高三数学复习专题课件：12.2导数的应用(一)

解析：f′(x)＝x2＋2x－3， 令 f′(x)＝0 得 x＝1(x＝－3 舍去)， 又 f(0)＝－4，f(1)＝－137，f(2)＝－130， 故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)＝－137. 答案：－137
考点一 利用导数研究函数的单调性
[例 1] (2014·杭州模拟)设 f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
1．如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判 断中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(－3,2)上是单调函数
解析：选 A 当 x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则 f(x)在(－3,0) 上是减函数．其他判断均不正确．
值．
3．函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条 连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ； ②将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处 的函数值 f(a)，f(b)
近其他点的函数值 都小 ，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近 的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则 a 点叫做函数的极小值
点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值 若函数 y＝f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附
近其他点的函数值 都大 ，且 f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则 b 点叫做函数的极大值 点，f(b)叫做函数的极大值， 极大值 和 极小值 统称为极

解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；

x x
解： lim
x
e e e lim lim 2 x x 2 x x 2
x
10
其他型未定式的极限
其他尚有“ 0 ”，“ ”，“ 1”，“00”， 0 0 “ ”等型的未定式，可化 为“ ”型和“ ”型来解决。 0
例题1 求 lim x n ln x(n 0)
3
y
y x3
单调增加。
19
x
证明：当 x 0 时， x ln(1 x) 证：设 f ( x) x ln(1 x)
1 x f ( x) 1 ，当 x 0 时， 1 x 1 x f ( x) 0 ， 函数 f ( x)单调增加，而 f (0) 0， f ( x) 0 ( x 0) 即 x ln(1 x) 0 x ln(1 x)
1
中值定理 罗尔（Rolle)定理
y
A
B
若函数 f ( x)满足下列条件： 1 ） 在闭区间 [a，b]上 连续； 2） 在开区间(a，b)内 可导； 3） 在区间端点的函 数值相等，即 f (a ) f (b)，
a
1
2 b
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得 f ( ) 0.
x 2
15
函数的单调性
y
y f ( x)
B
导数的 正负号 判断 函数的
y
A
A
y f ( x)
单调性
B
a
b
x
a
b
x
定理
设函数 y f ( x)在[a，b]上连续，在
(a，b)内可导，
16
1 ） 如果 f ( x) 0，则 f ( x)在区间(a，b)单调增加；

3.函数不等式的类型与解法
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是

K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的