二进制小数的表示方法

二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换一、十进制与二进制之间的转换（1）十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分①整数部分方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

下面举例：例：将十进制的168转换为二进制分析:（2）例1分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。

这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。

那么，我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是：1）十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换2）当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法3）注意他们的读数方向因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111。

（3）二进制转换为十进制不分整数和小数部分1）2）二、（1）②将二进制数1101.1转换为八进制得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4（2）将八进制转换为二进制方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

符号定点⼆进制⼩数（Qnformat）乘法原理⽆符号整数⼆进制乘法很简单，基本上就是补位到位数相同，然后乘数中的每⼀位与另⼀个乘数的每⼀位做AND(与)运算，然后移位累加就可以了。

那么把⽆符号⼆进制整数乘法拓展到⽆符号⼆进制⼩数乘法，就涉及⼩数格式的问题。

这⾥说定点⼆进制⼩数格式：Qn format；⼩数点位于第 n 位元之右侧，称为Qn 格式。

Q3.3就是3位整数3位⼩数。

乘数A是Qm.n整数部分m位，⼩数部分n位; 乘数B是Qo.p，整数部分o位，⼩数部分p位；那么积A*B 就是Q(m+o).(n+p)，整数部分(m+o)位，⼩数部分(n+p)位；按照⽆符号⼆进制整数乘法进⾏，然后把输出从低到⾼按照位数划分整数和⼩数部分就可以得到正确的结果。

现在把⽆符号⼆进制整数乘法拓展到考虑符号的整数⼆进制乘法，这就涉及⼆进制符号位，补位的问题了。

考虑符号⼆进制整数，最⾼位是符号位，1表⽰负数，0表⽰正数。

负数的补码是所有位取反(反码)然后加1，正数的补码是正数本⾝。

1111是负数，它表⽰-1，它的补码是0001(反码加⼀后最⾼位溢出舍去)，所以负数⼆进制的数值是补码视为正数的相反数。

符号位权位-2^(n-1)——n为⼆进制数的位数，计算符号⼆进制数的⼗进制也可以⽤权来计算。

(1111)2=1*(-2^3)+1*2^2+1*2^1+1*2^0=-8+4+2+1=-1;另外还需强调⼀点，就是符号⼆进制数的补位。

我们都知道不同位数⽆符号⼆进制数进⾏运算需要在位数⼩的数前⾯补0，例如⽆符号数1011和100相加，变成1011和0100相加，因为显然，100和0100, 00100, 000100都是相等的，⾼位补0产⽣0*2^(n)，不对原始数值有影响。

但是负数⼆进制数的补位是要在⾼位补1：直接解释，假设仅要增补1位，如果不是1就改变了负数为正数。

由此递推到补n位，都是补1；也可以从权的⾓度来说明……符号⼆进制数的计算需要考虑每个乘数分别的符号，可以分为：正数*正数，正数*负数，负数*正数，负数*负数正数*正数：正常运算就⾏了，依次与然后移位累加。

将十进制的小数转化为二进制采用的方法可以采用乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零为止。

如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。

换句话说就是0舍1入。

读数要从前面的整数读到后面的整数。

下面举例：例1：将0.125换算为二进制，结果为：将0.125换算为二进制（0.001）2 。

分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25。

第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5。

第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0。

第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

参考内容：十进制整数转换为二进制整数计算的方法：十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。

具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为小于1时为止。

然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

如：255=（）B255/2=127=====余1127/2=63======余163/2=31=======余131/2=15=======余115/2=7========余17/2=3=========余13/2=1=========余11/2=0=========余1789=(B)789/2=394 余1 第10位394/2=197 余0 第9位197/2=98 余1 第8位98/2=49 余0 第7位49/2=24 余1 第6位24/2=12 余0 第5位12/2=6 余0 第4位6/2=3 余0 第3位3/2=1 余1 第2位1/2=0 余1 第1位原理：众所周知，二进制的基数为2，十进制化二进制时所除的2就是它的基数。

10进制转2进制小数点后计算的规则
在进行10进制转2进制小数点后计算时，存在一定的规则和步骤。

首先，我们需要将十进制的小数转化为二进制的小数。

步骤如下：
1. 将十进制小数的整数部分转换为二进制。

这可以通过不断除以2并取余数的方法来实现。

将最终的余数从下往上排列起来，即可得到整数部分的二进制表示。

2. 将十进制小数的小数部分转换为二进制。

这需要将小数部分乘以2，并将结果的整数部分作为二进制数的下一位。

继续不断进行下去，直到小数部分变为0或达到所需的精度。

3. 将两部分的二进制数合并在一起，整数部分在前，小数部分在后，两者之间用小数点分隔。

一旦完成了这些步骤，我们就可以进行进一步的计算。

计算规则如下：
1. 需要注意小数点的位置。

在两个二进制数合并成一个数之后，小数点的位置不会发生变化。

在进行计算时，小数点位于二进制数的同一位置。

2. 进行加法或减法运算时，需要从右到左进行，按位进行计算。

首先从小数点右边的最低位开始，逐个对应相加或相减，并考虑进位或借位。

3. 在进行乘法或除法运算时，需要注意小数点的位置。

在乘法中，将小数点的位置向左移动对应的位数。

在除法中，将小数点的位置向右移动对应的位数。

通过遵循这些规则和步骤，我们可以准确进行10进制转2进制小数点后的计算，得到所需的结果。

请注意，由于涉及到二进制表示的精度限制，请在最终结果中考虑到可能存在的舍入误差。

二进制下小数右移的规律在计算机科学中，二进制是一种非常重要的数制。

而在二进制中，不仅存在整数表示方式，还存在小数表示方式。

小数在计算机中的表示方式和计算规则与整数有所不同，其中包括右移操作。

在本文中，将会探讨二进制下小数右移的规律。

通过深入研究和讨论，我们将能够全面理解这个主题，并获得一定的见解。

1. 什么是小数在二进制中的表示方式？在计算机中，二进制小数通常使用浮点数来表示。

浮点数的表示方法包括符号位、指数位和尾数位。

其中，尾数位表示小数的具体数值，而指数位则表示小数点应该向左或向右移动的位数。

尾数位和指数位的组合决定了小数在计算机中的精度和范围。

2. 右移操作在二进制小数中的意义是什么？在二进制小数中，右移操作意味着将小数点向右移动指定的位数。

这种操作通常用于对小数进行缩小或截断。

当我们需要对小数进行精度调整或位数截断时，可以使用右移操作来实现。

3. 右移操作对二进制小数的影响是怎样的？右移操作会导致小数的位数减少，从而使小数的表示范围变得更小。

右移操作还会使小数的数值变得更小。

具体而言，右移一位相当于将小数的值除以2，右移n位相当于将小数的值除以2的n次方。

4. 右移操作的规律是什么？在二进制下，右移操作的规律可以总结如下：- 右移1位，小数的值除以2；- 右移n位，小数的值除以2的n次方。

通过以上规律，我们可以看出右移操作对小数的影响和变化。

在我们探讨了二进制下小数右移的规律后，让我们进一步思考一下这个概念的意义和应用。

小数右移操作在实际问题中有许多应用场景，如数据压缩、图像处理等。

了解小数右移规律可以帮助我们更好地理解这些应用领域，并能够灵活应用于解决实际问题。

总结回顾：通过本文的探讨，我们全面理解了二进制下小数右移的规律和作用。

我们了解了在二进制中如何表示小数以及小数右移操作的含义。

右移操作会导致小数的位数减少，从而使小数的值变小。

我们总结了小数右移操作的规律，即右移一位相当于将小数的值除以2，右移n位相当于将小数的值除以2的n次方。

二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换一、十进制与二进制之间的转换（1）十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分①整数部分方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

下面举例：例：将十进制的168转换为二进制得出结果将十进制的168转换为二进制，（10101000）2分析:第一步，将168除以2,商84,余数为0。

第二步，将商84除以2，商42余数为0。

第三步，将商42除以2，商21余数为0。

第四步，将商21除以2，商10余数为1。

第五步，将商10除以2，商5余数为0。

第六步，将商5除以2，商2余数为1。

第七步，将商2除以2，商1余数为0。

第八步，将商1除以2，商0余数为1。

第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000（2）小数部分方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零为止。

如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。

换句话说就是0舍1入。

读数要从前面的整数读到后面的整数，下面举例：例1：将0.125换算为二进制得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）2分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。

十进制小数转换为二进制的方法(一)十进制小数转换为二进制要将十进制小数转换为二进制，可以采用以下几种方法。

方法一：乘二取整法该方法是将小数乘以二，取整数部分作为二进制数的一位，然后将小数部分再乘以二，以此类推。

直到小数部分为0或达到所需精度为止。

1.以0.625为例，将其乘以2，得1.25，取整数部分为1，小数部分为0.25。

2.将0.25乘以2，得0.5，取整数部分为0，小数部分为0.5。

3.将0.5乘以2，得1，取整数部分为1，小数部分为0。

4.因为小数部分已经为0，所以停止计算。

将所得整数部分倒序排列，得到二进制数为0.101。

方法二：整数部分和小数部分分别转换法该方法是将十进制小数分为整数部分和小数部分，分别将其转换为二进制数，然后将整数部分和小数部分合并成一个二进制数。

1.以0.625为例，将其分为整数部分0和小数部分0.625。

2.整数部分0转换为二进制数为0。

3.小数部分0.625乘以2，得1.25，将其分为整数部分1和小数部分0.25。

4.整数部分1转换为二进制数为1。

5.小数部分0.25乘以2，得0.5，将其分为整数部分0和小数部分0.5。

6.将小数部分0.5乘以2，得1，将其分为整数部分1和小数部分0。

7.因为小数部分已经为0，所以停止计算。

将整数部分和小数部分合并起来，得到二进制数为0.101。

方法三：科学计数法和移位法该方法是将十进制小数转换为科学计数法，并将其移位，直到小数部分为0或达到所需精度为止。

1.以0.625为例，将其转换为科学计数法为6.25 x 10^-1。

2.将6.25 x 10^-1左移一位，得到1.25 x 10^-1。

3.将1.25分为整数部分1和小数部分0.25，将0.25左移一位，得到0.5。

4.将0.5分为整数部分0和小数部分0.5，将0.5左移一位，得到1。

5.因为小数部分已经为0，所以停止计算。

将所得整数部分倒序排列，得到二进制数为0.101。

二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换一、 十进制与二进制之间的转换（1） 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分① 整数部分方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

下面举例：例：将十进制的168转换为二进制得出结果 将十进制的168转换为二进制，（10101000）2分析:第一步，将168除以2,商84,余数为0。

第二步，将商84除以2，商42余数为0。

第三步，将商42除以2，商21余数为0。

第四步，将商21除以2，商10余数为1。

第五步，将商10除以2，商5余数为0。

第六步，将商5除以2，商2余数为1。

第七步，将商2除以2，商1余数为0。

第八步，将商1除以2，商0余数为1。

第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000（2） 小数部分方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零为止。

如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。

换句话说就是0舍1入。

读数要从前面的整数读到后面的整数，下面举例：例1：将0.125换算为二进制得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）2分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。

float的二进制表示方式float是一种浮点数类型，使用32个bit位来存储。

它的二进制表示方式有三个部分：符号位、指数位和尾数位。

1. 符号位：1 bit，表示数值的正负，0代表正数，1代表负数。

2. 指数位：8 bits，用于表示数值的大小和范围，可以表示2^8=256个不同的值。

它的取值范围是-127至128，但是有一个偏移量127，所以真实的指数范围是-126至127。

具体地，指数位上的数值加上127就是实际的指数。

如，假设指数位为10000000，代表的实际指数就是10000000+127=100000000，也就是-1的二进制表示方式。

3. 尾数位：23 bits，用于表示数值的精度，可以表示2^23=8388608个不同的值。

举个例子：假设一个float数值的二进制表示方式为1 10000000 10100000000000000000000，我们可以解读出以下信息：1. 符号位为1，代表这个数值为负数。

2. 指数位为10000000，代表的实际指数是10000000+127=100000000，也就是-1的二进制表示方式。

3. 尾数位为10100000000000000000000，代表的数值是1.65625。

所以，这个float数值的真实值为-1.65625。

小数的二进制表示方式总体来说，将十进制小数转化为二进制小数的实现方式如下：- 将小数部分乘以2，记录整数部分，并将小数部分取出，若为1放到结果中，否则为0；- 对新获得的小数部分重复第一步操作，直至小数部分为0或达到要求的小数位数。

- 合并小数部分和整数部分，得到该小数的二进制表示方式。

例如：将0.625的十进制表示方式转化为二进制表示方式，可以按照以下步骤完成：1. 0.625*2=1.25，整数部分为1，剩余小数部分为0.25；2. 0.25*2=0.5，整数部分为0，剩余小数部分为0.5；3. 0.5*2=1.0，整数部分为1，剩余小数部分为0；4. 将记录下来的整数部分连接起来，得到该小数的二进制表示方式为0.101。

二进制表示小数方法在计算机科学和数字电子技术中，二进制是一种常用的数字表示方法。

除了可以表示整数，二进制也可以用来表示小数。

本文将介绍几种常见的以二进制表示小数的方法。

一、定点表示法定点表示法是一种常见的以二进制表示小数的方法。

它将小数点固定在一个位置上，将小数的整数部分和小数部分分别用二进制表示。

定点表示法可以分为两种形式：定点小数和定点定数。

1. 定点小数定点小数是指小数点位于二进制数的某个固定位置的表示方法。

例如，假设小数点位于二进制数的第三位，那么一个定点小数0.101表示的就是0.625。

定点小数的范围和精度取决于小数点的位置。

2. 定点定数定点定数是指小数点位于二进制数的最高位的表示方法。

例如，假设小数点位于二进制数的最高位，那么一个定点定数0.1101表示的就是-0.6875。

定点定数可以表示负数，但是范围和精度仍然受限于小数点的位置。

二、浮点表示法浮点表示法是一种更灵活的以二进制表示小数的方法。

它将小数点位置和指数部分分开表示，可以表示较大范围和较高精度的小数。

浮点表示法一般由三个部分组成：符号位、尾数部分和指数部分。

符号位表示正负，尾数部分表示小数的有效数字，指数部分表示小数点的位置。

浮点表示法可以根据需求调整尾数部分和指数部分的位数，以实现不同的精度和范围。

三、IEEE 754标准IEEE 754是一种广泛使用的浮点表示法标准，用于在计算机中表示浮点数。

它定义了单精度浮点数和双精度浮点数的表示方法，并规定了浮点数的运算规则。

单精度浮点数由32位组成，包括1位符号位、8位指数位和23位尾数位。

双精度浮点数由64位组成，包括1位符号位、11位指数位和52位尾数位。

IEEE 754标准可以表示非常大和非常小的浮点数，并且可以进行精确的浮点运算。

四、优缺点比较定点表示法和浮点表示法各有优缺点。

定点表示法简单直观，适用于对精度要求不高的场景，但是范围较小。

浮点表示法适用于对范围和精度要求较高的场景，但是计算复杂度较高。