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抛物线

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弟1页 （共4页） 弟2页 （共4页）2.4抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A .45B .23C .47D .12 二、填空题7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A .12B ．1C ．2D ．4 13．已知抛物线y 2＝2px (p>0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．2.4.2 抛物线的简单几何性质一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A .172 B ．3 C . 5 D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( ) A ．2a B .12a C ．4a D .4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．1613.已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若|AF|＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．第3页/共4页 第4页/共4页第二章 圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y248＝13．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5) 7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC|等于( )A ．9 B ．6 C ．4 D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2) 11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝⎛⎭⎫32，94 D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫34π，π B.⎝⎛⎭⎫π4，34π C.⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫π2，34π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程；(2)若OA ⊥OB，求k 的值．。

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抛物线的概念

抛物线的概念

抛物线的概念1. 定义抛物线是指一个平面曲线，它的形状类似于一个由一个定点（称为焦点）和一条曲线（称为准线）上的所有点构成的路径。

它是一个二次曲线，由一个二次方程所描述。

抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是实数，且 a ≠ 0。

具体来说，在抛物线上任意一点的坐标（x，y）满足上述方程。

2. 关键概念抛物线的关键概念包括焦点、准线、顶点、对称性和方程参数的含义。

2.1 焦点和准线抛物线的焦点是指一个定点，位于抛物线的内部，并且到抛物线上的任意一点的距离到焦点都相等。

抛物线的准线是指一条直线，位于抛物线的水平轴上方或下方，并与焦点的距离相等。

2.2 顶点抛物线的顶点是指抛物线的最高点或最低点，位于焦点与准线的交点处。

顶点的坐标可以通过将抛物线的标准方程转化为顶点形式来确定。

抛物线的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。

2.3 对称性抛物线具有轴对称性，也就是说，它关于一条垂直于准线通过顶点的直线对称。

抛物线的焦点和顶点都位于对称轴上。

对称轴的方程为：x = -b/2a。

2.4 方程参数的含义抛物线方程中的参数 a、b 和 c 分别对应于抛物线的形状、方向和位置。

•参数 a 控制了抛物线的开口方向和形状：–当 a > 0 时，抛物线开口向上，形状为向上的 U 形。

–当 a < 0 时，抛物线开口向下，形状为向下的 U 形。

•参数 b 控制了抛物线的位置和对称性：–当 b = 0 时，抛物线的对称轴与 y 轴平行，抛物线是关于 y 轴对称的。

–当b ≠ 0 时，抛物线的对称轴与 y 轴不平行，抛物线不是关于 y 轴对称的，而是关于一个垂直于 y 轴的直线对称的。

•参数 c 控制了抛物线的位置：–当 c > 0 时，抛物线在 y 轴以下。

–当 c < 0 时，抛物线在 y 轴以上。

【数学】抛物线

【数学】抛物线

抛物线一 定义和性质1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2．抛物线标准方程的四种形式：图 形 标准方程焦点坐标 准线方程pxy 22=(p＞0))0,2(p2p x -=pxy 22-=(p ＞0))0,2(p -2p x =pyx 22=(p ＞0))2,0(p2p y -=pyx 22-=(p ＞0))2,0(p -2p y =3．性质： （1）的几何意义p ：定点F 到定直线l的距离记为P ；（2）范围、顶点坐标、对称轴、焦点、离心率、准线、焦半径等。

4．抛物线焦点弦的性质：设直线过焦点F 与抛物线()022>=p pxy 相交于A（x 1,y 1）,B （x 2,y 2）两点，则：（1）4221p x x =；（2）221p y y -=； （3）通径长为2p ； （4）焦半径公式|AF|=20px +（5）焦点弦长|AB|=x1+x2+p 。

二应用类型一．抛物线的定义的应用例1（1）．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程***一动点到定直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的一半，求这个动点的轨迹方程。

（2）．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

（3）．在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.（4）．设PQ为过抛物线的焦点F的弦，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上答案均有可能类型二。

求抛物线标准方程例1．试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程。

（1）过点P（-3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4＝0例2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴，其通径的两个端点与顶点的连线组成的三角形的面积是4，求抛物线的标准方程“定量”和“定位”(1) “定位”是指判断焦点在哪条坐标轴的哪条半轴上（2）“定量”要求出抛物线的标准方程，就要求出P类型三．抛物线的性质的应用 例1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5，25)到焦点距离是6，则抛物线的方程是A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x例2、已知抛物线()022>=p pxy ，过动点M （a ，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2≤。

抛物线的三种表达式

抛物线的三种表达式

抛物线的三种表达式一、抛物线的定义和特点1. 抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由一个定点F和一条定直线L组成。

在平面几何中，抛物线可以通过多种方式来表达和描述。

本文将介绍抛物线的三种常见表达式。

2. 抛物线的特点抛物线的特点主要包括： 1. 对称性：抛物线是关于焦点F的对称曲线。

2. 函数性：抛物线可以表示为函数的形式，即y = f(x)。

3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线是与抛物线垂直且通过焦点F的直线。

二、一般式表达式1. 一般式表达式的形式抛物线的一般式表达式是最常见和最基本的形式，它可以表示为： Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不同时为0。

2. 一般式表达式的特点一般式表达式具有以下特点： 1. 既包括了二次项又包括了一次项，可以表示出抛物线的倾斜程度和位置。

2. 通过系数A、B、C的符号和大小，可以确定抛物线的朝向和形状。

三、顶点式表达式1. 顶点式表达式的形式抛物线的顶点式表达式是以抛物线的顶点为基准，它可以表示为： y = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为常数，且a不等于0。

2. 顶点式表达式的特点顶点式表达式具有以下特点： 1. 通过顶点坐标(h, k)可以确定抛物线在平面坐标系中的位置。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和形状。

四、焦点和准线式表达式1. 焦点和准线式表达式的形式抛物线的焦点和准线式表达式是以抛物线的焦点和准线为基准，它可以表示为：4a(x - p)^2 = 4a(p - q)(y - k)其中，a、p、q、k为常数，且a不等于0。

2. 焦点和准线式表达式的特点焦点和准线式表达式具有以下特点： 1. 通过焦点坐标(p, k)和准线的位置可以确定抛物线的位置和形状。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和准线的位置。

五、总结抛物线是一种常见的二次曲线，本文介绍了抛物线的三种常见表达式：一般式表达式、顶点式表达式和焦点和准线式表达式。

抛物线的概念

抛物线的概念

抛物线的概念抛物线的概念抛物线是一种二次函数的图像，它是由一个固定点（称为焦点）和一条固定直线（称为准线）上的所有点构成的集合。

在平面直角坐标系中，抛物线可以用以下方程表示：y = ax^2 + bx + c。

1. 抛物线的基本概念1.1 焦点和准线焦点是抛物线上距离准线等于到顶点距离一半的点，通常用字母F表示。

准线是与焦点相对称且与抛物线平行的直线，通常用字母L表示。

1.2 顶点顶点是抛物线上最高或最低的点，它位于焦点和准线之间。

在标准形式下，顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

1.3 对称轴对称轴是通过顶点且与焦点垂直的直线。

在标准形式下，对称轴方程为x = -b/2a。

2. 抛物线的性质2.1 对称性抛物线具有对称性，即以对称轴为轴进行镜像得到的图像完全重合。

这意味着如果(x, y)在抛物线上，则(-x, y)也在抛物线上。

2.2 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，且顶点为最大值点。

2.3 零点和交点抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程y=0得到。

抛物线与y轴的交点称为截距，可以通过求解x=0得到。

两条不同的抛物线相交于两个交点。

2.4 切线和法线在任意一点处，抛物线的切线是通过该点且与抛物线相切的直线。

法线是与切线垂直的直线。

3. 抛物线的应用3.1 物理学中的应用在自由落体运动中，一个自由落体被重力作用下沿着一条竖直方向运动。

如果将竖直方向定义为y轴，则自由落体的运动可以表示为y = 1/2gt^2 + v0t + y0，其中g是重力加速度，v0是初速度，y0是初位置。

这个公式描述了一个开口向下的抛物线。

3.2 工程学中的应用在桥梁设计中，工程师需要计算桥梁的曲率和坡度，以确保桥梁能够承受重量并保持结构稳定。

抛物线可以用来描述桥梁的曲线形状，从而帮助工程师进行计算和设计。

3.3 经济学中的应用在经济学中，抛物线可以用来表示成本和收益之间的关系。