江苏省2020届高三第二次模拟考试数学试卷(有答案)

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}1x x <，B ＝{}03x x <<，则A B ＝ ．2．已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 3．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为 ． 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 8．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．9．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b++-的最小值为 ． 10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为 ．11．过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 12．已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为 ．14．已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求证：CE ⊥AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的极小值不超过2a，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得1()f x ＝2()f x 成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n N *∈，1223a a a a ++11(1)n n n a a n a a λ-+=-恒成立．（1）如果11a ，21a ，31a 成等差数列，求实数λ的值； （2）已知λ＝1．①求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②已知数列{}n a 中，12a a ≠．数列{}n b 是公比为q 的等比数列，满足111b a =，221b a =，31ib a =(i N *∈)．求证：q 是整数，且数列{}n b 中的任意一项都是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 10 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1A -＝ 0 1b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(6π)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)．。

2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I ． 2．（5分）i 是虚数单位，则||1ii+的值为 ． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 ．6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为 ． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+„的一个对称中心是(3π，0)，则ϕ的值为 ． 8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为 ．9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）2>-，f （2）3mm=-，则m 的取值范围是 ． 10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD =u u u r u u u rg ．11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = ．13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，则s p m n -= ．14．（5分）函数2()()()()4x x t x t f x x x t ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）证明：DE ⊥平面SBC ．16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3a =，22b =，求sin(2)B A +的值．17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（13，且点3在椭圆上， ①求椭圆的方程； ②设3(1,)P -，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．（2）设(,0)D b ，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，2DF ED =u u u r u u u r，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知函数()xe f x ax alnx x =-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数1()()()g x f x a lnx x=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I {1，2} ． 【解答】解：{0A =Q ，1，2，3}，{|02}B x x =<„； {1A B ∴=I ，2}．故答案为：{1，2}．2．（5分）i 是虚数单位，则||1ii+的值为 ．【解答】解：||||1|1|i i i i ===++，． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 54【解答】解：由渐近线方程为340x y ±=，即渐近线方程为34y x =±，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b -=>，则渐近线方程为b y x a =±，即有34b a =，又2222229251616c a b a a a =+=+=，即54c a =，可得54e =． 故答案为：54． 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 5049 ．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出10099982S =+++⋯+，100999825049+++⋯+=Q ，故答案为：5049．5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 16 ．【解答】解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为： 8003616800600400⨯=++．故答案为：16．6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为25． 【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书， 某同学从中任意选出2本书， 基本事件总数2510n C ==，选出的2本书编号相连包含的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，∴选出的2本书编号相连的概率为42105p ==． 故答案为：25． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+„的一个对称中心是(3π，0)，则ϕ的值为6π-．【解答】解：()f x Q 的一个对称中心是(,0)3π，232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，得6k πϕπ=-，k Z ∈，||2πϕQ „，∴当0k =时，6πϕ=-，故答案为：6π-8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为13．【解答】解：将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图， 连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，1AB =Q ，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，∴当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：111113D ABC C ABD ABD V V S B C --∆==⨯⨯111132AB BD B C =⨯⨯⨯⨯ 111112323=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：13．9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）2>-，f （2）3m m=-，则m 的取值范围是 (-∞，1)(0-⋃，3) ． 【解答】解：由题意f （1）2>-，函数是奇函数， 故有(1)2f -<又周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3， 故f （2）(1)2f =-<f Q （2）3m m=-32m m∴-< 当0m >时，解得03m << 当0m <时，解得1m <-所以m 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，3) 故答案为(-∞，1)(0-⋃，3)10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD =u u u r u u u r g 4- ．【解答】解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则1(2A ，3)-，1(2B -3)，3C ，3(1,)D -，∴(1AB =-u u u r ，23)，(2,3)CD =-u u u r， ∴264AB CD =-=-u u u r u u u r g ．故答案为：4-．11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 11 ．【解答】解：Q 关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+…的解集为[0，22]， 12222da d -∴=-，且02d <， 即12102a d =->， 则111100a a d =+>，121110a a d =+<，故使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11．12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = 1- ．【解答】解：由正弦定理，得：222232sin b c bc A a +=+，222222sin 2b c a b c A bc+-++∴=cos 2b cA c b =++，sin cos 2b c A A c b∴-=+，∴)42b c A c b π-=+… 当且仅当sin()14A π-=时，等号成立， (0,)A π∈Q ，(44A ππ∴-∈-，3)4π，34A π∴=， 3tan tan14A π∴==-． 故答案为：1-．13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，则s p m n -= 0 ．【解答】解：设0(p x ，0)y ，则2204x y +=， 且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，(1)k k =>，222220000422(422)m n mx ny k s p sx py ⇒++--=++--⇔222222222224(4)m k sk p m n k s p ⎧=⎪=⎨⎪++=++⎩g g 消去m ，n 得22244s p k +=< 所以1s p ==，k =2m n ==， 此时0s p m n -=， 故答案为：014．（5分）函数2()()()()4x x t x t f x x x t ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 (3,4) ．【解答】解：Q 函数2()()()()4x x t x t f x x x t ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„其中0t >，∴函数(3)(),()1,4x t x t x t f x x t --⎧⎪'=⎨>⎪⎩„，当3tx <，或x t <时，()0f x '>，函数为增函数， 当3tx t <<时，()0f x '<，函数为减函数， 故当3tx =时，函数()f x 取极大值3427t ，函数()f x 有两个零点0和t ，若函数()(()1)g x f f x =-恰有6个不同的零点， 则方程()10f x -=和()1f x t -=各有三个解， 即函数()f x 的图象与1y =和1y t =+各有三个零点， 由1|44x t ty x ===， 故334142741427t t t t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，32411(3)(23)02727t t t t --=-+>得：3t >， 故不等式的解集为：(3,4)t ∈， 故答案为：(3,4)二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．（1）证明：//MN 平面ABCD ；（2）证明：DE ⊥平面SBC ．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连AC ，M Q ，N 分别为SA ，SC 的中点，//MN AC ∴， 又MN ⊂/Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， //MN ∴平面ABCD ．（5分） （Ⅱ）连结BD ，222112BD =+=Q ，2221(21)2BC =+-=，222224BD BC DC +=+==，DB BC ∴⊥，又SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，SD BC ∴⊥， SD DB D =Q I ，BC ∴⊥平面SDB ，DE ⊂Q 平面SDB ，BC DE ∴⊥，又22426SB SD DB =++= 当2SE ED =时，6EB ， 在EBD ∆与DBS ∆中，6332EB BD ==，236DB BS == ∴EB DBBD BS=， 又EBD DBS ∠=∠，EBD DBS ∴∆∆∽，90DEB SDB ∴∠=∠=︒，即DE SB ⊥．SB BC B =Q I ，DE ∴⊥平面SBC ．（12分）16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3a =，22b =sin(2)B A +的值． 【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）Qsin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++．⋯⋯（2分） 化简得，222b c a bc +-=．．⋯⋯．⋯⋯（3分）由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．⋯⋯（5分） 又0A π<<，∴3A π=．⋯⋯（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3A π=，又3a =，22b = sin 6sin b A B a ∴==g ．⋯⋯（8分） 又b a <，23cos 1B sin B ∴=-=⋯⋯（9分） 22sin 22sin cos B B B ∴==⋯（10分） 21cos212sin 3B B =-=-，⋯⋯（11分） 223sin(2)sin(2)sin 2cos cos2sin 333B A B B B πππ-∴+=+=+=⋯⋯（13分） 17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．【解答】解：（1）以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则(8,16)C ，(8,0)B ，(4,4)P -． :2OC y x ∴=；OC OD ⊥Q ，可得1:2OD y x =-，设(2,)M m m -，(,2)N n n ，(0,0)m n >>，P Q 为MN 的中点，∴2828m n m n -+=-⎧⎨+=⎩∴24585m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时4824(,)55M -，245d =；⋯．（7分）（建系2分） （2）PM PN k k =Q ，∴424244m n m n --=-++，4125m n mn ∴+=， OC OD ⊥Q ，∴1522OMN S OM ON mn ∆==gQ 412583m n mn mn +=2435m n ==时取等号， ∴19225mn …．∴59625OMN S mn ∆=…，此时245d =．答：（1）当245d =时，P 为队列MN 的中点； （2）当点M 满足245d =时，观赏效果最好．⋯．（16分）（答1分）18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>．（1）若椭圆的离心率为3，且点3(1,)在椭圆上，①求椭圆的方程；②设3(1,)P--，R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．（2）设(,0)D b，过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，2DF ED=u u u r u u u r，求椭圆离心率的取值范围．【解答】解：（1）①Q椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>3，且点3)在椭圆上，∴2222233141caa ba b c⎧=⎪⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a=，1b=，∴椭圆的方程为2214x y +=．②(1,P -，R 、S 分别为椭圆22:14x C y +=的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，(2,0)R ∴，(0,1)S ，∴直线2:212y PR x =---60y --=，(0,M ∴，直线112:1y PS x--=-，即2)220x y -+=，4N ∴，0)， ∴直线MN的方程为：3y x+=，即y =（2）设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，Q 2DF ED =u u u r u u u r ，∴2121322x b x y y =-⎧⎨=-⎩．根据题意2211222211221(32)41x y a b b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得22134a b x b +=， 连SD ，延长交椭圆于点Q ．直线SD 的方程为0x y b +-=，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标2222Q a bx a b =+，所以，222223204a b a bb a b +<<+，即4224430a a b b -+<， 解得2223b a b <<，即2223()a ac <-，∴2223c a <，c a <∴椭圆离心率e的取值范围为． 19．（16分）已知函数()xe f x ax alnx x =-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数1()()()g x f x a lnx x=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．【解答】解：（1）由函数()xe f x ax alnx x=-+，其中0a >，得22(1)(1)(1)()()x x x e a x x e ax f x x x x ----'=+=， 由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，故2(1)()()0x x e ax f x x --'=…，即0xe ax -…恒成立，即(1)xe a x x>„恒成立．令()x e g x x =，则2(1)()0xx e g x x -'=>，因此()xe g x x =在区间(1,)+∞上单调递增，所以0a e <„．（2）由()2x e a g x ax alnx x x =-++，则222(1)21(1)[(1)]()(1)x x x e x e a x g x a x x x x ----'=--+=． 由题意则()0g x '=有三个根，则(1)0x e a x --=有两个零点1x 、2x ，且1x 、2(1,)x ∈+∞， 由10x -=有一个零点，则31x =， 令()(1)x p x e a x =--，则()x p x e a '=-，∴当x lna =时()p x 取极值，(,)x lna ∈+∞时()p x 单调递增，()(1)0p lna a a lna ∴=--<，则2a e >时(1)0x e a x --=有两零点1x ，2x ，且121x lna x <<<， 要证：1231112x x x ++>， 即证1213231232x x x x x x x x x ++>（其中31)x =，即证：1212x x x x +>，即12(1)(1)1x x --<， 由11(1)x e a x =-，22(1)x e a x =-，则12212(1)(1)x x e a x x +=--， 即证：122212(1)(1)x x e a x x a +=--<； 等价于122x x lna +<，等价于212x lna x <-，由()p x 在(,)lna +∞上单调递增，即证：21()(2)p x p lna x <-， 又12()()p x p x =，则证11()(2)0p x p lna x --<， 令()()(2)G x p x p lna x =--，1x lna <<，2()(1)(21)22x lna x x G x e a x e a lna x e ax alna -∴=---+--=--+． ()20x G x e a ∴'=+…恒成立，则()G x 为增函数，∴当1x lna <<时，()()0G x G lna <=，1213231232x x x x x x x x x ∴++>，∴原结论成立．20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．【解答】解：（1）①依题意，1n a ，11n a +，12n a +成等差数列，即111122n n n a a a ++=+， 从而11111111222[2(1)]2(1)2(1)n n n n n n ++++--=--+--， 当1n 为奇数时，解得124n =-，不存在这样的正整数1n ； 当1n 为偶数时，解得124n =，所以12n =．（3分） ②依题意，1a ，_2n a ，3n a 成等差数列，即_2132n n a a a =+， 从而33222[2(1)]32(1)n n n n --=+--，当2n ，3n 均为奇数时，321221n n --=，左边为偶数，故矛盾； 当2n ，3n 均为偶数时，3221221n n ---=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 为偶数，3n 奇数时，321225n n +-=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 为奇数，3n 偶数时，321220n n +-=，即321n n -=．（8分） （2）设s a ，r a ，()t a s r t <<成等差数列，则2r s t a a a =+， 即2[2(1)]2(1)2(1)r r s s t t --=--+--， 整理得，1222(1)(1)2(1)s t r s t r ++-=-+---，若1t r =+，则2(1)3(1)s s r =-+--，因为22s …，所以(1)3(1)s r -+--只能为2或4，所以s 只能为1或2；（12分）若2t r +…，则1214322222222210s t r s r r ++++-+-+-=厖，(1)(1)2(1)4s t r -+---„， 故矛盾，综上，只能1a ，r a ，1r a +成等差数列或2a ，r a ，1r a +成等差数列，其中r 为奇数， 从而t 的最大值为3．（16分）。

10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 .'2, 求 sin (2B + A )的值.高三数学第2页共4页11. 等差数列｛a n ｝的公差为d,关于x 的不等式》x 2+( a i -2) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲.12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 2 …2sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲.2 213. 已知圆O: x +y =4与曲线 C: y=3| x — t |,曲线C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到点B 的距离之比为定值 k(k>1),则m s - n p = ▲2x(x -1) (s <t),14.函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)=f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数r 的取值范围是 ▲.二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内 作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟. 15. (本小题满分14分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB.(I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB10.如图，在由5个边长为m, —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲(I )求角A的值；(n )若a=3, b=2 .'2, 求sin (2B+ A)的值.高三数学第2页共4页(第15 题)16. (本小题满分14分)在厶ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b,c.满足壮sin Csin A + sin B10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列 { a n } 的公差为 d, 关于 x 的不等式 d 2x 2＋( a 1－2d)x ＋c>0的解集为[0,22],则使数列{a n }的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲.12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x －t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点B 的距离之比为定值 k(k>1),则m s — n p = ▲.2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列 { a n } 的公差为 d, 关于 x 的不等式 d 2x 2＋( a 1－2d)x ＋c>0的解集为[0,22],则使数列{a n }的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲.12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x －t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点B 的距离之比为定值 k(k>1),则m s — n p = ▲.2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B ＋3sin C =2sin A sin Bsin C ＋sin A , 则 tan A= ▲.2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t)，实数r 的取值范围是 ▲.二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B ＋3sin C =2sin A sin Bsin C ＋sin A , 则 tan A= ▲.2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t)，实数r 的取值范围是 ▲.二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式？x 2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式？x 2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B ＋3sin C =2sin A sin Bsin C ＋sin A , 则 tan A= ▲.2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .。

2020年江苏省苏北七市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=_____2.已知i为虚数单位，计算：3+i2−i=______．3.已知一组数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，那么x的值为．4.如下图所示的流程图，输出n的值是．5.甲盒中有200个螺杆，其中160个A型的；乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，能配成A型螺栓的概率为_______．6.△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，BC=2√3，则AB=______ ．7.已知{a n}为等差数列，a4+a9=22，a6=8，则a7=______ ．8.已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则V1V2=______．9.已知A是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为______．10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x−4)2+y2=4，动点P在直线x+√3y−2=0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为______．11. 若x >y >0，则2x 4+1y(x−y)的最小值是______．12. 平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =e ax 在点(0,1)处的切线为y =2x +m ，则a +m 的值是______ ．13. 如图，在△ABC 中，若AB =1，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，则BC = ______14. 已知函数f(x)={|log 4x|,0<x <4sin(π4x −π2),4≤x ≤12，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1<x 2<x 3<x 4时，满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2的取值范围是______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx)，n ⃗ =(cosx,cosx)，p ⃗ =(2√3,1)．(1)若m ⃗⃗⃗ //p ⃗ ，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值；(2)若x ∈(0,π3]，求函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值域．16. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN//平面AA 1C 1C ；(2)若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．17.如图，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B1B2F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1．(1)求椭圆的方程;(2)求经过点O，F且与右准线l相切的圆的方程．18.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD=x(x≥10),ED=y，使用x表示y的函数关系式；(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．19.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx．(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为−2，求a的取值范围．20.数列{a n}和{b n}中，已知a1a2a3…a n=2b n(n∈N∗)，且a1=2，b3−b2=3，若数列{a n}为等比数列．(Ⅰ)求a3及数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=2b nn2，是否存在正整数m，n(m≠n)，使c2，c m，c n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．21.已知矩阵A=[10−11]，B=[1203]，C=AB．(1)求矩阵C；(2)若直线l1：x+y=0在矩阵C对应的变换作用下得到另一直线l2，求l2的方程．22.已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(Ⅱ)设曲线C与曲线ρsinθ=1交于A、B，求|AB|．23. 已知a ，b ，c 为正实数，且a +b +c =3，证明：c2a +a 2b +b 2c ≥3．24. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25．(1)求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．25. (1)若kC n−k k =λC n−k−1k−1，用含n,k 的代数式表示λ；(2)求值：∑(−1)n C 2021−nn 2021−n 1010n=0．【答案与解析】1.答案：1解析：本题主要考查交集的运算，元素和集合的关系，属于基础题．根据题意可知3∈B，又a2+4≥4，则a+2=3，解得a=1．解：∵A={−1,1,3},B={a+2,a2+4}，且A∩B={3}，∴3∈B，∵a2+4≥4，∴a+2=3，解得a=1．经检验a=1时，A∩B={3}．故答案为1．2.答案：1+i解析：利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．解：3+i2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i．故答案为：1+i．3.答案：8解析：根据平均数的公式进行求解即可．本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．解：∵数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，∴8+9+x+10+7+6=8×6=48，解得x=8，故答案为8．4.答案：4解析：本题主要考查了程序框图，属于基础题．按照流程图，进行循环，直到满足条件输出．解：n=1，S=1，不满足题意，n=2，S=4，不满足题意，n=3，S=9，不满足题意，n=4，S=16，满足题意，输出n=4．故答案为4．5.答案：35解析：本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率，难度一般．解：从甲盒中取到A型螺杆的概率为160200=45，从乙盒中取到型螺母的概率为180240=34，则能配成型螺栓的概率为45×34=35．故答案为35．6.答案：2√2解析：解；∵∠C=π−∠A−∠B=45°，∴ABsin∠C =BCsin∠A⇒AB=BC⋅sin∠Csin∠A=2√3×√22√32=2√2．故答案为：2√2．先根据三角形的内角和为π求出∠C，再结合正弦定理即可得到答案．本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用．考查计算能力．一般在解三角形时，正弦定理和余弦定理是常用的公式．7.答案：14解析：解：∵{a n }为等差数列，a 4+a 9=22，a 6=8，∴{a 1+3d +a 1+8d =22a 1+5d =8， 解得a 1=−22，d =6，∴a 7=−22+6×6=24．故答案为：14．利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第7项的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求法． 8.答案：32 解析：解：设球的半径为r ， 由题意可得：球的体积为V 2=43πr 3；圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1=πr 2⋅2r ，则V 1V 2=2πr 34πr 33=32．故答案为：32．设出球的半径，然后求解圆柱的体积，球的体积，推出结果即可．本题考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练了等积法，是基础题．9.答案：2解析：解：A 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，∴A(a,0)，F(−c,0)，∴c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a， ∴P(−c,b 2a )，∴|PF|=b 2a ，∵△APQ 是等腰直角三角形，PF//y 轴，∴|PF|=|AF|，∴b2a=a+c，∴b2=a2+ac，即c2−2a2−ac=0，∴e2−e−2=0，解得e=2，e=−1(舍去)故答案为2．求出各点坐标，根据∵△APQ是等腰直角三角形，PF//y轴得出a，c的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．10.答案：2√393解析：解：如图，圆O：x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆C：(x−4)2+y2=4的余弦为C(4,0)，半径为2．设P(x,y)，由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，即PC2−4≥4(PO2−1)，∴(x−4)2+y2−4≥4(x2+y2−1)，整理得：3x2+3y2+8x−16≤0．又x+√3y−2=0，∴x2+x−3≤0，即|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√1+12=√13．∴|EF|=√31−x2|=√3√13=2√393．故答案为：2√393．由题意画出图形，设P(x,y)，由PB≥2PA及点P在直线x+√3y−2=0上，可得x2+x−3≤0，求出|x1−x2|的范围，在答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.答案：6解析：解：因为x >y >0，所以y(x −y)≤(y+x−y2)2=x 24，当且仅当y =x −y 即x =2y 时取等号，则2x 4+1y(x−y)≥2x 4+4x 2=2x 4+2x 2+2x 2≥3√x 4⋅2x 2⋅2x 23=6， 当且仅当2x 4=2x 2即x =1，y =12时取等号， 故答案为：6由已知结合基本不等式即可直接求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题．12.答案：3解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题．将点(0,1)代入切线方程求得m ；根据导数的几何意义，y =e ax 在x =1处的切线斜率为y′(0)，由此求解a ，故得解． 解：由题意可得y ′=ae ax ，因为曲线C 在点(0,1)处的切线为：y =2x +m ， 所以1=2×0+m ，解得m =1，且y ′|x=0=2=a ， 即：m =1，a =2， ∴a +m =3． 故答案为：3．13.答案：√7解析：解：∵在△ABC 中，若AB =1，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，∴1×3cos∠BAC =32，∴cos∠BAC =12，∴在△△ABC 中根据余弦定理得出BC 2=1+9−2×1×3×12=7， ∴BC =√7 故答案为：√7根据数量积得出1×3cos∠BAC =32，cos∠BAC =12，运用余弦定理得出BC 即可． 本题考查了平面向量的数量积在求夹角中的应用，余弦定理求解边长问题，属于中档题．14.答案：(−2,10)解析：解：作出f(x)的图象， f(x 1)=f(x 2)，即有 −log 4x 1=log 4x 2， 可得x 1⋅x 2=1，在[4,12]，f(x)的图象关于直线 x =8对称，可得x 3+x 4=16， 且4<x 3<6，x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2=x 3⋅x 4−50=x 3(16−x 3)−50=−(x 3−8)2+14，在4<x 3<6递增， 可得x 3=4时，x 3⋅x 4−50=−2；x 3=6时，x 3⋅x 4−50=10． 可得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2的取值范围是(−2,10)． 故答案为：(−2,10)．作出f(x)的图象，可得x 1⋅x 2=1，x 3+x 4=16，且4<x 3<6，再由二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查对数函数的图象和性质，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，数形结合思想方法，属于中档题． 15.答案：解：(1)由m ⃗⃗⃗ //p ⃗ 可得√3sinx =2√3cosx ， ∴tanx =2．∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sinxcosx +cos 2x =√3sinxcosx+cos 2xcos 2x+sin 2x=√3tanx+1tan 2x+1=2√3+15． (2)∵x ∈(0,π3]，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sinxcosx +cos 2x =√32sin2x +1+cos2x 2=sin(2x+π6)+12，∴2x+π6∈(π6,5π6],sin(2x+π6)∈[12,1]，∴f(x)∈[1,32].即f(x)的值域为[1,32].解析：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．(1)由m⃗⃗⃗ //p⃗求得tanx=2，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗的值．(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin(2x+π6)+1，再由x 的范围，求出f(x)的值域．16.答案：解：(1)取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP//A1B1，NP=12A1B1.在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1//AB，A1B1=AB．故NP//AB，且NP=12AB．因为M为AB的中点，所以AM=12AB．所以NP=AM，且NP//AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN//AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN//平面AA1C1C.(2)因为CA =CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB. 因为CC 1=CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC =BC ，CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC.因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB.因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN =C ， 所以AB ⊥平面CMN.解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定．(1)取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ，由题可证MN//AP ，即可得出; (2)由题可得CM ⊥AB ，再证CN ⊥平面ABC ，得到CN ⊥AB ，即可得出．17.答案：解：(1)因为△B 1B 2F 为正三角形，OF =c ，OB 2=b ，B 2F =a ，所以e =c a =OFFB 2=cos30°=√32． 准线l 的方程：x =a 2c，所以{ca=√32a 2c−c =1解之得{a =2√3c =3，于是b =√3．故椭圆方程为x 212+y 23=1；(2)设所求圆的圆心为D ，由(1)知椭圆的右准线方程为x =4， 因为圆D 过点O ，F ，且与直线x =4相切，所以可设圆心D(32， m)，半径为52， 于是圆D 的方程为(x −32)2+(y −m)2=254，∵点O(0,0)在圆D 上， ∴94+m 2=254，解得m =2或m =−2，∴所求圆的方程为(x −32)2+(y −2)2=254或(x −32)2+(y +2)2=254．解析：本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆离心率的求解及直线与圆的位置关系，属中档题． (1)可得OF =c ，OB 2=b ，B 2F =a ，可得离心率和准线方程，解方程组可得ab 的值，可得方程； (2)可得右准线方程为x =4，由题意可设圆心D(32， m)，半径为52，可得圆的方程，代入点O(0,0)可的m 的方程，解之可得答案．18.答案：解：(1)∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x ≤20，S △ADE =12S △ABC ，∴12x ⋅AEsin60°=12⋅√34⋅(20)2，故AE =200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y =√x 2+4×104x2−200，(10≤x ≤20)； (2)若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y =√x 2+4×104x 2−200≥√400−200=10√2，当且仅当x 2=4×104x 2即x =10√2时“=”成立．所以，DE 的位置应该在AD =10√2，AE =10√2米，且DE 的最小值10√2米．解析：本题主要考查函数模型应用，考查余弦定理及利用基本基本不等式求最值．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，为中档题．(1)先根据S △ADE =12S △ABC 求得x 和AE 的关系，进而根据余弦定理把x 和AE 的关系代入求得x 和y 的关系；(2)根据均值不等式求得y 的最小值，求得等号成立时的x 的值，进而得DE =10√2，即可得结果．19.答案：解：(1)a =1，f(x)=x 2−3x +lnx ，定义域为(0,+∞)，又f′(x)=1x +2x −3=(2x−1)(x−1)x．当x >1或0<x <12时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当12<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴函数f(x)的极大值为f(12)=−54−ln2， 函数f(x)的极小值为f(1)=−2．(2)函数f(x)=ax 2−(a +2)x +lnx 的定义域为(0,+∞)， 且f′(x)=(2x−1)(ax−1)x，令f′(x)=0，得x =12或x =1a ，当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1,e]上单调递增， ∴f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=−2，符合题意；当1<1a <e 时，f(x)在[1,e]上的最小值是f(1a )<f(1)=−2，不合题意； 当1a ≥e 时，f(x)在[1,e]上单调递减，∴f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=−2，不合题意． 故a 的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性、函数的极值与最值，考查分类讨论以及计算能力，属于中档题．(1)a =1时，f(x)=x 2−3x +lnx ，通过求导得到函数的极值点，从而求出极值．(2)由题意当a >0时，求导，令f′(x)=0，根据函数的单调性与导数的关系，分类讨论，求得f(x)的最小值，求得a 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)a 3=2b 32b 2=2b 3−b 2=8， 又由a 1=2得8=2q 2，∴q 2=4，解得q =2或q =−2，因为a 1a 2a 3…a n =2b n >0(n ∈N ∗)，故舍去q =−2，所以a n =2n ， 则a 1a 2a 3…a n =21+2+3+⋯+n =2n(n+1)2，所以b n =n(n+1)2．(Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =n+1n=1+1n ，假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使c 2，c m ，c n 成等差数列， 则2c m =c 2+c n ，即2(1+1m )=32+1+1n ， 所以2m =12+1n ，故n =2m4−m ， 由 n >0，得0<m <4，因为m ，n 为正整数，所以{m =2n =2(舍)或{m =3n =6， 所以存在正整数m =3，n =6，使c 2，c m ，c n 成等差数列．解析：(Ⅰ)a 3=2b 32b 2=2b 3−b 2=8，又由a 1=2得公比满足8=2q 2，解得q 再利用指数运算性质、等差数列的求和公式即可得出． (Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =n+1n =1+1n ，假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使c 2，c m ，c n 成等差数列，则2c m =c 2+c n ，即2(1+1m )=32+1+1n ，可得：n =2m4−m ，由 n >0，得0<m <4，即可得出． 本题考查了数列递推关系、指数运算性质、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)C =AB =[10−11][1203]=[12−11]． (2)设直线l 1：x +y =0上任意一点(x,y)在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′,y′)，则[x′y′]=[12−11][x y]， 其坐标变换公式为{x′=x +2y,y′=−x +y.由此得{x =x′−2y′3,y =x′+y′3,代入x +y =0得2x′−y′3=0，即2x′−y′=0，所以直线l 2的方程为2x −y =0．解析：本题考查了逆变换与逆矩阵，属于基础题.根据矩阵变换的知识进行求解即可；22.答案：解：(Ⅰ)由ρ=2,0⩽θ<π2，得圆心为原点，半径为2的14圆，由ρ=√3sin (θ−π6),，得√32ρsinθ−12ρcosθ=√3，又ρcosθ=x,ρsinθ=y ， 所以得x −√3y +2√3=0， 又，所以x ≤0，y ≥0，曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆及一个两直角边分别为2与2√3的直角三角形，所以S =π+2√3．(Ⅱ)曲线C 与曲线ρsinθ=1交于A ，B ， 所以{ρ=2ρsinθ=1，得到A(2,π6)转换为直角坐标为A(√3,1).极坐标方程ρsinθ=1转换为直角坐标方程为y =1，极坐标方程ρ=√3sin(θ−π6)转换为直角坐标方程为x −√3y +2√3=0，所以B(−√3,1)， 所以|AB|=2√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用极径的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．23.答案：证：因为a ，b ，c 为正实数，所以由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b +b ≥2a ，b 2c +c ≥2b ，当且仅当a =b =c =1时取等号三式相加，得：c 2a +a 2b +b 2c≥a +b +c ．又a +b +c =3，所以c 2a+a 2b+b 2c≥3．解析：由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b+b ≥2a ，b 2c+c ≥2b ，相加即可证明．本题考查了不等式的证明，关键是掌握基本不等式成立的条件，一正二定三相等，属于中档题24.答案：解：(1)设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，∵甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴P(A)=(1−35)×35=625，P(B)=(1−35)2×25=8125， ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为625和8125． (2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，P(X =5)=35，P(X =6)=(1−35)×35=625，P(X =7)=(1−35)2×25+(1−35)2×(1−25)=425， ∴随机变量X 的分布列为：E(X)=5×35+6×625+7×425=13925．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．(1)甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25，由此能求出甲对以4:2，4:3获胜的概率．(2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．25.答案：(1)解：kC n−k k =k ⋅(n−k)!k!⋅(n−2k)!=(n −k)⋅(n−k−1)!(k−1)!(n−2k)!=(n −k)C n−k−1k−1 所以kC n−k k =(n −k)C n−k−1k−1，即λ=n −k ； (2)解：∑(−1)n C 2021−n n 2021−n 1010n=0 =12021C 20210−12020C 20201−12019C 20192−12018C 20183+⋯+11011C 10111010 =12021[C 20210−(1+12020)C 20201+(1+22019)C 20192−(1+32018)C 20183+⋯+(1+10101011)C 10111010] =12021[([C 20210−C 20201+C 20192−C 20183+⋯+C 10111010)−12020C 20201−22019C 20192+32018C 20183+⋯+10101011C 10111010] 由(1)知k n−k C n−k k =C n−k−1k−1，则令n =2021，k 依次取1,2,3,...，有： 12020C 20201=C 20190，22019C 20192=C 20181，...，10101011C 10111010=C 10101009 所以原式=12021[(C 20210−C 20201+C 20192−C 20183+⋯+C 10111010)−(C 20190−C 20181+C 20172+⋯+C 10101099)] 构造数列{a n }，a n =C n 0−C n−11+C n−22−C n−33+...，则a n+1=C n+10−C n 1+C n−12−C n−23+...所以a n+1−a n =(C n+10−C n 1+C n−12−C n−23+..)−(C n 0−C n−11+C n−22−C n−33+...)=(C n+10−C n 0)−(C n 1−C n−11)+(C n−12−C n−22)−(C n−23−C n−33)+⋯=−C n−10+C n−21−C n−32+... =−(C n−10−C n−21+C n−32−...)=−a n−1所以a n+1=a n −a n−1，即a n+2=a n+1−a n =(a n −a n−1)−a n =−a n−1，所以a n+6=−a n+3=a n ，所以{a n }是周期为6的数列．又因为a 1=C 10=1，a 2=C 20−C 11=0，a 3=C 30−C 21=−1，a 4=C 40−C 31+C 22=−1，a 5=C 50−C 41+C 32=0，原式=12021(a 2021−a 2019)=12021(a 5−a 3)=12021[0−(−1)]=12021.解析：(1)本题考查了组合与组合数公式.根据组合与组合数公式进行计算即可得出结果．(2)本题考查了组合与组合数，以及组合与组合数的求和的综合应用，二项式定理，计算难度比较大，属于难题.根据求和公式计算规则和组合与组合数的计算规则可得出结果．。

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．4 参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；177，cos A＝－725，求b的值．(2) 设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D.已知AD＝如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n.记T n为数列{a n}的前a n项和，即T n＝a1＋a2＋…＋a n.(1) 若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2) 若数列{a n}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n}的通项公式；(3) 若数列{T n}的通项为T n＝n（n＋1）2，求证：数列{a n}为等差数列.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12.±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2， 因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， 所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， 即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形． 因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分)令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴． 由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337.故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分) ② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2， 即为1.若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0， 则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分) 因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1.将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处． 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)． 则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2. 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R .原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）.因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x －g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －ax .令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28.因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立， 即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分) 当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分) 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4. 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)． 设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分) 故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增， 因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值， 所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值， 则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分) 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立， 所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4， 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝ax 2x ＋aln x 2－a.因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分)由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分)由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57.令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的， 所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12.所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)， 所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2. 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4， 所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d ，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T na n ＝a 1＋（a n －1）d 2.由T na n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1.于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2.① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立， 所以2＜1＋2d2≤3，即1≤d 2＜2.又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增． 又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分) 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1， 所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ， 因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)． 又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1， 因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②. 由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1， 所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132323－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分)令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分)B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分)由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分) 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16， 所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a )－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a 2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分)即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a ≥2.(8分)因为a ＋1a ≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分)(证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，即t ≥2.要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2， 即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分)由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2， 故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2.所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A. 因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45.答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分)(2) X 的所有可能取值为400，300，100. P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝300)＝26×C 12C 1mC 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：① 当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})， 此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i ∈N *，i ≤3，都有|a i －a i ＋1|＝1， 所以当n ＝2时命题成立．(4分)② 假设n ＝k(k ∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M 1，M 2，…，M m )满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1，其中m ＝2k .当n ＝k ＋1时，则A k ＋1＝{1，2，…，k ，k ＋1}，集合A k ＋1的所有子集除去M 1，M 2，…，M m 外，其余的子集都含有k ＋1.令M m ＋1＝M m ∪{k ＋1}，M m ＋2＝M m －1∪{k ＋1}，…，M 2m ＝M 1∪{k ＋1}，取集合组(M 1，M 2，…，M m ，M m ＋1，M m ＋2，…，M 2m )，其中2m ＝2k ＋1，(6分) 根据归纳假设知|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，m ＋1≤i ≤2m －1，(8分)所以此集合组满足|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，i ≤m －1或m ＋1≤i ≤2m －1.又M m ＋1＝M m ∪{c}，所以|a m －a m ＋1|＝1，因此|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，i ≤2m －1，即当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，不论n 为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1.(10分)。

江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.a的值为____．【答案】4【解析】【分析】a值即可a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.（____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求故实部为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2种，甲、乙两人中恰有1种，【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.___．【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.___．【解析】【分析】先由平移得f(x)【详解】=2sin(3x+【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为AB的长为____．【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣°＝28，解得即【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，则球O的表面积为____m2．【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R则球O的表面积S＝4πR2＝29π【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R满足上，___．【答案】5【解析】【分析】【详解】的周期为4，故f(x)关于（2,0）中心对称，又f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.，b，的解集为{ x | 3 < x < 4}___．【解析】【分析】由不等式解集知a<0,将b,c分别用a 表示代入利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,，当且仅当-24a=即故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B点P（3，1，M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【解析】【分析】设AB中点为M将向量坐标【详解】设AB中点为②，将【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.，从集合；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为4344故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.，其中（1（2【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1（2展开即可代入求解【详解】（1∥，，所以．解得．（2）因为，所以，，解得【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH（1）求屋顶面积S关于（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当【答案】（1（2【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM 平面ABCD，得FH⊥HM．在R t△FHM中，HM 5因此△FBC所以S)．（2）在Rt△FHM，所以主体高度为记，所以，，得列表：为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1C2C2与C1（1）求椭圆C2的标准方程；（2C2上一点．C1，且直线C1均有且只有一个公共点，求证：【答案】（1（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得OP斜率存在时，设直线OP，推求；②，直线的方程为，记，则C1的方程得，由，得，再将代入得由韦达定理及点P【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，C2（2）①1°当直线OP斜率不存在时，2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为代入椭圆C1的方程，消去y，由题意，同号，所以为定值．，所以直线的方程为代入椭圆C1的方程，消去yC1有且只有一个公共点，k．又点在C2上，所以【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题19.（1时，求函数的极值；（2）在的值；（3【答案】（1的极大值为；极小值为（2（3）见解析【解析】【分析】（1（2（3）假设存在一条直线的图象有两个不同的切点同一直线理，，令构造函数，求导求得盾，说明假设不成立，则不存在【详解】（1）时，函数的定义域为，令得，或；极小值为（2）依题意，切线方程为变形得在，（当且仅当，，从而（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点的方程为：整理得，消去得，．，由与，得，所以为上的单调减函数，所以【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.20.n项和为S n n项和为T n，且（1（2（3的所有值．【答案】（1（21为公比的等比数列；（3）0【解析】【分析】（1）令n=1,n=2列关方程求解即可；（2）因①，③n=1比数列（3）由（2）对任意的，当为奇数时恒成立，和，当为奇数时，单调减，（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有【详解】（1（2①②④又由（1，1为首项，为公比的等比数列．（3）由（2．，对任意的，当为奇数时，，因为所以，所以（*），时，有，所以，当为奇数时，时，有不符．综上，实数的所有值为0．【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，准确计算是关键，是难题21.【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy为参数)，椭圆C的参数方程为C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x，y，z【答案】A B C：见解析【解析】【分析】A由矩阵的运算求解即可；B坐标，由弦长公式求得AB的长；C．由柯西不等式证明即可【详解】A.矩阵的特征多项式的另一个特征值为B，．C．由柯西不等式得，，所以当且仅当“”时取等号．【点睛】本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．22.AB 1，AP AD 2.（1所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC M，N的位置．【答案】（1（2）M为AB的中点，N为PC的中点【解析】【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP平面PCD的一个法向量为（2PCD M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．设平面PCD不妨取则．所以平面PCD设直线PB与平面PCD即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（21）知，平面PCDPCD所以M为AB的中点，N为PC的中点．【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题23.证明：（1（2，【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1（2）①当时，由（1）可知，命题成立；均为非负实数，且所以【点睛】本题考查数学归纳法证明不等式，基本不等式证明问题，准确计算，严密的推理是关键，是中档题。

2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。

………外…………○………学校:_______………内…………○………绝密★启用前2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，………线…………○……………线…………○……5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.6．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x∈时，()3af x x=+，则()f a的值为___________________．7．若将函数()sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x的图象关于x轴对称，则ϕ的最小值为________________.8．在ABCV中，AB=AC=90BAC∠=︒，则ABCV绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.9．已知数列{}n a为等差数列，数列{}n b为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a ab b b a b==-，其中0a>，0b>，则+a b的值为_______________．10．已知点P是抛物线24x y=上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．11．已知x，y为正实数，且2441xy x y++=，则x y+的最小值为________________.12．在平面直角坐标系xOy中，圆()()222:0C x m y r m-+=>.已知过原点O且相互垂直的两条直线1l和2l，其中1l与圆C相交于A，B两点，2l与圆C相切于点D.若AB OD=，则直线1l的斜率为_____________.13．在ABCV中，BC为定长，23AB AC BC+=u u u r u u u r u u u r，若ABCV的面积的最大值为2，则边BC的长为____________．…………订…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.…………外…………………○…………订…………○…………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………………○…………订…………○…………线…………○……()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值. 19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 22．已知a ＞01a a+-2． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.参考答案1．{}1,3 【解析】 【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题. 2．5 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题. 3．14-【解析】 【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0xx x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．325 【解析】 【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题. 5．12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6．0 【解析】 【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8． 【解析】 【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得. 【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC V 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ===，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 9．5 【解析】 【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可. 【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10【解析】 【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA ∠==.. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 11．8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12． 【解析】 【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD Q AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r ，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题. 14．11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1xf x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】 解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 15．()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可； ()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题. 16．()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】 【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题. 17．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解析】 【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-， 则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．()122143x y +=；()2①7；②2. 【解析】 【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u r u u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y+++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 2d =； 综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．()1[]10,28；()24；()312. 【解析】 【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()a g x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x -=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】 【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-. 【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题. 21．16 【解析】 【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可. 【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-， 所以AB ===将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题. 22．证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．()135；()29. 【解析】 【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭， 化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++， 由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24．()14；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =， 则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合1，2，，，则______．2. i 是虚数单位，则的值为______．3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______4. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是______ ．5. 某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为______．6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______． 7. 已知函数的一个对称中心是，则的值为______． 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______ ．9 设周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足，，则m 的取值范围是________．10. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为的菱形组成的图形中，______．11. 等差数列的公差为d，关于x的不等式 的解集为，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是______ ．12. 在中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，则______． 13. 已知圆O：与曲线C：，曲线C上两点，、n 、s、p均为正整数，使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，则______．14. 函数其中，若函数有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，四棱锥中，底面ABCD ，，，，，M，N分别为SA ，SC的中点，E为棱SB上的一点，且．证明：平面ABCD；证明：平面SBC．16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．的值；Ⅰ求角A的值；的值．Ⅱ若，，求的值．17. 某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中，，O 为AB上一点，且，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置N分别在线段OD、OC上，点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．面积最小时观赏效果最好．当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？的中点？怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．的值．18. 已知椭圆C ：．若椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，求椭圆的方程；求椭圆的方程； 设，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．的方程．设，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，，求椭圆离心率的取值范围．，求椭圆离心率的取值范围．19. 已知函数，其中．若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围；的取值范围；若函数有三个极值点，，，求证：．20. 已知数列的通项公式，设，，，其中成等差数列．，成等差数列．若．当，，为连续正整数时，求的值；的值；为定值；当时，求证：为定值；的最大值．求t的最大值．答案和解析1.【答案】{解析}解：1，2，，；．故答案为：． 进行交集的运算即可．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】{解析}解：，故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】{解析}解：由渐近线方程为，即渐近线方程为，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即有，又，即， 可得．故答案为：． 设双曲线的方程为，则渐近线方程为，由题意可得，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．基础题．4.【答案】5049{解析}解：根据流程图所示的顺序，解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是累加并输出，，故答案为：5049．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出的值的值根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．解模．5.【答案】16{解析}解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为：专业抽取的学生人数为：．故答案为：16．利用分层抽样的性质直接求解．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查应从A 专业抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．算求解能力，是基础题．6.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．题．先求出基本事件总数，再利用列举法求出选出的2本书编号相连包含的基本事件有4种，由此能求出选出的2本书编号相连的概率．本书编号相连的概率． 【解答】【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，的五本书， 某同学从中任意选出2本书，本书， 基本事件总数，选出的2本书编号相连包含的基本事件有：本书编号相连包含的基本事件有：，，，，共4种，种， 选出的2本书编号相连的概率为．故答案为．7.【答案】{解析}解：的一个对称中心是，，，得，，，当时，，故答案为：根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．比较基比较基础．础．8.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．想、化归与转化思想，是中档题． 将侧面和侧面展开成矩形，如图，连结，交于D ，此时最小，当最小时，，此时三棱锥的体积：，由此能求出结果．，由此能求出结果．【解答】【解答】 解：将侧面和侧面展开成矩形，如图，，如图，连结，交于D ，此时最小，最小，，，，，点D 为侧棱上的动点，上的动点，当最小时，，此时三棱锥的体积：的体积：．故答案为：．9.【答案】{解析}解：由题意，函数是奇函数，，函数是奇函数，故有，又周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，故， ， ，当时，解得，当时，解得，所以m 的取值范围是故答案为由题意，故求了的取值范围即可得出关于m 的不等式，由题设条件，先有奇函数的性质得出的范围，再由周期性得出的范围即可的范围即可本题考查函数的周期性，解题的关键是根据函数的奇函数的性质与周期性的性质求出从而得到m 的不等式，解出m 的取值范围，本题考查了转化的思想的取值范围，本题考查了转化的思想10.【答案】{解析}解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则，，，，，，．故答案为：．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可是计算简便，属于中档题．11.【答案】11{解析}解：关于x 的不等式的解集为，，且，即，则，，故使数列的前n 项和最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11． 根据已知中等差数列的公差为d ，关于x 的不等式的解集为，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．案．本题考查的知识是数列的函数特性，本题考查的知识是数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．12.【答案】{解析}解：由正弦定理，得：，，，，当且仅当时，等号成立，时，等号成立，，，，．故答案为：．由正弦定理，得：，由余弦定理得，从而，当且仅当时，时，成立，成立，进而求出，由此能求出tan A ．本题考查三角形内角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.【答案】0{解析}解：设，则，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，，消去m ，n 得所以，，此时，此时， 故答案为：0 设，则，结合且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，m 、n 、s 、p 均为正整数，求出m 、n 、s 、p 的值，可得答案．的值，可得答案．本题考查的知识点两点之间的距离公式，恒成立问题，方程思想，难度较大．14.【答案】{解析}解：函数其中，函数，当，或时，，函数为增函数，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，，函数为减函数， 故当时，函数取极大值，函数有两个零点0和t ，若函数恰有6个不同的零点，个不同的零点， 则方程和各有三个解，各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，各有三个零点，由，故，得：，故不等式的解集为：，故答案为：若函数恰有6个不同的零点，则方程和各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，进而得到答案．各有三个零点，进而得到答案． 本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．15.【答案】本小题满分12分证明：Ⅰ连AC ，，N 分别为SA ，SC 的中点，的中点，，又平面ABCD ，平面ABCD ，平面分 Ⅱ连结BD ，，，，，又底面ABCD ，底面ABCD ，，，平面SDB ，平面SDB ，，又，当时，，在与中，，，，又，∽，，即．，平面分{解析}Ⅰ连AC ，则，由此能证明平面ABCD ．Ⅱ连结BD ，推导出，，从而平面SDB ，，由题意得∽，由此能证明平面SBC ．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．空间思维能力的培养．16.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得，．化简得，．由余弦定理得，． 又， ．Ⅱ由Ⅰ知，， 又，，．又，，． ， ，．档题．档题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得，由余弦定理cos A 的值，结合范围，可求A 的值．的值．Ⅱ由正弦定理可求sin B ，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解． 17.【答案】解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，．：；，可得，设，，，为MN 的中点，的中点，，此时，；分建系2分 ，，，，当且仅当时取等号，时取等号， ，此时．答：当时，P 为队列MN 的中点；的中点；当点M 满足时，观赏效果最好．分答1分{解析}以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．求出OC ：，，设，，，然后求解即可．，然后求解即可．通过，推出，利用三角形的面积，以及基本不等式求解即可．解即可．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：椭圆C ：，椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，，解得，，椭圆的方程为．，R 、S 分别为椭圆C ：的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，，， 直线PR ：，即，，直线PS ：，即，，直线MN 的方程为：，即．设，，，．根据题意，解得，连SD ，延长交椭圆于点Q ． 直线SD 的方程为，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标，所以，，即，解得，即，，．椭圆离心率e 的取值范围为{解析}由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程．，由此能求出椭圆的方程． 求出，，从而求出直线PR ，直线PS ，从而求出M ，N 坐标，由此能求出直线MN 的方程．的方程．设，，由，得，连SD ，延长交椭圆于由此能求出椭圆离心率e 的取值范围．的取值范围．本题考查椭圆方程、直线方程、椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．是中档题．19.【答案】解：由函数，其中，得，由函数在上单调递增，上单调递增，故，即恒成立，即恒成立．恒成立． 令，则，因此在区间上单调递增，上单调递增，所以．由，则．由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点，则，令，则，当时取极值，时单调递增，单调递增，，则时有两零点，，且，要证：，即证其中，即证：，即，由，，则，即证：；等价于，等价于，由在上单调递增，即证：，又，则证， 令，，--． 恒成立，恒成立，则为增函数，为增函数，当时，，，原结论成立．原结论成立．{解析}由题意求得，依题意，转化为恒成立，可得到a 的取值范围；的取值范围；由题意得，利用有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点是，再利用分析法去证明即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力识的理解掌握水平和分析推理能力20.【答案】解：依题意，，，成等差数列，即，从而，当为奇数时，解得，不存在这样的正整数；当为偶数时，解得，所以分依题意，，，成等差数列，即，从而， 当，均为奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当，均为偶数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，，即分 设，，成等差数列，则，即，整理得，，若，则，因为，所以只能为2或4，所以s 只能为1或2；分若，则，，故矛盾，故矛盾，综上，只能，，成等差数列或，，成等差数列，其中r 为奇数，为奇数， 从而t 的最大值为分{解析}，依题意，，，成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当为奇数或偶数时，分别求得的值；的值；，，成等差数列，根据等差中项可知：，分别当，为奇数或偶数时，即可求得，因此为定值；为定值；设，，成等差数列，根据数列等差中项定义，，分类讨论，求得s 的值，当，求得s 的值，最后求得，，成等差数列或，，成等差数列，其中r为奇数，即可求得t 的最大值．的最大值．本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，考查分类讨论思想，考查分类讨论思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．与计算能力，属于中档题．。

绝密★启用前江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次学情调研联考(二模)数学试题(解析版)2020年5月第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝_______. 【答案】1【解析】【分析】根据集合A B中的元素，判断出a的值.【详解】∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且A B＝{﹣1，a，2}，∴a＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2.若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为_______. 【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z，由此求得z的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i iz ii i i i++++====--+-,∴z的实部为0.故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数实部的概念,属于基础题.3.某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50,100]内,将学生成绩分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[80,90)内的学生人数是_______.【答案】30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率,将所得结果乘以100,求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算,属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的y 的值为_______.【答案】﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码,由此计算出输出的y 的值.。

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）=．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．6．函数f（x）=的定义域为．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．26．设实数a1，a2，…，a n满足a1+a2+…+a n=0，且|a1|+|a2|+…+|a n|≤1（n∈N*且n≥2），令b n=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+b n|≤（n∈N*）．2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）={1，2，5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，又B={2，3，4}，∴（C U B）={1，5}，又A={1，2}，∴A∪（C U B）={1，2，5}．故答案为：{1，2，5}．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣13．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：p==．故答案为：．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．6．函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于1．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．所以：8a+7=15，解得：a=1．故答案为：18．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是[0，10] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r=1，求出圆心（﹣1，2）到直线3x+4y ﹣m=0的距离d，由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==，∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，∴，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0，10]．故答案为：[0，10]．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．【解答】解：圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）．【考点】函数的值．【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，从而化简f（1）+f（log3）＞0为log3＞﹣1；从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，∵f（1）+f（log3）＞0，∴f（log3）＞﹣f（1）=f（﹣1），∴log3＞﹣1；∴＞1或3＜a；即a∈（0，1）∪（3，+∞）；故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=3n﹣12．【考点】等差数列的前n项和．=﹣9，S m=0，其中m＞3，可得：（m﹣1）a1+d=﹣9，【分析】S m﹣1ma1+d=0，化为：d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．=﹣9，S m=0，其中m＞3，【解答】解：∵S m﹣1∴（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，可得：d=．∵m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，∴d=3，m=7．∴a1=﹣9．∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．故答案为：3n﹣12．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是（﹣1，5）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣）min＜﹣a＜（﹣x2+）max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x3﹣ax|，由f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，设g（x）=﹣x2﹣，导数为g′（x）=﹣2x+，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，即有﹣a＞﹣5，即a＜5；设h（x）=﹣x2+，导数为g′（x）=﹣2x﹣，当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，即h（x）递减，可得h（x）max=﹣1+2=1．即有﹣a＜1，即a＞﹣1．综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．故答案为：（﹣1，5）．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc）．【解答】解：根据条件，，，，代入并整理得：c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc），即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：（a﹣）2+（d﹣）2+（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，有（a﹣）2≥0，（d﹣）2≥0满足，则要：（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，则有：，解得﹣2≤m≤﹣1，所以m最大值为﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可解得ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴ccosB=（4a﹣b）cosC，…由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sinA＞0，∴．…（2）∵C∈（0，π），，∴．∵，∴ab=2﹒①…∵，由余弦定理得，∴a2+b2=4，②…由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），∴，∴．…16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b∴a=90，b=3∴q（x）=（2）设总利润为W（x）则W（x）=①当x∈（0，20]时，W（x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x=20②当x∈[20，180]时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x=80时取得最大为240000综上所述：x=80时，总利润最大为240000元．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P（﹣a2，b2），从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得点A（a，0），B（0，b），直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒由题设，得，化简，得a2+b2=1﹒①，由，即为，即a2=3b2﹒②由①②，解得，可得椭圆C的方程为；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0，（*）则△=（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）=0，化简，得1﹣b2﹣a2k2=0，所以，由点P在第二象限，可得k=1，把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=﹣a2，从而y=b2，所以P（﹣a2，b2）﹒从而直线PF2的方程为：，令x=0，得，所以点﹒从而，，从而=，又a2+b2=1，a2=b2+c2，∴﹒所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵，n∈N*，∴当n≥2时，，从而，n≥2，n∈N*﹒又在中，令n=1，可得，满足上式，∴，n∈N*﹒当λ=3时，，n∈N*，从而，即，又b1=1，所以数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列，∴．（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，=，又，∴{c n}是首项为，公比为λ的等比数列，﹒（3）解：在（2）中，若λ=1，则c n=0也适合，∴当λ≠3时，．从而由（1）和（2）可知：a n=．当λ=3时，，显然不满足条件，故λ≠3．当λ≠3时，．若λ＞3时，，b n＜b n+1，n∈N*，b n∈[1，+∞），不符合，舍去．若0＜λ＜1时，，，b n＞b n+1，n∈N*，且b n＞0．∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ=1时，b n=1，满足条件．故λ=1符合条件；若1＜λ＜3时，，，从而b n＜b n+1，n∈N*，∵b1=1＞0．故，要使b n≤3成立，只须即可．于是．综上所述，所求实数λ的范围是．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g （x）=e x﹣2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b的范围；（2）求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=，求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，求出导数，判断单调性即可判断不存在．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=﹣e x+2x﹣b，函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，g′（x）=e x﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，则b的取值范围是[2ln2﹣2，+∞）；（2）由b=0，可得f（x）=a•e x+x2，令f（x）=0，即有﹣a=，设h（x）=，h′（x）=，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，2）递减；当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．可得h（x）在x=2处取得极大值，且h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，则﹣a=0或﹣a＞，即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞，﹣）；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．函数f（x）=a•e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=ae x+2x﹣b，可得a•e x0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）+a•e m+m2﹣bm，化简可得（x0﹣m）（+x0+m﹣b）=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m），由a≠0，x0≠m，可得=e，上式的几何意义为函数y=e x图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，则m′（t）=﹣=＞0，则m（t）在（1，+∞）递增，即有m（t）＞m（1）=0，则方程lnt=无实数解．即有=不成立，则=e不成立．故不存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．【解答】证明：连结AE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°．…∴∠BAE=∠ADC．…又∵∠BEA=∠ACD，∴△BEA∽△ACD．…∴，∴BA•AC=BE•AD．…B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设，由题意，得，…∴…解得．…即．…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，设该方程两根为t1，t2，则t1•t2=﹣1﹒∴MA•MB=|t1•t2|=1．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2=2（x﹣1）（x3﹣1）=2（x﹣1）2（x2+x+1）=，所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，，，，，…∴X 的分布列为X 0 12 3 P…26．设实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1+a 2+…+a n =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a n |≤1（n ∈N *且n ≥2），令b n =（n ∈N *）．求证：|b 1+b 2+…+b n |≤（n ∈N *）． 【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k 时结论成立，去证明当n=k +1时，结论也成立，从而得出命题对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立【解答】证明：（1）当n=2时，a 1=﹣a 2，∴2|a 1|=|a 1|+|a 2|≤1，即， ∴，即当n=2时，结论成立．（2）假设当n=k （k ∈N*且k ≥2）时，结论成立，即当a 1+a 2+…+a k =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k |≤1时，有．则当n=k +1时，由a 1+a 2+…+a k +a k+1=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∵2|a k+1|=|a 1+a 2+…+a k |+|a k+1|≤a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∴，又∵a 1+a 2+…+a k ﹣1+（a k +a k+1）=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k ﹣1|+|a k +a k+1|≤|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，由假设可得， ∴， =， =，即当n=k +1时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立．2020年8月27日。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数 学参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{ x | x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x | x (x －5)＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回．．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )= x ＋a3，则f (a )的值为 ▲ ．7．若将函数f (x )＝sin ( 2x + π3 )的图象沿x 轴向右平移φ（φ>0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为 ▲ ．8．在ΔABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90º，则ΔABC 绕BC 所在直线旋转一周所形（第4题图）（第3题图）成的几何体的表面积为 ▲ ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ▲ ．10．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为 ▲ ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m )2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ▲ ．13．在△ABC 中，BC 为定长，且|→AB +2→AC |＝3|→BC |．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ▲ ．14．函数f (x )＝e x －x －b (e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g (x )＝f (f (x )－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，三棱锥P －ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． （1）求证：AC ∥平面PDE ；（2）若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝cos C ＋c sin B ． （1）求B 的值．（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．（第15题图）PACDE17．(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道︵DE ．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ， g (x )＝a ln x ，a ∈R ．函数h (x )＝ f (x )x－g (x )的导函数h'(x )在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，记T n 为数列{a n }的前a n 项和， 即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a a n ．（1）若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；（2）若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得T na n＜2，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{T n }的通项为T n ＝n (n ＋1)2，求证：数列{a n }为等差数列．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1， MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23．(本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n．记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0．（1）当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，3} 2．5 3．－14 4．325 5．126．0 7．π2 8．65π 9．5 10． 2211．8 12．±2 5 5 13．2 14．(1，12＋ln2)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：（1）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ． ············································································ 2分 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AC ∥平面PDE ． ··································································· 4分 （2）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ．又因为AC ＝2，所以DE ＝1，因为PD ＝2，PE ＝3， 所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE ． ·························································· 8分 又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC ， ································································ 12分 又因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ························································· 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4． ························································································· 6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，因为cos A ＝－725，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 8分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175． ················ 10分 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 12分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ·············································· 14分 17．(本小题满分14分)解：（1）连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ ，BC ＝1sin θ ．因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ． ····· 2分又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ ，优弧︵DE 所对圆心角为2π－(π－2θ) ＝π＋2θ，所以优弧︵DE 长l 为π＋2θ， ····························································· 4分 所以f (θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ． ······························································ 6分因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1， 所以sin θ的取值范围为(13，1)． ································································ 8分（2）由f (θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f '(θ)＝－2+cos θsin 2θ＋2＝cos θ(1－2cos θ)sin 2θ． · 10分令f '(θ)＝0 ，解得cos θ＝12，因为θ为锐角，所以θ＝π3． ···························· 12分设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3．当θ∈(θ0，π3)时，f '(θ)＜0，则f (θ)在(θ0，π3)单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f '(θ)＞0，则f (θ)在(π3，π2)单调递增，所以f (θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短． ·························································· 14分18．(本小题满分16分)解：（1）记椭圆C 的焦距为2c ．因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12．因为椭圆C 过点 (0，3)，所以b ＝3． 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ·································································· 2分（2）①因为点B 为椭圆C 的上顶点，所心B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称． ·········································· 4分 不妨设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜3．又因为MO ⊥BN ，所以→MO ·→BN ＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0． ············································································· 6分 又点M (x 0，y 0)在椭圆上，则x 024＋y 023＝1．由⎩⎨⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 024＋y 023＝1，解得y 0＝－473或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2733．故MN ＝2|x 0|＝4733，即线段MN 的长为4733． ··········································· 8分②方法1设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ······ 10分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ··································································· 12分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 14分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 方法2设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)．因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)． ·························································· 10分 因为x 23 4＋y 23 3＝1，所以(x 1＋x 2)24＋(y 1＋y 2)23＝1．将x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12． ·································· 12分 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处， 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1． 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n ． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0．(*)则△＝(8kn )2－4(3＋4k 2) (4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2， 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34． ······ 14分 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R ． 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n |k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14(k 2＋1) ． 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32， 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为h (x )＝f (x )x －g (x )＝x 2－x －(a －16)－a ln x ，所以h'(x )＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x， 令h'(x )＝0，得2x 2－x －a ＝0．因为函数h'(x )在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点， 又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×(52)2－52－a ≤0， 2×42－4－a ≥0．解得10≤a ≤28． 因此，实数a 的取值范围为[10，28]． ······················································· 2分（2）方法1因为当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，f (0)≥f (x )恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0 对任意x ∈[0，b ]都成立． ········································· 4分 当x ＝0时，上式恒成立； ········································································ 6分 当x ∈(0，b ]时，存在a ∈[10，28] ，使得x 2－x ＋16≤a 成立， ······················· 8分 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分 方法2由f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f '(x )＝3x 2－2x －(a －16)．设△＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)，若△≤0，则f '(x )≥0恒成立，f (x )在[0，b ]上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，于是△＞0， ··········· 4分 故f '(x )＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)，若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f '(x )＞0，f (x )在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0． ························································································· 6分又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0， 从而当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f (0)≥f (b )成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0． ························ 8分 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分（3）设直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点A (x 1 ，f (x 1))，与曲线y ＝g (x )相切于点B (x 2 ，g (x 2))． 过A (x 1 ，f (x 1))点的切线方程为y －[x 13－x 12－(a －16)x 1]＝[3x 12－2x 1－(a －16)]( x －x 1)， 即y ＝[3x 12－2x 1－(a －16)]x －2x 13＋x 12．过B (x 2 ，g (x 2))点的切线方程为y －a ln x 2＝a x 2( x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋a ln x 2－a ． 又因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎨⎧3x 12－2x 1－(a －16)＝a x 2 ①，－2x 13＋x 12＝－12 ②，a ln x 2－a ＝－12 ③，························································· 12分 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2， a ln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0． ·············· 14分 则（1）知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57． 令p (x )＝ln x ＋ 1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p' (x )＝1 x －1 2x 2＝2x －1 2x 2， 因为p' (x )＞0，所以函数p (x )在[57，＋∞)上为增函数． 又因为p (1)＝0，且函数p (x )的图像是不间断的，所以函数p (x )在[57，＋∞)有唯一零点1， 所以方程ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12， 所以实数a 的值为12． ········································································· 16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q )＝4 a 1(1＋q )．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15． ···························································· 2分（2）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z ．若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾， 因此d ≥0，即d ∈N ． ··········································································· 4分因为S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n (a n －1)d 2，因此T n a n ＝a 1＋(a n －1)d 2． 由T n a n ＜2，得a 1＋(a n －1)d 2＜2． ································································ 6分 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋(a n －1)d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1． 于是1＋(n －1)d 22＜2，即(n －1)d 2＜2． ①若d ＝0时，则存在无穷多个n (n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意； ········································································· 8分②若d ∈N *时，则n ＜1＋2d 2． 因为存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2． 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． ······························· 10分（3）因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1＞0， 所以T n ＋1＞T n ，即S a n ＋1＞S a n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n ． ················································· 12分 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n （n ≥2），又a 1≥1，所以a n ≥n ． ① ····································· 14分 由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得a a n ＋1＋a a n ＋2＋…＋a a n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ． ②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列． ································································· 16分南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案和评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，N= M －1． ············································· 2分 因为|M |＝1×1－2×2＝－3， ·································································· 4分 所以N= M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －2 －3 －2 －3 －13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 3 2 3 －13． ············································ 6分 （2）N 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ + 13－2 3－2 3λ + 13＝(λ＋13)2－(－23)2＝( λ－13)(λ＋1)． ·· 8分 令f (λ)＝0，解得λ＝13或－1， 所以N 的特征值是13和1． ········································································ 10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2． ······················································· 2分 由直线l 极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2． ···································· 4分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2， 消去y ，得x 2＋8x －16＝0， ····································································· 6分 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋(－1)2|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(－8)2－4×(－16) ＝16． ···················································································· 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：方法1因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，。