高二数学排列组合复习学案

排列与组合
基础知识
自主梳理
1排列的定义：______________________________________________.
2.排列数的定义:_____________________________________________
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m
n
表示．
说明：①n！＝________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝____；③
当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A n
n
＝____.
3．排列数公式：(1)A m
n ＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A m
n
＝
n！
－！
，其中公
式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序
．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（m n
）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m
n
A只表示排列数，而不表示具体的排列
4．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做________________________________．
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__________，用__________表示．
5．组合数公式的两种形式：
(1)C m
n ＝
A m
n
A m
m
＝
－－－m＋
－
；
(2)C m
n ＝
n！
m！－！
，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具
体数且m≤n
2
的情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．
6．C m
n ＝C k
n
⇔________________，m、k∈N，n∈N*.
7．组合数的两个性质：(1)C m
n ＝____________，(2)C m
n＋1
＝________________.
注意事项
1.排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
2. (1)排列数公式A m
n ＝
n！
－！
(2)组合数公式C m
n ＝
n！
m！－！
利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．
①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．
②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．
3.求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
例题
例1 (1)求等式C5
n－1
＋C3
n－3
C3
n－3
＝3
4
5
中的n值；
(2)求不等式1
C3
n
－
1
C4
n
<
2
C5
n
中n的解集．
变式迁移1 (1)解方程：A4
2x＋1＝140A3
x
；
(2)解不等式：A x
9>6A x－2
6
.
【例2】在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序．工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A. 34种
B. 48种
C. 96种
D. 108种
【变式1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．
练习：用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．
【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【变式】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，
(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
练习：（1）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是________．
（2）袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?
【例4】（1）将12本不同的书
Ⅰ、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有种分法。

Ⅱ、平均分成三堆，有种分法。

（2）7本不同的书
Ⅰ、全部分给6个人，每人至少一本，共有种不同的分法。

Ⅱ、全部分给5个人，每人至少一本，共有种不同的分法。

作业：
1. 五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有
( )
A. 20种
B. 24种
C. 40种
D. 56种
2.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）
（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个
3.近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在
[6,11)，[21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数
据，然后从这8个数据中抽取2个，则最后得到的2个数据
分别来自两组的取法种数是( )
A．10 B．13
C．15 D．18
4.在学校组织的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有( )
A. 6种
B. 36种
C. 72种
D. 120种
5. 2012”含有数字0,1,2，且有两个数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A. 18
B. 24
C. 27
D. 36
6、从数集M={1，2，3}到数集N={1，2，3，4}的不同映射的个数是（）
A、81
B、64
C、24
D、12
7.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为
________．
8.在数字7,8,9与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字不相邻的全排列个数是________．
9．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________．
10.6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有________种．11.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
12.由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和288，则数x等于________。

二、解答题
13.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
14.从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？。