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线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
自测卷一 一、单项选择题1．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则 ( )()A . B A +可逆；()B . kA 可逆（k 为常数）；()C . AB 可逆；()D . 111)(---=BA AB .2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中( )． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设A 是65⨯矩阵，而且A 的行向量线性无关，则( )． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关； ()D . 线性方程组B AX =有唯一解．4．设n 阶矩阵A 非奇异（n 2≥），A 的伴随矩阵是*A ，则 ( ) 成立.()A . A A A n 1**)(-=； ()B . A AA n 1**)(+=；()C . A AA n 2**)(-=； ()D . A AA n 2**)(+=.5．对n 元方程组( ).()A . 若AX=0只有零解，则AX=b 有唯一解； ()B . AX=0有非零解的充要条件是0=A ；()C . AX=b 有唯一解的充要条件是r (A )=n ；()D . 若AX=b 有两个不同的解，则AX=0有无穷多解.二、填空题1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ．3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320有解，则=a ．4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()1*2-A必有一个特征值是 ． 5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a的取值范围是 ．三．设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+． ⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位． ⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ． 四．当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 五． 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=122113221A ,求A 的特征值与特征向量. 六． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125 七． 若二次型323121232221222x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换后可变为标准形23222y y +，求α，β．并求出该正交变换．八． 已知三维线性空间的一组基底为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基底下的坐标．九．设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得O A =k （O 为n 阶零矩阵），则称A 是n阶幂零矩阵．求证：⑴. 如果A 是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 的特征值全为0． ⑵. 如果O A ≠是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 不与对角矩阵相似．自测题一答案一、单项选择题1． C 2． C 3．B 4．C 5． D 二、填空题（每小题3分，共15分。
第一章 行列式1.利用对角线计算下列行列式（1） 381 1 4 11 0 2- - - 4 -= （2） ba c a c bcb a 33 3 3 a b c abc - - - = 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数 （1） 1 2 34 0 （2） 4 1 3 2 4 （3） 3 4 2 15（4） 2 4 1 33（5） 1 3 ┈（2n1） 2 4 ┈（2n ） 2) 1 ( nn - (6) 1 3 ┈(2n1)(2n)(2n2)┈2 )1 ( - n n 3.写出四阶行列式中含有因子 23 11 a a 的项 4432 23 11 a a a a - 3442 23 11 a a a a 4.用行列式的定义计算下列行列式（1） nn n n a a a a a D 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1 2 2 1 L L L M M M L M M L L - - =( )nn n a a a L 2 1 2)1 )(2 ( 1 - - - （2） 443332 23 21 1211 4 00 0 0 0 0 0 a a a a a a a D =4432 23 11 44 33 21 12 a a a a a a a a - - 5.计算下列各行列式（1） 07 1 1 02 5 10 2 0 2 1 4 2 1 4= =D 【解析】71120 2 15 4 2 7 711202 15 0 2 0 2 1 4 2 7 0= - - - - - = - - - -（2） abcdef efcfbfde cd bdaeac abD 4 = - - - = （3） ( ) [ ]( )11 - - + - = = n na x x a n xa aa x a aa xD L L L L L L L （4） n D na a a a + + + + =1 1111 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 21 L LLL L L L L L na a a a a a a L L L L L L L L L 0 00 0 00 1 1 1 1 13 121 1 - - - + = nni ia a a a L 2 1 1 ) 1 1 ( å = + = （其中 0 2 1 ¹ n a a a L ）6.证明 322) ( 1 1 1 2 2 b a b b a a b aba - = + 利用对角线法则可得证7.计算下列各行列式：（1） ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 0 11 0 1 1 1 014+ + + + = - - - = d a cd ab d cb aD 【解析】 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 0 1 1 1 1 1 0 011 0 11 1 01 12 + + + + = - - - - + - - = - - -+ d a cd ab dc d c b a d cb a（2） aa aD nL M M M M L L0 1 0 0 10 = ，其中对角线上的元素都是a ，未写的元素都为零【解析】 )1 ( ) 1 ( 1 )1 ( ) 1 ( 0 0 0 0 1 0 0 1 ) 1 ( 0 00 0 0 0 0 10 01 0 - ´ - + - ´ - ´ ×× - + = n n n n n nn aa a a a aa a aLM LO M L L L MLM M L L L MMMM L L 2- - = n n a a（4） b a c a cb ac b c b a cb a D 2 2 2 + + + + + + =( )32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a ba c a cb a b ac b c b a b a c b a D + + = + + + + + + + + + + = （5）125 343 27 64 573425 49 9 16 1 1 1 1- - =D ( ) ( ) 1036812 12 8 9 573 4 573457 3 4 11 1 1 3 3 3 3 2222 - = ´ ´ ´ - = - - - =D 8.解下列方程（1）9 1 32 5 13 2 32 2 1 32 11 22= - - x x 【解析】( )( )( ) 0 31 4 4 0 00 5 1 3 2 0 0 1 0 32 1 1 9 1 32 5 13 2 3 2 2 1 3 2 1 1 2 2222 2= - - - = - - =- - x x x x x x 故可得 1 ± = x 或 2± = x （2）0 00 0 0 = a x a a a x x a a a x a 【解析】 ( )0 0 1 1 1 1 2 00 0 2 2 2 2 00 0 0 a x a aa x xa a x a axaa a x x a a x a x a x a x a a x a a a x x a a a x a + = + + + + =( )( ) ( ) 0 4 0 02 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 = - = - - - - - - - + = - - - - - - - + = a x xxx xa x x a x x x a a a x x a x x a ax a x a 故可得 0 = x ，或者 ax 2 ± =。
第一章 行列式（√）1．若111213212223313233a a a a a a d a a a =，则131211232221333231a a a a a a d a a a =. 2.互换行列式的任意两行，行列式值不变. （ ） 3.排列631254的逆序数是6. （ ）4.对角行列式的值等于其所有对角元素的乘积． （ ）5.分块对角阵的行列式等于对角线上各方块行列式之积．（ ）6.设A 为3阶方阵，2A =，则12TA A =__________. 7.逆序数()21n τ= _____________. 8.排列32514的逆序数是： ． 9.排列631254的逆序(631254)t = 8 .10.设四阶行列式1112224333444pa b c p a b c D p a b c p a b c =,则第四列的代数余子式之和 = 0 .11.设3312243,0311A tB ⨯-⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭且AB=0,则t = 3 . 12.设a 、b 为实数，则当a =＿_＿且b =＿_＿时，010000=--a b ba13.==343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x D __________________________. 14.设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2,3，其余子式分别为1,2,1，则D ____________=.15.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.16.sin coscos sinαααα-=_____________.17.00102000n=_____________.18.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.19．若D是n阶行列式，下列说法中错误的是（）．.A D与T D相等；.B若D中有两行元素成比例，则D等于零；.C若D中第i行除()j i,元外都为零，则D等于()j i,元与它的代数余子式的乘积；.D D的某一行元素与另一行的对应元素的余子式乘积之和为零．20.行列式349571214-的元素23a的代数余子式23A为（）A. 3B.3-C.5D.5-21．方程111012λλλλ-=的实根个数为（）A. 0B. 1 .C 2 .D 3 22．23.计算行列式2111121111211112D=；1311131113D=；21111351925D=；1411141114D=；21111241416D =；0100421523132131---；1000313333133331；3112513420111533D ---=---；=aa a a 111111111111 24.设3351110243152113------=D D 的()j i ,元的代数余子式记作ijA ，求 34333231223A A A A +-+25.设 3142313150111235------=D .D 的()j i ,元的余子式记作ijM ，求14131211M M M M -+-．26.设 4001030100214321=D ，D 的()j i ,元的代数余子式记作ij A ， 求14131211A A A A +++．。
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
《线性代数》单元自测题第一章 行列式专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有正号的项，则i = ，j = . 2． 在四阶行列式中同时含有元素13a 和31a 的项为__ ___. 3． 各行元素之和为零的n 阶行列式的值等于 .4．已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=+++133312321131131211232221333a a a a a a a a a a a a . 5．设)4,3,2,1(2=i A i 是行列式6932987342322212a w a za y a x中元素2i a 的代数余子式，则=+++423222126397A A A A __ ___. 二、 选择题：1．已知,42124011123313)(x x x x x x f --=则)(x f 中4x 的系数为( )（A ）1- ； （B ）1 ； （C ）2- ； （D ）2 ．2．222111c b a c b a=( ) （A ）b c a b c a 222++； （B ）))()((b c a c a b ---； （C ）)(222a c c b b a ++-； （D ）)1)(1)(1(---c b a ．3．已知0014321≠=-k c b a ， 则063152421-+-+c b a =( )（A ） 0 ； （B ）k ； （C ）k - ； （D ）k 2．4．已知01211421=--λλ，则λ=( ) （A ）3-=λ； （B ）2-=λ； （C ）3-=λ或2； （D ）3-=λ或2-． 三、 计算题：1．计算63123112115234231----=D ．2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值．3．计算4443332225432543254325432=D ．4．计算abb a b a b a D n 000000000000 =．5．计算2111121111211112----=λλλλ n D ．6．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值．《线性代数》单元自测题第二章 矩阵专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221，则)(A R = ．2．设A 是3阶可逆方阵，且m A =，则1--mA = ．3．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A ．4．设A 为3阶方阵，且3=A ,*A 为A 的伴随矩阵，则=-13A ；=*A ；=--1*73A A ．5． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4000003000002000001100041A ,由分块矩阵的方法得=-1A ． 二、选择题：1． 设A 、B 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ） 0=AB 0=⇒A 或0=B ； （B ） TT T A B AB =)(；（C ） B A B A +=+； （D ） 22))((B A B A B A -=-+． 2．设A 为54⨯矩阵，则A 的秩最大为( )（A ）2 ； （B ）3 ； （C ）4 ； （D ）5．3．设C B A ,,是n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（ ）（A ）E CBA =； （B ）E BCA =； （C ）E BAC =； （D ）E ACB =．4．当=A （ ）时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001； （B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010301； （C ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300； （D ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130010001． 5．设B A ,均为n 阶方阵，且O E B A =-)(,则（ ） （A ）O A =或E B =； （B ） BA A =；（C ）0=A 或1=B ； （D ） 两矩阵A 与E B -均不可逆．三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221011332A ，求1-A ．2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=032211123A ，且X A AX 2+=，求X ．3．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩为3，求a 的值．4．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2001-=Λ， （1）求nA ；（2）设()322+-=x x x f ，求()A f ．四、证明题：1、 设A 为n 阶方阵，且有0522=--E A A ，证明E A +可逆，并求其逆．2．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB 为反对称矩阵的充分必要条件是BA AB =．《线性代数》单元自测题第三章 向量组的线性相关性专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6402α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101β，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9741γ，且向量ξ满足βαγβξ-=-+22，则ξ= ． 2．已知向量组T)1,1,2,1(1-=α，T T t )0,,0,2(,)2,5,4,0(32==αα的秩为2，则=t ． 3．若T)1,1,1(1=α，T)2,3,1(2=α，T b a ),0,(3=α线性相关，则b a ,应满足关系式 ． 二、单选题：1．下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）T )4321(，T )5201(-，T )8642(；（B ）T )001(-，T )012(，T )423(-；（C ）T)111(-，T )202(-，T )313(-；（D ）T )001(，T )010(，T )100(，T )101(．2．下列向量组中，线性相关的是（ ） （A ）T b a)1(，T c b a )222(+；)0(≠c （B ）T )0001(；（C ）T )0001(，T )1000(，T )0010(； （D ）T )001(，T )010(，T )000(．3、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t 01,121,011γβα线性无关，则（ ）（A ）1-=t ； （B ）1-≠t ； （C ）1=t ； （D ）1≠t ．4. 设m ααα,,21 ，均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ ） （A ）若为常数），m m m k k k k k k ,,(0212211=+++ααα，则m ααα,,21 ，线性相关；（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关；（C ）若m ααα,,21 ，线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；（D ）若有一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关.5、设A 是n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ ）（A ）必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素对应成比例；(C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合.三、计算下列各题：1．判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36122α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21013α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=09244α的线性相关性．2．求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40121α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21012α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63033α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21114α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=40125α的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示出来．3、设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0611,231,2211321αααx x ，若此向量组的秩为2，求x 的值。
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载线性代数测试试卷及答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容线性代数（A卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分)1. 设﹑是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是( )(A) (B) (C) (D)2. 如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为( )(A) (B) (C) (D) 以上答案都不正确3.如果三阶方阵的特征值为,那么及分别等于( )(A) (B) (C) (D)4. 设实二次型的矩阵为,那么( )(A) (B) (C) (D)5. 若方阵A的行列式，则( )(A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关(C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分)1 如果行列式有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2. 设，是的伴随矩阵，则；3. 设,是非齐次线性方程组的解,若也是它的解, 那么；4. 设向量与向量正交,则；5. 设为正交矩阵,则；6. 设是互不相同的三个数,则行列式；7. 要使向量组线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为；9. 若二次型是正定的，则的取值范围为；10. 设为阶方阵,且满足,这里为阶单位矩阵,那么 .三﹑计算题（每小题9分，共27分）1. 已知，，求矩阵使之满足.2. 求行列式的值.3 求向量组的一个最大无关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性方程组问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解.五﹑(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形:.六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为.线性代数（A卷）答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-16. 7. 0 8. 9. 10.三﹑1. 解由得. (2分)下面求. 由于(4分)而. (7分)所以. (9分)2. 解 (4分)(8分) (9分) .3. 解由于(6分)故向量组的秩是 3 ，是它的一个最大无关组。
习 题 1.11．设111111111⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭A ,123124051⎛⎫⎪=-- ⎪⎝⎭B ,求32-A B A . 解: A B 111123058111124056111051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32-A B A 01524222015182226270222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭.2．已知两个线性变换112212331232,232,45,x y y x y y y x y y y =+⎧⎪=-++⎨⎪=++⎩ 1122133233,2,3,y z z y z z y z z =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩ 求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.解: 112233210232415x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123210310232201415013z z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123421124910116z z z -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 所求为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩3．计算下列矩阵:（1）1111n⎛⎫⎪⎝⎭;解:2111111221121111112211⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,3211111111111124 111111111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4311111111111148 111111111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, …………,121 11111111111122 111111111111 n nn n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）101na⎛⎫⎪⎝⎭;解:21111201010101a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,3211112113 010*********a a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, …………,1111010101n na a a-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1(1)11010101n a a na-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）cos sinsin cosnθθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭.解:2cos sin cos sin cos sinsin cos sin cos sin cosθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos sin2sin cos cos2sin2sin2cos2 2sin cos cos sinθθθθθθθθθθθθ⎛⎫---⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,3cos sin cos2sin2cos sinsin cos sin2cos2sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos2cos sin2sin sin2cos cos2sinsin2cos cos2sin cos2cos sin2sin θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫= ⎪+-⎝⎭cos 3sin 3sin 3cos 3θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭.假设cos sin cos sin sin cos sin cos kk k k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立,则1cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos k k k k k θθθθθθθθθθθθ+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭.因此cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．设1111111111111111---⎛⎫ ⎪---=⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,求2A 和21n +A. 解: 2A 11111111111111111111111111111111------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------=⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭4000040040040004⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭I ， 212()(4)4n n n n+===AA A I A A 4444444444444444nnn nn n nn n n nnn n nn ⎛⎫--- ⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭.5．求与1101⎛⎫=⎪⎝⎭A 可交换的所有矩阵. 解: 设矩阵ab c d ⎛⎫=⎪⎝⎭B 与1101⎛⎫= ⎪⎝⎭A 可交换,则有11110101a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即得a cb d aa b cd cc d +++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 解得0,c d a ==.因此a b a ⎛⎫=⎪⎝⎭B , 其中,a b 为任意数.6．设100010001000a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ,求nA .解: 将矩阵A 写为a =+A I B ,其中010000100001000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . 对于矩阵B 有20010000100000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ,300100000000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ,4=B O . 显然B 与a I 可交换,所以0()()nn nrn rrnr a Ca -==+=∑A I B I B1222333nn n n n n a naC aC a---=+++I B B B123112612121(1)(1)(2)0(1)000n n n n nn n nn na na n n a n n n aana n n a ana a------⎛⎫--- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.7．矩阵A 称为反对称的,若T =-A A .证明任何方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.证明: 记T1()2=+S A A ，T1()2=-T A A ，则S 为对称阵,而T 为反对称阵,且有=+A S T .8．设,A B 为n 阶对称阵,证明A B 为对称阵的充要条件是=A B B A .证明: 因,A B 为对称阵,所以T =A A ,T =B B ,于是TTT()=A B B A =B A .因此,T ()=A B A B 的充要条件是=A B B A .也就是说,A B 为对称阵的充要条件是=A B B A .9．举反例说明下列命题是错误的:（1）若2=A O ,则=A O ;（2）若2=A A ,则=A O 或=A I ;（3）若=A X A Y ,且≠A O ,则=X Y . 解:（1）对于矩阵0100⎛⎫=⎪⎝⎭A ,有2=A O ,但≠A O ； （2）对于矩阵1000⎛⎫=⎪⎝⎭A ,有2=A A ,但≠A O 且≠A I ； （3）对于矩阵0100⎛⎫=⎪⎝⎭A ,0100⎛⎫= ⎪⎝⎭X ,=Y O ,有=A X A Y ,且≠A O ,但≠X Y .。
自考线性代数试题及答案解析评分标准1. 试题设计原则•线性代数试题的设计应覆盖该课程的重点知识点，并能够考察学生对于线性代数概念、理论和应用的掌握程度。
•试题应具备一定的难度，既能够考查基础知识的掌握，又能够考察学生的分析推理和问题解决能力。
2. 试题类型线性代数试题可以分为以下几种类型： - 填空题：要求学生根据题目给出的条件或问题，在空白处填写正确的答案。
- 选择题：给出若干个选项，要求学生从中选择一个或多个正确答案。
- 计算题：要求学生根据线性代数的计算方法和原理，进行复杂的计算。
- 证明题：要求学生使用线性代数的理论和定理，对给定的命题进行证明。
3. 答案解析评分标准•填空题：根据题目要求填写的答案应与标准答案完全一致，且计算过程正确。
•选择题：学生选择的答案应与标准答案一致。
•计算题：学生的计算过程和最终答案应与标准答案一致，部分计算错误可酌情扣除分数。
•证明题：学生在证明过程中应使用正确的定理和推导方法，证明思路正确且完整，且结果正确。
4. 分数评定标准根据试题的类型和难度，以及学生答案的准确性、完整性和合理性，评分者可以根据以下标准给出相应的分数： - 填空题：每个填空题一般分值为1或2分，答案完全正确得满分，答案有一处错误扣一半分。
- 选择题：每个选择题一般分值为1分，答案选择正确得满分，选择错误不得分。
- 计算题：根据难度和要求酌情设置分数，计算过程和答案完全正确得满分，存在部分错误酌情扣除相应分数。
- 证明题：根据证明过程的正确性和完整性给予分数，证明思路正确且完整得满分，存在错误和遗漏扣除相应分数。
5. 补充说明•试题设计者应合理设置题目的分值，确保整个试卷的总分在合理范围内。
•在评分过程中，应严格按照评分标准进行评分，确保公正性和一致性。
•对于试题中可能存在的模糊、歧义和容易引起争议的部分，评分者应进行合理判断，确保评分结果客观公正。
以上是自考线性代数试题及答案解析评分标准的一个简要介绍，试题的设计和评分应根据课程的教学目标和要求进行合理安排，以保证考察学生的实际掌握情况。
2022年10月自考(04184)线性代数（经管类）试题及答案解析-图文线性代数(经管类)试卷(课程代码04184)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
T某说明：在本卷中。
A表示矩阵A的转置矩阵。
A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
1．已知2阶行列式A．-2B．-lC．1D．23．设向量组正确的是A．若≤t，则B．若≤t，则C．若必线性相关必线性相关线性无关，则≤tD．若线性无关，则≤t可由向量组线性表出，则下列结论中4．设有非齐次线性方程组A某=b，其中A为m某n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则下列结论中正确的是A．若r1=m，则A某=O有非零解B．若r1=n，则A某=0仅有零解线性代数试卷第1页共7页C．若r2=m，则A某=b有无穷多解D．若r2=n，则A某=b有惟一解5.设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=第二部分非选择题6．设行列式中元素aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．27．已知矩阵，则A+2A+E=___________．8．设矩阵9．设向量，若矩阵A满足AP=B，则A=________．，线性表出的表示式为=____________．，则由向量组10．设向量组a1=(1，2,1)，a2=(-1，1，0)，a3=(0，2，k)线性无关，则数k的取值应满足__________．11．设3元非齐次线性方程组A某=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为TTT若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．14．设向量a1=(1，-l，0)，a2=(4，0，1)，则___．2215．二次型f(某1，某2)=-2某1+某2+4某1某2的规范形为__________．三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)请在答题卡上作答。
数值线性代数自测题1A一、选择题（每小题4分，共40分）1． 设nn R A ⨯∈是对称正定矩阵，且LR A =，其中：L 是下三角矩阵，R 是上三角矩阵，那么_______A ．一定有R L =B ．一定有TR L = C ．一定有*R L =D ．L 和TR 不一定相等。
2． 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123422221，则1A =___________． A ．8B ．7C ．６D ．５3． 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=40300063123060011283123210A则Ａ是___________．Ａ．不可约的 Ｂ．可约的Ｃ．不可约对角占优的 Ｄ．严格对角占优的 4． 数值计算的直接法，是指＿＿＿＿．Ａ．采取逐次逼近的方法来逼近问题的精确解的一类算法．Ｂ．根据问题固有的属性，经有限步迭代就可得到精确解的算法． Ｃ．在没有误差的情况下可在有限步得到计算问题的精确解的算法． Ｄ．通过观察可得到问题的精确解的算法．5． 求解线性方程组的一类最基本的直接算法——Gauss 消去法是目前求解中小规模线性方程组的最常用的方法，它一般用于系数矩阵_______的线性方程组. A ．稀疏 Ｂ．稠密 Ｃ．对称正定 Ｄ．严格对角占优或不可约 6． 求解线性方程组b Ax =的单步线性定常迭代法：g Mx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件是＿＿＿＿． Ａ．1)(1<=-A A A κ Ｂ．1)(<A ρＣ．1)(<M ρＤ．]),([)(b A rank A rank =7． 求解线性方程组b Ax =的正交化算法，＿＿＿＿． Ａ．要求方程组必须是矛盾方程 Ｂ．首先要保证方程组有解 Ｃ．要求方程组系数矩阵对称正定 Ｄ．通常限定Ａ是列满秩的． 8． 求解线性方程组的共轭梯度法，适用于＿＿＿＿．Ａ．稀疏方程组 Ｂ．稠密方程组 Ｃ．非奇异方程组 Ｄ．正定方程组9． 计算一个矩阵的特征值和对应特征向量的幂法可以求出＿＿＿＿＿．Ａ．模最大的特征值和对应的特征向量Ｂ．任意一个指定的特征值和对应的特征向量 Ｃ．模最小的特征值和对应的特征向量 Ｄ．全部特征值和对应的特征向量10． 计算矩阵特征值及特征向量的ＱＲ方法是自电子计算机问世以来矩阵计算的重大进展之一，它是目前计算一般矩阵的＿＿＿＿行之有效的方法之一．Ａ．模最大特征值及对应的特征向量 Ｂ．模最小特征值及对应的特征向量 Ｃ． 全部特征值及对应特征向量 Ｄ．非零特征值及对应的特征向量二、计算题（每空８分，共２４分）11． 构造Gauss 变换L ，使TT L )00,0,3,0,1()12,9,6,3,0,1(=. 12． 设T x )4,3,6,4,0,1(=．求一个Householder 变换和一个正数α使THx )0,0,6,4,,1(α=．13． 给出求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x的Jacobi 迭代算法的分量形式． 三、综合题（共３６分）14． （７分）用列主元Gauss 消１法解矩阵方程：B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113312121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=354604B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211x x x x x x X ． 15． （７分）设nn A ⨯∈R 对称正定．试证：求方程组b Ax =的解等价于求二次泛函xb Ax x x T T -=21)(ϕ的极小点。
全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设101350041A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA=（）A. -49B. -7C. 7D. 492. 设A为3阶方阵，且4A=，则2A-=（）A. -32B. -8C. 8D. 323. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）A. （A+B）T=A+BB. （AB）T=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A. 若A2=0，则A=0B. （AB）2=A2B2C. 若AX=AY，则X=YD. 若A+X=B，则X=B-A5. 设矩阵A =11310214000500⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（ ）A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 38. 若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）A. 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 10001102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D. 10102001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设实二次型2212323(,,)f x xx x x =-，则f （ ）A. 正定B. 不定C. 负定D. 半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自测复习题1一． 填空题1. 已知1201,3410A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20012002B AB =___________． 2. 线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k =_________。
3. 6阶行列式00010000012000012300400005000067＝__________。
4. 设A 为3阶方阵，且3A =，则TA A =___,*A A = ,**()A =___,1*32A A --= 。
5． 如果n 阶行列式n D 中每一行上的n 个元素之和等于零，则n D =___。
6. 已知1234522211312451112243150D =，则 4142434445222A A A A A ++++=_____。
7. 方程的通解为___________．8. 设121000000000000n n a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则1-A ＝___________。
9.已知A 为n 阶矩阵，A 可逆，则1[()()]()E E A E A E A -+-++＝__________。
⎩⎨⎧=-+=++01654321x x x x x x10. 若线性方程组Ax =b 的增广矩阵()=B A,b 经初等行变换化为12340012004λ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭,则当_______λ=时，此线性方程组有无穷多解.二、选择题1. 已知A 为m ×n 矩阵，且()R A r =，则A 中必成立（ ）。
（A ） 没有等于零的1r -阶子式，至少有一个r 阶子式不为零 （B ） 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的1r +阶子式 （C ） 有不等于零的r 阶子式，所有1r +阶子式全为零 （D ） 任何r 阶子式不等于零，任何1r +阶子式都等于零２．设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ ）。
第一章 自测练习题及解答一. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x x x 的根为（ B ）. （A ）1，2，3; （B ）1，2，-2;（C ）0，1，2; （D ）1，-1，2.2. 已知3阶行列式ij a ,ij ij a b =,,3,2,1,=j i 则行列式=ij b （ B ）.（A ）ij a ; （B ）0; (C)ij a 的绝对值; （D ）ij a - .3. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（ A ）.（A ）0≠λ且1≠λ; （B ）0=λ或1=λ;（C ）0=λ; （D ）1=λ.4.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a （ D ）.（A ）0; （B ）1; （C ）-4; （D ）4. 5.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ).（A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n二. 填空题1. 排列134782695的逆序数为 10 .2. 已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4 .3. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i （8，3） .4. =5678901201140010300020001000 120 .5. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 . 三. 判断题（正确打V ，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为n .( × )2. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( V )3. 若V 为范德蒙行列式,ij A 是代数余子式，则V A nj i ij =∑=1,.( V )4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ,2,1.=,则0>ij a .( × )5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × )四. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++.=-1 五. 计算行列式600300301395200199204100103=2000六. 计算行列式1111111*********--+---+---x x x x =4x 七. 计算行列式cc b ba a------1111111=1八. 计算行列式3833262290432231----=50- 九. 计算行列式ba a a a a ab a a a a a b a n n n +++ 321321321=11-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑n ni ib a b十. 计算行列式n2222232222222221=-2（n-2）！。
