2020【浙教版】九年级数学下册第1章《特殊锐角的三角函数值》同步练习

最新浙教版九年级数学下册单元同步测试题及答案全套九年级下册 第1章 解直角三角形 1．1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数的概念基础题知识点1 三角函数的定义1．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosA 的值是(D)A.34B.43C.35D.452．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是(A)A ．2B ．8C ．2 5D ．4 53．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若AC ＝2BC ，则sinC 的值是(C)A.12 B ．2 C.32D. 3 4．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么∠A ，∠A ′的余弦值的关系为(A)A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定5．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为(A)A.13B.12C.32D ．36．(乐山中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C)A ．sinB ＝ADABB ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝ADACD ．sinB ＝CDAC7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为斜边AB 的中点，BC ＝4，CD ＝2.5，则sinA ＝45．8．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，另一边经过点P(2，23)，则sin α2cos α＝12，tan α知识点2 互余两角的三角函数之间的关系9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．求：(1)sinA ，cosB ； (2)tanA ，tanB ；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系吗？ (4)应用：①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，则cosB ＝23；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝2，则tanB ＝12．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝BC AB ＝ac ，cosB ＝BC AB ＝a c.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tanA ＝BC AC ＝ab ，tanB ＝AC BC ＝b a.(3)由(1)知sinA ＝cosB ；由(2)知tanA ·tanB ＝1.中档题10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝23，则tanB 等于(C)A.35B.53C.25 5D.5211．(攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝(D)A.12B.34C.45D.3512．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是(B)A.23B.223C.423D.52313．(菏泽中考)如图，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3，若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为(A)A ．25∶9B ．5∶3C.5∶ 3D ．55∶3 314．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则cosB ′1015．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sinB 的值．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中， ∵AD ＝5，CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝4. 在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝41. ∴sinB ＝AC AB ＝441＝44141.16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值．解：根据题意，得BE ＝AE.设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x.在Rt △BCE 中，根据勾股定理得BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74，∴tan ∠CBE ＝CE CB ＝724.综合题17．(金华中考)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD ＝90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC ′D ′，最后折叠形成一条线段BD ″.(1)小床这样设计应用的数学原理是三角形的稳定性和四边形的不稳定性； (2)若AB ∶BC ＝1∶4，则tan ∠CAD 的值为815．第2课时 特殊角的三角函数值基础题知识点1 特殊角的三角函数值 1.12cos30°的值等于(B) A.12 B.34C ．1D ．3 2．点A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点A 1的坐标是(A)A ．(－12，33)B ．(－32，33) C ．(－12，－33)D ．(－12，32)3．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列结论最确切的是(C) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 4．若∠A ＋∠B ＝90°，且cosB ＝32，则tanA 的值为(D)A.33 B.22C ．1 D. 3 5．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝80°．6．(绍兴中考)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于60°． 7．计算：(1)2cos45°－tan60°；解：原式＝2－ 3.(2)2sin 260°＋cos30°－33tan30°·tan45°. 解：原式＝7＋336.8．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，测得∠CBD ＝60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．(结果精确到个位，3≈1.73)解：在Rt △CBD 中，CD ＝CB ·sin60°＝20×32≈17.3(米)， ∴CE ＝CD ＋DE ＝17.3＋1.5≈19(米)．知识点2 同角三角函数之间的关系9．先完成下列填空，再按要求回答下列问题：(1)①sin30°＝12，cos302sin 230°＋cos 230°＝1；②sin452cos452sin 245°＋cos 245°＝1；③sin602cos60°＝12，sin 260°＋cos 260°＝1； 观察上述等式，猜想：sin 2A ＋cos 2A ＝1．(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．完成下列求sinA ，cosA 及sin 2A ＋cos 2A 的值的过程．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝（a ）c ，cosA ＝（b ）c.在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2＋b 2＝c 2． ∴sin 2A ＋cos 2A ＝（a 2）c 2＋（b 2）c 2＝（c 2）c2＝1； (3)请根据(2)的条件，表示出tanA 的值，分析出(2)中sinA ，cosA 与tanA 三者之间满足什么关系； (4)已知α为一个锐角，sin α＝45.求cos α，tan α.解：(3)tanA ＝a b ；tanA ＝sinAcosA.(4)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝45，α为锐角，∴cos α＝35，tan α＝sin αcos α＝43.中档题10．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于(C)A.12B.22C.32D. 311．在△ABC 中，若|sinA －12|＋(33－tanB)2＝0，则∠C 的度数为(D)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．已知∠A 为锐角，且tanA ＝23，那么下列判断正确的是(B)A ．0＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°13．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A)A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米14．如图，将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是492cm 2.15．若规定sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15416．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值． 解：由sin(α＋15°)＝32，得α＝45°. ∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3. 17．(丽水中考)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtanA＝2 3.∴EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sinE ＝ 6. ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.18．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AGAF的值．解：在△CAD 与△ABE 中，AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE.∴∠ACD ＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE ＝60°.∴∠AFG ＝∠ACD ＋∠CAE ＝60°. 在直角△AFG 中，sin ∠AFG ＝AGAF ，∴AG AF ＝sin60°＝32. 综合题19．如图，两张宽度都为3 cm 的纸条交叉重叠在一起，其中∠α＝60°，求重叠(阴影)部分的面积．解：过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD. ∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠ABC ＝∠ADF.∵纸条的宽度都是3， ∴AE ＝AF ＝3.在△ABE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ADF.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝60°，sin ∠ADF ＝AF AD ，∴AD ＝2 3 cm.∴CD ＝AD ＝2 3 cm.∴重叠(阴影)部分的面积为CD ·AF ＝23×3＝63(cm 2).1.2 锐角三角函数的计算第1课时 利用计算器求锐角三角函数值基础题知识点1 用计算器求已知锐角的三角函数值1．(烟台中考)如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos 55＝B. 2cos 550＝C. 2cos 55＝D.255cos ＝2．cos55°和sin36°的大小关系是(C)A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＝sin36°C ．cos55°＜sin36°D ．不能确定 3．下面四个数中，最大的是(C)A.5－ 3 B ．sin88° C ．tan46°D.5－124．用科学计算器计算，下面结果不正确的是(D)A ．175＝1 419 857B.19＝4.358 898 944C ．sin35°＝0.573 576 436D ．2sin30°12′<sin60°24′ 5．计算(结果保留小数点后四位)．(1)sin23°5′＋cos66°45′；解：sin23°5′＋cos66°45′≈0.786 8.(2)sin 27.8°－tan15°8′.解：sin 27.8°－tan15°8′≈－0.252 0.6．(1)用计算器求：sin20°≈0.342_0；sin40°≈0.642_8；sin60°≈0.866_0；sin80°≈0.984_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：sin20°<sin40°<sin60°<sin80°； (2)用计算器求：cos15°≈0.965_9；cos35°≈0.819_2；cos55°≈0.573_6；cos75°≈0.258_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：cos15°>cos35°>cos55°>cos75°； (3)用计算器求：tan10°≈0.176_3，tan30°≈0.577_4，tan50°≈1.191_8，tan80°≈5.671_3．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接tan10°<tan30°<tan50°<tan80°.观察你能得到：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．知识点2 用计算器解决与三角函数有关的实际问题 7．如图，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝8.035，∠A ＝27°5′3″，求a ，b(精确到0.000 1)．解：∵sinA ＝sin27°5′3″≈0.455 3， ∴sinA ＝ac≈0.455 3.∴a ≈8.035×0.455 3≈3.658 3. ∵cosA ＝cos27°5′3″≈0.890 3， ∴cosA ＝bc≈0.890 3，∴b ≈8.035×0.890 3≈7.153 6.8．(呼伦贝尔中考)如图，厂房屋顶人字架的跨度BC ＝10米，D 为BC 的中点，上弦AB ＝AC ，∠B ＝36°，求中柱AD 和上弦AB 的长．(结果保留小数点后一位)解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝10米， ∴DC ＝BD ＝5米，在Rt △ADC 中，∠B ＝36°，∴tan36°＝ADBD ，即AD ＝BD ·tan36°≈3.6(米)．cos36°＝BD AB ，即AB ＝5cos36°≈6.2(米)．答：中柱AD 的长为3.6米，上弦AB 的长为6.2米．中档题9．(威海中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D)A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝10．如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，定点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在刻度尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为2.7 cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)11．(1)用计算器计算并验证sin25°＋sin46°与sin71°之间的大小关系；(2)若α、β、α＋β都是锐角，猜想sin α＋sin β与sin(α＋β)的大小关系； (3)请借助如图的图形证明上述猜想．解：(1)sin25°＋sin46°>sin71°.sin25°＋sin46°＝0.423＋0.719＝1.142， sin71°＝0.946，∴sin25°＋sin46°>sin71°. (2)sin α＋sin β>sin(α＋β)． (3)证明：∵sin α＋sin β＝AB OA ＋BC OB ，sin(α＋β)＝AE OA， ∵OB<OA ，∴AB OA ＋BC OB >AB OA ＋BC OA ＝AB ＋BC OA. ∵AB ＋BC>AE ，∴AB OA ＋BC OB >AE OA.∴sin α＋sin β>sin(α＋β)．12．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)解：小敏乘此电梯不会有碰头危险，姚明乘此电梯会有碰头危险． 理由如下：由题意可知AC ∥BD ， ∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E ， 在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAC，∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04＜2.26. ∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78， ∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．综合题13．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处(点G 在FE 的延长线上)．经测量，兵兵与建筑物的距离BC ＝5米，建筑物底部宽FC ＝7米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度AB ＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°.(1)求风筝距地面的高度GF ；(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN ，梯脚M 在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：(1)过A 作AP ⊥GF 于点P ，则AP ＝BF ＝12，AB ＝PF ＝1.4，∠GAP ＝37°， 在Rt △PAG 中，tan ∠PAG ＝GPAP ，∴GP ＝AP ·tan37°≈12×0.75＝9(米)． ∴GF ＝9＋1.4≈10.4(米)． (2)由题意可知MN ＝5，MF ＝3，∴在Rt △MNF 中，NF ＝MN 2－MF 2＝4(米)．∵10.4－5－1.65＝3.75＜4， ∴能触到挂在树上的风筝．第2课时 已知三角函数值求锐角的度数基础题知识点1 已知一个角的三角函数值求这个角的度数1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则∠A 的度数为(B)A ．53.48°B ．53.13°C ．53.13′D ．53.48′2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(D)A.tan 2÷＝B.tan 2÷DMS ＝C.2ndF tan （2÷3）＝D.2ndF tan （2÷3）DMS ＝3．已知sin α＝45，α为锐角，则下列选项正确的是(C)A ．α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．α＞60° 4．根据所给条件求锐角∠α.(精确到1″)(1)已知sin α＝0.477 1；解：已知sin α＝0.477 1，∠α≈28.50°＝28°30′0″.(2)已知cos α＝0.845 1；解：已知cos α＝0.845 1，∠α≈32.31°＝32°18′36″.(3)已知tan α＝1.410 6.解：已知tan α＝1.410 6，∠α≈54.66°＝54°39′36″.5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝13，AD ⊥BC.求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65，∴∠BAD ≈40°32′，∴∠BAC ≈2∠BAD ≈81°4′，∠B ＝∠C ≈49°28′. 故△ABC 的三个内角分别为81°4′，49°28′，49°28′. 知识点2 已知锐角三角函数求角度在实际问题中的应用6．如图所示，在加工垫模时，需计算倾斜角α，根据图示数据，可得α≈22°9′12″．(结果精确到1″)7．如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8 cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度α(结果精确到1″)．解：由题意，得在Rt △ABC 中，tan α＝AC BC ＝6.39.8，∴∠α≈32°44′7″.中档题8．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为(C)A ．37°B ．41°C ．37°或41°D ．以上答案均不对9．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是(C)A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则∠A ≈18°26′．(结果精确到1′)11．(厦门中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 边上的中点，若AC ＝10，DC ＝25，则BO ＝5；∠EBD 的大小约为18°26′.(参考数据：tan26°34′≈12)12．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.如果关于x 的方程3x 2sin α－4xcos α＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围．解：由Δ＝16cos 2α－24sin α＝16(1－sin 2α)－24sin α≥0，得2sin 2α＋3sin α－2≤0. ∴(sin α＋2)(2sin α－1)≤0. ∵sin α＋2>0，∴2sin α－1≤0， sin α≤12，α≤30°.∴0<α≤30°.13．如图是某公园六一前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度为AC ＝2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4 m.(1)求滑梯AB 的长(结果精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？解：(1)由题意，知AB ＝AC 2＋BC 2＝25≈4.5(m)． ∴滑梯AB 的长约为4.5 m. (2)在Rt △ABC 中， tan ∠ABC ＝AC BC ＝12，∴∠ABC ≈27°＜45°.∴这架滑梯的倾斜角符合要求．14．如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求：(1)AB 边上的高(结果精确到0.01)； (2)∠B 的度数(结果精确到1′)．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sinA ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sinA ＝9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cosA ＝AH AC， ∴AH ＝AC ·cosA ＝9cos48°.在Rt △BCH 中，tanB ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.综合题15．数学教师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．解：(1)①如图1中，在△AMC 和△CNB 中，AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝BN ， ∴△AMC ≌△CNB.∴AC ＝BC ，∠ACM ＝∠CBN. ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°， ∴∠ACM ＋∠BCN ＝90°.∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∴α＋β＝45°.②如图2中，设正方形边长为1，则CE ＝1，AE ＝2，BE ＝2，∴EC BE ＝12＝22，BE AE ＝22.∴EC BE ＝BEAE. ∵∠CEB ＝∠AEB ，∴△CEB ∽△BEA. ∴∠CAB ＝∠CBE ＝β.∴∠BED ＝∠ECB ＋∠CBE ＝α＋β.∵DE ＝DB ，∠D ＝90°，∠BED ＝45°，∴α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β.在△MFN 和△NHO 中，MF ＝NH ，∠MFN ＝∠NHO ，FN ＝OH ，∴△MFN ≌△NHO.∴MN ＝NO ，∠MNF ＝∠NOH. ∵∠NOH ＋∠ONH ＝90°，∴∠ONH ＋∠MNF ＝90°.∴∠MNO ＝90°. ∴∠NOM ＝∠NMO ＝45°. ∴α－β＝45°.1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝27，AC ＝21，则∠A ＝(D)A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，CD ⊥AB 于点D ，则tan ∠BCD 的值为(B)A.513B.512C.125D.13123．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝12．4．已知：△ABC 中，∠C ＝90°.(1)a ＝6，b ＝23，求∠A 、∠B 、c ； (2)a ＝24，c ＝242，求∠A 、∠B 、b.解：(1)∵在Rt △ABC 中，tanA ＝ab ，∴tanA ＝623＝ 3.∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－60°＝30°.∴c ＝2b ＝2×23＝4 3.(2)∵在Rt △ABC 中，根据勾股定理有b 2＝c 2－a 2，∴b ＝24.∴∠A ＝∠B ＝45°.知识点2 已知一边一角解直角三角形5．如图是教用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为(C) A ．30 3 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AD ＝m ，∠A ＝α，那么BC 的长为(C)A ．m ·tan α·cos α B.m ·cos αtan αC.m ·tan αcos αD.m ·tan αsin α7．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(D)A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50° 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝35°，b ＝103，求∠B ，a 和c.解：∠B ＝90°－35°＝55°， a ＝b ·tan35°≈12.13，c ＝b cos35°≈21.14. 中档题9．锐角△ABC 中，∠B ＝60°，AD ⊥BC ，AD ＝3，AC ＝5，则BC 的长为(A)A ．4＋ 3B ．7C ．5.5D ．4＋2 310．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连结BD ，则tan ∠DBC 的值为(A)A.13B.2－1 C ．2－ 3D.1411．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为(B)A ．2B.433C ．2 3D ．4 312．(衢州中考)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是(B)A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm13．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝33，那么CE 等于(D)习题解析A ．2 3B ．33－2C ．5 2D ．4314．(滨州中考)如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．15．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cosC ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示为14a 2．16．(襄阳中考)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1. 在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22. 综合题17．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠ABF ＝90°.∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠EFD ＝90°.∴∠ABF ＝∠EFD.∴△ABF ∽△DFE. (2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝22a. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF. 又∵△ABF ∽△DFE ， ∴EF BF ＝DF AB ＝22a 4a ＝22. ∴tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.第2课时 坡度与圆弧问题基础题知识点1 解决坡角、坡比问题1．(巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(B)A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10°米D ．AB ＝ 1.2cos10°米2．(丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是(B)A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m3．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为10m.4．(上海中考)已知传送带与水平面所成斜坡的坡比i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．5．如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角∠CBD ＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD ；(2)求斜坡新起点A 到原起点B 的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)解：(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·sin12°≈10×0.21＝2.1(米)． (2)在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos12°≈10×0.98＝9.8(米)． 在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan5°≈2.10.09≈23.33(米)， AB ＝AD －BD ≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)． 知识点2 在圆(扇形)中解直角三角形6．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为(D) A ．1B.203C ．3D.1637．如图，以AB 为直径的圆O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE ＝3，CE ＝1，则弧BD 的长是(B)A.3π9 B.23π9 C.3π3 D.23π38．(遵义中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m(计算结果精确到0.1 m)．(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝1.5m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？(参考数据：2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)解：过点C 作CM ⊥DF ，交DF 于点M ，过点C 作CE ⊥DO ， 在Rt △CEO 中，∠CEO ＝90°， ∴cos ∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC ·cos ∠COE.∵OB ＝OC ＝3 m ，∠COE ＝55°， ∴OE ＝3·cos55°≈1.71 (m)． ∴ED ＝3＋0.6－1.71≈1.9(m)． ∴CM ＝ED ≈1.9 m.∵成人的“安全高度”为2 m ， ∴成人是安全的．中档题9．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(A)A ．(6＋3)米B ．12米C ．(4＋23)米D ．10米10．如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE的长是(D)A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3D ．3＋4 311．如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD 的坡度为1∶1.2，斜坡BC 的坡度为1∶0.8，现测得放水前的水面宽EF 为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为6米．则放水后水面上升的高度是1.1米．12．(贵阳中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE ∥BC ，BD ＝1 700 m ，∠DBC ＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m)解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M.由题意可得EM ⊥AC ，DF ＝MC ，∠AEM ＝29°.在Rt △DFB 中，sin80°＝DFDB ，则DF ＝BD ·sin80°，AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700·sin80°，在Rt △AME 中，sin29°＝AMAE ，故AE ＝AMsin29°≈238.9.答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.13．(泰州中考)如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上．(1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方形货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ．将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(5≈2.236，结果精确到0.1 m)解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8(m)．(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H. ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴△DGH ∽△BSH.∴GH GD ＝12.∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m.∴DH ＝12＋22＝5(m)，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5(m)．设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ，∴x 2＋(2x)2＝52， ∴x ＝5，∴DS ＝5＋5＝25(m)≈4.5 m.综合题14．如图，点A 、B 、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB 、BC 表示连结缆车站的钢缆，已知A 、B 、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ′、BB ′、CC ′分别为110米、310米、710米，钢缆AB 的坡度i 1＝1∶2，钢缆BC 的坡度i 2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A 到C 直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，则△AFB、△BDC、△AEC 都是直角三角形，四边形AA′B′F、BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200，CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400.∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400.又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200.∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600.∴在Rt△AEC中，AC＝1 000米．答：钢缆AC的长度是1 000米．第3课时 方位角与仰角、俯角问题基础题知识点1 与方位角有关的实际问题1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM ＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置(A)A ．50 3B ．40C ．30D ．202．如图，一艘船从某港口A 出发，以10海里/小时的速度向正北航行，从港口A 处测得一礁石C 在北偏西30°的方向上，如果这艘船上午8点从港口A 出发10点到达小岛B ，此时在小岛B 处测得礁石C 在北偏西60°方向上，则小岛B 与礁石C 的距离是(C)A ．40海里B ．30海里C ．20海里D ．10海里3．下面是张悦、王强的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了．”王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”则医院与电影院相距500米．4．(泸州中考)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里． ∵在Rt △APC 中，∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33x. ∵在Rt △APB 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近． 知识点2 与仰角、俯角有关的实际问题5．湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50米的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)(C)A ．34米B ．38米C ．45米D ．50米6．我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险．理由如下：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. ∵在△AEC 中，∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60，∴AE ＝203≈34.64.又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64.∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险．中档题7．(重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(D)(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45) A ．30.6 B ．32.1 C ．37.9 D ．39.48．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时，轮船离灯塔最近？(A)A ．1小时 B.3小时 C ．2小时D ．23小时9．(乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时． 由题意得∠ABC ＝45°＋75°＝120°， AB ＝12，BC ＝10x ，AC ＝14x ，过点A 作AD ⊥CB 交CB 的延长线于点D ， 在Rt △ABD 中，AB ＝12，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos60°＝6，AD ＝AB ·sin60°＝6 3. ∴CD ＝10x ＋6.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得 (14x)2＝(10x ＋6)2＋(63)2，解得x 1＝2，x 2＝－34(不合题意，舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．10．(绍兴中考)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到1 m ，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)．解：(1)延长PQ 交直线AB 于点C ， ∵∠PBC ＝60°，∴∠BPQ ＝90°－∠PBC ＝90°－60°＝30°.(2)设PQ ＝x ，则QB ＝QP ＝x ， 在△BCQ 中，BC ＝x ·cos30°＝32x ，QC ＝12x. 在△ACP 中，CA ＝CP ，∴6＋32x ＝12x ＋x ， 解得x ＝23＋6.∴PQ ＝23＋6≈9，即该电线杆PQ 的高度约为9 m.综合题11．(湘西中考)如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向(北偏东45°)以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离602千米的地方有一城市A.(1)A 市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O 的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B ，问：B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．解：(1)作AD ⊥OC ，易知台风中心与A 市的最近距离为AD 的长度． ∵由题意得∠COA ＝45°，OA ＝60 2 km ， ∴AD ＝DO ＝602×22＝60(km)． ∵60>50，∴A 市不会受到此台风的影响． (2)作BG ⊥OC 于点G.∵由题意得∠BOC ＝30°，OB ＝80 km ， ∴BG ＝12OB ＝40 km.∵40<50，∴B 市会受到台风影响．假设BE ＝BF ＝50 km ，E 、F 两点在OC 上，且E 点离点O 较近，由题意知，台风从E 点开始影响B 城市到F 点影响结束，∴EG ＝BE 2－BG 2＝30(km)．∴EF ＝2EG ＝60 km. ∵风速为40 km/h.∴60÷40＝1.5(小时)． ∴影响时间约为1.5小时．章末复习(五) 解直角三角形基础题知识点1 锐角三角函数的定义1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则下列三角函数表示正确的是(A)A ．sinA ＝23B ．cosA ＝23C ．tanA ＝32D ．tanB ＝322．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于(C)A. 5B.255C.55D.233．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为点M ，点P 为圆上一点，坐标为(3，1)，则cos ∠POM 2知识点2 特殊角的三角函数值的计算 4．计算（tan30°－1）2的值是(A)A ．1－33B.3－1C.33－1 D ．1－ 35．在△ABC 中，(2cosA －2)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC 一定是(D)A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 知识点3 解直角三角形6．(牡丹江中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于(A)A ．2B ．3C ．3 2D ．2 37．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2，b ＝1，则a B ＝30°．8．(呼伦贝尔中考)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．解：∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5. ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝13.∴sinC ＝AD AC ＝1213.知识点4 解直角三角形的实际应用9．(金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(D)A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.4tan θ平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米10．(资阳中考)北京时间2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A 、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)解：作CD ⊥AB 交AB 延长线于点D ，设CD ＝x 米． Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，所以tan25°＝CDAD ≈0.5，所以AD ＝CD0.5＝2x.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x2x －4＝3，解得x ≈3. ∴生命迹象所在位置C 的深度约为3米．中档题11．(绵阳中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠C ＝72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为(C)A.5－12B.5－14C.5＋14D.5＋12。

2020年浙教新版九年级数学下册《第1章解直角三角形》单元测试卷题及答案解析一．选择题（共12小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．3．如果∠A为锐角，且sin A＝0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°5．在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么tan A的值为（）A．B．C．D．6．已知α是锐角，且sinα+cosα＝，则sinα•cosα值为（）A．B．C．D．17．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B＝（）A．B．C．D．8．在△ABC中，∠C＝90°，若，则cos B的值为（）A．B．C．2D．9．sin30°的值等于（）A．B．C．D．10．sin45°的值是（）A．B．C．D．11．下面四个数中，最大的是（）A．B．sin88°C．tan46°D．12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（）A ．2B．4C．D．二．填空题（共8小题）13．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是．14．比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B＝．16．若sin28°＝cosα，则α＝度．17．2cos30°＝．18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．19．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．20．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是．三．解答题（共8小题）21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．23．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．25．为了方便居民低碳出行，聊城市公共自行车租赁系统（一期）试运行．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）26．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．27．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）28．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）2020年浙教新版九年级数学下册《第1章解直角三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，∴AB＝，A．sin A＝＝＝，故此选项错误；B．cos A＝＝，故此选项错误；C．tan A＝＝，故此选项正确；D．cot A＝＝，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如果∠A为锐角，且sin A＝0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°【分析】由sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin A ＝0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．【解答】解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin A ＝0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A＜45°．故选：B．【点评】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．5．在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么tan A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据sin A＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A的值．【解答】解：由sin A＝知，设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x，可得tan A＝＝＝．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．6．已知α是锐角，且sinα+cosα＝，则sinα•cosα值为（）A．B．C．D．1【分析】把所求式子化为完全平方的形式，再把sin2α+cos2α＝1代入即可．【解答】解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+2sinαcosα＝（）2＝，∴sinαcosα＝（﹣1）÷2＝．故选：C．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来变形求值的．7．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B＝（）A．B．C．D．【分析】现根据∠A的正切值求出b、c之间的关系，然后根据勾股定理求出a，根据正切函数的定义求解．【解答】解：由cos A＝b＝，设b＝3x，则c＝5x．由勾股定理知，a＝4x．∴tan B＝＝．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，求锐角三角函数值，可用设合适参数，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解．8．在△ABC中，∠C＝90°，若，则cos B的值为（）A．B．C．2D．【分析】在直角三角形中，互余的两个角的正弦和余弦相等，即可求cos B．【解答】解：如右图所示，∠C＝90°，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B＝．故选：A．【点评】本题考查了互余三角函数的关系．知道互余的两个角的正弦和余弦相等．9．sin30°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin30°＝，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．10．sin45°的值是（）A ．B．C．D．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：sin45°＝．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．11．下面四个数中，最大的是（）A ．B．sin88°C．tan46°D．【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；B、sin88°≈0.999；C、tan46°≈1.036；D、≈≈0.568．故tan46°最大，故选：C．【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（）A．2B．4C．D．【分析】先由等腰直角三角形的性质得出BC＝AC＝6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD＝AC﹣DC即可求解．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，∴BC＝AC＝6．在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，∴tan∠DBC＝＝，∴DC＝BC＝4，∴AD＝AC﹣DC＝6﹣4＝2．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．二．填空题（共8小题）13．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB 的值是．【分析】观察图形，可知在直角△COD中，OD＝1，CD ＝2，首先由勾股定理求出OC的值，再根据锐角三角函数的定义求值．【解答】解：∵在直角△COD中，OD＝1，CD＝2，∴OC＝，∴cos∠AOB＝＝．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．14．比较下列三角函数值的大小：sin40°＜sin50°．【分析】根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．【解答】解：∵40°＜50°，∴sin40°＜sin50°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B＝．【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tan B的值＝∠B的对边与邻边之比．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝不妨设BC＝3x，则AB＝5x，根据勾股定理可得：AC＝＝4x，∴tan B＝＝．故答案为：．【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．16．若sin28°＝cosα，则α＝62度．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵sin28°＝cosα，∴α＝90°﹣28°＝62°．【点评】掌握互为余角的正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．17．2cos30°＝．【分析】根据cos30°＝，继而代入可得出答案．【解答】解：原式＝．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：连接AE、EF，如图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴sin∠FAE＝＝，即sin∠BOD＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．19．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）（2+1.6）m．【分析】已知小丽与树之间的距离为6m即AD＝7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB＝1.6m可得出树的高度．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2，又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．20．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（10﹣2）m．【分析】过点B作BF⊥CE于点F，分别根据∠BAE＝30°，斜坡BC的坡度i＝1：5，在Rt△ABF和Rt△BCF中求出AF、CF的长度，然后求出AC的长度．【解答】解：如图，过点B作BF⊥CE于点F，则BF＝DE＝2m，在Rt△ABF中，∵∠BAE＝30°，∴AF＝＝＝2（m），在Rt△BCF中，∵BF：CF＝1：5，∴CF＝5×2＝10，则AC＝CF﹣AF＝（10﹣2）m．故答案为：（10﹣2）m．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，注意理解坡度与坡角的定义．三．解答题（共8小题）21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF ＝AD＝BD•cos∠ADB＝8×＝4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A 不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK＝FK时；②F为顶点，即AF＝FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF＝；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN ⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，∴KN＝NF•tan∠F＝2cm．∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，∴KP＝KF＝2cm．∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．23．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝（）2﹣2×﹣×＝3﹣1﹣1＝1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cos A＝9，∵cos B＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝，∴BD＝4，∴AB＝AD+BD＝9+4．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．25．为了方便居民低碳出行，聊城市公共自行车租赁系统（一期）试运行．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD＝＝＝15（cm）；（2）AE＝AD+CD+EC＝15+30+15＝60（cm），如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH＝，则EH＝AE•sin∠EAH＝AB•sin75°≈60×0.97＝58.2（cm）．答：点E到AB的距离为58.2 cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．26．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．【分析】先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．【解答】解：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE＝30m，∴AE＝18米，在RT△ADE中，AD＝＝6米∵背水坡坡比为1：2，∴BF＝60米，在RT△BCF中，BC＝＝30米，∴周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC＝6+10+30+88＝（6+30+98）米，面积＝（10+18+10+60）×30÷2＝1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平方米．【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，解答本题关键是理解坡比所表示的意义．27．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．28．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝197.6×≈113.9km，∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．。

1.1 锐角三角函数(2)(见B 本51页)A 练就好基础 基础达标1．tan 260°－1的值等于( D ) A.13B ．3C.12D ．22．已知锐角α，若sin α＝32，则cos α的值为( B ) A.23B.12C.22D.323．令a ＝sin 60°，b ＝cos 45°，c ＝tan 30°，则它们之间的大小关系是( A ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a4．如图所示，某地修建高速公路，要在B 地与C 地之间修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)．为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°.则B ，C 两地之间的距离为( A )第4题图A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 mD.10033 m 5．如图所示，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅第5题图直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则坡角∠A 的大小是( A ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则tan B ＝__1__． 7．计算：3tan 30°－2tan 60°cos 60°＝__－23__．8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，则斜边上的中线长为__2__． 9．计算：(1)sin 60°＋cos 60°＝__3＋12__． (2)sin 45°cos 45°＝__1__，sin 60°cos 60°＝__3__． (3)6tan 230°－3sin 60°－2sin 45°＝__12－2__．10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长．解：在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，∵AD 平分∠BAC，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴AD ＝ACcos 30°＝4.B 更上一层楼 能力提升11．点M(－sin 60°，cos 60°)关于原点对称的点的坐标是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3212．当∠A＝60°时，下列不等式中正确的是( D )A ．tan A ＞cos A ＞sin AB ．cos A ＞tan A ＞sin AC ．sin A ＞tan A ＞cos AD ．tan A ＞sin A ＞cos A13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B 的对边是a ，b ，且满足a 2－ab －b 2＝0，则tan A 等于( B ) A ．1B.1＋52C.1－52D.1±5214．我们观察课本中特殊角的三角函数值，可以发现sin 60°＝cos 30°，sin 45°＝cos 45°，sin 30°＝cos 60°.猜测并验证得出：若sin α＝cos β，则α与β的数量关系为__α＋β＝90°__．15．潍坊中考关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于__30°__． 16．计算：(1)3tan 245°－3(sin 60°－2tan 30°)； (2)3tan 30°－2tan 60°sin 60°＋cos 225°＋sin 225°.解：(1)原式＝3×12－3⎝⎛⎭⎪⎫32－2×33＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝3＋12＝3.5.(2)原式＝3×33－2332＋1＝－2＋1＝－1.17．如图所示，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．第17题图解：∵BD＝AB ，∴∠A ＝∠ADB＝30°×12＝15°，设DC ＝1，则BD ＝AB ＝2，BC ＝3，C 开拓新思路拓展创新18．鄂州中考如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连结FC，则sin∠ECF＝( D)第18题图A.34B.43C.35D.4519．烟台中考如图所示，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发(P点与O 点不重合)，沿O→C→D的路线运动．设AP＝x，sin∠APB＝y，那么y与x之间的关系图象大致是( C)第19题图A BC D。

第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第2课时)1．特殊角三角函数值.2.sinα随着α的增大而增大，cosα随着α的增大而减小，tanα随着α的增大而增大．A组基础训练1．tan30°的值等于( )A.12B.32C.33D．－32．已知α为锐角，且tan(90°－α)＝3，则α的度数为( )A．30° B．60° C．45° D．75°3．若∠A为锐角，cosA<32，则∠A的取值范围是( )A．30°<∠A<90° B．0°<∠A<30°C．0°<∠A<60° D．60°<∠A<90°4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝22，则下列最确切的结论是( )A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝60°，则sinA＋sinB的值等于________．6．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC＝2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图1．如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，那么∠α的余弦值为________．第7题图8.（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝__________．9．求下列各式的值：(1)2－2sin30°×cos30°；(2)3sin60°－2cos45°＋38；(3)sin30°＋cos230°×tan45°；(4)（4sin30°－tan60°）（tan60°＋4cos60°）.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝6，求BC 、AB 的长．第10题图B 组 自主提高11．若规定sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15°＝________．12．小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度(结果保留根号)．第12题图13．通过书P9课内练习第3题知道：对于任意锐角α，都有tan α＝sin αcos α.运用此结论，解答下题：已知锐角α，且tan α＝3，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．C组综合运用14．(遂宁中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：第14题图sin2A1＋sin2B1＝________；sin2A2＋sin2B2＝________；sin2A3＋sin2B3＝________．(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A＋sin2B＝________；(2)如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝513，求sinB.下册 第1章 解直角三角形 1．1 锐角三角函数(第1课时)【课时训练】 1－4.CADC 5.326. 407. 1258.2239. (1)∵∠C＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，sin B ＝1213，cos B ＝513； (2)tan A ＝512，tan B ＝125.发现tan A ×tan B ＝1.10. cos A ＝53，tan A ＝255. 11. ∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DCB ＝∠A，∠ACD ＝∠B，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴sin ∠DCB ＝sin ∠A ＝BC AB ＝45，sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝AC AB ＝35. 12. C13. (1)OA ＝4，OB ＝2； (2)tan α＝tan ∠BAO ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠BAO ＝OB AB ＝225＝55.14. .∵BE⊥AC，∴∠EAH ＋∠AHE＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C＝90°.∴∠AHE ＝∠C.∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2，∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AE HE ＝25＝255.∴tan C ＝255.15. (1) 3 (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43.。