第十四章 选讲部分专题2 极坐标与参数方程（理科）【考点1】极坐标【备考知识梳理】 1.极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴； 再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)， 这样就建立了一个极坐标系(如图)．(2)极坐标：设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称为点M 的极坐标，记作(),M ρθ． 一般地，不做特殊说明时，我们认为0ρ≥，θ可取任意实数． 2.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (),x y 和(),ρθ（0ρ≥），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆()02r ρθπ=≤< 圆心为(),0r ，半径为r 的圆2cos 22r ρθππθ=⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭圆心为,2r π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为r 的圆()2sin 0r ρθθπ=≤<过极点，倾斜角为α的直线(1)θα=(R ρ∈) 或θπα=+(R ρ∈)(2) θα= (0ρ≥)和θπα=+ (0ρ≥)过点(),0a ，与极轴垂直的直线cos a ρθ=22ππθ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭过点,2a π⎛⎫⎪⎝⎭，与极轴平行的直线sin a ρθ=()0θπ<<若圆心为()00,M ρθ，半径为r 的圆方程为()2220002cos 0r ρρρθθρ--+-=.4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． （2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标(),ρθ ，()(),2k k Z ρθπ+∈，()(),2k k Z ρπθπ-++∈表示同一点的坐标．【规律方法技巧】 1.确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换．(3)直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 3.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．4.注意：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【考点针对训练】1.【2016届江西省萍乡市高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线21:C y x =上的点(,)x y 按坐标变换''122x x y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得到曲线2C .（1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线(0)3πθρ=>和θπ=与曲线2C 的交点分别为点,A B ，求||AB .【解析】（1）''122x x y y⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即''1222x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入21:C y x =-，得'2'21y x =+，即曲线2C 的方程为221y x =+.由cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的极坐标方程为22sin 2cos 1ρθρθ=+，即11cos ρθ=-.（未化简，保留上式也可） （2）将(0)3πθρ=>代入11cos ρθ=-，得2ρ=，即||2OA =，(2,)3A π，θπ=代入11cos ρθ=-，得12ρ=，即1||2OB =，1(,)2B π.所以2121||22cos()432AB ππ=+--=. 2.【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为22sin()4πρθ=+，曲线C 2的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（Ⅰ）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （Ⅱ）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值．【考点2】参数方程【备考知识梳理】 1.参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标,x y 都是某个变量的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M(),x y 都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2.常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段0P P的数量． (2)圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程:椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)．抛物线px y 22=的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩ (t 为参数)．3.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么，()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就是曲线的参数方程．【规律方法技巧】1.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．2.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t +=(由此可求12M M 及中点坐标)． 3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．若,A B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t tPM t +==；(3) 21AB t t =-；(4) 12PA PB t t ⋅=⋅. 【考点针对训练】1.【2016届吉林四平一中高三五模】过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22112y x +=交于点,M N . （1）写出直线的一个参数方程；（2）求||||PM PN ⋅的最小值及相应的α值.2.【2016届云南昆明高三适应性检测三】已知曲线C 的极坐标方程是2sin 8cos 0ρθθ-=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点()2,0P ． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设点Q 和点G 的极坐标分别为()32,,2,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于,A B 两点， 求GAB ∆的面积．【解析】（Ⅰ）曲线C 化为：22sin 8cos 0ρθρθ-=，再化为直角坐标方程为28y x =，直线l 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅱ）由（Ⅰ）将点32,2Q π⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标得()0,2-，易知直线l 的倾斜角4πα=，所以直线l 的参数方程为22,22,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得2228222t t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()2282320,824322560t t --=∆=+⨯=>，设12,t t 为方程282320t t --=的两个根，则121282,32t t t t +=⋅=-，所以()2121212425616AB t t t t t t =-=+-⋅==． 由极坐标与直角坐标互化公式得G 点的直角坐标()2,0-，易求点G 到直线l 的距离为2sin 454222d PG =⋅︒=⨯=，所以11162216222GAB S d AB ∆=⨯⨯=⨯⨯=．【应试技巧点拨】1.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． 2.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．3.参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 4.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t +=(由此可求12M M 及中点坐标)． 5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． 【三年高考系列】1.【2016年高考北京】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点， 则||AB =______. 【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为310x y --=过圆22(1)1x y -+=圆心， 因此2AB =，故填：2.2．【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【解析】⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①， ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆． 方程为222210x y y a +-+-=，∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②，3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ，∴210a -=,∴1a = 3.【2016高考新课标2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．4.【2016高考新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. （Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos ,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-. 当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22.5.【2015高考新课标2】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=． （Ⅰ）求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的 极坐标为(23cos ,)αα．所以2sin 23cos AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值， 最大值为4．6.【2015高考福建】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty t ì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中， 直线l 的方程为2sin()m,(m R).4pr q -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【解析】(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,由2sin()m 4pr q -=， 得sin cos m 0r q r q --=,所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即()|12m |22，--+=解得2m=-32± 7.【2015高考陕西】在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=． （I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．8.【2015高考新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2， |MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12. 9.【2014高考辽宁】将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；(Ⅱ)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系， 求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩.不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2, 所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.10.【2014高考全国1第23题】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．11.【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系， 半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程， 确定D 的坐标.【解析】（Ⅰ）设点M (,)x y 是C 上任意一点，则由2cos ρθ=可得C 的普通方程为：222x y x +=，即22(1)1(01)x y y -+=≤≤，所以C 的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.（Ⅱ）设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，由（Ⅰ）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆， 因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan 3β=，3πβ=，故D 点的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即33(,)22. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用．该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容．坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能进行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题．参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点．预测2017年高考仍然考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归能力．题型主要为解答题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化.复习建议：复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法. 【2017年高考考点定位】高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定. 【二年模拟系列】1.【2016年湖北八校高三四次联考】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．【解析】（Ⅰ）因为直线过点(1,2)P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为1cos ,62sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即31,212,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为6cos()6sin 2πρθθ=-=.（Ⅱ）把31,212,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(31)70t t +--=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=2.【2016年安徽安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小．3.【2016年江西高三九校联考】已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. （1）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.【解析】（1） 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB . （2）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.4.【2016年安徽淮北一中高三模考】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【解析】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又c o s ,s i nx y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q 的极坐标，2222sin 3333πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2．5.【2016年山西榆林高三二次模考】已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为5sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()2cos ,2sin 2P αα+，（参数[]0,2απ∈）.（1）求点P 轨迹的直角坐标方程； （2）求点P 到直线l 距离的最大值. 【解析】（1）设点(),P x y ，则2c o s 2s i n 2x y αα=⎧⎨=+⎩且[]0,2απ∈，消去参数α得点P 的轨迹方程：()2224x y +-=；（2）由5sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭得：sin 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3cos 10ρθρθ-=，所以直线的直角坐标方程为 310y x -=；由于P 的轨迹为圆，圆心到直线距离为210413d -+==+，由数形结合得点P 到直线距离的最大值为426+=.6.【2016年江西南昌高三一模】己知曲线C 的极坐标方程是ρ= 4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是（t 是参数）．( I)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；( II)若直线，与曲线c 相交于A 、B 两点，且|AB|=14，求直线的倾斜角a 的值．7.【2016年江西师大附中高三测试】已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 的极坐标方程； （2）过点13(,)44M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值. 【解析】（1）sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=, 对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（2）曲线C 的方程222x y +=可知曲线C 为圆心在原点半径为2的圆.设圆心()0,0到直线AB 的距离为d ,则可得2222AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,222AB d ∴=-.由分析可知12d OM ≤=,2min 12272AB ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭.8.【2016年河南八市高三三模】在极坐标系中，已知曲线:cos()14C πρθ+=，过极点O 作射线与曲线C 交于点Q ，在射线OQ 上取一点P ，使2OP OQ ∙=. （1）求点P 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，若直线:3l y x =-与（1）中的曲线1C 相交于点E （异于点O ），与曲线21222:22x t C y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）相交于点F ，求EF 的值.9．【2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量】在极坐标系中，已知三点()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值. 【解析】（1）()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可求得经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）圆21cos :1sin x a C y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）对应的普通方程为()()22211x y a +++=，因为圆1C 与圆2C 外切，所以222a +=，解得2a =±.10.【2016届河北沧州市高三4月调研】在直角坐标系中，直线2cos ,:1sin x t a l y t a=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a π≤<），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且2AP PB =，求tan a .【解析】（Ⅰ）:4cos C ρθ=，得到2:4cos C ρρθ=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=. （Ⅱ）将2c o s ,:1s i n ,x t a l y t a =+⎧⎨=+⎩代入2240x y x +-=，得到22sin 30t t a +-=.12122sin ,3,t t a t t +=-⎧⎨=-⎩ 又因为2AP PB = ，则122t t =-，所以1212122sin ,3,2,t t a t t t t +=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 解得：6sin 4a =，10cos 4a =或10cos 4a =-，则15tan 5a =或15tan 5a =-. 11. 【2016届黑龙江省大庆实验中学高三上学期开学考试】已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=．（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．12.【2015届东北三省哈尔滨师大附中等三校高三第一次模拟】已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得3x y π=+． （2）把3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m +-+-=， 由△＞0，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ⋅==，∴221m m -=，解得12m =±． 又满足△＞0．∴实数12m =±．13.【2016届云南师范大学附属中学高考适应性】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：3cos (sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6．（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点M （一1，0）且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积． 【解析】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．设点P 的坐标为(3cos sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：π2sin 63cos sin 6322d ααα⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==，∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 此时max 26422d --==．（2）曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=，1l 的参数方程为21222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）代入2233x y +=化简得22220t t --=，得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==．14.【2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测】已知曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; （2）设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=． （2） 设点P 坐标为(3cos ,sin )θθ，点P 到直线l 的距离|3cos sin 4|222sin()32d θθπθ+-==-+所以点P 到直线l 距离的最大值为32．15.【2015届江西高安中学高三命题中心模拟三】在平面直角坐标系x y O 中，3+2cos ,12sin )A αα+点的直角坐标为（（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）．（1）试求A 出动点的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1,求实数m 的取值范围．【一年原创真预测】1.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：221512cos ρθ=+，直线l ：2sin()33πρθ+=.。
