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函数 解析式 图象形状
位置
反比例函数
y k 或y kx 1或xy k (k 0) x
双曲线 双曲线两分支分别在 第一、第三象限
k>0
增减性 在每一个象限内y随x的增大而减小； 位置
k<0
增减性
双曲线两分支分别在 第二、第四象限 在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数 表达式 正比例函数 反比例函数
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1 1.函数 y 的图象位于第二、四 象限, 2x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x＞0时,y ﹤ 0,这部分图象位于第 四 象限.
k 2.若点(-m，n)在反比例函数 y x
B
P(m,n) A
o
x
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为
.
练习4：
1
1 1 |k| 2 1 2 2
yHale Waihona Puke k 2 S ΔPODo
P
D x
1 2、如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线, 垂足为D.记RtAOB的面积为S1 , RtOCD的面积为S 2 , 则 ___ C.
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
y
解:设P(m,n),则P(-m,-n). AP | 2m|，AP | 2n|； 1 S | AP AP| ΔPAP 2 1 | 2m|| 2n| 2 2|k|
P(m,n)
o x
P/ A
5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
D
y
C
A o
B x
综合应用：
k y 已知点A（3，4），B（－2，m）在反比例函数 x 的图象上，经过点A、B的一次函数的图象分别与x轴、y 轴交于点C、D。 ⑴ 求反比例函数的解析式； ⑵ 求经过点A、B的一次函数的解析式； ⑹ 在y轴上找一点H，使△AHO为等腰三角形，求点H 的坐标;
3 y =|xy|=x|k|
则 k=s或-s
M
x
(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面
积为3,则这个反比例函数的关系式是
-3 3 y 或 y x x ________________________.
1 4.如图,P,P是函数y 的图像上关于原点O对称 x 的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 , Δ PAP的 C 面积 S,则___.
m y 的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点． x
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求⊿AOB的面积．
y
A
O
C
D
B
x
4 6、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与 y x图像
交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足 为点C，则△BOC的面积为 . 2 S⊿AOC =∣-4 ∣= 2 S ⊿BOC =S ⊿AOC
x 1 2 3 4 C: y 8 5 4 3
x
D:
1
1
2
1 2
3
1 3
4
1 4
y
4、已知y-1与x+2成反比例，当x=2时,y=9。
请写出y的x函数关系。
5、已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x = 1时，y=－1；x=3时， y=5．求y与x的函数关系式.
二、反比例函数的图象和性质:
2 8.考察函数 y x 的图象,
(1)当x=-2时,y= -1
, ;
(2)当x<-2时,y的取值范围是-1<y<0
(3)当y≥-1时,x的取值范围是 x>0或x≤-2 .
k1 9、如下图是三个反比例函数 y x
k2 y x
k3 y x
在x轴上方的图象，由此观察得到的k1，k2，k3大小 关系为(
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定. y
o
S2
S1
A
B D
x
C
k 3、 如图 , P是反比例函数 y 图像上的一点,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3, 则这个反比例
3 函数的解析式是 ____ y . x
解:由性质(2)可得
D
2 7、四边形ADBC的面积=_____
y
A D
o
y
D A
o
C
x
B
x
B
C
8、 如图，D是反比例函数 y k ( k 0)
x 的图像上一点， 过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴 于C，一次函数y=-x+2与x轴交 于A点，四边形DEAC的面积 为4，求k的值．
F
D E y C O A B x
B
x
A(2,4), B(4,2).
(2)解法一 : y x 2,当y 0时, x 2, M (2,0).
OM 2.
作AC x轴于C, BD x轴于D.
AC 4, BD 2,
A N MD C O B y
x
1 1 S OMB OM BD 2 2 2, 2 2 1 1 S OMA OM AC 2 4 4. 2 2
O
-2
5
x
-5
O
-2
x
-4
-4
C
D
7:增减性 （x1，y1）、（x2，y2）,若x1>x2 >0,则y1与y2 的 大小关系是 。
k 1 y 1、在反比例函数 x 的图象上有两点
2
变：1）将x1>x2 >0变为x1 >0 >x2，则y1与y2 的 大小关系是 。 2）将x1>x2 >0变为x1>x2，则y1与y2 的大小关 系是 。 3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、 （x3，y3）,且y1>0>y2 > y3,则x1、x2 、 x3的大 小关系是 。
①
y = 3x-1
②
y=
2x2 1 x
2x 1 y= 3 y= x ③ ④
⑦ y = 1 ⑧ xy=-2
⑤ y = 3x
⑥ y=
3x
2. 若
y (m 2) x
3m2
是反比例函数，
则m＝＿＿＿＿＿＿． －2
m-2≠0，3-m2=－1
3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关 系，其中是反比例函数关系的是( D ). x 1 2 3 4 A: y 5 8 7 6 x 1 B: y 6 2 8 3 9 4 7
y
P C
S矩形A P C O |k|, |k| 3.
又图像在二 ,四象限,
k 3 3 解析式为y . x
A
o x
提高篇:(1)如图,点P是反比例函数
图象上的一点,过点P分别向x轴、y
轴作垂线,若阴影部分面积为3,则 这个反比例函数的关系式 是 .
N
y
p
o
提示：S矩形
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
1 ∴ m＞ 3
6、如图，函数 和y=－kx+1(k≠0)在同一坐 标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
以前做过这 样的题目吗？
x
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
-4
-4
A
6
B
y
6
y
4
4
方法：先假设某个 函数图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
5
2
2
-5
8 例：已知如图反比例函 数y 与一次函数y x 2的图 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ; (2)AOB的面积.
8 y , 解 : (1) x y x 2.
y A
N M O
x 4, x 2, 解得 或 y 2; y 4.
解：当X=0时, y=2. 即 C (0 ,2） 当y=0时, x=2. 即 A (2 ,0) ∴S⊿AOC =2 ∴S四边形DCOE =4-2=2 ∴K=-2
k 例： (2007武汉市)如图，已知双曲线 y (x＞0) x
思索归纳
经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k2 ＝____。
k y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数 y 或y kx 1或xy k(k 0) x )
y
图象 及象限
y
y x 0 x k>0 0
y x
o x
o k<0
k>0
k<0
当k>0时，y随x的增大而增大;
性质 当k<0时，y随x的增大而减小.
在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小; 当k<0时，y随x的增大而增大.
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二: y x 2,当x 0时, y 2, N (0,2).
ON 2.
作AC y轴于C, BD y轴于D.
AC 2, BD 4,
