3.镜对称：该波形移动半周期后与横轴对称，a 2k =b 2k =0。

28第二十八讲 非正弦周期信号及傅里叶级数

28第二十八讲 非正弦周期信号及傅里叶级数
A0 a 0
Akm
2 2 a k bk
ak Akm cosk bk Akm sin k
k arctan(
bk ) ak
Akm e jk ak jbk
f (t )
A0 2
A1m cos( 1t 1 ) A2 m cos(21t 21 )
四、课堂小结
１、非正弦周期信号；
２、分解为傅里叶级数；
布置作业
１、预习：
§１３－３ ～§１４－５

0
1
2
f ( t ) cos(k 1 t )d ( 1 t )
f ( t ) cos(k 1t )d ( 1t )
1

2 bk T 1
0
T
2 f ( t ) sin(k 1 t )dt T
f ( t ) sin(k 1t )dt f ( t ) sin(k 1t )d ( 1t )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) 2 k 1
傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:
A0/2—为周期函数f(t)的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(ω 1t +1 ) —为一次谐波（或基波分量），其
周期或频率与原周期函数f(t)相同；
还可以写成另一种形式: f (t ) A0 A1m cos( 1t 1 ) A2 m cos(21t 21 ) 2
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) 2 k 1
两种形式系数之间的关系如下:
第十三章
非正弦周期电流电路和 信号的频谱

非正弦周期信号及其分解

非正弦周期信号及其分解

k =1 ∞
∑ = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
∫ bk
=
2 T
T
u(t) sin kωtdt
0
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
∫ ∫ =
2(
1
sin kπtdt +
2
− sin kπtdt)
20
1
当k为偶数时： bk = 0
= − cos kπt 1 + cos kπt 2 = 2(1− cos kπ )
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
当k为偶数时： bk = 0
u(t) = 4 (sin πt + 1 sin 3πt + 1 sin 5πt + ⋅⋅⋅ + 1 sin kπt + ⋅⋅⋅)
π
3
5
k
k为奇数
图示为周期电压u(t) 的一段波形，求u(t)的傅里叶级数。
u(V ) 1
基波+三次+ 五次谐波分量
∑ ∑ f (t) = A0 + Akm sin(kωt +θk ) = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
k =1
k =1
a0 = A0
ak = Akm sinθk bk = Akm cosθk


A0 Akm
= a0 =
ak2
+
bk2

θ

k
=
arctan
k =1
k =1
T
∫0 f (t) sin kωtdt

非正弦周期信号汇总

非正弦周期信号汇总

第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱重点：1. 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；2. 非正弦周期电流电路的平均功率3. 非正弦周期电流电路的计算方法难点：1. 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2. 非正弦周期电流电路功率的计算章与其它章节的联系：三相电路可以看成是三个同频率正弦电源作用下的正弦电流电路，对它的计算，第九章正弦电流电路中所阐述的方法完全适用。

§13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。

在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。

非正弦周期交流信号的特点：1) 不是正弦波2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）式中T 为周期。

图 13.1 为一些典型的非正弦周期信号。

图13.1（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。

采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。

§13.2 周期函数分解为付里叶级数电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：也可表示成：以上两种表示式中系数之间关系为：上述系数可按下列公式计算：（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。

注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数a0、ak、bk ，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。

非正弦周期函数的有效值和平均功率

非正弦周期函数的有效值和平均功率

iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源

第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.

第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.

JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
2019年4月2日星期二
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。
2019年4月2日星期二
Lectured By 3 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算



T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j

电路 第五版邱关源 第十三章


bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ

非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算


cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(

k1t)

令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k

ak Akm
，sin

k

bk Akm
k

arctan
bk ak

f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1

2

2
0 iS (t) cos ktd (t)

2Im


1 k
sin
kt
0
0
11
bk

1

2
0 iS (t) sin ktd(t)

Im

(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk

2Im
k
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1

100 2

90

70.7

90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)

1
C

1k
X L(1) L 1k
Z1

(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)

13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数


f(t)
f(t)
O
t
O
t
1、偶函数 纵轴对称的性质 f(t) = f(-t)
可以证明： bk=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] k 1
展开式中只含有余弦项分量和直流分量
f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
bk
2 T
T
2 T
f (t) sin(k1t)dt
叠加定理
三、f(t)的频谱
傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。
为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)
a0 2
[a1 cos(1t) b1 sin(1t)]
[a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]
a0 2
[ak
k 1
cos(k1t)
bk
sin(k1t)]
系数的计算公式
a0
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
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§13.2 非正弦周期函数分解为 傅里叶级数
一、周期函数
周期函数在一个
f(t)=f(t+kT)
周期内包含有限个最大
值和最小值以及有限个
T为周期函数f(t)的周期， 第一类间断点。
k=0，1，2，……
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，
它就能展开成一个收敛的傅里叶级数。
电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。


f (t) cos(k1t)d (1t)
bk
2 T
T 0
f (t)sin(k1t)dt
2
T
T
2 T
2
f (t) sin( k1t)dt
1

2
0
f (t)sin(k1t)d(1t)
1


f (t) sin( k1t)d (1t)
2、第二种形式
展开式中只含有余弦项分量和直流分量

f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
bk

2 T
T
2 T
f (t) sin( k1t)dt
2
bk

2[ T
0 T
2
f (t) sin( k1t)dt
T 2 0
f (t) sin( k1t)dt]
bk
2[ T
sin(
k1t)]
系数的计算公式
2
a0 T
T 0
f (t)dt 2 T
T
2 ห้องสมุดไป่ตู้T
2
f (t)dt
2
ak T
T 0
f (t) cos(k1t)dt
2
T
T
2 T
2
f (t) cos(k1t)dt
1

2
0
f (t) cos(k1t)d (1t)
1
展开式中只含k 1有奇次谐波分量
f(t)= [a1 cos(1t) b1 sin( 1t)] [a3 cos(31t) b3 sin( 31t)]

判断下面波形的展开式特点 f(t)
O
t
f(t)是奇函数 展开式中只含有正弦分量
f(t)又是奇谐波函数 展开式中只含有奇次谐波
f(t)= b1 sin( 1t) b3 sin( 31t)
f
(t )

A0 2

A1m
cos(1t 1)
A2m cos(21t 2 )
Akm cos(k1t k )

A0 2


Akm cos(k1t k )
k 1
A0/2称为周期函数的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(ω1t+ψ1)称为1次谐波（或基波分量），其 周期或频率与原周期函数相同；
2!
n!
矩形信号f(t)的频谱
f
(t)

4Em

s in(1t )

1 3
s in(31t )

1 5
s in(51t )


Akm
O ω1 3ω1 5ω1 7ω1 kω1
3、频谱与非正弦信号特征的关系
波形越接近正弦波， 谐波成分越少；
波形突变点越小， 频谱变化越大。
f(t)=10cos(314t+30°) Akm
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)

a0 2
[a1
cos(1t)
b1 sin(1t)]
[a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]

a0 2


[ak
k 1
cos(k1t)

bk
ak=Akmcosφk
k

arctan( bk ak
)
bk=- Akmsinφk
4、傅里叶分解式的数学、电气意义
+ 傅氏分解 u(t) -
+ A0 /2
u1 u(t)
u2 …-
分解后的电源相当于无限个电压源串联 对于电路分析应用的方法是
叠加定理
三、f(t)的频谱
傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。
T 2 0
f (t) sin( k1t)dt]
=0
2、奇函数 f(t) = -f(-t) 原点对称的性质
f(t)
O
t
f(t)
O
t
2、奇函数 原点对称的性质 f(t) = -f(-t)
可以证明： ak=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 展开式中只含有正弦项分量
4、系数和计时起点的关系（2）
由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以 函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择 有关。
但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点 无关。
因此适当选择计时起点有时会使函数的分解 简化。
例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下 画出整个周期的波形
1、只含有余弦分量 2、只含有正弦分量 3、只含有奇次谐波分量
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
ak

1

2
0
f (t) cos(k1t)d(1t)
1 [


0
Em cos(k1t)d (1t)
2
Em cos(k1t)d (1t)]
2Em


0 cos(k1t)d (1t)
=0
1
bk
2
0
f (t)sin(k1t)d (1t)
1 [


0 Em sin(k1t)d (1t)
2
Em sin(k1t)d (1t)]
2Em


0
sin(k1t)d (1t)

2Em


1 k

cos(k1t)0
2Em [1 cos(k )] k
当k为偶数时： cos(kπ)=1 bk=0
4、系数和计时起点的关系（1）
系数Akm与计时起点无关（但ψk是有关的）， 这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的 振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一 定的， 并不会因计时起点的变动而变动； 因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初 相作相应地改变。 由于系数ak和bk与初相ψk有关，所以它们也随 计时起点的改变而改变。
基波+三次谐波
三次谐波
f
(t)

4Em

s in(1t )

1 3
s in(31t )

1 5
s in(51t )


f(t) Em
O
ω1t
-Em
取到11次谐波时合成的曲线 f(t)
Em
O
ω1t
-Em
比较两个图可见，谐波项数取得越多，合 成曲线就越接近于原来的波形。
f(t)
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
Em f(t) =
0t 2
-Em
T t T 2
根据公式计算系数
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
a0

2 T
T 0
f (t)dt
0
f(t)
为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
其他各项统称为高次谐波，
即2次、3次、4次、……
3、两种形式系数之间的关系
第一种形式
第二种形式
f f
(t) (t)

a0 2 A0 2


[ak cos(k1t)
k 1
Akm cos(k1t
k 1
bk sin(
k )
k1t)]
A0=a0
Akm ak2 bk2
Em
T 2
T
O π 2π
-Em
t f(t) = ω1t
Em -Em
0t T 2
T t T 2
f
(t)

4Em

s in(1t )

1 3
s in(31t )

1 5
s in(51t )


令Em=1，ω1t=π/2 f(t) = 1
f
(t)

4Em

s in(1t )
当k为奇数时：
cos(kπ)=0
bk

4Em
k
由此求得
f
(t)

4Em

s in(1t )

1 3
s in(31t )

1 5
s in(51t )


一次谐波
f
(t)