5同态与同构89节

例. 群（R，+）和 (R+, · )是同态的，
因为若令σ：x ex ， x∈R ， 则σ是R到R+的1-1映射，且对 任意x1, x2 ∈R ， 有 σ(x1+x2)=ex1+x2= ex1·ex2 =σ(x1) ·σ(x2)， σ是（R，+）到(R+, · )的满同态映射。
证明
(1) 因为群G非空，至少1∈G，故至少 σ(1)∈G′，即G′非空。 (2) 任取a’∈G′，b’∈G′， 往证a’b’∈G′。 因有a,b∈G, 使得 a’=σ(a), b’=σ(b)， 故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)， 而ab ∈G, 因而a’b’ =σ(ab) ∈σ(G), 即 a’b’ ∈G′。
综上，G’做成一个群， G’的壹1’=σ (1)，G’中σ(a)的逆是σ (a-1)。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统，
σ 是G到K内的一个同态映射，如果σ 是G 到σ (G)上的1-1映射，则称σ 是同构映射。 称G与σ (G)同构，记成G σ (G)。

例. 群（R+，· ）和（R，+）是同构的。因为若 令 σ：xlogx，x∈R+， 则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+， σ(a·b)=log(a·b)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。 故σ是（R+，· ）到（R，+）上的同构映射。
例. 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数 加法群，则对a∈G，n∈ Z，使得 a=gn， 令 f： a n 。 不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取 a,b∈G，则存在i,j∈Z，使得a=gi， b=gj， f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj), 因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。

a1
• 例3 2 : a 1 ( a 是 A 的任一元) • 固然是一个 A 到 A 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 A 的 a 和 b 来说,
a 1, b 1
a b 1 ( 1) ( 1)
进一步的定义
• 定义2 • (1)单同态:
( a b ) ( a ) ( b )
• 换一种表示，假定在 之下的像，
x x
• 上面的等式即:
a b a b
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a , b A,都有:
由于是同态满射我们在里至少找得出三个元这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性定理2假定都是集合的代数运算都是集合的代数运算并且存在一个对于代数运算来说同态对于代数运算来说也同态
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
x y z x y z
A 抽象地来看， 与A 这两个代数系统，没有任何区别（只 有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
• 定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在 一个 A 到 A 的同态满射 f ,就称 A 和 A 同 态. • 记号: A A • 性质1 （1）反身性: A A （2）传递性: 注: 对称性不成立
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A 到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.

-
4
证明
(1) 因为G非空，显然G′非空. (2)设a’∈G′，b’∈G′，往证a’b’∈G′。
因有a,b∈G,使得 a’=σ(a), b’=σ(b)，
故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)，
而ab ∈G, 因而a’b’∈G′。
-
5
(3) 往证G′中有结合律成立： 设a’ ，b’，c’∈G，往证a’ (b’ c’)=(a’b’)c’。 有a,b,c∈G,使得 a’ =σ(a),b’=σ(b),c’=σ(c)， 因群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于 是
……
用⊕表示陪集间的加法，则
1 ⊕4 =(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N= 0 ，
G 在陪集加法下是一个群，若命σ：a→a+N，
则σ是G到 G 上的同态映射,且σ的核就是N。
-
21
第三同态定理
定理6.5.4 设σ是G到G′上的一个同态映射，
若σ的核为N，则G′ G/N。 ❖例. 设G是整数加法群，
σ：x→x（mod 5），x∈G ，则 G′=σ（G）={0，1，2，3，4} 是模5的加法群，σ是G 到G′上的同态映射。 σ的核为N=5G，
G∕N =={ ,0 ,1 ,2 ,3 }4， 则G′G∕N。
-
22
证明
因为G′的元素和G∕N的元素一一对应，设在这个 一一对应之下，G′的元素a′和b′分别对应G∕N的 元素aN 和bN，其中a′=σ（a），b′=σ（b） ：
b∈σ-1(a’)iff σ（b）=a′
iff σ(b)(a′)-1=1′
iff σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1’

8.3.1 同态、同构的定义
定义 5-22 设 G1, 和 G2 , 是两个群，映射 : G1 G2 ， 如果对 a,b G1 ，有
(a b) (a) (b)
则称 是群 G1 到 G2 的同态映射，简称同态。 例 5-23 设 G1 Z, 是整数加群，G2 {Zn, }是模 n 整数加
循环群和置换群
循环群和置换群是两类重要的群，在计算机密码学中都有 着重用的应用。
定义 5-25 设 G, 为群，如果存在一个元素 a G ，使 G {ak | k Z}，则称 G 为循环群，记作 G a ，称 a 是 G 的生成 元。
例 5-28 (1) Z, 是一个循环群，1 或-1 是生成元，1 与-1 互为逆元。
群。令 : Z Zn ，( x) (x) mod n
则 是 G1 到 G2 y) mod n ( x) mod n ( y) mod n (x) ( y)
例 5-24 设 G1 R, 是实数加群， G2 R {0}, 是非零实数 乘法群。令
证明 首先根据同态的定义，易证 是满足结合律的。其次，由定理 1 的性质(1)，知
G2 , 中存在单位元 e2 (e1) ，其中 e1 为 G1 的单位元。 对于任意的 t G2 ，由于 是 G1 , 到 G2 , 的满射，于是存在 g G1 ，使
( g) t 。令( g1 ) t ' ，于是( g1 g) (e1) e2 。 另一方面，( g1 g) ( g1 ) ( g) t ' t ，所以t ' t e2 。同理可证 t t' e2 。因
定理 5-13 设 是 G1, 到 G2 , 的同态映射， H G1 ，则 (H ) G2 。
证明 任取 x, y (H ) ，则存在 a,b H ，使得 x (a) ， y (b) ； x y (a)(b) (a b)(H ) ，所以 (H ) 对于运算 封闭。又 (e) 是 G2 的 单 位 元 ， x (H) 存 在 a G1 ， 使 得 x (a) ， 从 而 x1 (a1) ( H) 。综上， (H ) 是 G2 的子群。