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双曲线抛物线

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课时92 双曲线（1）【复习目标】1. 了解双曲线标准方程，会求双曲线标准方程； 2．会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题；3. 了解双曲线的简单性质．【知识梳理】【课前热身】1. 平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，||MF 1|－|MF 2||是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 条件.2. 方程(x －1)2＋(y －1)2＝|x ＋y ＋2|的曲线是 ．3. 双曲线16x 2－9y 2＝144的焦点坐标为 ，离心率为 ，准线方程为 ．渐近线方程 ．4. 方程x 23－k ＋y 2k ＋2＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是 ．5. 双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是 ．6. 如果F 1,F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且|AB |＝6，则 ABF 2的周长是 ．7. 已知双曲线2mx 2－my 2=2的一条准线是y =1，则m = ． 【例题解析】例1.（1）求实轴长为16，离心率为54的双曲线的标准方程；(2) 求以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程；(3) 求经过点P (92,－1)，且两渐近线方程为y ＝±23x 的双曲线的标准方程；(4) 求与双曲线x 216－y 24＝1共焦点并且一条准线方程为x ＝－155的双曲线方程；(5) 求与双曲线x 22－y 21＝1共渐近线，并且经过点P （2，－2）的双曲线方程；(6)求经过点（4,23）和（24,33 ）的双曲线的标准方程.【反馈练习】 班级：_____________姓名：______________ 1. 椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝ ．2. 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且焦距为10，则双曲线方程为 ．3. 焦点为(0,6),(0,－6)经过点(2,－5)的双曲线的标准方程是 ．4. 双曲线两准线间距离的4倍等于焦距，则离心率等于 ．5. 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为 ．6. 过双曲线的一个焦点F 1且垂直于实轴的弦PQ ，若F 2为另一个焦点，且有∠PF 2Q ＝90︒，则此双曲线的离心率为 ．7. 若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则此双曲线的焦点坐标为 ．8. 已知双曲线11222=--ny n x 的离心率是3，则=n ．9. 双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的离心率为 ．10. 求满足下列条件的双曲线的方程：（1）与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，且一条渐近线方程方程为x －3y ＝0；（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P （1，－3），且离心率为2．课时93 双曲线（2）【复习目标】了解双曲线标准方程，会求双曲线标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题；了解双曲线的简单性质． 【课前热身】1. “ab ＜0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的_______________条件.2. 与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49和圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为___________________.3. 已知双曲线的两个焦点)0,10(1-F ，)0,10(2F ，P 是此双曲线上的一点，且021=⋅PF PF 2= ，则该双曲线的方程为___________________.4. 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，以线段21F F 为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 ． 5. 已知A (9,2)，F (5,0)，M 是双曲线x 29－y 216＝1上的一点，当|MA |＋35|MF |取最小值时，M 的坐标是 ，最小值是 ．【例题解析】例1. 已知双曲线的离心率为2，F 1,F 2为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60︒，12PF F S ∆=例2. 在双曲线y 212－x 213＝1的上支上有三点A (x 1,y 1),B (x 2,6),C (x 3,y 3)，它们与点F （0，5）的距离成等差数列．（1）求y 1＋y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.例3.已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-M . （1）求双曲线的方程；（2）若点),3(m N 在双曲线上，求证：021=⋅NF NF ； （3）求（2）中21NF F ∆的面积.【反馈练习】 班级：_____________姓名：______________ 1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为（0，3），则实数k 等于_____________.2．点P 是以F 1,F 2为焦点的双曲线x 225－y 26＝1的一点，且|PF 1|＝12，则|PF 2|＝____________.3．已知定点A 、B 且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是______.4．k ＞3是方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线的 条件．5．等轴双曲线的一个焦点为（0，－4），则其准线方程为 ．6．若双曲线x 264－y 236＝1上的一点P 到它的右焦点的距离是8，则到它的右准线之间的距离为 ．7．与圆(x ＋3)2＋y 2＝1及圆(x －3)2＋y 2＝1都外切的圆的圆心轨迹方程为 ．8．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐进线方程为3x －2y ＝0，F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点．若PF 1＝3，则PF 2等于 ．9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为 ．10．双曲线x 225－y 216＝1上的一点P ，且∠F 1PF 2＝60︒，F 1,F 2为焦点，则∆ F 1PF 2的面积为___.11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0,b ＞0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线C 的方程为_________________.12．由双曲线x 29－y 24＝1上的点P 与左、右焦点F 1,F 2构成∆ F 1PF 2，求∆ F 1PF 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.课时94 抛物线【复习目标】理解抛物线的有关概念和几何性质，能解决有关的简单问题．【知识梳理】抛物线的标准方程、类型及几何性质：1．动点P到直线x＋4＝0的距离与它到点M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹方程为______________．2．抛物线的焦点是直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为．3．抛物线y＝4x2的焦点坐标为．4．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是.5．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为．【例题解析】例1．已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的一点A(m，－3) (m＞0)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程．例2．如图，已知点A(2，8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)均在抛物线y2＝重心与此抛物线的焦点F重合．（1）写出该抛物线的方程及焦点F的坐标；（2）求线段BC的中点M的坐标以及BC所在直线的方程．例3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为2x=-，点P在准线l上，纵坐标为13(0)t t tt-∈≠R,，点Q在y轴上，纵坐标为2t．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程.【反馈练习】 班级：_____________姓名：______________1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为 ．2．顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是 ．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为 ．4．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM =5，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为 ．5．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上一点横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则这点的坐标为 ．6．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C .若2=，则直线l 的斜率为 ．7．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．8．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ．10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0, b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32,6)，求抛物线与双曲线方程．。

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圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

双曲线和抛物线

双曲线和抛物线

双曲线和抛物线双曲线和抛物线一、知识梳理1.双曲线的定义双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2aF1F2时，P的轨迹不存在；当PF1-PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线。

2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），y^2/b^2-x^2/a^2=1（a>0,b>0）。

双曲线的范围为x≥a或x≤-a，对称轴为坐标轴，对称中心为原点。

双曲线有两条渐近线y=±b/a*x，顶点为（0,0），离心率为e=√(1+b^2/a^2)。

实轴长度为2a，虚轴长度为2b。

3.抛物线的定义抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。

4.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0）。

抛物线的范围为x≥0或x≤0，对称轴为y轴或x轴，顶点为（0,0），离心率为e=1.焦点F在y轴上时，抛物线的准线方程为x=-p/2，焦点F在x轴上时，抛物线的准线方程为y=-p/2.二、方法归纳1.双曲线的离心率需要分两种情况计算，共渐近线的双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=λ或y^2/b^2-x^2/a^2=λ（λ≠0）。

渐近线方程为y=±b/a*x。

2.抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0），焦点在y轴上时，准线方程为x=-p/2，焦点在x轴上时，准线方程为y=-p/2.关于双曲线的渐近线，可以得出以下结论：对于已知双曲线方程为$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $或$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 $的情况，它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；对于已知双曲线的两渐近线的情况，先将它们写成一个方程$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $的形式，再设出双曲线方程的形式$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\neq 0)$。

双曲线和抛物线的区别究竟在哪？

双曲线和抛物线的区别究竟在哪？

双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。

1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。

当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；（ 图1） （图2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。

在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。

到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。

为研究问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2EAF παα∠=<<，平面π与圆锥轴线AC 所成的角(0)2πθθ≤≤。

设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥面所得图形上任一动点。

以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，22cos sin cos .AC AB my m m θθα⋅=-+=两边平方整理可得：2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*1、 当2πθ=时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即2222tan x y m α+=，得到一个圆。

平面几何中的抛物线与双曲线方程与曲线性质

平面几何中的抛物线与双曲线方程与曲线性质

平面几何中的抛物线与双曲线方程与曲线性质在平面几何中，抛物线和双曲线是两个常见的曲线形状。

它们在几何学和数学中都有着广泛的应用。

本文将介绍抛物线和双曲线的方程以及它们的性质。

一、抛物线抛物线是一种曲线，其形状与标准形式的二次函数相似。

一般而言，抛物线的方程可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数，且a不等于零。

抛物线方程可以分为以下三种情况讨论。

1. 抛物线开口朝上或朝下：当a大于零时，抛物线开口朝上；当a小于零时，抛物线开口朝下。

抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算：顶点的x坐标：x = -b / (2a)顶点的y坐标：y = c - b^2 / (4a)2. 抛物线与y轴的交点：当抛物线方程中y等于零时，可以解出抛物线与y轴的交点。

这些交点的横坐标可以通过以下公式计算：x = (0 - b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是与抛物线形状对称的一条直线，可以通过以下公式计算：对称轴的横坐标：x = -b / (2a)二、双曲线双曲线是另一种常见的曲线形状。

与抛物线不同的是，双曲线没有顶点。

一般来说，双曲线的方程可以写成以下形式：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1其中a和b是正实数。

双曲线方程也可以分为以下几种情况讨论。

1. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。

焦点可以通过以下公式计算：焦点的横坐标：c = √(a^2 + b^2)准线方程：x = ±a / e其中e为离心率，e = c / a。

2. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，可以通过以下公式计算：y = ±(b / a) * x渐近线与双曲线的距离在无穷远处趋于零。

3. 双曲线的对称轴：与抛物线类似，双曲线也有对称轴。

对称轴可以通过以下公式计算：对称轴的横坐标：x = 0总结：抛物线和双曲线都是平面几何中常见的曲线形状。