初中数学切线的性质与判定

初中数学什么是切割定理
在初中数学中，切割定理是一个重要的概念，它涉及到圆的切线与割线的关系。

下面我将详细介绍切割定理的定义、性质和相关概念。

1. 切割定理的定义：
-切割定理：在一个圆上，从圆外一点引出一条割线与圆相交于点A，再从点A引出一条切线与圆相切于点B，那么割线与切线所截取的弧的度数相等。

2. 切割定理的性质：
-定理性质1：在一个圆上，割线与切线所截取的弧的度数相等。

即弧AB的度数等于割线所截取的弧ACB的度数。

-定理性质2：切割定理适用于任何圆，无论圆的半径大小。

3. 切割定理的应用：
-弧度的计算：根据切割定理的性质，我们可以利用已知的割线与切线所截取的弧的度数相等的关系，来计算割线和切线所截取的弧的度数。

-问题求解：切割定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，如求解割线和切线所截取的弧的度数、判断割线和切线的位置关系等。

切割定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。

在运用切割定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切割定理的了解。

初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。

下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。

1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。

2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。

如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。

-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。

切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。

然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。

希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。

初中数学什么是切线定理
初中数学中，切线定理是与圆相关的一个重要概念。

下面我将详细介绍切线定理的定义、性质和相关概念。

1. 切线定理的定义：
-切线定理：如果一个直线与一个圆相交，且与圆的切点相同，那么这条直线是圆的切线。

2. 切线定理的性质：
-定理性质1：切线与半径的关系。

切线与半径相交于切点，并且与半径垂直。

-定理性质2：切线的长度等于半径和切点到圆心的距离之间的乘积。

即TL = TR × TH。

3. 切线定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。

-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。

切线定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。

在运用切线定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切线定理的了解。

初中数学什么是圆的切线
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。

下面我将详细介绍圆的切线的概念和性质：
1. 圆的切线定义：
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。

这个切点是圆上的点，切线与圆的边界只有这一个交点。

2. 圆的切线的性质：
-圆的切线与半径垂直，即切线与半径的夹角为90°。

-从圆的外部引一条直线与圆相交，如果直线与圆的边界相切，那么这条直线就是圆的切线。

-圆的切线长度等于从切点到圆心的半径长度。

-圆的切线与切点到圆心的连线共线。

-圆的切线是与圆心连线的直线中最短的一条。

3. 圆的切线的应用：
圆的切线在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在光学中，圆的切线可以用于描述光线与曲面的相交关系；在工程学中，圆的切线可以用于定位和布局。

另外，圆的切线的性质也可以用于解决一些几何问题，如构造、证明等。

需要注意的是，圆的切线是一条直线，它与圆的边界相切且只有一个交点。

以上是关于圆的切线的概念和性质的介绍。

希望以上内容能够满足你对圆的切线的了解。

切线长定理—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O 有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2.（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∴OA=∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．图（2）【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．类型三、与相切有关的计算与证明4.（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB 于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．。

专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB 于D 点，连接CD ．（1）求证：∠A=∠BCD ；（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x 轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB 的长．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，CB ＝CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由．（2）若AB ＝6，∠BDC ＝60°，求图中阴影部分的面积．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.（1）求证：CD与O相切.（2）若正方形ABCD的边长为1，求半径OA的长.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB 上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【变式5-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．(1)求证：平分；(2)连接，若，，求的长．【变式5-2】（2023春·广东韶关·九年级校考期末）如图，已知△内接于⊙O，是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于D点，交的延长线于E点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【变式5-3】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是△的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．(1)求证：平分；(2)连接，判断△的形状，并说明理由；(3)若，，求线段的长．【题型6 利用切线的性质求角度大小】【例6】（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（）A．B．C．D．【变式6-1】（2023春·河南信阳·九年级校联考期末）如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，且与相切，则此时等于（）A．B．C．D．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图：P是的直径的延长线上一点，是的切【变式6-2】线，A为切点，，则．【变式6-3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且＝，点P 是射线上一动点（不与点O重合），连接，将△沿折叠得到△，当△的边所在的直线与圆O相切时，的度数为．【题型7 利用切线的性质证明】【例7】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，BD是的直径，是的弦，过点A的切线交的延长线于点C，．求证：△ △．【变式7-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明：(1)是的角平分线；(2)．【变式7-2】（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A．(1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．（2023·安徽·九年级统考期中）已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点【变式7-3】为点、，连接，过点作交于点，过点作于.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于.【题型8 切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，P A为⊙O的切线，BC OP交⊙O于C，PO交⊙O 于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．【变式8-1】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB 上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．【变式8-2】（2023春·河南周口·九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接(1)求证:是的切线；(2)点为上的一动点，连接.①当时，四边形是菱形;②当时，四边形是矩形.【变式8-3】（2023春·湖北·九年级期末）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求的值．【题型9 过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．【变式9-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点．（1）；（2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【变式9-2】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）已知：和外一点．(1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：；(2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．【变式9-3】（2023·北京海淀·九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC=50︒，利用无刻度直尺在图中画一个含有50︒角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【答案】D【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF 是矩形，根据垂径定理即可求得半径．【详解】解：连接OD，OC．∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴DE是圆的切线．故A正确；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确；∵AB是圆的直径．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延长线于E．D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴四边形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确；在直角△ABC中，AC=16，AB=20，则∠ABC≠30°，而D是弧BC的中点．∴弧AC≠弧CD．故D错误．故选D．【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O 交AB于D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】（1M为BC的中点．【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．试题解析：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．考点：切线的判定．【变式2-3】（2023春·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA 是半径，∴EF 是⊙O 的切线．（3）∵OA=OB ，∴点O 在AB 的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B ，∠BAC=∠FAC ，∴∠BAC=∠B ，∴点C 在AB 的垂直平分线上，∴OC 垂直平分AB ，∴OC ⊥AB ．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为5．【分析】（1）连接OD ，可得OA OD =，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得ODA CAD ∠=∠，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD AC ∥，根据平行线的性质，可得90ODB C ∠=∠=︒，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，根据垂径定理可得118422AG FG AF ===⨯=，故5CG =，根据矩形的判定和性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，则OA OD =，ODA OAD ∴∠=∠， AD 是BAC ∠的平分线，OAD CAD ∴∠=∠，ODA CAD ∴∠=∠，OD AC ∴∥，90ODB C ∴∠=∠=︒， OD 为O 的半径，点D 在O 上，∴BC 是O 的切线；（2）解：过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，如图，OG AF ⊥，118422AG FG AF ∴===⨯=， 1CF =，145CG CF FG ∴=+=+=，OG AF ⊥，90OGC ∴∠=︒，90ODB C ∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，5DO CG ∴==，O ∴的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OE 、AE ，则OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，由CE CA =，得CEA CAE ∠=∠，所以90CEO CEA OEA CAE OAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，即可证明CE 与O 相切；（2）由切线的性质得90FEO ∠=︒，3OE OA ==，4EF =，得5OF ，则8AF OF OA =+=，即可根据勾股定理列方程2228(4)CE CE +=+，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OE 、AE ，则OE OA =，OEA OAE ∴∠=∠，CEA CAE ∴∠=∠，90CEO CEA OEA CAE OAE CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， CE 经过O 的半径OE 的外端，且CE OE ⊥，CE ∴与O 相切．（2）解：由（1）知CE 与O 相切，∴90FEO ∠=︒∵3OE OA ==，4EF =，5OF ∴，8AF OF OA ∴=+=，∵90CAF =︒∠∴222CA AF CF +=，∵CA CE =，4CF CE =+，2228(4)CE CE ∴+=+，6CE ∴=，CE ∴的长为6．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②O 的半径为5．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB ∠=︒，进而得出90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，即可得出结论；（2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，进而得出90B ACE ∠+∠=︒，根据题意可得出AE OC ⊥，推出90CAE ACE ∠+∠=︒，即可得出结论；②设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，得出ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，根据勾股定理得出()(2222x x +=，求出2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，根据勾股定理得出()22242OA OA +-=，即可得出答案 【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∵PAC B ∠=∠，∴90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，∴AP AB ⊥，∴AP 是O 的切线；（2）①证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，∵OC OB =，∴B BCO ∠=∠，∴90B ACE ∠+∠=︒，∵OC 经过AF 的中点E ，∴AE OC ⊥，∴90CAE ACE ∠+∠=︒，∴B CAE ∠=∠；②解：设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，∴ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，222AE CE AC +=，∴()(2222x x +=，解得：2x =（负值舍去），即2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，222AE OE AO +=，∴()22242OA OA +-=，解得：5OA =，即O 的半径为5．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x(2)求AB 的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)6【分析】（1）连接OM ，由AC 平分OAM ∠可得OAC CAM ∠=∠，又MC AM =，所以CAM ACM ∠=∠，进而可得OAC ACM ∠=∠，所以OA ∥MC ，可得MC x ⊥轴，进而可得结论；（2）过点M 作MN y ⊥轴于点N ，则A N B N =，且四边形MNOC 是矩形，设,AO m =可分别表达MN 和ON ，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：M 与x 轴相切，理由如下：如图，连接OM ， AC 平分OAM ∠，OAC CAM ∴∠=∠，又MC AM =，CAM ACM ∴∠=∠，OAC ACM ∴∠=∠，OA ∴∥MC ，OA x ⊥轴，MC x ∴⊥轴， CM 是半径，M ∴与x 轴相切（2）如图，过点M 作MN y ⊥轴于点N ，AN BN ∴==12AB ，90MCO AOC MNA ∠=∠=∠=︒，∴四边形MNOC 是矩形，NM OC ∴=，5MC ON ==，设,AO m =则6OC m =-，5AN m ∴=-，在Rt ANM 中，222AM AN MN =+，∴()()222556m m =-+-，解得2m =或9(m =舍去)，3AN ∴=，6AB ∴=． 【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，【例4】CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）3π【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积．【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，∴∠BFD=90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵AD∥BC，∴∠ADB= ∠CBD，∴CB= CD，∴∠CBD= ∠CDB，∴∠ADB = ∠CDB ，在△ABD 和△FBD 中 ，ADB CDB BAD BFD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD (AAS)，∴BF = BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与⊙B 相切；(2) ∵∠BCD = 60°，CB = CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD = 60°，∵ BF ⊥CD ，∴∠ABD = ∠DBF = ∠CBF = 30 °，∴∠ABF = 60 °，∵ AB = BF = 6，∴AD = DF °∴阴影部分的面积= S △ABD －S 扇形ABE= 2130662360π⨯⨯⨯-=3π ．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的O 与BC 相切于点M .（1）求证：CD 与O 相切.（2）若正方形ABCD 的边长为1，求半径OA 的长.【答案】（1）见解析；（2）2OA =【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC 的长，再根据等腰直角三角形的性质得出即可求出.【详解】解：（1）如图，连接OM ，过点O 作ON CD ⊥于点N ，∵O 与BC 相切，∴OM BC ⊥∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分BCD ∠，∴OM ON =，∴CD 与O 相切.（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴1,90,45AB B ACD ︒︒=∠=∠=，∴45AC MOC MCO ︒∠=∠=，∴MC OM OA ==，∴OC .又AC OA OC =+，∴OA 2OA =【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．（2）过作交于，可求，，，接可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，为的切线，，，，，，，，．。

专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。

本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于090。

1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（）A．26°B．32°C．52°D．64°【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝26°，∴∠AOB＝90°﹣26°＝64°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝32°，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，∴OM＝2，NO＝8，∴NM＝6，∵PD⊥NM，∴DM＝3∴OD＝5，∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．即点P的坐标是（4，5）．故选：D．3．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．【解答】（1）证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，在Rt△AOC和Rt△AOD中，∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，r2+32＝（r+1）2，解得r＝4；由（1）有AC＝AD，AB＝AD+DB＝AC+DB＝AC+3，BC＝BE+2r＝1+8＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2+92＝（AC+3）2，解得AC＝12，∴S＝AC•BC﹣πr2＝×12×9﹣π×42＝54﹣8π．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC 于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，（1）求证：CD是⊙O的直径；（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；（3）当AB＝，BC＝6时，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AC的垂直平分线是DE，∴∠CED＝90°，∴CD是⊙O的直径；（2）解：连接OE，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC，∵若BE是⊙O的切线，∴BE⊥OE，∠BED+∠DEO＝∠DEO+∠OEC＝90°，∴∠BED＝∠OEC，∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠C＝∠OEC，在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO＝180°，∴∠C＝30°．（3）解：∵AB＝2，BC＝6，∴tan C＝，∠C＝30°，AC＝2AB＝4，∴EC＝2，∵cos∠C＝，∴cos30°＝，∴CD＝4，∴OC＝CD＝2，∵∠C＝∠CEO＝30°，∴∠COE＝120°，∴扇形OEC的面积为＝π，作OF⊥EC，垂足是F，∵∠C＝30°，∴OF＝OC＝1，∴△OCE的面积为×2×1＝，即阴影部分的面积为π﹣．切线长定理：5．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA【解答】解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，P A＝PB，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝P A＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．6．（长郡）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．47【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．8．（青竹湖）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED，，∴Rt△OAD≌Rt △OED（HL）∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，∵∠DOE+∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD＝2（S△DOE+S△COE）＝2S△COD＝OC•OD＝48，即xy＝48，又∵x+y＝14，∴x2+y2＝（x +y ）2﹣2xy ＝142﹣2×48＝100， 在Rt △COD 中，CD ＝＝＝＝10，∴CD ＝10．内切圆与外接圆半径问题9．两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm ．【解答】解：∵直角边长分别为6cm 和8cm ，∴斜边是10cm ，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm ． 故答案为：5．10．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，则三角形内切圆的半径为 ． 【解答】解：∵∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝＝＝8，∴△ABC 的内切圆半径r ＝＝2．故答案是：2．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC +BC ﹣AB ）＝1，∴AC +BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14． 故选：B ．12.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_________. 【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，如图，设Rt △ABC 的内切圆的半径为r ，则OD=OE=r ，∵∠C=90°，∴CE=CD=r ，AE=AN=3-r ，BD=BN=4-r ，∴4-r+3-r=5，解得r=1，∴AN=2，在Rt △OMN 中，MN=AM -AN=21， ∴25OM ，则该三角形内心与外心之间的距离为25.13．（长沙中考）如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE＝2AD＝6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE ＝∠E，∴AE＝AC，而AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB＝＝5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42＝R2，解得R＝，∴PD＝P A﹣AD＝﹣3＝，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ＝S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5＝•3•8，解得r＝，即QD＝，∴PQ＝PD+QD＝+＝．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．14.（青竹湖）如图，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 对角线， DG AC ⊥于点G ，延长DG 交AB 于点E ，已知6AD =，8CD =。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。

本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。

五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。

同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。

2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。

在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。

3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。

4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。