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§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++. 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=x x x )1()1(11+-+，。
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计教学环节教学内容活动设计活动目标信息技术运用及意图(一) 引入新课杨辉，南宋数学家，1261年著有《详解九章算法》一书；在书中记载了这样一个表，被称之为“杨辉三角”，“杨辉三角”包含了什么内容？今天我们就探究杨辉三角中蕴含的小秘密 (此处插入图片)教师边让学生看图片，边介绍相关数学史内容通过教师对图片的解读和数学史的介绍，可以让学生了解古代数学的伟大成就，激发学生的学习兴趣信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过教师对图片的解读和数学史的介绍，可以激发学生兴趣，增强民族自豪感，并为探究杨辉三角做准备。
使用智慧课堂【屏幕广播】功能，使得每个学生的座位没有了差异，学生可以近距离的看到老师准备的内容(二)温故知新问题1：请你回想一下二项式定理的内容问题2：请你回想一下二项式系数的定义问题3: 组合数的两个性质问题4：请你完成当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n的二项式展开教师提出问题，并让学生回答复习回顾前面学习的内容，并为后续内容的学习做准备信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图: 检测学生前两节课的学习效果，也为本节课的顺利开展做必要准备。
使用智慧课堂【屏幕广播】功能，使得每个学生的座位没有了差异，学生可以近距离的看到老师准备的内容(三) 成果展示1、请学生展示当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n的二项式展开；2、发现二项展开式中的各项二项式系数按照新的表示形式排列以后与杨辉三角之间的关系让学生展示学习成果，并发现杨辉三角的真面目让学生了解杨辉三角的含义，为学生进行下面的探究活动做准备信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：为学生发现杨辉三角蕴含的秘密和二项式系数的性质做准备。
使用智慧课堂【屏幕广播】功能能够拉近师生距离(四) 合作探究探究1：下表中蕴含着哪些规律？你能说出一些吗？学生自主完成探究1，并在课堂上展示通过观察，学生很容易发现二项式系数表中蕴含的规律信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过设计这个探究活动，学生可以从二项式系数表中获得二项式系数相关性质的直观感受，在n不大的情况下，可以通过这个表获得其他二项式展开的系数(四) 合作探究探究2：（1）当n=6时，(a+b)6展开式的二项式系数C60,C61,⋯C66，令,通过画出它的图像，你能发现二项式系数的哪些性质？（2）当n=7时呢？一般地n为偶数时呢？n为奇数时呢？此处设计小组讨论，将难点进行层层分解，通过问题串的形式，将难点慢慢化解开来从函数角度研究二项式系数的性质，利用数形结合思想，获得二项式系数的性质(1)(2)信息技术应用：使用【教师提问】【学生示范】设计意图：为了突破难点，设计了层层递进的问题串模式，学生通过回答一个一个的问题，轻松获得本节课的学习重点。
1．3．2 “杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本P32～36，思考并完成以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？2．二项式系数的性质有哪些？[新知初探]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r－1n＋C r n ．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C m n ＝C n －mn)．(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12n 相等，同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1． [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ．( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案：(1)√(2)×(3)×2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于() A．5B．6C．7 D．8答案：A3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第n2＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项答案：C4．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝()A．6 B．7C．8 D．9答案：A与杨辉三角有关的问题[典例](1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144 B．146C．164 D．461[解析](1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19．所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164．[答案](1)B(2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．[活学活用]如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3．解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01，C11；第2行中的数是C02，C12，C22；第3行中的数是C03，C13，C23，C33，…，第n行中的数是C0n，C1n，C2n，…，C n n．设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34．答案：34求展开式的系数和[典例] 设(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016·x 2 016(x ∈R)． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 016的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 016|的值． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 016＝(－1)2 016＝1．①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 016＝32 016．② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＝1－32 016， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015＝1－32 0162．(3)∵T r ＋1＝C r 2 016(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 016·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 016| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 016＝32 016．二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2．[活学活用]已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6．解：(1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，① 令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2． (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187，② 由①，②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093．求展开式中系数或二项式系数的最大项 [典例] 在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？[解] T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－5r 2． (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6． (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，即⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .整理得⎩⎪⎨⎪⎧r ≥5，r ≤6.于是r ＝5或6．故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．解：由本例(1)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正．故系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x－11．系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172．2．[变条件，变设问]在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项．解：由题意知n ＝8，通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 8·⎝⎛⎭⎫128－k·x 8－43k ，令8－43k ＝0，得k ＝6，故常数项为第7项，且T 7＝(－1)6·⎝⎛⎭⎫122·C 68＝7．二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．层级一 学业水平达标1．关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n ，故A 正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．2．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选D ∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n2＋1＝5．∴n ＝8． 3．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C令x＝1，则a0＋a1＋…＋a n＝2＋22＋23＋…＋2n，∴2(1－2n)1－2＝254，∴n＝7．4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为() A．3B．6 C．9D．12解析：选B x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C23·2＝6．5．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64 B．32C．63 D．31解析：选B C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝729．∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32．6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5．答案：57．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102．答案：1－31028．(1＋x)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C0n＋C1n＋…＋C n n<32，即8<2n<32．所以n＝4．所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C24(x)2＝6x．答案：6x9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10．(1)求a1＋a2＋…＋a10；(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2．解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32．(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f (1)·f (－1)＝0．10．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，整理得n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70；当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432． 层级二 应试能力达标1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C 法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1．法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D 选项．2．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n的值为( )A ．0B ．ABC ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2解析：选C (1＋x )n ＝A ＋B ，(1－x )n ＝A －B ，所以(1－x 2)n ＝A 2－B 2． 3．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1． 4．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，15B ．⎣⎡⎭⎫45，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析：选D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r ． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0，由此解得x >1， 即x 的取值范围是(1，＋∞)．5．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n ， ∴2n ＝64，∴n ＝6．∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r ． 由6－2r ＝0得r ＝3， ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20． 答案：206．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含有x 的项为第6项，若(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的通项为T r ＋1 ＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ． 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8．令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28，令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝28－1＝255． 答案：2557．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1，而(a ＋b )2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，所以有2n －1＝22n －1－120，解得n ＝4，故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x ．8．在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m ，n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．(1)求系数最大的项是第几项？ (2)求ab的范围．解：(1)设T r ＋1＝C r 12(ax m )12－r·(bx n )r ＝ C r 12a12－r b r x m (12－r )＋nr为常数项，则有m (12－r )＋nr ＝0，即m (12－r )－2mr ＝0， ∴r ＝4，它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3， ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ②由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0， ∴94b ≥a ，即a b ≤94．由②得a b ≥85，∴85≤a b ≤94．故ab的取值范围为⎣⎡⎦⎤85，94．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．64C．12 D．81解析：选C根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．2．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．33 B．29C．23 D．19解析：选B∵(1＋2)4＝C04(2)0＋C14(2)1＋C24(2)2＋C34(2)3＋C44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a＋b2，∴a＋b＝17＋12＝29．3．(1－x)10展开式中x3项的系数为()A．－720 B．720C．120 D．－120解析：选D由T r＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10x r，因为r＝3，所以系数为(－1)3C310＝－120．4．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C25＝10种．5．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16，则自然数n等于()A．6 B．5C．4 D．3解析：选C令x＝1，得2n＝16，则n＝4．故选C．6．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：选C 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C 23C 12C 13A 33＝108，(2)不选“0”，共有C 23A 44＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C ．7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法，故总的排法有2×2×A 33＝24种．8．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B (2－x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r ＝C r 8·28－r ·(－1)r ·x r 2．由r 2＝4得r ＝8．∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1． 又(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112．共计：3＋6＋3＋3＝15个．10．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C T r ＋1＝(－a )r C r 8x8－2r，令8－2r ＝0⇒r ＝4．∴T 5＝C 48(－a )4＝1 120，∴a ＝±2．当a ＝2时，各项系数的和为(1－2)8＝1；当a ＝－2时，各项系数的和为(1＋2)8＝38．11．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条解析：选B 先考虑x ≥0，y ≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C 212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax ＋by －1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．12．将二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为( )A ．A 37B ．A 66A 36 C ．A 66A 37D ．A 77A 37解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r82r ·x 16－3r 4，r ＝0,1,2，…，8．当16－3r4为整数时，r ＝0,4,8． ∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A 37种方法．∴共有A 66A 37种排法．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x 人，则C 28－x ·C 1x ＝30，即(8－x )(7－x )2·x ＝30，解得x ＝2或3． 答案：2或314．若⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于________． 解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r n2n －r ·x 3n －7r 2，令3n －72r ＝0，即r ＝67n ，而r ∈N *．∴n 为7的整数倍，即最小的正数n 等于7．答案：715．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1416．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种． 答案：90三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝{x |1<log 2x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}，试问： 从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 解：A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．从A 中取一个数作为横坐标，从B 中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．(本小题满分12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解：二项式的通项为T k ＋1＝C k n (2k )x k 2由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7．∴展开式中二项式系数最大两项是：T 4＝C 37(2x )3＝280x 32与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2． 19．(本小题满分12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)． (2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0． ∴n ＝8或n ＝1(舍)． (2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝⎝⎛⎭⎫12r ·C r 8·x 4－34r ，r ＝0,1，…，8． ∴第三项的二项式系数为C 28＝28． 第三项的系数为⎝⎛⎭⎫122·C 28＝7． (3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫124·C 48＝358． 21．(本小题满分12分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法， 3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法． 故N 1＝5×4×1×4＝80．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．22．(本小题满分12分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)两名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法．故有不同站法有A22·A66＝1 440种．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A44种．故共有不同站法A33·A44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×A77A44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两端之一，另一端由男生站，有A12·A14·A55种站法，②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有A24·A14·A44种站法．故共有不同站法共有A12·A14·A55＋A24·A14·A44＝2 112种．。
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。
【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。
【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2…………………………………………………1 2 1(a+b)3………………………………………………1 3 3 1(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1…………………………… 爱国教育，杨辉三角 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。
杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：1、德育渗透：介绍杨辉三角，加强爱国主义教育.2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.运用函数观点分析处理二项式系数的性质.3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养.教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2教学过程：教师的教学及活动学生的思维与活动媒体应用一、设疑（提出问题）提问:请同学观察这个图表的结果，有哪些规律？1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……提问:为什么会有这些性质？介绍:这个图表我们把它叫做二项式系数表.在我国它又被叫做杨辉三角.这里还流传一个美丽动人的故事.在国外，这个表被称为帕斯卡三角.认为是法国数学家帕斯卡在17 世纪最早发现这一规律的.而在我国，早在13 世纪，杨辉在他的《详解九章算法》中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着‘贾宪用此术’.贾宪是我国11 世学生思考后总结：（学生可以讨论、研究无须顺序总结）1）两边的数都是1.2）具有对称性.3）除1以外每个数都是肩上两个数的和.4）中间数最大.学生讨论后得出结论：这些数都是前面讲过的二项式系数.由学生翻阅材料介绍（通过古中国数学成就的介绍，加强对学生的爱国主义教育.）多媒体给出图表，显示学生的总结（可以设计跳转）纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就.但是，杨辉，贾宪的成就只有《详解九章算法》中有记载而此书早已失传，仅在《永乐大典》中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据.《永乐大典》是极其珍贵的国宝，然而1900 年，八年联军侵占北京，把翰林院中的《永乐大典》残本掠走，运往英国.后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到《永乐大典》残本，拍下了记载‘杨辉三角’内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上‘杨辉三角’.但是可惜的是，《永乐大典》的残本至今未能回到祖国的怀抱.二、尝试：（提出问题尝试解决）杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以用杨辉三角来研究二项式系数的性质.提问：还可以用什么方法研究它的性质.提问：如何来做图象.提问：观察图象有何性质？为什么会有这种性质. 学生预习得出：函数图象可以形象，直观反应性质，我们还可以用函数图象来研究二项式的系数.学生讨论后回答：C n r可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是｛0,1,···,n｝.观察图表及图象得出：对称性.这是二项式系数的性质1.学生总结：生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等.学生证明：有组合数性质C n r=C n n-r得到.回答：它的值先增后减.回答：有，中间位置可能最大学生活动：（这里让学生讨论研究，尝试证明.让学板演，可以多种方法证明，让学生充分体会成功的喜悦.教师还可以让学生对不完善多媒体给出有关介绍及图片多媒体给出图象提问：能否用语言总结一下？提问：能否证明？提问：下面我们继续观察图象，还可以发现哪些问题？提问：有最大值吗？提问：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大提问：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？我们看杨辉三角：1 1 21 2 1 221 3 3 1 231 4 6 4 1 241 5 10 10 5 1 251 6 15 20 15 6 1 26 ……提问：可以发现什么规律呢？提问：如何来证明呢？定义：这种方法我们叫赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．提问：我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，可以发现什么规律呢的证明加以补充.）（学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与）n为偶数时，中间一项二项式系数最大，中间一项是第12n+项；n为奇数是，中间两项二项式系数最大，中间两项是第23n,21n++项.（学生语言未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性）思考得出：（计算每行和）二项式系数和为2n（学生讨论，尝试证明并板演）可以多种方法.如（1+x）n中令x=1，或（a+b）n中令a=1，b=1.思考得出：奇数项二项式系数和等于偶数给出学生的确定函数的过程.多媒体给出图表多媒体给出图象奇数项和为偶数项和为1 11 12 1 2 1 222 1 33 1 2223 14 64 1 2324 1 5 10 10 5 1 2425 1 6 15 20 15 6 1 25 ……提问：如何来证明呢？强调：我们得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相同．提问：可有没有发现其他规律呢？1 7 21 35 21 7 11 8 28 56 56 28 8 1.......定义：这种方法我们叫递推法，我们可以无限得到下面的行的结果.三、归纳：时间关系，我们今天这堂课就研究到这里.本节课关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．教师归纳：我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，3、4两个性质所采取的方法——赋值法.性质5项二项式系数和为2n—1.既C n）+C n2+C n4+……=C n1+C n3+C n5……学生证明：（由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法）（1+x）n中令x=-1，或（a+b）n中令a=1，b=-1.思考得出：由两边的数都是1.及除1以外每个数都是肩上两个数的和.可以向下接着写出下一行.1、7、21、35、21、7、1.学生总结：（由学生叙述这五个性质）多媒体给出图表，动画显示每行最大值多媒体闪烁指明最大值，并指出其项数.用了递推法.赋值法解决与二项展开系数有关问题的重要手段．递推法是我们数学归纳法的基本思想.四、反馈发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看几组练习：（一）基础练习：1、（a+b）6展开式中的倒数第三项的二项式系数．2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？3、分别指出（a+b）20与（x+5y）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数．（用组合数表示）4、已知（a+b）n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．5．求（a+b）10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．（二）作业：P 111 4、8、五、板书设计：10.4 二项式定理（3）性质1 对称性性质2证明性质2 先增后减性质3证明性质3 二项式系数和2n性质4 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和为2n—1.性质5 递推法学生练习：（可以请一些基础较差的学生回答，使他们也体会成功的喜悦，完成基本教学要求.也可以分组抢答，激发学生的学习兴趣）学生讨论研究练习：（这两道题难度较大，给基础较好的学生一个提高的机会，体现了分层教学的思想）多媒体给出图表在学生计算过程中有动画效果多媒体给出图表在学生计算过程中有动画效果多媒体给出图表，并补充下面行的内容。
“杨辉三角”与二项式系数的性质【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。
高二的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。
【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】课前布置预习任务，提前把导学案拍照上传到学生群，让学生自主预习导学案，并借助于网络了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用；课上利用启发引导的方式，引导学生自主探究二项式系数的性质并通过连麦对答的形式与学生进行沟通交流；课后布置相应的随堂练习巩固课上所学知识。
【教学用具】电脑【教学情景设计】过程引入“杨辉三角”包含了什么内容？今天我们研究杨辉三角中数值的规律(此处插入图片吸引同学注意)对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，为学习二项式系数性质埋下伏笔.教师：放映相关图片；学生：通过连麦的方式从不同的角度畅谈对“杨辉三角”有何了解及认识.复习（1）二项式定理及其特例；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》说课稿1．教材分析《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.2．教学目标分析“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原理等知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神.根据以上分析特制定教学目标如下：1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.3．学情分析教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，不仅是因为“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，由它可以直观的看出二项式系数的性质，同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识，促进学生发展，在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心加工，合理调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展示.学生不难发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值，如何证明呢？这就需要适当引导学生联系函数知识，画出6n =和7的函数图象，讨论函数的性质，让学生经历再发现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中，教材中运用赋值法，求证很简略，但是让学生记住这个结论并不难，难的是在这个学习过程中如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，让学生自己归纳、猜想各二项式系数的和，运用多种方法予以求证，如：（1）利用赋值法：在.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++中，令1x =可得；（2）利用模型化思想：引入n 元集合子集的个数的问题，利用分类计数原理和分步计数原理进行说明，很好的解决了上面的问题.根据以上分析，制定教学难点如下：（1）结合函数图象，理解二项式系数的增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；（2）利用赋值法证明二项式系数的性质.4、教法特点及预期效果分析数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”. 在本节课的学习中，采用问题引导、合作探究的教学方法，设计六大教学环节：展示成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流，为学生开展数学体验，丰富学习方式，形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间.在探究二项式系数的性质中，设计为探究“三部曲”：第一步是数形结合、概括性质.通过学生画出n=6和n=7时函数图象，并观察分析其对称性和增减性与最大值，引导学生概括性质，学生有目的地动手实践，亲身参与探究活动远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律，使抽象的数学知识直观生成.第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与二项式系数的关系的基础上，在画出n=6和n=7时函数图象并观察分析其对称性和增减性与最大值的情境下，采取分组讨论、交流展示的学习方式，诱发学生内在的认知冲突，激发学生沉淀的知识，培养学生解决问题的能力，让知识经历一个再发现、再创造的过程，体验到探究过程中涉及的思维策略，促进学生对内容的深刻理解，把课堂教学的“话语权”、“生成权”、“展示权”、“交流权”交给学生，用学生的“亮点”，点亮学生的智慧.第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中，设计探究性的问题串，运用特殊到一般的归纳思想，猜想结论，再运用赋值法证明这一性质，培养学生思维的严谨性和深刻性，引导学生挖掘问题的本质特征，同时呈现用分类和分步计数原理说明()na b的展开式的各二项式系数的和，引发学生的认知冲突，培养学生思维的灵活性和独创性，激发学生的探索兴趣.学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程，对“杨辉三角”及二项式系数的性质有比较深刻的认识，不断提高学生探究和解决问题的能力，促进学生数学思维发展.5．教后反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验.成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得体，亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃.改进之处：一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，虽然课后通过师生沟通，学生说不影响掌握本节知识，但是在以后的教学中一定要做得更好.“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计一、教材背景分析1．教材的地位和作用《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2．学情分析知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.3．教学重点与难点重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.关键：函数思想的渗透.二、教学目标1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究．学法：从课前探究和课上展示中感知规律，结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想.四、教学基本流程设计五、教学过程1. 展示成果话杨辉课前开展学习活动：了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，探究与发现“杨辉三角”包含的规律.（1）学生从不同的角度畅谈“杨辉三角”，对它有何了解及认识.（2）各小组展示探究与发现的成果——“杨辉三角”包含的一些规律.【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.2. 感知规律悟性质通过课外学习，同学们观察发现了杨辉三角的一些规律，并且知道杨辉三角的第n 行就是()n a b +展开式的二项式系数，()n a b +展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值.【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.3. 联系旧知探新知【问题提出】怎样证明()n a b +展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）()n a b +展开式的二项式系数012C ,C ,,,C n n n n n C ，C rn 可以看成是以r 为自变量的函数()C rn f r =吗？它的定义域是什么？（2）画出6n =和7时函数()C rn f r =的图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．C C m n m n n-=． 增减性与最大值：(1)(2)(1)C (1)!kn n n n n k k k ---+=-1(1)C k n n k k --+=，所以C k n 相对于1C k n -的增减情况由(1)n k k -+决定．由(1)112n k n k k -++>⇔<可知，当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 的偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -，22C n n +相等，且同时取得最大值．【设计意图】教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质，学生画图并观察分析图象性质；运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质，升华认识；通过分组讨论、自主探究、合作交流，说明或证明二项式系数的对称性和增减性与最大值，提高学生合作意识.4. 合作交流议方法【继续探究】问题：()n a b +展开式的各二项式系数的和是多少？探究：（1）计算()n a b +展开式的二项式系数的和（n =1，2，3，4，5，6）.（2）猜想()n a b +展开式的二项式系数的和.（3）怎样证明你猜想的结论成立？赋值法：已知.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++，令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++．这就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ．n 元集合子集的个数（两个计数原理）.分类计数原理：012C C C C n n n n n ++++分步计数原理：n 个2相乘，即2n ．所以012C C C C 2n n n n n n ++++=．【问题拓展】你能求012345C C C C C C n n n n n n -+-+-+吗？在展开式011222()C C C C n n n n n n n n n n a b a a b a b b --+=++++中，令1,1a b ==-， 则得0123(11)C C C C (1)C n n nn n n n n -=-+-++-，即02130(C C )(C C )n n n n =++-++，所以0213C C C C n n n n ++=++，在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.【设计意图】通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应.5. 反馈升华拨思路练1．()n a b +的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等，则n 等于 .练2．11(23)x y -的展开式中前 项的二项式系数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数取得最大值的是第 项.练3．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++. 【设计意图】促进学生进一步掌握二项式系数的性质，学会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．6. 悬念小结再求索【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？【课堂延伸】今天同学们展示了一些杨辉三角的规律，但是作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处.【课外活动】（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.设计研究性学习活动，诱发学生创造性的想象和推理.同时教会学生如何开展研究性学习.杨辉三角与二项式系数的性质教学点评本节课有以下几点值得一提：一、目标定位准确本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体.教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的.二、突出主体地位1．放手发动学生把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则.二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困.三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.2．彰显理性数学本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去.3．呈现合作交流本节课每个问题的波浪式出现，我们不仅发现每个学生动手做、动眼看、动口说、动笔写、动脑想，全身心投入到学习过程中去，真正地让学生动起来，让课堂活起来，更令人吃惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致. 这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交流过程，更有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景. 这种“生生合作”的经典，更来自于“师生合作”的源头. 教师始终把自己放在和学生平等的位置上，“同欢乐，共困苦”，让学生心情愉悦地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，这些话成果、说思路、讲道理、议方法、谈感悟等系列活动，既寄托了老师的殷切希望和拳拳爱生之心，又破除了传统的学生蹑手蹑脚演板，胆怯地来回张望，等待老师去评点乃至训斥的那种尴尬局面，展现了一种兴趣盎然、生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景.三、主导水到渠成综观整节课三个性质的呈现（教师板书的主题）毫无生涩造作，支离隔阂的痕迹. 却是分块搭建，彼此衔接，宛若于活动中生成，从过程中体验，在操作中建构，水到渠成之感，这得益于教师充分挖掘和把握教材内在联系之功力和涵养，也借助于教师过渡衔接之妙：和蔼微笑的教态，激励动情的语言，豁达激情的风貌，使得课堂情境天人合一.四、增色情感价值教材的主干内容之一“杨辉三角”就蕴含较丰富的文化价值（包括数字演变），我国古代数学成就和爱国主义情结.教学过程中，由于提及到与“帕斯卡三角”的比照，涉及到与“斐波那契数列”的联系，学生的民族自豪感，爱国主义情操不时会写在那一张张稚嫩、率真的脸上，相信对他们的精神风貌是一种陶冶，思想品质是一种升华.本节课值得改进的地方：一是可考虑通过网上链接搜集一些“杨辉三角”包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，尽管课后通过师生沟通，形成了共识，但值得在以后的教学中更好地把握好教学细节.。
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质[学习目标] 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．[知识链接]1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？答不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．2．根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？答对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象得到．3．二项式系数何时取得最大值？答当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数12Cnn-，12Cnn+相等，且同时取得最大值．[预习导引]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1n＋C r n. 2．二项式系数的性质增减性与最大值增减性：当k＜n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞n＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数2Cnn，最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn-，12Cnn+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1要点一与杨辉三角有关的问题例1如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S19的值．解由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．跟踪演练1如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行1 1第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1 第5行1 5 10 10 5 1… … …[答案] 34[解析] 设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C 13n ∶C 14n＝2∶3. ∴3C 13n ＝2C 14n ，即3·n ！13！·(n －13)！＝2·n ！14！·(n －14)！， 得：3n －13＝214，∴n ＝34.要点二 二项展开式的系数和问题例2 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求下列各式的值． (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝37.② (1)令x ＝0，得a 0＝1，代入①中得： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)由①－②得2a 1＋2a 3＋2a 5＋2a 7＝－1－37， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.(3)由①＋②得2a 0＋2a 2＋2a 4＋2a 6＝－1＋37， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.(4)方法一 ∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1093－(－1094)＝2187.方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和， 令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝37＝2187.规律方法 赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．跟踪演练2 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2.解 (1)由(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100. 或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，② 与①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100×(2＋3)100＝1.要点三 求二项展开式中的最大项问题例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32， ∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是223226335C ()(3)90,T x x x == 22232233345C ()(3)270.T x x x ==(2)展开式的通项公式为2(52)315C 3.r r rr T x+⋅＋＝假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为2626443355C 3405.T xx =⋅=规律方法 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．求展开式系数最大的项，如求(a ＋bx )n (a 、b ∈R )展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项．跟踪演练3 在(3x －2y )20的展开式中，求 (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．解 (1)二项式系数最大的项是第11项，T 11＝C 1020310(－2)10x 10y 10＝C 1020610x 10y 10.(2)设系数绝对值最大的项是r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r ，解得725≤r ≤825(r ∈N )，所以r ＝8，即T 9＝C 820312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为y 的偶次方项，故可设第2r －1项系数最大，于是⎩⎪⎨⎪⎧C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r －420·324－2r ·22r －4，C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r 20·320－2r ·22r ， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧10r 2＋143r －1077≤0，10r 2＋163r －924≥0.解之得r ＝5，即2×5－1＝9项系数最大． T 9＝C 820·312·28·x 12y 8.1．(1＋x )2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3[答案] C [解析] (1＋x )2n＋1展开式有2n ＋2项．系数最大的项是中间两项，是第n ＋1项与第n ＋2项，它们的二项式系数为C n 2n ＋1与C n ＋12n ＋1.2．(x －1x )10的展开式中，系数最大的项是( )A ．第6项B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项[答案] D[解析] 展开式第6项系数为－C 510，第5项和第7项系数分别为C 410，C 610且C 410＝C 610.3．在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A ．第6项B ．第5项C．第5,6项D．第6,7项[答案] A[解析]由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C3n＝C7n，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．4．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案] A[解析]令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围．。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是__，与这两个1等距离的项的系数____．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__，即________． 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与____________的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C nn ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐____的，由对称性可知它的后半部分是逐渐____的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数____取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数______________相等，且同时取到最大值．3．各项二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝__.(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝__. 预习交流(1)(1＋2x )2n 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )． A ．第n －1项 B ．第n 项 C ．第n ＋1项 D ．第n 项，第n ＋1项 (2)(x ＋1)10的展开式中的各项系数和是( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．210答案：1．(1)1 相等 (2)和 C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn2．(1)首末两端等距离 (2)增大 减小 2C n n 12C n n-，12Cn n+3．(1)2n (2)2n －1预习交流：(1)提示：C (2)提示：D一、与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )．A ．144B ．146C ．164D ．461思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．二、二项式系数的性质(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2，确定k 的值．1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )． A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )． A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．三、二项式系数、展开式系数的求和1．(2012山东临清三中模拟，理14)设(3x 13＋x 12)n 的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________.思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出．1．(2012北京昌平期末考试，理13)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则m ＝__________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝__________.2．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________.赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．答案：活动与探究1：C 解析：由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19.∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29)＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29)＝C 210＋C 310－1＝164.迁移与应用：解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2：解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8. ∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为 T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4. 设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6. ∴k ＝5，或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})．∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.迁移与应用：1.B 解析：由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．2．C 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.活动与探究3：1.1 解析：由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，∴h ＋t ＝4n ＋2n＝272，解得n ＝4.∴(133x ＋12x )n＝(133x ＋12x )4. 则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(133x )4－r ·(12x )r＝34－rC r 4436rx+，令43＋r6＝2，则r ＝4.∴含x 2项的系数为1.2．41 解析：f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4， 令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81，又m >0，∴m ＝2.令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1. 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41.迁移与应用：1.1 1 解析：展开式通项公式T r ＋1＝C r 7x 7－r·(－m )r ，令7－r ＝4，则r ＝3.∴C 37·(－m )3＝－35.∴m ＝1. ∴(x －1)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 令x ＝0，得a 0＝(－1)7＝－1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝0， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.2．729 解析：由已知2n －1＝32，∴n ＝6. ∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6. 而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729.1.⎝⎛⎭⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( )． A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项2．若(2－x )n 的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则含x 4项的系数为( )． A ．－45 B ．45 C ．180 D ．－1803．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )． A ．32 B ．1 C ．－243 D ．1或－243 4．(2012山东济南二月月考，理14)已知⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．5．若(1－2x )2013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为__________．答案：1．D 解析：由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．2．C 解析：由已知C 3n ＝C 7n ，∴n ＝10.∴(2－x )n ＝(2－x )10.∴展开式通项公式为T r ＋1＝C r 10·210－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x r 2，令r 2＝4，则r ＝8. ∴含x 4项的系数为(－1)8·C 810·22＝4C 210＝180.3．B 解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，∴a ＝2.∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.4．10 解析：由已知2n －1＝16，n ＝5，∴⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为C 35＝10.5．－1 解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.。
