范氏气体的热力学特性

等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体
范氏气体是一种可以近似为理想气体的气体模型。

它是由19世纪末的荷兰物理学家范德瓦尔斯提出的，用来描述实际气体在一定条件下的行为。

范氏气体模型考虑了气体分子
之间的相互作用力和分子体积，并且可以在一些特定情况下转化为理想气体模型。

在压力较低、温度较高的条件下，范氏气体具有类似于理想气体的性质。

理想气体是
一种理论上的模型，假设气体分子之间是没有相互作用力的，并且分子体积可以忽略不计。

实际上，气体分子之间常常存在一定的相互作用力，并且占据一定的体积空间，因此实际
气体的行为不能完全用理想气体模型来描述。

根据范德瓦尔斯方程，范氏气体的状态方程可以表示为：
(p + a/V_m^2)(V_m - b) = RT
p是气体的压力，V_m是气体的摩尔体积，a和b分别是范德瓦尔斯常数，R是气体常数，T是气体的温度。

当范氏气体的压力足够低，分子之间的相互作用力可以忽略不计时，上述方程简化为
理想气体状态方程：
pV_m = RT
在高压条件下，范氏气体的分子之间的相互作用力和分子体积不能忽略不计，范氏气
体的状态方程与理想气体的状态方程有所不同。

在高压情况下，范氏气体的分子之间的相
互作用力会增加气体的压力，分子体积会减小气体的体积。

范氏气体在高压条件下无法近
似为理想气体，需要考虑分子之间的相互作用力和分子体积。

对范氏气体的讨论在热力学中，范氏气体是一个重要的概念，它是一种由特定温度和压强形成的气体，它使我们能够建立起热力学世界和化学世界之间的关系。

范氏气体的研究不仅有重要的实际应用价值，而且极大地丰富了物理学的理论知识。

范氏气体的发现追溯到1834年，当时由爱尔兰物理学家爱德华范恩斯首先提出了他的制冷实验。

他发现，当给蒸汽室加入一定数量的冷凝物时，它的温度显著降低，而压强保持不变。

这一实验表明，气体在特定的条件下可以达到压强平衡态，我们称之为范氏气体。

范氏气体的定义是指一定温度和压强下的气体，它具有一定的潜力和热力学性质，可以用来描述气体的多种物理性质，如温度、压强、比焓、比容等。

在不同的条件下，它的状态可以有很大的变化，可以进行吸收或放出热量，这一特性决定了它在热力学中的重要性。

在许多工程学科中，范氏气体也有广泛的应用，如制冷、气体燃烧、空气动力学、电力设备、气象学和空间科学等等。

范氏气体在热力学方面的研究一直是物理学家们研究的重点，这也正是它如此重要的原因。

由于它的深奥和复杂性，研究者们长期致力于揭示范氏气体的本质，以及由此产生的理论和实验研究。

其中，最具代表性的是马斯克斯拉普拉斯发现的“定压定温定状态”，它把范氏气体系统分解成一系列热力学状态，更好地阐释了范氏气体系统的运行原理。

另外，物理学家也使用一些描述性的方法来研究范氏气体的行为，其中最重要的性质是能力比（Cp/Cv），它可以说明气体在不同条件下的性质及其变化规律。

此外，还有许多研究者利用实验、理论分析和计算机模拟技术来深入了解范氏气体的特性。

他们利用实验方法研究了温度、压强及其变化和物质的各种性质之间的关系；利用理论分析方法探究范氏气体系统的特性及其变化；甚至还有利用计算机模拟技术模拟范氏气体系统的真实运行情况，以便更好地深入了解它的性质。

范氏气体的研究取得了重大成果，不仅为我们理解自然界的某些物理现象提供了基础，而且为许多工程学科的发展做出了贡献。

产能经济以范氏气体为工质的可逆埃里克森热机的性能研究谢石昊　陈　鑫 福建省计量科学研究院摘要：本文应用热力学理论对以范德瓦尔斯气体为工作物质的埃里克森热机循环的性能进行优化分析。

导出了可逆埃里克森循环效率的解析表达式。

并分析了范氏气体的相互作用修正参数及循环过程压力比对优化性能的影响。

获得了一些有意义的新结论。

本文所得结果可望为实际埃里克森热机的优化设计提供一些新的理论依据。

关键词：有限时间热力学；范德瓦尔斯气体；埃里克森循环；优化性能中图分类号：TK212 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2015)024-000279-02一、引言本文建立以范德瓦尔斯气体[8]为工质的埃里克森热机模型[9,10]，探讨范氏方程中相互作用修正参数a 和埃里克森循环两等压过程的压强比对循环功率和效率的影响。

所得结论可为埃里克森热机的研制和优化设计提供理论依据。

二、范氏气体的热力学性质理想气体方程应用到真实气体，必须考虑到真实气体的特征，予以必要的修正。

上世纪以来，许多物理学家先后提出了各种不同的修正意见，建立了各种不同形式的气体状态模型，其中形式较为简单，物理意义比较清楚的就是范德瓦尔斯方程。

对于1mol 的气体系统，范德瓦尔斯方程可表为(1)式中R 为气体普适常量，a 和b 为两修正参量。

b 是考虑到气体分子本身体积的修正量。

对于给定的气体，b 是一个恒量，可由实验来测定，一般约等于1摩尔气体分子本身体积的四倍。

参量a 是由气体分子间的相互作用引起的，决定于气体的性质，可由实验来测定。

三、范氏气体的内能范德瓦尔斯气体的内能是温度和体积的函数，即U =U (T ,V )(2)(3)根据热力学第二定律可以导出(4)将范德瓦尔斯方程(5)(6)所以(7)(8)式中U 0为一常量。

四、范氏气体的定压热容　由热力学知识知，定压热容C p 与态函数焓H 的关系为(9)(10)将式(10)代入式(9)得(11)由式(11)可知，理想气体所遵从的定压摩尔热容与定容摩尔热容之间关系的迈耶公式C p =C V +R 对范氏气体不再成立。

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。

解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT =（1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln TV =αdT κdp -⎰如果11,T Tpακ==，试求物态方程。

解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp VV T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dV dT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .TV dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T Tpακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p），相应地体积由0V 最终变到V ，有ln =lnln,V T p V T p -即000p V pV CTT ==（常量），或.p V C T=（5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。

确定常量C 需要进一步的实验数据。

1.12 假设理想气体的pV CC γ和之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T V 和的关系，该关系式中要用到一个函数()F T ，其表达式为()ln ()1dTF T Tγ=⎰-解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足0.V C dT pdV += （1）用物态方程pVnRT=除上式，第一项用nR T 除，第二项用pV 除，可得0.V C dT dV nR TV+=（2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），,,p V p VC C nR C C γ-==可将式（2）改定为10.1dTdV TVγ+=- （3）将上式积分，如果γ是温度的函数，定义1ln (),1dTF T Tγ=-⎰ （4）可得1ln ()ln F T V C +=（常量）， （5）或()F T V C=（常量）。

28 第二章 均匀物质的热力学性质2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1）式中()f V 是体积V的函数. 由自由能的全微分dF SdT pdV=--得麦氏关系.T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将式（1）代入，有 ().T VS p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 由于0,0p T >>，故有0TS V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T =试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1）故有().Vp f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（3）所以()0.TU Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.2.3 求证：()0;HS a p ⎛⎫∂< ⎪∂⎝⎭()0.US b V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH=，得0.HS Vp T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU=，得0.US p V T ∂⎛⎫=> ⎪∂⎝⎭ （4）2.4 已知0T U V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，求证0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭解：对复合函数(,)(,(,))U T P U T V T p =（1）求偏导数，有.T T T U U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）如果0TU V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，即有0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂.T TU V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）292.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数pS V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压过程中的熵随体积的变化率，用pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数(,)(,(,))S S p V S p T p V ==（1）求偏导数，有.p p p p pC S S T T V T V T V ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为0,0p C T >>，所以p S V ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭的正负取决于pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负.式（2）也可以用雅可经行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭P S S p S p T p V V p T p V p P PS T T V ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（2）2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭和HT p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为.P TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS=，故有.TP p SPS V T p T T S p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-=⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓(,)H T p 的全微分为.P TH H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH=，故有.T Pp HPH V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2）最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.将式（1）和式（2）相减，得 0.pS H T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.2.7 实验发现，一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即(),().pV f T U U T ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性：(),pV f T = （1）().U U T = （2）由式（2.2.7）和式（2），有0.T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（3）而由式（1）可得30 .Vp T df T T V dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4） 将式（4）代入式（3），有,dfTf dT= 或.df dT f T= （5） 积分得ln ln ln ,f T C =+或,pV CT = （6）式中C 是常量. 因此，如果气体具有式（1），（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式. 确定常量C 需要进一步的实验结果.2.8 证明2222,,p V T Vp TC C p V T T V T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭并由此导出00220022,.⎛⎫⎛⎫∂∂=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰VpV V p p V p V pp p C C T dV C C T dp T T根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数.解：式（2.2.5）给出.V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （1）以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有2222,V T VC S S S T T T V V T T V T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程 pV nRT =知，在V 不变时，p 是T 的线性函数，即220.Vp T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以 0.V TC V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭ 这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VV VV Vp C C T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3）式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出.p pS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4）以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有2222.p p TC S S S T T T p p T T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在p 不变时V是T 的线性函数，即220.pV T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以0.p TC p ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得 0202.pp pp pV C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意31压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）22,V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 范氏方程（式（1.3.12））可以表为22.nRT n a p V nb V=-- （2）由于在V 不变时范氏方程的p 是T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T 的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）0202(,)(,),VV V V Vp C T V C T V T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰（3）我们知道，V →∞时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V →∞，式中的0(,)V C T V 就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度T 不呈线性关系. 根据2.8题式（5）22,V T VC p V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这意味着范氏气体的定压热容量是,T p 的函数.2.10 证明理想气体的摩尔自由能可以表为,,00,002ln ln =⎰+-⎰--=-⎰⎰+--V m m V m m m m V m m m mC dTF C dT U T dT RT V TS T C dT U TS RT V TT解：式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量,T p 的函数的积分表达式. 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量,m T V 的函数的积分表达式. 根据自由能的定义（式（1.18.3）），摩尔自由能为,m m m F U TS =- （1）其中m U 和mS 是摩尔内能和摩尔熵. 根据式（1.7.4）和（1.15.2），理想气体的摩尔内能和摩尔熵为,0,m V m m U C dT U =+⎰ （2）,0ln ,V m mm m C S dT R V S T=++⎰ （3）所以,,00ln .V m m V m m m m C F C dT T dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）利用分部积分公式,xdy xy ydx =-⎰⎰令,1,,==⎰V m x y C dT T可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为,002ln .m V mm m m dTF T C dT RT V U TS T=--+-⎰⎰ （5）2.11 求范氏气体的特性函数m F ，并导出其他的热力学函数.解：考虑1mol 的范氏气体. 根据自由能全微分的表达式（2.1.3），摩尔自由能的全微分为 ,m m m dF S dT pdV =-- （1）故2,m m m m TF RT ap V V b V ⎛⎫∂=-=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2） 积分得()(),ln ().m m m maF T V RT V b f T V =---+ （3）由于式（2）左方是偏导数，其积分可以含有温度的任意函数()f T . 我们利用V →∞时范氏气体趋于理想气体的极限条件定出函数()f T . 根据习题2.11式（4），理想气体的摩尔自32 由能为,,00ln .V m m V m m m m C F C dT dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）将式（3）在m V →∞时的极限与式（4）加以比较，知,,00().V m V m m m C f T C dT T dT U TS T=-+-⎰⎰（5）所以范氏气体的摩尔自由能为()(),,00,ln .V m m m V m m m m m C a F T V C dT T dT RT V b U TS TV =----+-⎰⎰（6）式（6）的(),mm F T V 是特性函数范氏气体的摩尔熵为(),0ln .V m m m m m C F S dT R V b S T T ∂=-=+-+∂⎰（7）摩尔内能为,0.m m m V m m maU F TS C dT U V =+=-+⎰（8）2.15 计算热辐射在等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量.解：根据式（1.14.3），在可逆等温过程中系统吸收的热量为.Q T S =∆ （1）式（2.6.4）给出了热辐射的熵函数表达式34.3S aT V =（2） 所以热辐射在可逆等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量为 ()4214.3Q aT V V =- （3）2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为41,3p aT = （1）因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T 与体积V 的关系3().T V C =常量（2）将式（1）与式（2）联立，消去温度T ，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p 与体积V的关系43pV C '=（常量）. （3）下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p V-图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.下图是相应的TS -图. 计算效率时应用T S -图更为方便.在由状态A 等温（温度为1T ）膨胀至状态B 的过程中，平衡辐射吸收的热量为()1121.Q T S S =- （4）在由状态C 等温（温度为2T ）压缩为状态D 的过程中，平衡辐射放出的热量为()2221.Q T S S =-循环过程的效率为()()2212211211111.T S S Q T Q T S S T η-=-=-=-- （6）2.18 试证明磁介质H C 与M C 之差等于3320H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：当磁介质的磁化强度有dM 的改变时，外界所做的功是0đ,W V HdM μ=（1）式中H 是电场强度，V 是介质的体积.不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换0p H,V VM μ→-→（2）下，简单系统的热力学关系同样适用于磁介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有0H M M HH M C C T T T μ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（4）式中H C 是磁场强度不变时介质的热容量，M C 是磁化强度不变时介质的热容量. 考虑到1H M TM T H T H M ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）（5）式解出HM T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭,代入(4)式,得 20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2.19 已知顺磁物质遵从居里定律：().CM H T=居里定律 若维物质的温度不变，使磁场由0增至H ，求磁化热.解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q 与其在过程中的熵增加值∆S 满足.Q T S =∆ （1）在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7））0.T HS m H T μ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）如果磁介质遵从居里定律(),CVm H C T=是常量 （3） 易知2Hm CV H T T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭, （4） 所以0.TCV H S H T μ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭2（5） 在可逆等温过程中磁场由0增至H 时，磁介质的熵变为202.2HTCV H S S dH H T μ∂⎛⎫∆==- ⎪∂⎝⎭⎰（6）吸收的热量为20.2CV H Q T S Tμ=∆=- （7）补充题1 温度维持为25C，压强在0至1000n p 之间，测得水的实验数据如下：()363114.510 1.410cm mol K .pV p T ----∂⎛⎫=⨯+⨯⋅⋅ ⎪∂⎝⎭ 若在25C的恒温下将水从1n p 加压至1000n p ，求水的熵增加值和从外界吸收的热量.解：将题给的pV T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭记为.pV a bp T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 由吉布斯函数的全微分dG SdT Vdp =-+得麦氏关系34.p TV S T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 因此水在过程中的熵增加值为()222111∂∂⎛⎫⎛⎫∆==-=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰p p p P p p Tp S V S dp dp a bp dp P T ()()222121.2b a p p p p ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦（3）将11,1000n n n p p p p ==代入，得110.527J mol K .S --∆=-⋅⋅根据式（1.14.4），在等温过程中水从外界吸收的热量Q 为 ()112980.527J mol 157J mol .Q T S--=∆=⨯-⋅=-⋅补充题2 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为(),,23.21p m V m m m R C C a V b V RT-=--解：根据式（2.2.11），有,,.m m p m V m V pV p C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）由范氏方程2m mRT ap V b V =--易得()232,.⎛⎫∂∂⎛⎫==-+ ⎪ ⎪∂-∂⎝⎭-⎝⎭m V m m mT m p R p RT a T V b V V V b（2）但1,m m V m Tp V p T T V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()323,2∂⎛⎫⎪∂-⎝⎭∂⎛⎫=-= ⎪∂⎛⎫∂⎝⎭-- ⎪∂⎝⎭m V m m m p m m m Tp T RV V b V T p RTV a V b V（3）代入式（1），得 (),,23.21p mV m m mR C C a V b RTV -=--（4）补充题3 承前1.6和第一章补充题3，试求将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量和内能的变化.解：式（2.4.4）给出，以,T V 为自变量的简单系统，熵的全微分为.V VC p dS dT dV T T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 对于本题的情形，作代换 ,,V L p →→-J （2）即有.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （3）将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量Q 为2.L L LQ TdS T dL T ∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭⎰⎰J （4） 由2020L L J bT L L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得220002200021,L L L dL J L L b bT T L L L L L dT ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）代入式（4）可得0002222200022002L L L L L L L L Q bT dL bT a dL L L L L ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰350051,2bTL a T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（6） 其中001.dL L dTα=过程中外界所做的功为2220020,L L L L L L W JdL bT dL bTL L L ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰（7） 故弹性体内能的改变为2005.2U W Q bT L α∆=+= （8）补充题4 承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.解：上题式（3）已给出.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （1）在可逆绝热过程中0dS =，故有.S L L T T J L C T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（2）将习题2.15式（5）求得的LJ T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭代入，可得2200022002.S L L L T bT L L T L C L L L L α⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）补充题5 实验测得顺磁介质的磁化率()T χ. 如果忽略其体积变化，试求特性函数(,)f M T ，并导出内能和熵.解：在磁介质的体积变化可以忽略时，单位体积磁介质的磁化功为（式（2.7.2））0đ.W HdM μ= （1）其自由能的全微分为0.df SdT MdM μ=-+将()χ=T M H代入，可将上式表为.Mdf SdT dM μχ=-+ （2）在固定温度下将上式对M 积分，得20(,)(,0).2()M f T M f T T μχ=+ （3）(,)f T M 是特性函数. 单位体积磁介质的熵为(),MS f T M T ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦2021(,0).2d M S T dTμχχ=+ （4）单位体积的内能为220002.22M d U f TS M T U dTμμχχχ=+=++ （5）。

第1章 《热力学》习题解答1-1若一打足气的自行车内胎在7.0C 时轮胎中空气压强为54.010Pa ⨯，则在温度变为37.0C 时，轮胎内空气压强为多少？（设内胎容积不变）[解]：轮胎内的定质量空气做等容变化状态1 Pa P K T 511100.4,280⨯== 状态2：?,28022==P K T 由查理定律得Pa Pa P T T P T T P P 55112212121043.4100.4280310⨯=⨯⨯==⇒= 1-2 氧气瓶的容积为233.210m -⨯，其中氧气的压强为71.310Pa ⨯，氧气厂规定压强降到61.010Pa ⨯时，就应重新充气，以免经常洗瓶. 某小型吹玻璃车间平均每天用去30.40m 在51.0110Pa ⨯压强下的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变）[解]：设氧气瓶的容积为320102.3m V -⨯=，使用过程的温度T 保持不变使用前氧气瓶中，氧气的压强为Pa P 71103.1,⨯= 根据克拉帕龙方程nRT PV =得： 使用前氧气瓶中，氧气的摩尔数为RTV P n 011,=氧气压强降到Pa P 62100.1,⨯=时，氧气瓶中，氧气的摩尔数为RTV P n 022,=所以能用的氧气摩尔数为()21021,P P RTV n n n -=-=∆ 平均每天用去氧气的摩尔数RTV P n 333,=故一瓶氧气能用的天数为()()5.91001.140.010113102.3,562332103=⨯⨯⨯-⨯=-=∆=-P V P P V n n N 1-3在湖面下50.0m 深处（温度为4.0C ），有一个体积为531.010m -⨯的空气泡升到湖面上来. 若湖面的温度为17.0C ，求气泡到达湖面的体积.（取大气压为50 1.01310Pa p =⨯）[解]：空气泡在湖面下50.0m 深处时，3511100.1,277m V K T -⨯==Pa P gh P 5530110013.610013.15010100.1⨯=⨯+⨯⨯⨯=+=ρ气泡到达湖面时，Pa P K T 522100.1,290⨯==由理想气体状态方程222111T V P T V P =得： 35351122121029.6100.12772900.1013.6m m V T T P P V --⨯=⨯⨯⨯=⋅=1-4如图所示，一定量的空气开始时在状态为A ，压力为2atm ，体积为l 2, 沿直线AB 变化到状态B 后，压力变为1 atm ，体积变为l 3. 求在此过程中气体所作的功。

范德瓦耳斯气体的热力学性质陈东2008061144(黔南民族师范学院物理与电子科学系，贵州都匀 558000)【摘要】讨论范德瓦尔斯气体的内能、熵、焓和自由能，给出相应的数学表达式，并对相应问题进行讨论。

【关键词】范德瓦尔斯气体；内能；熵；焓；自由能；绝热过程；节流过程Van der Waals gas thermodynamic propertiesChen Dong200806114( Qiannan Normal College for Nationalities Department of physics and electronic science, Guizhou Tuyun 558000)[ Abstract ] to discuss Van Der Waals gas internal energy, entropy, enthalpy and free energy, the corresponding mathematical expressions, and the relative problems are discussed.[ Key words ] Van Der Waals gas; energy; entropy; enthalpy; free energy; adiabatic process; throttling process理想气体是反映各种实际气体在压强趋于零时所共有的极限性质的气体，是一种理想模型。

在一般的压强和温度下，可以把实际气体近似地当作理想气体出来，但是在压强太大或温度太低（接近于其液化温度）时，实际气体与理想气体有显著的偏离。

为了更精确地描述实际气体的行为，人们提出很多实际气体的状态方程，其中最重要、最有代表性的是范德瓦尔斯方程。

1、范德瓦尔斯气体的状态方程范德瓦尔斯方程是在理想气体状态方程的基础上修改而得到的半经验方程。

理想气体是完全忽略除分子碰撞瞬间外一切分子间的相互作用力的气体，而实际气体就不能忽略分子间的作用力，原因是实际气体因压强大，分子数密度也大，分子间平均距离比理想气体小得多所致。

热力学函数的范氏形式
作者：刘亚慧
来源：《东方教育》2016年第09期
摘要：讨论了范德瓦尔斯气体的热力学函数：内能、熵和焓。

关键词：范德瓦尔斯方程；内能；熵；焓
范德瓦爾斯气体方程是对理想气体方程进一步的修正，此方程对气体的液化理论起了很大的指导作用，并且很多真实气体的性质与用范德瓦尔斯方程算得很接近。

一摩尔气体的范德瓦尔斯方程：
1 内能
设定容摩尔热容量是常数[2]，因为热力学系统的内能U是状态参量的函数，其中只有两个参量是独立的.这里取则：
2 熵
3 焓
在这篇文章中阐述了范式气体的热力学函数，对我们认识范式气体方程的性质和深入的学习它有一定的帮助。

参考文献：
[1].张三慧.大学物理学.热学.第二版.北京：清华大学出版社，1999，66-72.
[2].程守洙，江之永.普通物理.第五版.北京：高等教育出版社，2001，343-345.
[3].李椿，章立源，钱尚武.热学.第一版.北京：高等教育出版社.1979，229
[4].李椿，章立源，钱尚武.热学.第一版.北京：高等教育出版社.1979，160-162。

等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体
范氏气体是一种常见的气体模型，它在不同温度和压力下呈现出不同的特性。

在高温和低压的情况下，范氏气体的行为表现得非常类似于理想气体。

因此，在一定条件下，范氏气体可以被看作是理想气体的一种特例。

然而，在一些更高的压力下，范氏气体的离子相互作用将变得明显，导致其无法符合理想气体的特性。

范氏气体模型将气体分子视为刚性球体，其中分子与分子之间的相互作用由一定的势能函数表示。

对于一定体积的范氏气体，可以用以下方程式来描述其状态：
$$PV=Nk_BT+ N^2A/V$$
其中，P表示压力，V是气体的体积，N是气体分子数，k_B是Boltzmann常数，T是气体的温度，A是分子之间的吸引能常数。

当范氏气体接近一定的压力范围时，其实验数据将不再符合这种模型的预测，因为分子之间的相互作用开始显现。

在这个点上，范氏气体通常被转化为更实际的气体模型。

理想气体是一种理论模型，它对一些特定的气体行为进行了描述。

简单来说，理想气体模型假设气体由无限小，相互独立的分子组成。

在理想气体模型中，分子之间相互作用被忽略，因此理想气体模型更适用于低压和高温的情况。

总的来说，范氏气体可以被看作是一种介于真实气体和理想气体之间的模型。

它对气体行为进行了准确的描述，对于一些实际问题的解决具有重要意义。

当范氏气体的压力接近于一定的范围时，该气体的特性会开始发生明显的变化，此时范氏气体通常不再被视为理想气体。

因此，在现实应用中，需要根据具体情况来选择合适的气体模型，以便更准确地解决问题。

范氏气体的体膨胀系数范氏气体的体膨胀系数，也称为热膨胀系数，是指单位温度变化时气体体积的变化率。

范氏气体是热力学中的一种理想气体，其体膨胀系数与温度变化有关。

一、背景知识在热力学中，热膨胀系数常用于描述物质的体积变化情况。

它定义为单位温度变化时物体体积的变化量与初时体积的比值，通常用α表示。

数学表达式为：α= (1/V) * (dV/dT)其中，α表示热膨胀系数，V表示体积，T表示温度，dV表示体积的变化量，dT表示温度的变化量。

二、范氏气体的特点范氏气体是一种理想气体，它的分子之间不存在相互作用力，分子与容器壁之间的碰撞完全弹性，且分子体积可以忽略不计。

这些特点使范氏气体的性质遵循一定的规律，便于热力学的研究。

三、范氏气体的状态方程范氏气体的状态方程可以用以下形式表示：PV = nRT其中，P表示压强，V表示体积，n表示物质的物质的摩尔数，R表示气体常数，T表示温度。

四、范氏气体的体积变化与温度变化的关系对于范氏气体而言，它的体积变化与温度变化之间存在一定的关系。

根据范氏气体的状态方程PV = nRT，假设在恒压下考察物体的体积变化，即压强P保持不变。

根据状态方程，有：V = (nR/P)T从上述状态方程可以看出，范氏气体的体积与温度呈正比例关系，即体积随温度的增加而增加，体积随温度的降低而降低。

五、范氏气体的体积膨胀系数的求解范氏气体的体积膨胀系数是指单位温度变化时，气体体积的变化率。

由范氏气体的状态方程PV = nRT可以推导出范氏气体的体积膨胀系数与压强、温度之间的关系。

对V进行微分，得：dV = (nR/P)dT将dV/dT替换到热膨胀系数的定义中，得：α= (1/V) * (dV/dT)α= (1/V) * [(nR/P)dT/dT]简化后得：α= (1/V) * (nR/P)根据PV = nRT，可以得到：α= (1/V) * (RT/PV)由此可见，范氏气体的体积膨胀系数与温度成正比，与压强、体积和物质的摩尔数成反比。