高考热点题型聚焦(四)《解析几何》

yx 2=4y2010年广东高考热点题型聚焦（四）《解析几何》广东课标高考三年来风格特点 （1）表现形式上是多曲线综合；（2）圆锥曲线重在定义、标准方程和几何性质； （3）核心是直线和圆的位置关系；（4）方法上强调：数形结合的思想方法、方程思想、待定系数法；（5）能力上要求：图形探究能力、逆向探究能力、运算求解能力、阅读理解能力. 参考题目：1.设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分∵12p= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是24x y =………4分（2）解法1：过点M 作ｘ轴的垂线，垂足为D,则点D 平分EG, 设圆心为(,)M a b ，则222222||||||(2)DG MA MD a b b =-=+--244a b =-+,24a b =||2,||4DG EG ∴==, 即当M 运动时，弦长EG 为定值4.解法2：设圆的圆心为(,)M a b ， ∵圆M 过A (0,2)，∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ………7分令0y =得：22440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x 方法1：不妨设12x x >，由式得122a x =，222a x =…………………………10分∴12x x -=又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =，∴ 124x x -=，即EG ＝4--------------------------------13分∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕2．已知双曲线221:(0)C x y m m -=>与椭圆22222:1x y C a b+=有公共焦点12,F F ，点,1)N 是它们的一个公共点. （1）求12,C C 的方程；（2）过点2F 且互相垂直的直线12,l l 与圆222:(1)M x y a ++=分别相交于点,A B 和,C D ，求||AB ||CD +的最大值，并求此时直线1l 的方程.解：（1）点N 是双曲线221:(0)C x y m m -=>上的点，211m ∴=-=.∴双曲线221:1C x y -=，从而12(F F ，∴22a b >，且222a b -=.①又点N 在椭圆上，则22211a b +=② 由①②得224,2a b ==，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）设圆M 的圆心为M ，1l 、2l 被圆M 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以22223ME MF F M +==,即221244322d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得 221220d d +=从而12d d +≤=12d d ⇔==12d d ∴==12max ()d d ∴+=即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为.3．如图，F 是椭圆的右焦点，以F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆的动点，P 到两焦点距离之和等于4.（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为4,x PM l =⊥，垂足为M ，是否存在点P ，使得FPM ∆为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知可得24,a =2a c =⇒2222,1,3a cb ac ===-=∴椭圆的标准方程为22143x y +=，圆的标准方程为22(1)1x y -+= （Ⅱ）设(,)P x y ，则(4,),(1,0)M y F∵(,)P x y 在椭圆上∴22143x y +=22334y x ⇒=- 22222231||(1)(1)3(4)44PF x y x x x =-+=-+-=- 22|||4|PM x =-＝2239124y x +=-∴1||||,||||,2PF PM PF PM =≠（1）若||||PF FM =则|||||PF FM PM +=这与三角形两边之和大于第三边矛盾 ∴||||PF FM ≠（2）若||||PM FM =,则223(4)124x x -=-，解得4x =或47x =∵||2x ≤ ∴47x = ∴y =∴4(,7P ±综上可得存在两点4(7，4(,7使得△PFM 为等腰三角形.4. 已知动圆过定点(0,2)N ，且与定直线:2L y =-相切. （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（II ）若A 、B 是轨迹C 上的两不同动点，且AN NB λ=. 分别以A 、B 为切点作轨迹C的切线，设其交点Q ，证明AB NQ ⋅为定值.解：（I ）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线上……2分因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是28x y =（II ）解法一：由已知(0,2)N ，11221122(,),(,).,(,2)(,2),A x y B x y AN NB x y x y λλ=--=-设由即得故 ()()121212(2)2x x y y λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩将（1）式两边平方并把2212221218,8y y y x y x λ===代入得 （3）解（2）、（3）式得λλ2,221==y y ，且有.16822221-=-=-=y x x x λλ…………8分抛物线方程为.41,812x y x y ='=求导得 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 ,)(41,)(41222111y x x x y y x x x y +-=+-= 2211221111,.4848y x x x y x x x =-=-即 121212(,)(,2)282x x x x x xQ ++=-解出两条切线的交点的坐标为 ……11分),()4,2(211221y y x x x x AB NO --⋅-+=⋅所以0)8181(4)(2121222122=---=x x x x 所以AB NQ ⋅为定值，其值为0. …………13分解法二：由已知N （0，2）1122(,),(,).,,,,A x y B x y AN NB A N B λ=设由知三点共线,AB x 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设22,1.8y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩由可得28160x kx --=， 1621-=x x…………8分后面解法和解法一相同5．已知圆O ：822=+y x 交x 轴于B A ,两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线：4-=x 为准线的椭圆． （1）求椭圆的标准方程；（2）若M 是直线上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于Q P ,两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；（3）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于H G ,两点，且HE EG 3=，试求此时弦PQ 的长．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则：24a ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故2b =,所以椭圆的标准方程为22184x y += （Ⅱ）设(4,)M m -，则圆K 方程为()2222424m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭ 与圆22:8O x y +=联立消去22,x y 得PQ 的方程为480x my -+=，过定点()2,0E -。

（Ⅲ）解法一：设()()1122,,,G x y H x y ，则221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,………① 3EG HE = ，()()11222,32,x y x y ∴+=---，即：1212833x x y y =--⎧⎨=-⎩ 代入①解得：228323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩（舍去正值）， 1PQ k ∴=，所以:20PQ x y -+=，从而圆心()0,0O 到直线PQ的距离d ==从而PQ ==解法二：过点,G H 分别作直线l 的垂线，垂足分别为,G H ''，设PQ 的倾斜角为α，则：GE EH e e GG HH ===='',GG HH ''=， 由3EG HE = 得：3EG HE =，cos 2GG HH GE EH α''-∴==+，故4πα=，由此直线PQ 的方程为20x y -+=，以下同解法一。

解法三：将:PQ 480x m y -+=与椭圆方程22184x y +=联立成方程组消去x 得：()223216640my my +--=,设()()1122,,,G x y H x y ，则1212221664,3232m y y y y m m +==-++。

3FG HF =，()()11222,32,x y x y ∴+=---，所以123y y =-代入韦达定理得：22222864,33232m y y m m =-=++， 消去2y 得：216m =，4m ∴=±，由图得：4m =， 所以:20PQ x y -+=，以下同解法一.。