中山大学一元微积分历年考研真题汇编

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(95年)曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围图形面积可表示为A．一∫02x(x—1)(2一x)dxB．∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x-1)(2一x)dxC．一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x—1)(2一x)dxD．∫02x(x一1)(2一x)dx正确答案：C解析：y=x(x—1)(2一x)与x轴的交点为x=0,x=1,x=2，因此该曲线与x轴围成的面积为∫02|x(x-1)(2-x)|dx=-∫01x(x-1)(2一x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dx所以应选(C)．知识模块：一元函数积分学2．(96年)设f(x)，g(x)在区间[a，b]上二连续，且g(x)＜f(x)＜m，(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．∫abπ[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB．∫abπ[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC．∫abπ[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD．∫abπ[m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx正确答案：B解析：V=π∫ab(m一g(x))2dx一π∫ab(m一f(x))2dx =π∫ab[2m一g(x)一f(x)][f(x)一g(x)]dx所以应选(B)．知识模块：一元函数积分学3．(97年)设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0．f”(x)＞0．记S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)](b一a)．则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S3＜S1C．S3＜S1＜S2D．S2＜S1＜S3正确答案：D解析：在[0．ln2]上考虑f(x)=e-x，显然f(x)满足原题设条件，而则S2＜S1＜S3 知识模块：一元函数积分学4．(97年)设F(x)=∫xx+2πsintsintdt，则F(x)A．为正常数．B．为负常数．C．恒为零．D．不为常数．正确答案：A解析：F(0)=∫02πesintsintdt=-∫02πesintdcost=-esintcost|02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0 知识模块：一元函数积分学5．(99年)设则当x→0时，α(x)是β(x)的A．高阶无穷小．B．低阶无穷小．C．同阶但非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：故，当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但非等价无穷小．知识模块：一元函数积分学6．(99年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内连续，其导函数的图形如图1—2—4所示，则f(x)有A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极火值点．D．一个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：[分析] 答案与极值点的个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．[详解] 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x＝0则是导数不存在的点，三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x＝0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x＝0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，故应选(C)．[评注] 本题也可利用f’(x)的严格单调性用第二充分条件判定极值，用加强条件法：假设f(x)二阶连续可导，则在y轴右侧，由f’(x)严格单调增加，知f”(x)＞0，可见y轴右侧的一阶导数为零的点必为极小值点，同理可判定y轴左侧有一个极大值点和一个极小值点，而x＝0则只能用第一允分条件进行判定．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得A．f(x)在(0，δ)内单调增加．B．f(x)在(－δ，0)内单调减少．C．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．D．对任意的x∈(－δ，0)，有f(x)＞(0)．正确答案：C解析：[分析] 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A)，(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析．[详解] 由导数的定义，知根据保号性，知存在δ＞0，当x∈(－δ，0)∪(0，δ)时，有即当x∈(－δ，0)时，f(x)＜f(0)；而当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)．故应选(C)．[评注] 若f’(a)＞0，且加强条件设f’(x)在x＝a连续，则可以证明存在δ＞0，使得f(x)在(a－δ，a＋δ)内单调上升．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系式f”(x)＋[f’(x)]2＝x且f’(0)＝0，则A．f(0)是f(x)的极大值．B．f(0)是f(x)的极小值．C．点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y一＝f(x)的拐点．正确答案：C解析：[分析] 由题设f’(0)＝0，是否为极值点可通过f”(0)的符号来定，但易知f”(0)＝0，因此可进一步通过f”(0)的符号确定是否为拐点．若还有f”(0)＝0，则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐点．[详解] 因为f’(0)＝0，由原关系式f”(x)＋[f’(x)]2＝x知，f”(0)＝0，因此点(0，f(0))可能为拐点．由f”(x)＝－[f(x)]2＋x知f(x)的三阶导数存在，且f’’’(x)＝－2f’(x)f”(x)＋1，可见f’’’(0)＝1．因此在x＝0的左侧，f”(x)＜0，对应曲线弧是下凹(上凸)的；而在x＝0的右侧，f”(x)＞0，对应曲线弧是上凹(下凸)的，故点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．[评注] 一般地，若f(x)在点x0处满足：f’(x0)＝0，…，f(k－1)(x0)＝0，fk(x0)≠0，则当k(k＞2)为偶数时，x0是函数．f(x)的极值点；当k为奇数时，点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点．知识模块：一元函数微分学4．曲线y＝(x—1)2(x－3)2的拐点个数为A．0．B．1C．2D．3正确答案：C解析：[分析] 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点)的符号进行判断即可．[详解1] 因为y’＝4(x －1)(x－2)(x－3)，y”＝4(3x2－12x＋11)，y’’’＝24(x－2)．显然y”＝0有两个零点，且在此两点处三阶导数y’’’≠0，因此曲线有两个拐点．故应选(C)．[详解2] 由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数．首先，y是4次多项式，其曲线最多拐3个“弯儿”，因此拐点最多有2个．其次，x＝1，x＝3是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为x0．又，y的大致图形如图1—2—5所示．于是在(1，x0)和(x0，3)内各有一个拐点．故应选(C)．[评注] 本题从一阶导函数有三个零点即知y”有两个零点，且显然不为2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点．一般地，若f”(x0)＝0，y’’’(x0)≠0，则点(x0，f(x0))一定是曲线y＝f(x)的拐点，事实上，由，知f’’’(x0)在x＝x0的左、右两侧变号，即曲线的凹向改变，因此点(x0，f(x0))为拐点．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)＝｜x(1－x)｜，则A．x＝0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(x)的拐点．B．x＝0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点．C．x＝0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点．D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(x)的拐点．正确答案：C解析：[分析] 求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论x＝0两边，f’(x)，f”(x)的符号．[详解1]从而，当－1＜x＜0时，f(x)向上凹；当0＜x＜1时，f(x)向上凸，于是(0，0)为拐点．又f(0)＝0，x≠0，1时，f(x)＞0，从而x ＝0为极小值点．所以，x＝0是极值点，(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点，故应选(C)．[详解2] (用图解法)令f(x)＝｜x(1－x)｜＝0，得曲线与x轴的交点：x1＝0，x2＝1，则图形如图1－2－6所示，由图可以看出(C)正确．知识模块：一元函数微分学6．曲线渐近线的条数为A．0．B．1C．2D．3正确答案：D解析：[分析] 先找出无定义点，确定其是否为对应铅直渐近线；再考虑水平或斜渐近线．[详解] 因为所以x＝0为铅直渐近线；又，所以y＝0为水平渐近线；进一步，于足有斜渐近线y＝x，故应选(D)．[评注] 一般来说，有水平渐近线就不再考虑斜渐近线．但当不存在时，就要分别讨论x→－∞和x→＋∞两种情况，即左、右两侧的渐近线．本题在x＜0的一侧有水平渐近线，而在x＞0的一侧有斜渐近线．关键应注意指数函数ex当x→－∞时极限不存在，必须分x→－∞和x→－∞进行讨论．知识模块：一元函数微分学7．曲线渐近线的条数为A．0．B．1C．2．D．3．正确答案：C解析：[详解] 由，知x＝1为铅直渐近线；由，知y＝1为水平渐近线；显然，没有斜渐近线．故应选(C)．[评注] 若求渐近线的上述极限不存在，则需要考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线，在曲线的同侧若有水平渐近线，则一定没有斜渐近线．知识模块：一元函数微分学8．若f”(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B解析：[详解]由题意可知，f(x)是一个凸函数，即f”(x)＜0，且在点(1，1)处的曲率而f’(1)＝－1，由此可得，f”(1)＝－2，在[1，2]上，f’(x)≤f’(1)＝－1＜0，即f(x)单调减少，没有极值点．南拉格朗日中值定理f(2)－f(1)＝f’(ε)＜－1，ε∈(1，2)．所以f(2)＜0，而f(1)＝1＞0，由零点定理知，在(1，2)内f(x)有零点，故应选(B)．[评注]此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握．知识模块：一元函数微分学9．设函数f(x)＝x2(x－1)(x－2)，则f’(x)的零点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：[详解] 因为f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，因此f’(x)在区间(0，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然f’(0)＝0，因此f’(x)的零点个数为3，故应选(D)．[评注] 若直接计算f’(x)有f’(x)＝x(4x2－9x＋4)也可推导出f’(x)的零点个数为3．知识模块：一元函数微分学10．函数f(x)＝ln｜(x－1)(x－2)(x－3)｜的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：[分析]解方程f’(x)＝0，考察根的个数．[详解]由导数公式得。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．记S1＝∫ab(x)dx，S2＝f(b)(b－a)，S3＝，则A．S1＜S2＜S3．B．S2＜S3＜S1．C．S3＜S1＜S2．D．S2＜S1＜S3．正确答案：D解析：[分析] 根据f(x)及其导函数的符号，可知曲线的单凋性与凹凸性，再利用其几何意义即可推导出相关的不等式．[详解] 由f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0知，曲线y＝f(x)在[a，6]上单调减少且是凹曲线弧，于是有f(x)＞f(b)，f(x)＜f(a)＋，a＜x＜b。

从而S1＝∫af(x)dx＞f(b)(b－a)＝S2，s1＝∫af(x)dx。

即S2＜S1＜S3，故应选(D)．[评注] 本题也可直接根据几何直观引出结论：S1，S2，S3分别为如图1—3—1所示的面积，显然有S2＜S1＜S3。

知识模块：一元函数积分学2．设，则A．I1＞I2＞I．B．I＞I1＞I2．C．I2＞I1＞I．D．I＞I2＞I1．正确答案：B解析：[分析] 直接计算I1，I2是困难的，可应用不等式tan＞x，x＞0．[详解] 因为当x＞0时，有tanx＞x于是，从而有，可见有I1＞I2且，可排除(A)，(C)，(D)，故应选(B)．知识模块：一元函数积分学3．设，则I，J，K的大小关系是A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：[分析]用定积分比较大小的性质．[详解]在上，sinx≤cosx≤cotx．且lnx是增函数，则在上，lnsinx≤lncosx≤lncotx，且它们不恒等．由定积分的保号性。

故应选(B)．知识模块：一元函数积分学4．设Ik＝∫0kπex2sinxdx(k＝1，2，3)，则有A．I1＜I2＜I3．B．I3＜I2＜I1．C．I2＜I3＜I1．D．I2＜I1＜I3．正确答案：D解析：[分析] 此题考查定积分的基本性质和换元积分．[详解] 由Ik＝∫0kπex2sinxdx有：I2－I1＝∫π2πex2sinxdx＜0，即I2＜I1；I3－I2＝∫π3πex2sinxdx>0，即I3＞I2；I3－I1＝∫π3πex2sinxdx＝∫π2πex2sinxdx＋∫2π3πex2sinxdx ＝∫π2πex2sinxdx＋∫π2πex2sin(y＋π)d(y＋π) ＝∫π2πex2sinxdx－∫π2πex2sinydy ＝∫π2π(e2πx＋π2)ex2sinxdx＞0，即I1＜I3 由上知，I2＜I1＜I3．故应选(D)．知识模块：一元函数积分学5．设，则极限等于A．B．C．D．正确答案：B解析：[分析] 先用换元法计算积分，再求极限．[详解] 因为，可见。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1987年)设I＝tf(tχ)dχ，其中f(χ)连续，S＞0，t＞0，则I的值【】A．依赖于s，t．B．依赖于s，t，χ．C．依赖于t，χ，不依赖于s．D．依赖于s不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选D．知识模块：一元函数积分学2．(1988年)设f(χ)与g(χ)在(－∞，＋∞)上皆可导，且f(χ)＜g(χ)，则必有【】A．f(－χ)＞g(－χ)B．f′(χ)＜g′(χ)C．D．∫0χf(t)dt＜∫0χg(t)dt正确答案：C解析：由于f(χ)和g(χ)在(－∞，＋∞)上皆可导，则必在(－∞，＋∞)上连续，则f(χ)＝f(χ0)，g(χ)＝g(χ0)，又f(χ)＜g(χ) 从而f(χ0)＜g(χ0)，即知识模块：一元函数积分学3．(1988年)由曲线y＝号z(0≤χ≤π)与χ轴围成的平面图形绕χ轴旋转而成的旋转体体积为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：Vχ＝π∫0πdχ＝π∫0πsin3χdχ＝π∫(cosχ－1)dcosχ＝知识模块：一元函数积分学4．(1989年)曲线y＝cosχ()与χ轴所围成的图形，绕χ轴旋转一周所成旋转体的体积为【】A．B．πC．D．π2正确答案：C解析：知识模块：一元函数积分学5．(1990年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则d[∫f(χ)dχ]等于【】A．f(χ)B．f(χ)dχC．f(χ)＋CD．f′(χ)dχ正确答案：B解析：d[f(χ)dχ]＝(∫f(χ)dχ)′dχ＝f(χ)dχ知识模块：一元函数积分学6．(1990年)设f(χ)是连续函数，且F(χ)＝f(t)dt，则F′(χ)等于【】A．－e－χf(e－χ)－f(χ)B．－e－χf(e－χ)＋f(χ)C．e－χf(e－χ)－f(χ)D．e－χf(e－χ)＋f(χ)正确答案：A解析：由于则F′(χ)＝－f(e－χ)e－χ－f(χ)，故应选A．知识模块：一元函数积分学7．(1991年)设函数，记F(χ)＝∫0χf(t)dt，0≤χ≤2，则【】A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤χ≤1时，F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χt2dt＝当1＜χ≤2时，F(χ)＝∫tdt＋∫(2－t)dt＝由此可见应选B．知识模块：一元函数积分学填空题8．(1987年)∫f′(χ)dχ＝_______．∫abf′(2χ)dχ＝_______．正确答案：f(χ)＋C，[f(2b)－f(2a)]．解析：∫f′(χ)dχ＝f(χ)＋C 知识模块：一元函数积分学9．(1987年)积分中值定理的条件是_______，结论是_______．正确答案：f(χ)在[a，b]上连续；在[a，b]内至少存在一点ξ，使f(ξ)(b－a)＝∫ab(χ)dχ．解析：由定积分中值定理：若f(χ)在[a，b]上连续，则在[a，b]内至少存在一点ξ，使∫abf(χ)dχ＝f(ξ)(b－a) 知识模块：一元函数积分学10．(1988年)_______．正确答案：2(e2＋1)．解析：知识模块：一元函数积分学11．(1988年)设f(χ)连续，且f(t)dt＝χ，则f(7)＝_______．正确答案：解析：等式f(t)dt＝χ两边对χ求导得3χ3f(χ3－1)＝1 令χ＝2得12f(7)＝1 则f(7)＝知识模块：一元函数积分学12．(1989年)∫0πtsintdt＝_______．正确答案：π．解析：知识模块：一元函数积分学13．(1989年)曲线y＝∫0χ(t－1)(t－2)dt在点(0，0)处的切线方程是_______．正确答案：y＝2χ．解析：y′(χ－1)(χ－2)，y′(0)＝2 则所求切线方程为y－0＝2(χ－0)，即y＝2χ知识模块：一元函数积分学14．(1989年)设f(χ)是连续函数，且f(χ)＝χ＋2∫01f(t)dt，则f(χ)＝_______．正确答案：χ－1．解析：令∫01f(t)dt＝a，则f(χ)＝χ＋2a．将f(χ)＝χ＋2a代入∫01f(t)dt ＝a，得∫01(t＋2a)dt＝a即＋2a＝a 由此可得a＝－则f(χ)＝χ－1 知识模块：一元函数积分学15．(1990年)∫01χdχ＝_______．正确答案：解析：＝t，原式＝∫(t－1)2tdt＝2∫(t－t)dt＝知识模块：一元函数积分学16．(1990年)下列两个积分大小关系式：∫-2-1dχ_______∫-2-1dχ正确答案：“＞”．解析：由于当χ∈[－2，－1]时，，则知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (2010年试题，3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．（A）4e（B）3e（C）2e（D）e2 (2005年试题，二)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．（A）（B）（C）一8ln2+3（D）81n2+33 (2006年试题，二)设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)等于( )．（A）ln3—1（B）一ln3—1（C）一ln2—1（D）ln2—14 (1999年试题，二)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导5 (2006年试题，二)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0,f'(x)>0，△x为自变量x 在点x o处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x o处对应的增量与微分，若△x>0，则( )．（A）0<dy<△y（B）0<△y<dy（C）△y<dy<0（D）dy<△y<06 (2002年试题，二)设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△)，的线性主部为0．1，则f'(1)=( )．（A）一1（B）0．1（C）1（D）0.57 (2004年试题，二)设函数f(x)连续，且f'(0)>0，则存在δ>0，使得( )．（A）f(x)在(0，δ)内单调增加（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少（C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)>f(0)（D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)>f(0)8 (2003年试题，二)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如右图1—2—3所示，则f(x)有( )．（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点9 (2001年试题，二)已知函数y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图1—2—4所示，则其导函数y=f'(x)的图形如图1一2—5所示：( )．（A）（B）（C）（D）10 (2000年试题，二)设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f'(x)g(x)一f(x)g'(x) （A）f(x)g(b)>f(b)g(x)（B）f(x)g(a)>f(a)g(x)（C）f(x)g(x)>f(b)g(b)（D）f(x)g(x)>f(a)g(a)11 (1998年试题，二)设函数f(x)在x=a的某个领域内连续，且f(x)为其极大值，则存在δ>0，当x∈(a一δ，a+δ)时，必有( )．（A）(x一a)[f(x)-f(a)]≥0．（B）(x一a)[f(x)一f(a)]≤0．（C）（D）12 (1997年试题，二)已知函数y=f(x)对一切x满足xf''(x)+3x[f'(x)]2=1一e-x，若f'(x0)=0(x0≠0)，则( )．（A）f(x0)是f(x)的极大值（B）f(x0)是f(x)的极小值（C）(x0,f(x2))是曲线y=f(x)的拐点（D）f(x0)不是f(x)的极值，(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点二、填空题13 (2012年试题，二)曲线y=x2+x(x的点的坐标是__________．14 (2010年试题，13)已知一个长方形的长l以2cm／s的速率增加，宽W以3cm ／s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加速率为_______．15 (2009年试题，二)曲线在(0，0)处的切线方程为________.16 (2008年试题，二)曲线sin(xy)+ln(y一x)=x在点(0，1)处的切线方程为________．17 (2007年试题，二)曲线上对应于的点处的法线斜率为________．18 (2003年试题，一)设函数y=f(x)由方程xy+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是__________.19 (2001年试题，一)设函数y=f(x)由方程e2x+y—cos(xy)=e—1所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_________．20 (1999年试题，一)曲线，在点(0，1)处的法线方程为__________.21 (2010年试题，11)函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．22 (2009年试题，二)设y=y(x)是由方程xy+e y=x+1确定的隐函数，则____________________.23 (2007年试题，二)设函数则Y(n)(0)=______．24 (2006年试题，一)设函数Y=y(x)由方程Y=1一xe y确定，则=__________.25 (1997年试题，三(2))设y=y(x)由所确定，求26 (1997年试题，一)设=__________.27 (2005年试题，一)设y=(1+sinx)x，则dy｜x=π=__________．28 (2000年试题，一)设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy｜x=0__________.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2006年)设f(χ)是奇函数，除χ＝0外处处连续，χ＝0是其第一类间断点，则∫0χf(t)dt是【】A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在χ＝0间断的奇函数．D．在χ＝0间断的偶函数．正确答案：B解析：由于f(χ)是奇函数，则∫0χf(t)dt是偶函数，又由于f(χ)除χ＝0外处处连续，且χ＝0是其第一类间断点，则f(χ)在任何一个有限区间上可积，从而∫0χf(t)dt为连续函数．故应选B．知识模块：一元函数积分学2．(2007年)如图，连续函数y＝f(χ)在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设F(χ)＝∫0χf(t)dt，则下列结论正确【】A．F(3)＝－F(－2)·B．F(3)＝F(2)．C．F(－3)＝F(2)．D．F(－3)＝－F(－2)．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，故应选C．知识模块：一元函数积分学3．(2008年)如图，曲线段的方程为y＝f(χ)，函数f(χ)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0aχf′(χ)dχ等于【】A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(χ)dχ应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0aχf′(χ)dχ应等于曲边三角形ACD的面积．知识模块：一元函数积分学4．(2009年)设函数y＝f(χ)在区间[－1，3]上的图形为则函数F(χ)＝∫0χf(t)dt的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当χ∈(－1，0)时F′(χ)＝f(χ)，而当χ∈(－1，0)时f(χ)≡1＞0，即F′(χ)＞0，从而F(χ)单调增．显然A选项是错误的，因为A选项中F(χ)在(－1，0)中单调减．由于F(χ)＝∫0χf(t)dt，则F(0)＝0，显然C 选项错误．由于当χ∈(2，3]时f(χ)≡0，则当χ∈(2，3]时则B选项是错误的，D项是正确的．知识模块：一元函数积分学5．(2010年)设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性【】A．仅与m的取值有关．B．仅与n的取值有关．C．与m，n的取值都有关．D．与m，n的取值都无关．正确答案：D解析：反常积分两个元界点，χ＝0和χ＝1．先考察χ＝0，当χ→0时则反常积分同敛散，再讨论χ＝1，由于令0＜P＜1 故原反常积分的敛散件与m和n的取信无关．知识模块：一元函数积分学填空题6．(2005年)＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．(2006年)设函数f(χ)＝，在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：解析：由于f(χ)在χ＝0处连续，则(χ)＝a，而则a＝知识模块：一元函数积分学8．(2006年)广义积分＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．(2009年)＝_______．正确答案：0．解析：知识模块：一元函数积分学10．(2009年)已知∫－∞＋∞ek｜χ｜dχ＝1，则k＝_______．正确答案：－2．解析：1＝k＝－2．知识模块：一元函数积分学11．(2010年)当0≤θ≤π时，对数螺线r＝eθ的弧长为_______．正确答案：(eπ－1)．解析：所求弧长为知识模块：一元函数积分学12．(2011年)曲线y＝∫0χtantdt(0≤χ≤)的弧长s＝_______．正确答案：ln(1＋)．解析：知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1991年)曲线y＝【】A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：由于＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有垂直渐近线χ＝0，所以应选D．知识模块：一元函数微分学2．(1992年)当χ→0时，χ－sinχ是χ2的【】A．低阶无穷小．B．高阶无穷小．C．等价无穷小．D．同阶但非等价无穷小．正确答案：B解析：由于则当χ→0时，χ－sinχ是χ2的高阶无穷小．知识模块：一元函数微分学3．(1993年)设f(χ)＝，则在点χ＝1处函数f(χ) 【】A．不连续．B．连续，但不可导．C．可导，但导数不连续．D．可导，且导数连续．正确答案：A解析：即不存在，则f(χ)在χ＝1处不连续．知识模块：一元函数微分学4．(1993年)设常数k＞0，函数f(χ)－lnχ－＋k在(0，＋∞)内零点个数为【】A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：由f(χ)＝lnχ－＋k可知，f′(χ)＝令f′(χ)＝0得χ＝e，且当χ∈(0，e)时f′(χ)＞0，则f(χ)严格单调增；而当χ∈(e，＋∞)时，f′(χ)＜0，则f(χ)严格单调减，又f(e)＝k＞0，而，则f(χ)在(0，e)和(e，＋∞)分别有唯一零点，故f(χ)＝lnχ－＋k在(0，＋∞)内零点个数为2．知识模块：一元函数微分学5．(1993年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内【】A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(χ)＝－f(－χ)知f(－z)＝－f(χ)，即f(χ)的图形关于原点对称，从而由在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0可知，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0，因此应选C．知识模块：一元函数微分学6．(1994年)设＝2，则【】A．a＝1，b＝－B．a＝0，b＝－2C．a＝0，b＝－D．a＝1，b＝－2正确答案：A解析：由上式右端可知a＝1，否则原式极限为无穷．知识模块：一元函数微分学7．(1994年)设f(χ)＝，则f(χ)在χ＝1处的【】A．左、右导数都存在．B．左导数存在，但右导数不存在．C．左导数不存在，但右导数存在．D．左、右导数都不存在．正确答案：B解析：＝1，但f(1)＝，则f(χ)在χ＝1不右连续，从而f′+(1)不存在，又χ3在χ＝1可导，而χ≤1时f(χ)＝χ3，则f′-存在，故应选B．知识模块：一元函数微分学8．(1994年)设y＝f(χ)是满足微分方程y〞＋y′－esinχ＝0的解，且f′(χ0)＝0，则f(χ)在【】A．χ0某邻域内单调增加．B．χ0某邻域内单调减少．C．χ0处取得极小值．D．χ0处取得极大值．正确答案：C解析：由于y＝f(χ)满足方程y〞＋y′＝esinχ＝0，则f〞(χ)＋f′(χ)＝esinχ≡0 令χ＝χ0，得f〞(χ0)＋f′(χ0)－＝0 即f〞(χ0)＝＞0 又f′(χ0)＝0 则f(χ)在χ0处取极小值．知识模块：一元函数微分学9．(1994年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由可知原曲线有水平渐近线y＝又＝∞，则原曲线有垂直渐近线χ＝0，虽然原题中当χ＝1，χ＝－2时分母为零，但都不是∞，则原曲线的渐近线有两条．知识模块：一元函数微分学10．(1995年)设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且对任意χ1，χ2，当χ1＞χ2时，都有f(χ1)＞f(χ2)，则【】A．对任意χ，f′(χ)＞0．B．对任意χ，f′(－χ)≤0．C．函数f(－χ)单调增加．D．函数－f(－χ)单调增加．正确答案：D解析：由于对任意的χ1，χ2，当χ1＞χ2时－χ1＜－χ2，则有f(－χ1)＜(－χ2)，即－f(－χ1)＞－f(－χ2)，也就是说，当χ1＞χ2时，－f(－χ1)＞－f(－χ2)，故－f(－χ)单调增．知识模块：一元函数微分学11．(1995年)设函数f(χ)在[0，1]上f〞(χ)＞0，则f′(1)、f′(0)、f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是【】A．f′(1)＞f′(0)＞f(1)－f(0)B．f′(1)＞f(1)－f(0)＞f′(0)C．f(1)－f(0)＞f′(1)＞f′(0)D．f′(1)＞f(0)－f(1)＞f′(0)正确答案：B解析：由于f〞(χ)＞0 χ∈[0，1] 则f′(χ)单调增，又f(1)－f(0)＝f′(c) c∈(0，1) 从而f′(1)＞f′(c)＞f′(0) 即f′(1)＞f(1)－f(0)＞f′(0) 知识模块：一元函数微分学12．(1995年)设f(χ)可导，F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)．若F(χ)在χ＝0处可导，则必有【】A．f(0)＝0B．f′(0)＝0C．f(0)＋f′(0)＝0D．f(0)－f′(0)＝0正确答案：A解析：由于F(χ)＝f(χ)＋f(χ)｜sinχ｜，而f(χ)可导，则F(χ)在χ＝0可导等价于f(χ)｜sinχ｜在χ＝0可导，令φ(χ)＝f(χ)｜sinχ｜则要使F(χ)在χ＝0可导，当且仅当f(0)＝－(0)，即f(0)＝0．知识模块：一元函数微分学填空题13．(1992年)设，其中f可导，且f′(0)≠0，则＝________．正确答案：3．解析：知识模块：一元函数微分学14．(1992年)函数y＝χ＋2cosχ在区间[0，]上的最大值为_______．正确答案：解析：y′＝1－2sinχ，令y′＝0得χ＝y〞＝－2cosχ，＜0，则y＝χ＋2cosχ在χ＝取得极大值，又在(0，)上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为知识模块：一元函数微分学15．(1993年)χlnχ＝_______．正确答案：0．解析：知识模块：一元函数微分学16．(1993年)函数y＝y(χ)由方程sin(χ2＋y2)＋eχ＝0所确定，则＝_______．正确答案：解析：等式sin(χ2＋y2)＋ey－χy2＝0两边对χ求导得知识模块：一元函数微分学17．(1994年)设函数y＝y(χ)由参数方程所确定，则＝_______．正确答案：(6t＋5)(t＋1)．解析：知识模块：一元函数微分学18．(1995年)设y＝cos(χ2)sin2，则y′＝_______．正确答案：－2χsin(χ2)sin2cos(χ2)．解析：知识模块：一元函数微分学19．(1995年)曲线，在t＝2处的切线方程为_______．正确答案：3χ－y－7＝0．解析：当t＝2时χ＝5，y＝8．则所求切线方程为y－8＝3(χ－5)，即3χ－y－7＝0．知识模块：一元函数微分学20．(1995年)曲线y＝χ2的渐近线方程为_______．正确答案：y＝0．解析：由于＝0，原曲线仅有一条水平渐近线y＝0．知识模块：一元函数微分学21．(1996年)设y＝＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学22．(1997年)设y＝＝_______．正确答案：解析：由对数的性质可知y＝[ln(1－χ)－ln(1＋χ2)] 知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f(x)＝(x2－x－2)｜x3－x｜不可导点的个数是A．3．B．2C．1D．0正确答案：B解析：[分析] 本题可按定义逐点讨论绝对值符号内为零的点是否均为不可导点，但计算量会很大．注意到｜x—x0｜在x＝x0处不可导，但(x－x0)｜x－x0｜在x＝x0处可导，则可方便地找到答案．[详解] 因为f(x)＝(x2－x－2)｜x2－x｜＝(x－2)(x＋1)｜x(x－1)(x＋1)｜，可见f(x)在x＝0，1处不可导，而在x＝－1处可导，故f(x)的不可导点的个数为2．[评注] 一般地，若F(x)＝｜f(x)｜ψ(x)，其中f(x0)＝0，f’(x0)存在且不为零，ψ(x)在x＝x0处连续，则F(x)在x＝x0处可导的充要条件是ψ(x0)＝0．知识模块：一元函数微分学2．设函数，则f(x)在(－∞，＋∞)内A．处处可导．B．恰有一个不可导点．C．恰有两个不可导点．D．至少有三个不可导点．正确答案：C解析：[分析] 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形．[详解] 当｜x｜＜1时，f(x)＝；当｜x｜＝1时，f(x)＝；当｜x｜＞1时，f(x)＝。

即f(x)＝可见f(x)仅在x＝±1时不可导，故应选(C)．[评注] 本题综合考查了数列极限与分段函数在分段点的导数问题．将两个或三个知识点综合起来命题是考题的一种典型表现形式．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x＝0处连续，下列命题错误的是A．若存在，则f(0)＝0．B．若存在，则f(0)0．C．若存在，则f(0)存在．D．若存在，则f’(0)存在．正确答案：D解析：[分析] 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论．[详解](A)，(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)＝0．若存在，则f(0)＝0，f’(0)＝，可见(C)也正确．故应选(D)．事实上，可举反例：f(x)＝｜x｜在x＝0处连续，且存在，但f(x)＝｜x｜在x＝0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)在x＝0处可导，且f(0)＝0，则A．－2f’(0)．B．－f’(0)．C．f’(0)．D．0正确答案：B解析：[分析]利用导数的定义，属基本题型．[详解]故应选(B)．[评注]导数的定义一直是历年考试的重点内容．知识模块：一元函数微分学5．设函数y＝f(x)由方程cos(xy)＋lny－x＝1确定，则A．2．B．1C．-1D．-2正确答案：A解析：[分析]利用隐函数求导方法与导数定义．[详解]存方程cos(xy)＋lny －x＝1中，令x＝0，得y＝1，等式两端对x求导得将x＝0，y＝1代入上式，得y’(0)＝1．于是．选(A)．知识模块：一元函数微分学6．设函数y＝y(x)由参数方程确定，则曲线y＝y(x)在x＝3处的法线与x 轴交点的横坐标是A．B．C．－8ln2＋3．D．8ln2＋3．正确答案：A解析：[分析] 先由x＝3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所求的横坐标．[详解] 当x＝3时，有t2＋2t＝3，得t＝1，t ＝－3(舍去，此时y无意义)，于是可见过点x＝3(此时y＝ln2)的法线方程为：y—ln2＝－8(x－3)，令y＝0，得其与x轴交点的横坐标为：，故应选(A)．[评注] 注意本题法线的斜率应为－8．此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意就可能出错．知识模块：一元函数微分学7．曲线y＝x2与曲线y＝aln x(a≠0)相切，则a＝A．4e．B．3e．C．2e．D．e．正确答案：C解析：[分析] 利用导数的几何意义(切点处斜率相等)及两条曲线都经过切点．[详解] 因y＝x2与y＝aln x(a≠0)相切，故在y＝x2上，；在y＝alnx(a≠0)上，y＝因此，即a＝2e．所以选(C)．知识模块：一元函数微分学8．设函数g(x)可微，h(x)＝e1＋g(x)，h’(x)＝1，g’(1)＝2，则g(1)等于A．ln3—1．B．－ln3－1．C．－ln2—1．D．ln2－1．正确答案：C解析：[详解] 由h(x)＝e1＋g(x)得h’(x)＝e1＋g(x).g’(x)．将x＝1代入，并由题设条件知1＝e1＋g(x).2 1＋g(1)＝－ln2，于是g(1)＝－ln2－1．故应选(C)．知识模块：一元函数微分学9．设函数f(x)＝(ex一1)(e2x－2).….(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)＝A．(－1)n－1(n－1)!．B．(－1)n(n－1)!．C．(－1)n－1n!．D．(－1)nn!．正确答案：A解析：[详解] 方法一用一点处导数定义求．故应选(A)．方法二用导数运算法则先求导函数，再求f’(0)．因f’(x)＝ex.(e2x－2)(e3x－3).….(enx－n)＋(ex－1).2e2x.(e3x－3). ….(enx－n)＋…＋(ex－1)(e2x－2).….[e(n－1)x－n＋1].nenx，故f’(0)＝e0.(e0－2)(e0－3).….(e0－n)＝(－1)n－1(n－1)!，故应选(A)．知识模块：一元函数微分学10．设f(x)＝______。

考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1987年)设f(x)为已知连续函数，其中s＞0，t＞0，则，的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于s．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选D. 知识模块：一元函数积分学2．(1990年)设f(x)是连续函数，且则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)．B．一e-xf(e-x)+f(x)．C．e-xf(e-x)一f(x)．D．e-xf(e-x)+f(x)．正确答案：A解析：由可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故应选A．知识模块：一元函数积分学3．(1993年)设则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：因为所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：一元函数积分学4．(1993年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以应选(A)．知识模块：一元函数积分学5．(1994年)设则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0 因此P＜M＜N，故应选(D)．知识模块：一元函数积分学6．(1996年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，f’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：解1 由于而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以应选(C)．解2 由原题知当x→0时，F’(x)与xk为同阶无穷小，换句话说，当x→0时，F’(x)是x的k阶无穷小，本题要决定k，即要决定当x→0时，F’(x)是x的几阶无穷小，如果能决定F(x)是x的几阶无穷小，降一阶就应是F’(x)的阶数．下面来决定F(x)是x的几阶无穷小．由于f(t)=f(0)+f’(0)t+o(t)=f’(0)t+o(t) 由于上式中第二项o(t)是高阶：无穷小，略去它不影响F(x)的阶数，则x→0时，与F(x)的阶数相同，而显然它是x的四阶无穷小，则x→0时F(x)是x的四阶无穷小，F’(x)应是x的三阶无穷小，故应选(C)．△解3 与解2前面的分析一样，本题只要能确定F(x)是x的几阶无穷小，问题就得到解决．在F(x)=的表达式中有一个一般函数f(t)，这样一个一般的f(x)它都能决定F(x)的阶数，那么取一个具体的f(t)，比如取f(t)=t，当然同样也可以决定结果．将f(t)=t代入得显然它是x的四阶无穷小，从而F’(x)是x的三阶无穷小，所以应选(C)．知识模块：一元函数积分学7．(1997年)设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．令S2=f(b)(b 一a)，S3=[f(a)+f(b)](b一a)，则A．S1＜S2＜S3．B．S2＜S1＜S3．C．S3＜S1＜S2．D．S2＜S3＜S1．正确答案：B解析：解1 在[0，ln2]上考虑f(x)=e-x，显然f(x)满足原题设条件，而则S2＜S1＜S3 解2 由题设条件对f(x)的图形进行分析，易知f(x)在x轴上方、单调下降且向上凹，如图所示，S2表示长方形ABCE的面积，S3等于梯形ABCD 的面积，S1等于曲边梯形ABCD的面积，从而有S2＜S1＜S3 知识模块：一元函数积分学8．(1997年)设则F(x)A．为正常数．B．为负常数．C．恒为零．D．不为常数．正确答案：A解析：解1 △解2 考察被积函数中sint在(0，π)上为正，(π，2π)上为负，且在这两个区间上sint的值完全对应且仅仅相差一个负号，而当t ∈(0，π)时．esint＞1，当t∈(π，2π)时，esint＜1，则积分一定为正，故应选(A)．△解3 又则而当t∈(0，π)时，(esint一e-sint)sint＞0，则F(0)＞0．△解4 考察有则上式积分中sint的奇次幂项为奇函数，该项积分为零，而sint的偶次幂项的积分显然为正，则F(一π)＞0．知识模块：一元函数积分学9．(1998年)设f(x)连续，则A．xf(x2)．B．一xf(x2)．C．2xf(x2)．D．一2xf(x2)．正确答案：A解析：解1 令x2一t2=u，则△解2 令f(x)≡1，则显然(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)．知识模块：一元函数积分学10．(1999年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：A解析：解1 排除法．(B)，(C)，(D)分别举反例如下．(B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1不是奇函数．(C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x不是周期函数．(D)的反例：f(x)=x，F(x)=x2不是单调增的．所以应选(A)．解2 直接说明(A)正确．f(x)的原函数F(x)可表示为则故(A)是正确选项．知识模块：一元函数积分学11．(2004年)把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．α，γ，βC．β，α，γ．D．β．γ，α．正确答案：B解析：解1 由于则当x→0+时γ是α的高阶无穷小，又则当x→0+时β是γ的高阶无穷小．故应选(B)．解2 由于则x→0+时．α是x的一阶无穷小；而则当x→0+时β是x的3阶无穷小；则当x→0+时，γ是x的一阶无穷小，故应选(B)．知识模块：一元函数积分学12．(2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．D．F(x)是单调函数f(x)是单调奇函数．正确答案：A解析：解1 直接法若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且(x)是偶函数．则F(-x)=F(x)，式两端对x求导得一F’(x)=F(x) 即一f(一x)=f(x) 故f(x)为奇函数．反之，若f(x)为奇函数，则是f(x)的一个原函数．又则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数．则F(x)=G(x)+C F(x)亦是偶函数，故应选(A)．解2 排除法令f(x)=cosx，F(x)=sinx+1．显然f(x)是偶函数．但F(x)不是奇函数．所以(B)不正确；令F(x)=sinx+x，f(x)=cosx+1．显然f(x)是周期函数．但F(x)不是周期函数．故C不正确；令F(x)=x2，f(x)=2x显然f(x)是单调函数，但F(x)不是单调函数，则(D)不正确．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学填空题13．(1987年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)－x及y=0所围成的平面图形的面积是______________．正确答案：解析：解1 令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为解2 对y积分，则所求面积为知识模块：一元函数积分学14．(1988年)设f(x)是连续函数，且则f(7)=___________．正确答案：解析：等式两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得12f(7)=1，f(7)= 知识模块：一元函数积分学15．(1989年)设f(x)是连续函数，且则f(x)=_________________．正确答案：x一1解析：解1 令则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入得即由此可得则f(x)=x 一1 解2 等式两端从0到1对x积分得即由此可知从而可知f(x)=x 一1．知识模块：一元函数积分学16．(1993年)函数的单调减少区间为___________．正确答案：解析：令解得则F(x)单调减少区间为知识模块：一元函数积分学17．(1995年)正确答案：解析：由于所以知识模块：一元函数积分学18．(1999年)正确答案：sinx2．解析：令x—t=u，则知识模块：一元函数积分学19．(2000年)正确答案：涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1997年)设在闭区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0．记S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)，则【】A．S1＜S2＜S3B．S2＜S3＜S1C．S3＜S1＜S2D．S2＜S1＜S3正确答案：D解析：在[0，ln2]上考虑f(χ)＝e－χ，显然f(χ)满足原题设条件，而则S2＜S1＜S3 知识模块：一元函数积分学2．(1997年)设F(χ)＝∫χχ＋2χesintsintdt，则F(χ) 【】A．为正常数．B．为负常数．C．恒为零．D．不为常数．正确答案：A解析：知识模块：一元函数积分学3．(1999年)设a(χ)＝，则当χ→0时，α(χ)是β(χ)的【】A．高阶无穷小．B．低阶无穷小．C．同阶但非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：故，当→0时，a(χ)是β(χ)的同阶但非等价无穷小．知识模块：一元函数积分学4．(1999年)设f(χ)是连续函数，F(χ)是，(χ)的原函数，则【】A．当f(χ)是奇函数时，F(χ)必是偶函数．B．当f(χ)是偶函数时，F(χ)必是奇函数．C．当f(χ)是周期函数时，F(χ)必是周期函数．D．当f(χ)是单调增函数时，F(χ)必是单调增函数．正确答案：A解析：排除法．B、C、D选项分别举反例如下：B项的反例：f(χ)＝cosχ，F(χ)＝sinχ＋1不是奇函数；C项的反例：f(χ)＝cosχ＋1，F(χ)＝sinχ＋χ不是周期函数；D项的反例：f(χ)＝χ，F(χ)＝χ2不是单调函数；所以应选A．知识模块：一元函数积分学5．(2002年)设函数f(χ)连续，则下列函数中，必为偶函数的是【】A．∫0χf(t2)dtB．∫0χf2(t)dtC．∫0χt[f(t)－f(－t)]dtD．∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt正确答案：D解析：令F(χ)＝∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt 则F(－χ)＝即F(χ)＝∫0χ[f(t)＋f(－t)]dt是偶函数．所以应选D．知识模块：一元函数积分学填空题6．(1994年)∫χ3dχ＝________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．(1996年)∫-11(χ＋)2dχ＝_______．正确答案：2．解析：其中∫χdχ＝0，由于χ为奇函数．知识模块：一元函数积分学8．(1996年)由曲线y＝χ＋，χ＝2及y＝2所围图形的面积S＝________．正确答案：ln2－．解析：由图2．15可知所求面积为知识模块：一元函数积分学9．(1997年)＝_______．正确答案：arcsin＋C或2arcsin＋C．解析：将根式里面配方得知识模块：一元函数积分学10．(1998年)＝_______．正确答案：－cotχ.lnsinχ－cotχ－χ＋C．解析：＝∫lnsinχdcotχ＝－cotχ.lnsinχ＋∫cot2χdχ＝－cotχ.lnsin χ＋∫(csc2χ－1)dχ＝－cotχ.lnsinχ－cotχ－χ＋C 知识模块：一元函数积分学11．(1998年)设f(χ)连续，则t∫0χtf(χ2－t2)dt＝_______。

考研数学三（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2018年] 下列函数中，在x=0处不可导的是( )A．f(x)=|x|sin|x|B．C．f(x)=cos|x|D．正确答案：D解析：对于(A)，因f-(0)=f+(0)=0，故(A)可导．对于(B)，故(B)中也可导．对于(C)，由于cos|x|=cosx，f(x)=cos|x|为偶函数，可得f-’(0)=f+(0)，故(C)也可导．应用排除法，可知(D)不可导．实际上，由定义得因f+’(0)≠f-’(0)，所以(D)不可导．知识模块：一元函数微分学2．[2006年] 设函数f(x)在x=0处连续，且则( )．A．f(0)=0且f-’(0)存在B．f(0)=1且f-’(0)存在C．(c)f(0)=0且f+’(0)存在D．f(0)=1且f+’(0)存在正确答案：C解析：用排错法求之．令显然f(x)在x=0处连续，且因f(0)=0，又故(A)、(B)、(D)均不正确．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学3．[2011年] 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．-2f’(0)B．-f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：B解析：知识模块：一元函数微分学4．[2012年] 设函数f(x)=(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)=( )．A．(－1)n-1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n-1n!D．(－1)nn!正确答案：A解析：解一用乘积求导公式求之．注意到因子ex－1在x=0时为0，故求导结果只留下一个非零项，即不含因子ex－1的项，其导数为(ex－1)’=ex，因而f’(0)=[ex(e2x－2)…(enx－n)]｜x=0 =1·(－1)·(－2)·…·[－(n－1)]=(－1)n-1(n－1)! 仅(A)入选．解二仅(A)入选．知识模块：一元函数微分学5．[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f”(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分．若△x>0，则( )．A．0＜dy＜△yB．0＜△y＜dyC．△y＜dy＜0D．dy＜△y＜0正确答案：A解析：解一由f’(x)＞0，f”(x)>0知，函数f(x)单调增加，曲线y=f(x)是凹向．作出函数y=f(x)的图形，如图1．2．2．1所示．易看出当△x>0时，有△y>dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x＞0．仅(A)入选．解二因△y=f(x0+△x)－f(x0)为函数差的形式，这启示我们可用拉格朗日中值定理△y=f(x0+△x)－f(x0)=f’(ξ)△x，x0＜ξ＜x＜sub>0+△x求之．因f”(x)＞0，故f’(x)单调增加，有f’(ξ)＞f’(x0)．又△x＞0。

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考研数学三（一元函数微分学）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2007年] 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是( )．A．若存在，则f(0)=0B．若存在，则f(0)=0C．若存在，则f’(0)存在D．若存在，则f’(0)存在正确答案：D解析：解一已知f(x)在x=0处连续，且存在，由命题1．2．1．1(1)知f(0)=0，且存在，因而(A)，(C)正确，(B)也正确，则(D)不正确．仅(D)入选．解二举反例确定选项(D)是错误的．例如，令f(x)=|x|，则f(x)在x=0处连续，且存在，但f(x)=|x|在x=0处不可导．解三由导数定义易知，f(x)在x=0处的导数的定义式中应有与f(0)有关的项，但(D)中没有，因而即使存在，f(x)在x=0处仍有可能不可导，如解二中的反例．仅(D)入选．注：命题1．2．1．1(1)如果f(0)=0，存在，则f(x)在x=0处可导，且知识模块：一元函数微分学2．[2004年] 设f(x)=|x(1－x)|，则( )．A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C．x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：解一由于f(x)=|x(1－x)|是二次函数取绝对值，其图形不难作出，如图1．2．3．1所示．由此图形可直接判断．由于四个选项中只关注x=0的点，故只考察f(x)在x=0附近的凹凸性即可．如图1．2．3．1所示，f(0)=0为f(x)的极小值，而在x=0左侧，f(x)为凹函数，在x=0右侧，f(x)为凸函数．因此(0，0)是拐点．仅(C)入选．解二由f(x)=|x(1－x)|易得到易作出f(x)的图形，如图1．2．3．1所示．下面采用严格分析的方法分析f’(x)与f”(x)在x=0左、右两侧的性质，确定极值和拐点．因xA．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：设f”(x)=0左边的零点为a，右边的零点为b，f”(x)在=0处没有定义．因在x=a处左、右两侧由图1．2．3．2可看出，f”(x)都大于零，由命题1．2．3．5(1)知，点(0，f(0))不是曲线f”(x)的拐点．因在x=b处的左右两侧，由图1．2．3．2可看出f”(x)异号：在x=b处的左侧f”(x)＜0，在x=b处的右侧f”(x)＞0．由命题1．2．3．5(1)知，(b，f(b))为曲线f(x)的拐点．在x=0处显然f”(x)没有定义，但在x=0处的左右两侧，f”(x)异号，由命题1．2．3．5(1)知(0，f(0))为曲线f(x)的拐点．仅(C)入选．注：命题1．2．3．5 设y=f(x)在点x0处连续，f”(x0)=0．(1)若f”(x)在x0的左、右邻域内变号，则点(x0，f(x0))是拐点. 知识模块：一元函数微分学4．[2016年] 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导函数如图1．2．3．3所示，则( )．A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点正确答案：B解析：由导函数的图形1．2．3．3易看出，导数为0的点有x=a，b，c，d．它们是可导函数取极值的候选点．由图易看出，当x＜a时，f’(x)＞0，当x＞a 时，f’(x)＜0，由命题1．2．3．2(1)可判别x=a为f(x)的极大值点．当x＜c 时，f’(x)＜0，当x＞c时f’(x)＞0，由命题1．2．3．2(1)判别x=c为f(x)的极小值点．但当x＜b时，f’(x)＜0，当x＞b时，f’(x)＜0．由命题1．2．3．2(1)知x=b不是极值点．同理，当x＜d和x＞d时，f’(x)＞0，故x=d也不是极值点．当x＜b时，f’(x)单调下降，故f”(x)＜0；当b＜x＜e时，f’(x)单调上升，故f(x)＞0．由命题1．2．3．5(1)知(b，f(b))为拐点．当f＜x＜e时，f’(x)单调上升，故f”(x)＞0．又当e＜x＜d时，f’(x)单调下降，f”(x)＜0．由命题1．2．3．5(1)知，(e．f(e))为拐点．当e＜x＜d时，f’(x)单调下降，故f”(x)＜0，当x＞d 时f’(x)单调上升，故f”(x)＞0，由命题1．2．3．5(1)知，(d，f(d))为曲线的拐点．综上知，曲线y=f(x)有2个极值点和3个拐点．仅(B)入选．注：命题1．2．3．2 (1)若f’(x0)=0或f(x)在x=x0处连续，但f’(x0)不存在，则当f’(x)在x0的左半邻域(x0一δ1，x0)与右半邻域(x0，x0+δ)改变符号时，x0为极值点．进一步当f’(x)由负变正时，x0为极小值点，当f’(x)由正变负时，x0为极大值点．常称此法为极值的一阶导数判别法．若f’(x)在x=x0的两侧不变号，则f(x0)不是极值．命题1．2．3．5 设y=f(x)在点x0处连续，f”(x0)=0．(1)若f”(x)在x0的左、右邻域内变号，则点(x0，f(x0))是拐点. 知识模块：一元函数微分学5．[2014年] 下列曲线有渐近线的是( )．A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1／x)D．y=x2+sin(1／x)正确答案：C解析：(1)若则y=b(b为有限实数)为曲线y=f(x)的水平渐近线．因(A)、(B)、(C)、(D)中或均不存在，故它们均无水平渐近线．(2)若或则x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线．取x0=0，则在(A)，(B)中在(C)、(D)中均不存在，故(A)、(B)、(C)、(D)中曲线均无铅直渐近线．(3)若则y=ax+b为曲线y的斜渐近线．对于(B)、(D)不存在，对于(A)即但不存在，故(A)，(B)，(D)中曲线均无斜渐近线．对于(C)，(有界变量与无穷小量之乘积的极限等于0)，故y=1·x+0=x是(C)中曲线的斜渐近线．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学6．[2012年] 曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因故x=1为y的铅直渐近线．又故y=1为其水平渐近线．曲线渐近线的条数为2．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学7．[2007年] 曲线y=1／x+ln(1+ex)渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：注意到曲线方程中出现e2，当不存在时，需要分别讨论x→+∞和x →－∞两侧是否有渐近线．又因y在x=0处无定义，先要考虑它是否有铅直渐近线．因故x=0为其铅直渐近线．又因故y=0为其一条水平渐近线．再考查另一趋向x→+∞，因因而在另一侧曲线没有水平渐近线，但当x→+∞时，y为x的同阶无穷大量，因而可能有斜渐近线．事实上，有由于x→－∞时，曲线已有水平渐近线，在该侧曲线不可能再有斜渐近线．故曲线只有一条斜渐近线y=x．综上所述，曲线共有3条渐近线．仅(D)入选．知识模块：一元函数微分学8．[2005年] 当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3－9x2+12x一a恰好有两个不同的零点?( )A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：解一仅(B)入选．利用命题1．2．3．8求之．为此先求出可能的极值点，证明f(x)恰好有一个极值等于0．事实上，由f’(x)=6x2－18x+12=6(x－1)(x－2)知，可能的极值点为x1=1，x2=2，而f(1)=5－a，f(2)=4-a．又f”(x)=12x －18，f”(1)=－6＜0，f”(2)=6＞0．因而x=1是f(x)的极大值点，x=2为f(x)的极小值点．极大值、极小值分别为f(1)=5－a，f(2)=4－a．由命题1．2．3．8知，当两个极值有一个为零时，函数方程f(x)=2x3－9x2+12x－a=0恰有两个不同的实根．可见，当a=4(或a=5)时，函数f(x)恰有两个不同的实根．解二当a=4时，f(1)=1，f(2)=0，即x=2为f(x)的一个零点．由f’(x)=6(x－1)(x－2)知，当－∞＜x＜1时，f’(x)＞0，f(x)单调增加，而f(1)=1＞0，故f(x)在(－∞，1)内有唯一零点．当1＜x＜2时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，又f(2)=0，则当l＜x＜2时，f(x)＞0，此区间内无零点．当x＞2时，f’(x)＞0，f(2)=0，故f(x)＞0，即在此区间内无零点．仅(B)入选．解三由解一知，f(1)=5－a，f(2)=4－a分别为f(x)的极大值M和极小值m．当a=4时，M=f(1)=1＞0，而当a=5时，m=f’(2)=4-5=－1＜0．由命题1．2．3．7(3)知，f(x)只有两个实根．仅(B)入选．注：命题1．2．3．7(3)当m＜0(或M＞0)时，在[a，b]上f(x)与x轴只有两个交点，即f(x)=0在[a，b]上只有两个实根．命题1．2．3．8 对于三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，当两个极值同号时，函数方程f(x)=0只有一个实根，当两个极值异号时，函数方程f(x)=0有三个实根；当两个极值有一个为零时，函数方程f(x)=0只有两个不同的实根．知识模块：一元函数微分学9．[2002年] 设函数f(x)在[a，b]上有定义，在(a，b)内可导，则( ).A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0B．对任何ξ∈(a，b)，有[*]C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)正确答案：B解析：仅(B)入选．因对于任取的ξ∈(a，b)，f(x)在x=ξ处可导，故f(x)在=ξ处连续，则对于其他三个选项，因它们需要“f(x)在[a，b]上连续”这个条件，而题设条件“f(x)在(a，b)内可导”并不能保证f(x)在两端点a，b连续，故(A)、(C)、(D)不正确．若将函数f(x)“在闭区间[a，b]上有定义”改为“在[a，b]上连续”，则四选项都对．知识模块：一元函数微分学10．[2018年] 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且则( )．A．当f’(x)＜0时，B．当f(x)＜0时，C．当f’(x)＞0时，D．当f”(x)＞0时，正确答案：D解析：由条件可知，对函数f(x)在点处按二阶泰勒展开可得其中ξ在x 与之间，则其中所以当f”(x)＞0时，积分从而可推出当f”(x)＜0时，有故(B)错误；取则f’(x)＜0，选项(A)错误；取则f’(x)＞0，选项(C)错误．故选(D)．知识模块：一元函数微分学11．[2007年] 设某商品的需求函数为Q=160-2P，其中Q、P分别表示需求量和价格．如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )．A．10B．20C．30D．40正确答案：D解析：由得到由P／(80－P)=1，即P=80－P，2P=80，得到P－40．仅(D)入选．知识模块：一元函数微分学12．[2018年] 设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )．A．C’(Q0)=0B．C’(Q0)=C(Q0)C．C’(Q0)=Q0C(Q0)D．Q0C’(Q0)=C(Q0)正确答案：D解析：平均成本函数则由题设产量为Q0时平均成本最小，所以即C’(Q0)Q0=C(Q0)．故选(D)．知识模块：一元函数微分学填空题13．[2018年] 设函数f(x)满足f(x+△x)－f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)且f(0)=2，则f(1)=__________．正确答案：2e解析：由f(x+△x)－f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，可得等式两边取极限可得微分方程f’(x)=2xf(x)，解得f(x)=Cex2，再由f(0)=2得C=2，所以f(x)=2ex2，即f(1)=2e．知识模块：一元函数微分学14．[2010年] 若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(－1，0)，则b=_________．正确答案：3解析：显然函数y二阶可导，又(－1，0)为曲线y的拐点，由命题1．2．3．6知，必有y”(－1)=0．因y’=3x2+2ax+b，y”=6x+2a，由y”(－1)=6(－1)+2a=0得到a=3．又曲线y过点(－1，0)，则y(一1)=0．将其坐标及a=3代入曲线方程，得到(－1)3+3(一1)2+b(－1)+1=0，即b=3．注：命题1．2．3．6 设点(x0，f(x0))为曲线的拐点，若f”(x0)存在，则必有f”(x0)=0．知识模块：一元函数微分学15．[2011年] 曲线tan(x+y+π／4)=ey在点(0，0)处的切线方程为___________．正确答案：y=－2x解析：显然所给曲线所满足的方程可导，在其两边对x求导，把y看作中间变量，即看作x的函数，得到sec2(x+y+π／4)(1+y’)=y’ey．将切点的坐标代入，得到sec2(0+0+π／4)[1+y’(0)]=y’(0)e0=y’(0)，即1／[cos2(π／4)][1+y’(0)]=y’(0)，解之得y’(0)=－2，故所求的切线方程为y=－2x．知识模块：一元函数微分学16．[2018年] 曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是________．正确答案：y=4x－3解析：由题可知，令解得x=1，所以曲线的拐点为(1，1)．又因y’(1)=4即为切线斜率，所以切线方程为y=4x－3．知识模块：一元函数微分学17．[2014年] 设某商品的需求函数为Q=40－2P(P为商品的价格)，则该商品的边际收益为__________．正确答案：20－Q解析：由Q=40－2P得到则收益函数为故边际收益MR=R’(Q)=20－Q．知识模块：一元函数微分学18．[2009年] 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应的价格P的弹性εP=0．2，则当需求：量为10000时，价格增加1元会使产品收益增加_________元．正确答案：8000(元)解析：解一由及η=εP=0．2，Q=10000，得到价格增加1元而需求量为10000件时，收益R将增加Q(1－η)=0000(1－0．2)=10000×0．8=8000(元)．解二R=PQ，当价格增加1元而需求量为10000件时，所增加的收益为因即PQ’=－0．2Q，故知识模块：一元函数微分学19．[2017年] 设生产某种产品的平均成本为其中Q为产量，则边际成本为________．正确答案：C’(Q)=1+(1－Q)e-Q解析：平均成本则总成本为C(Q)=Q+Qe-Q．故边际成本为C’(Q)=1+(1－Q)e-Q．知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(01年)曲线y=(x-1)2(x一3)2的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：y’=2(x一1)(x一3)2+2(x-1)2(x一3)=4(x一1)(x一3)(x一2) y”=4[(x 一3)(x一2)+(x—1)(x一2)+(x一1)(x一3)] =4(3x2一12x+11)y”=12(x—x1)(x —x2)，显然y”在x1，x2两侧变号．则原曲线两个拐点．知识模块：一元函数微分学2．(01年)已知函数f(x)在区间(1一δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则A．在(1一δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．B．在(1一δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．C．在(1一δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．D．在(1一δ，1)内，f(x)＞x,在(1，1+δ)内，f(x)＜x．正确答案：A解析：由拉格朗日中值定理知．f(x)一f(1)=f’(ξ)(x一1) (ξ介于1与x之间)又f(1)=f’(1)=1,f’(x)在(1-δ，1+δ)严格单调减少，则当x∈(1一δ．1)时，f(x)-1＜1.(x-1) 即f(x)＜x．当x∈(1，1+δ)时．f(x)一1＜1.(x-1) 即f(x)＜x.所以应选(A)．知识模块：一元函数微分学3．(01年)已知函数y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图2．3所示，则其导函数y=f’(x)的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)的图形可以看出．当x＜0时，f(x)严格单调增，则当x＜0时，f’(x)＞0；因此(A)(C)肯定不正确．因此只能在(B)和(D)中选，又由f(x)图形可看出当x＞0时，f(x)由增变减再变增，因此在x＞0处，f’(x)由正变负再变正．由f’(x)的图形可看出应选(D)．知识模块：一元函数微分学4．(02年)没函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)=A．一1B．0．1C．1D．0．5正确答案：D解析：由以上分析知0．1=y’(一1)△x 而y’(一1)=f’(x2).2x|x=1=一2f’(1),△x=一0.1代入上式得0．1=一2f’(1)×(一0．1)由此可得故应选(D)．知识模块：一元函数微分学5．(02年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导．则A．B．C．D．正确答案：B解析：由拉格朗口中值定理得f(2x)-f(x)=f’(ξ)x，(x＜ξ＜2x)，则=f’(ξ)由于f(x)有界，则知识模块：一元函数微分学6．(03年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极大值点．D．三个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：如图，从导函数图形可知，f(x)只在x=x1，x=x2，x=x3处导数为零．而在x=0处导数不存在，则f(x)只可能在这四个点取得极值．而f(x)在x=x1和x=0两点的导数都是由正变负，则f(x)在这两点处取极大值：而f(x)在x=x2和x=x3两点的两侧导数都是由负变正，则f(x)在这两点处取极小值，故应选(C)．知识模块：一元函数微分学7．(04年)设f(x)=|x(1-x)|，则A．x=0是f(x)的极值点，但(0．0)不是曲线y=f(x)的拐点．B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．C．x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：C解析：由f(x)=|x(1一x)|知f(0)=0，而在x=0的去心邻域内f(x)＞0，则f(x)在x=0处取极小值，又即在x=0两侧f”(x)变号，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点,故应选(C)．知识模块：一元函数微分学8．(04年)设函数f(x)连续。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(87年)设f(x)在x=a处可导，则等于A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：知识模块：一元函数微分学2．(88年)f(x)=+6x+1的图形在点(0，1)处切线与x轴交点坐标是A．B．(一1，0)C．D．(1，0)正确答案：A解析：f’(x)=x2+x+6，f’(0)=6，(0，1)点切线方程为y—1=6x，令y=0得x=即此切线与x轴的交点坐标为知识模块：一元函数微分学3．(88年)若函数y=f(x)，有f’(x0)=则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是A．与△x等价无穷小．B．与△x同阶无穷小．C．比△x低阶的无穷小．D．比△x高阶的无穷小．正确答案：B解析：dy=f’(x0)△x=则当△x→0时，dy与△x是同阶无穷小．知识模块：一元函数微分学4．(88年)设函数y=f(x)是微分方程y”一2y’+4y=0的一个解，且f(x0)＞0，f’(x0)=0，则f(x)在x0处A．有极大值．B．有极小值．C．某邻域内单调增加．D．某邻域内单调减少．正确答案：A解析：由题设知f”(x)一2f’(x)+4f(x)≡0，令x=x0得f”(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=0，即f”(x0)+4f(x0)=0又f(x0)＞0，则f”(x0)＜0．故f(x)在x0处取得极大值．知识模块：一元函数微分学5．(89年)当x＞0时，曲线A．有且仅有水平渐近线．B．有且仅有铅直渐近线。

C．既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线．正确答案：A解析：由于又则原曲线有且仅有水平渐近线y=1 知识模块：一元函数微分学6．(89年)若3a2一5b＜0．则方程x3+2ax3+3bx+4c=0A．无实根．B．有唯一实根．C．有三个不同实根．D．有五个不同实根．正确答案：B解析：由于x5+2ax3+3bx+4c=0为5次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根)．令f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f’(x)=5x4+6ax2+3b而△=(6a)2一60b=12(3a2一5b)＜0，则f’(x)≠0因此,原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根．知识模块：一元函数微分学7．(89年)设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处A．必取极大值．B．必取极小值．C．不可能取极值．D．是否取极值不能确定．正确答案：D解析：本题的关键在于由题设可知在x=a的某邻域内有f(a)≥f(x)，g(a)≥g(x)，由此能否得到g(a).f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x)，这在一般情况下是得不到此结论的．若取f(x)=一(x一a)2，g(x)=-(x—a)2，显然f(x)和g(x)在x=a处取极大值0，但f(x)g(x)=(x一a)4在x=a处取极小值．则(A)(C)都不正确：若取f(x)=1一(x—a)2，g(x)=1一(x一a)2，则f(x)和g(x)都有极大值1，而f(x)g(x)=[1一(x—a)2]2在x=a仍有极大值1，则(B)也不正确，从而只有(D)对．知识模块：一元函数微分学8．(89年)设d(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于h→+∞时存在只能得出f(x)在a点的右导数存在，不能得出a点导数存在，(B)(C)明显不对，因为f(x)在a点如果没定义，(B)(C)中的两个极限都可能存在，但函数若在a点无定义，则在该点肯定不可导．则应选(D)．知识模块：一元函数微分学9．(90年)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2．则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是A．n![f(x)]n+1B．n[f(x)]n+1C．[f(x)]2nD．n![f(x)]2n正确答案：A解析：等式f’(x)=[f(x)]2两边对x求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2[f(x)]2 f”‘(x)=2×3[f(x)]2f’(x)=2×3[f(x)]4…f(n)(x)=[f(x)]n-1n! 知识模块：一元函数微分学10．(90年)设F(x)=其中f(x)在x=0处可导,f’(0)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的A．连续点．B．第一类间断点．C．第二类间断点．D．连续点或间断点不能由此确定．正确答案：B解析：由于f(0)=0，f(x)在x=0处可导，则而F(0)=f(0)=0，则极限存在但不等于F(0)，故x=0为F(x)的第一类间断点．知识模块：一元函数微分学11．(91年)若曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，-1)处相切．其中a，b是常数．则A．a=0，b=一2B．a=1，b=一3C．a=-3，b=1D．a=-1，b=一1正确答案：D解析：由于曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，一1)处相切，则在点(1．一1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1．一1)．y’=2x+a．y’|c=1=2+a2y’=y3+3xy2y’，y’|x=1=1则2+a=1，a=一1又一1=1+a+b=1一1+b=b，b=一1所以应选(D)．知识模块：一元函数微分学12．(91年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义．x0≠0是函数f(x)的极大点，则A．x0必是f(x)的驻点．B．一x0必是一f(一x)的极小点．C．一x0必是-f(x)的极小点．D．对一切x都有f(x)≤f(x0)．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题13．(87年)设yln(1+ax)，则y’=______，y”=______．正确答案：解析：由y=ln(1+ax)知，知识模块：一元函数微分学14．(87年)曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是_______；法线方程是_______．正确答案：解析：则x=1处切线方程为，法线方程为=一2(x一1)．知识模块：一元函数微分学15．(88年)设f(t)=则f’(t)=______．正确答案：(1+2t)e2t．解析：则f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t 知识模块：一元函数微分学16．(88年)正确答案：1解析：知识模块：一元函数微分学17．(89年)设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)．则f’(0)=______．正确答案：n!．解析：∵f’(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x(x+2)(x+3)…(x+n) +…+x(x+1)(x+2)…(x+n-1)∴f’(0)=n! 知识模块：一元函数微分学18．(89年)设tany=x+y．则dy=_____。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2012年试题，一)设(k=1，2，3)，则有( )．A．l1先比较l1，l2，由于l2-l1=因此l2＜l1．再比较l2，l3，l3一l2=ξ2＞0，ξ2∈(2π，3π)．因此l3＞l2最后比较l1，l3．l2一l1=令t=x一2π，则l3一l1因此l3＞l1，综上有l3＞l1＞l2，选D．知识模块：一元函数积分学2．(2003年试题，二)设则极限等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，所以由于所以选B．[评注]考查定积分的计算和求数列极限．知识模块：一元函数积分学3．(2002年试题，二)设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，逐一分析4个选项，设f1(x)=则,因此f(x)为奇函数．设f2(x)=则由于f(x)的奇偶性未给定，所以f2(x)的奇偶性不确定，设f3(x)=，则因此f(x)为奇函数．设f4(x)=则,因此f4(x)为偶函数，综上，选D．[评注]的奇偶性与f(x)奇偶性的关系是：若f(x)为奇函数，则为偶函数；若f(x)为偶函数，则为奇函数．知识模块：一元函数积分学4．(1999年试题，二)设则当x→0时，α(x)是β(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：由题设，因此当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但不等价无穷小，选C．[评注]考查无穷小量的比较及极限的计算．知识模块：一元函数积分学5．(1997年试题，二)设则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：由题设，被积函数f(x)=esinx.sinx具有周期2π，所以[评注]判定F(x)是否为常数，看F’(x)是否恒为0即可，然后再取特殊值即可判定F(x)是正常数，还是负常数或恒为0等．知识模块：一元函数积分学6．(2010年试题，4)设m，n是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n有关C．与mn取值都有关D．与m，n取值都无关正确答案：D解析：无界函数的反常积分有两个瑕点x=0和x=1，同理，x→0+时，In2(1一x)一x2，设q为一个常数，则又因为m，n是正整数，所以则必然存在q∈(0，1)，使得极限存在．同理，因x→1-时，对于任意小的δ∈(0，1)，有所以，根据无界函数的反常积分的审敛法2可知，该反常积分始终是收敛的，即它的敛散性与m，n均无关，故正确答案为D．知识模块：一元函数积分学7．(2009年试题，一)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1—3—4所示，则函数的图形为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由定积分的性质可知y=f(x)的图像与x轴、y轴及x=x所围图形面积的代数和为所求函数F(x)，观察图形可得出如下结论：(I)当x∈[一1，0]时，F(x)≤0，为线性函数，且单调递增，从而排除A,C选项；(Ⅱ)当x∈[0，1]时，F(x)≤0且单调递减；(Ⅲ)当x∈[1，2]时，F(x)单调递增；(Ⅳ)当x∈[23]时，F(x)为常数函数，且连续，从而排除B选项．综上可知，正确选项为D. 知识模块：一元函数积分学8．(2008年试题，一)如图1—3—5所示，设图中曲线方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分表示( )．A．曲边梯形ABOD的面积B．梯形ABOD的面积C．曲边三角形ACD的面积D．三角形ACD的面积正确答案：C解析：定积分因为af(a)是矩形ABOG的面积是曲边梯形ABOD的面积，二者之差就是曲边三角形ACD的面积．故应选C．知识模块：一元函数积分学9．(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：的大小跟曲线y=f(x)与x轴所围面积大小有关．因为F(3)故应选C．[评注]应用定积分的几何意义做本题较为简便，若直接去计算定积分，则十分复杂．知识模块：一元函数积分学填空题10．(2001年试题，一)_________.正确答案：解析：已知f(x)为连续函数，若f(x)为奇函数，则若f(x)为偶函数，则知识模块：一元函数积分学11．(1999年试题，一)函数在区间上的平均值为__________.正确答案：由平均值的定义知解析：理解平均值的概念，像曲率、弧长等概念也值得注意．知识模块：一元函数积分学12．(2009年试题，二)已知，则k=_________．正确答案：因为，所以极限存在．故k从而k=一2．涉及知识点：一元函数积分学13．(2010年试题，12)当0≤0≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________.正确答案：题设曲线的弧长涉及知识点：一元函数积分学14．(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为p=eπθ(a>0)，则该曲线上相应于θ，从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________．正确答案：由已知p=eπθ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为解析：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为参数方程定义的曲线面积微元为dS=y(θ)x’(θ)dθ．知识模块：一元函数积分学15．(2002年试题，一)位于曲线y=xe-x(0≤x解析：无界图形的面积可由广义积分计算．知识模块：一元函数积分学16．(1998年试题，一)曲线y=一x3+x2+2x与x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S=__________．正确答案：先由已知y=一x3+x2+2x可得其与戈轴的三个交点，x1=一1，x2=0，x3=2，作出草图(见图1——11)可有助于用定积分表示面积S，因此涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。