【精品】PPT课件 一、高阶导数及其运算法则

2 x y ( 0 ) 0 0; 22x ( 1 x)
2 2 ( 3 x 1 ) 2 . ( y 0 ) 0 23 x ( 1 x )
x 例4 求指数函数 y e 的 n 阶导数。
解：
x x x ( 4 ) x y' e , y" e , y''' e , y e ,
( n 1 )
即
( n 1 )! [ln( 1 x )] ( 1 ) . n ( 1 x )
( n )
返回
例7
( n ) 设 y x ( R ), 求 y .
1 x 解 y
1 2 y ( x ) ( 1 ) x
2 3 y ( ( 1 ) x ) ( 1 )( 2 ) x

( n ) n y ()
( n ) n( n ) ( n 1 ) 若 为自然数 n ,则 0 n ! , y ( x) y ( n ! ) .
d y d f ( x ) f ( x ), y, n 或n . dx dx
( n ) ( n )
n
n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 返回
二、 高阶导数求法举例
例1
解
y ax b . 求 y" .
y' a , y" 0 .
sin t , 求 s" 。 例2 s
解
s' cos t , s" sin t .
• • • 一般地，函数 y f（ x ）的导数 y' f' (x)仍然

解： dy (ex) dxdx
x0
x0
dy (ex) dxedx
x1
x1
14
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4.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
当 x 很小时, ydy
y
dy
y f(x)
y
O
x0
x
x0 x
15
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二、 微分运算法则
2
t
dt
9
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二、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x 0 变到 x0 x ,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x 0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x0 2
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d dx
(d d
y x
)
d dt
(
dy dx
)
dd tx ddxt
8
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注意 : 已知
dy dx
(t (t
) )
,
d2y d x2
(t ) (t )
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y, y ( 4 ) , , y(n)
或
d d
3
x
y
3
,

v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
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若 为自然数n, 则
( xn )(n) n!,
( xn )(n1) (n!) 0.
( xn )(k) 0, (k n 1, n 2,).
例10. 设 y ln(1 x), 求y(n).
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x
)2
,
y
(1
2! x
)3
,
y(4)
3! (1 x)4
,
y(n)
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作
y ( y)
或
d2 y d dy
d x2
d
() x dx
y或
d2 y d x2
,
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y(n) ( y(n1) )
或
dn y d dn1 y dxn dx ( dxn1 )
y(n) (sin x)(n) x2 Cn1(sin x)(n1) ( x2 )
Cn2(sin x)(n2) ( x2 ) 0
x2 sin(x n ) 2nxsin(x (n 1) ) n(n 1)sin(x (n 2) ),
2
2
2
y(n)(0) sin n .
2
x2
)2
]
2(3 x (1
2 1) x2 )3
,
则
y(0)
2x (1 x2 )2
0;
x0
y(0)
2(3 x2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
例4. 证 明： 函 数y 2x x2 满 足关 系 式 y3 y 1 0.

=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +

⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+

2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得

((− ))

1
=
=

(
2

−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()


= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.

由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()

′ ()

高阶导数
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。

(3) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数.
例9： y x2，求d 2 y.
解：

当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt 2.
（2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt 2. dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt.
d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt 2 12t 2dt 2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt 2 12t3dt 2.
例10. y xn e x，求d n y.

解： (e x )(n) e x , ( xn )(n) n!,
xn
n
y(n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0

n k 0
Cnk a x (ln
a)nk

(1) k 1 (k xk
1)!.
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
•
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x

y aeax , y a2eax , , y(n) aneax .
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cos x sin(x ),因为x不是自变量， xg (t )，dx

3 x
解
例6 求函数 y ln sin x 的导数 .
解
y ln u , u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 2 [ v ( x )]
f(x ) 在 x 处可导 .
高等数学
推论
x ( 1 ) [ f x ) ] f ) ; i( i(
i 1 i 1
n
n
( 2 ) [ Cf ( x ) ] C f ( x );
高等数学
例3 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x (cos x ) 2 cos x
2 2 1 cos xsin x 2 sec x 2 2 cosx cos x
高等数学
推广 设 y f ( u ), u ( v ), v ( x ),

则复合函数 yf{ [ (x )]} 的导数为 dy dydu dv . dx du dvdx
高等数学
例5
求函数 y e 的导数 .
u 3 y e , u x , dy dy du 3 u 2 x 2 e 3 x e 3 x . dx du dx
高等数学
第二章 导数与微分
第二节 求导数的一般方法
主要内容
一、基本初等函数的导数 二、函数四则运算求导法则 三、复合函数求导法则 四、隐函数求导法则

高等数学

k!
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律 目录 上页 下页 返回 结束
例6.
求
解: 设 u e2x , v x2 ,则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 ) v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼茨公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
16
各x项2 均3含x 因2 子 (x(x2–)(2x ) 1)
n! (x 1)n cos π x2 L
16
(2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f (x) [ f (x)]2 , 则当
n 2 时 f (n) (x) n ! [ f (x)]n1
提示:
f (x) 2 f (x) f (x) 2![ f (x)]3
1
(x 2)(x 1) x 2
B (x 1) Байду номын сангаас
1
1
(x 2)(x 1) x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导 数, 即 a(t)ddvtdd22tys(t).
二、简单函数高阶导数的习例 例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数 例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导 例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数 记 :y为 或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导 个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32