初中数学小课题2018

初中数学小课题研究题目研究背景初中数学作为基础学科，对于学生的数学能力和思维能力的培养起着重要的作用。

然而，在教学过程中，发现学生对于某些数学知识点掌握不够牢固，存在一定的困难。

因此，有必要开展小课题研究，探究如何帮助学生更好地理解和应用这些知识点。

研究目的本小课题研究的目的主要包括：1. 分析学生对于某些数学知识点的研究状况；2. 探索有效的教学策略，提高学生对于这些知识点的理解和应用能力；3. 评估教学策略的有效性和可行性。

研究内容本研究将重点关注以下数学知识点：1. 分式运算；2. 平面几何中的相似三角形；3. 一元一次方程的应用。

针对每个知识点，我们将进行以下研究内容：1. 分析学生研究状况通过课堂观察、作业分析和小测验等方式，了解学生对于该知识点的研究状况，包括掌握程度、难点和常见错误等。

2. 教学策略设计结合学生的研究状况和特点，设计相应的教学策略，包括教学目标、教学内容和教学方法等。

力求通过合理的教学设计，提高学生对于这些知识点的理解和应用能力。

3. 教学实施与评估在实际教学中，根据教学策略进行指导与辅导，并采集相关的学生反馈和教学数据。

通过分析学生成绩、研究情况和满意度等指标，评估教学策略的有效性和可行性。

研究计划本研究计划将分为以下几个阶段进行：1. 研究前期：收集相关文献，梳理研究背景和目的，并确定研究内容和方法等；2. 调查和分析阶段：对学生研究状况进行调查和分析，收集相关数据；3. 教学策略设计阶段：基于分析结果，设计相应的教学策略；4. 教学实施与评估阶段：实施教学策略，并进行相关数据的收集和评估；5. 结果分析与总结阶段：对研究结果进行分析与总结，撰写研究报告。

研究意义通过本小课题研究，可以帮助教师更好地教授这些数学知识点，提高学生的研究兴趣和研究效果。

同时，也可以为其他教育领域的研究提供借鉴和参考。

参考文献1. 张三. (2018). 初中数学教学实践与研究[M]. 北京教育出版社.2. 李四. (2019). 基于问题解决的初中数学教学研究[J]. 数学教育研究, 20(2), 25-30.以上为初中数学小课题研究题目的内容。

课题定义与命题【学习目标】1．通过具体事例，理解定义、命题、逆命题等概念．2．结合具体事例，会区分命题的条件与结论，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式．【学习重点】理解定义、命题、逆命题等概念．【学习难点】把命题改写成“如果……，那么……”的形式．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题下列各语句中，哪些是作出判断的句子，哪些不是？(1)多可爱的806班学生啊！(不是)(2)你们欢迎我吗？(不是)(3)1＋0<2.(是)(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除．(是)(5)取线段AB的中点C.(不是)自学互研生成能力知识模块一掌握定义、命题的相关概念(一)自主学习阅读教材P50～P52，完成下面的填空：1．对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义．2．对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫命题．方法指导：命题的基本特征：(1)有明显的条件和结论；(2)是陈述句．特别注意：找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据． 3.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．4．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这两个命题叫互逆命题．其中一个叫原命题，另一个叫逆命题．(二)合作探究判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；(4)同位角相等，两条直线平行吗？(5)鸟是动物；(6)若x－5＝0，求x的值．解：(1)(3)(5)是命题，(2)(4)(6)不是命题．知识模块二探究命题的条件与结论的结构(一)合作探究指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，写出它们的逆命题．(1)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．可以改写成“如果是垂直于同一直线的两条直线，那么这两条直线平行．”逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线．(2)对顶角相等．解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．逆命题是：相等的角是对顶角．(二)自主学习1．教材P51做一做．2．写出“两直线平行，同位角相等”的条件和结论，并写出它的逆命题．解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”．逆命题是：同位角相等，两直线平行．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一掌握定义、命题的相关概念知识模块二探究命题的条件与结论的结构检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：_______________________________________________________________________。

以小课题研究促学习真正发生——“卷纸有多长”教学实践与反思□王宏进【摘要】小学数学小课题研究的开发设计与实施策略研究，旨在提升学生动手能力，培养学生数学与生活的联系意识，让学生感受数学好玩。

以“卷纸有多长”教学为例，从“发现问题—收集信息—实践研究—总结反思”四方面展开实践研究，让学生发现生活中有许多数学问题，感受到数学是好玩的，进而提升学习数学的动力。

【关键词】小课题；实践研究；卷纸有多长《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。

”进而提出:“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。

学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

”由此可见，开展恰当的数学研究活动是有必要的，能够促进学生学习数学，进而我们希望能把活动的经验迁移到数学学习的其他方面。

一、内容的选择数学小课题，是一种研究性学习,让学生在教师的指导下,综合应用已有的数学知识和经验,通过自主探索和合作交流，来解决一些与生活经验密切联系的具有一定挑战性和综合性问题的数学学习活动。

结合六年级学生的学业水平高低，在学生已经学习了圆的面积、长方体和正方体的体积以及圆柱的体积之后，开展了“卷纸有多长”这一实践研究如何引导学生真正地参与到学习中来，让学习真正发生？这就需要教师精心设计并科学组织具有思维含量、开放性、挑战性和直指数学本质的数学活动任务，以激发学生的数学思考，带动学生的探究学习，让学生在“大空间下”独立思考和主动探究，形成自己的体验，发展思维。

其中，这样的数学活动任务既有外显行为的操作活动，也包含思维层面的思考活动，眼、手、脑结合，观察、操作、思考并存。

活动过后再留有足够的时间和空间放手让学生充分表达自己的观点，学生之间可以相互补充，更可以相互质疑，甚至争辩，在思维交融、碰撞中，形成共识，演绎数学课堂的“灵动”和“精彩”。

课题：相似三角形的判定定理3【学习目标】1．掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．3．通过观察、实验、猜想、证明培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．【学习重点】掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法．【学习难点】三角形相似的条件归纳、证明；会准确地运用两个三角形相似的条件。

情景导入生成问题回顾：1．判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS．2．任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？自学互研生成能力知识模块一相似三角形的判定定理3的证明阅读教材P83～P84，完成下面的内容：根据教材P83“动脑筋”及其证明过程，可知该证明是找到一个中介三角形，证明与要求证的两个三角形中的一个全等，另一个相似．归纳：相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似．几何表示为：如图，∵AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.【例1】 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：在△ABC 中，AB ＞BC ＞CA ，在△DEF 中，DE ＞EF ＞FD.∵DE AB ＝2.44＝0.6，EFBC ＝2.13.5＝0.6，FD CA ＝1.83＝0.6，∴DE AB ＝EF BC ＝FDCA.∴△DEF ∽△ABC. 知识模块二 相似三角形的判定定理3的应用【例2】 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2)P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、D 、F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应的线段，不必说明理由)．分析：要判定两个三角形是否相似，要找到各对应边的比值相等． 解：(1)△ABC 和△DEF 相似．根据勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5；DE ＝42，DF ＝22，EF ＝210，DE＝4 2.∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝522，∴△ABC∽△DEF.(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的判定定理3的证明知识模块二相似三角形的判定定理3的应用检测反馈达成目标1．若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF相似的是( A) A．AB＝3，BC＝6，AC＝9；DE＝2，EF＝4，DF＝6B．AB＝4，BC＝6，AC＝8；DE＝5，EF＝10，DF＝15C．AB＝1，BC＝2，AC＝2；DE＝6，EF＝3，DF＝ 5D．AB＝2，BC＝5，AC＝2；DE＝15，EF＝23，DF＝82．如图，在正方形网格上有6个三角形，①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( B)A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥3．在△AB C 中，AB ＝6，AC ＝8，在△A′B′C′中，A ′B ′＝4，A ′C ′＝3，若BC∶B′C′＝__2__，则△ABC∽△A ′C ′B ′.4．已知，如图，AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，点B ，D ，F ，E 在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．解：△ABC∽△ADE，△BAD ∽△CAE. 理由：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE， ∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△BAD ∽△CAE 。

直线的倾斜角与斜率一、内容分析本节是人教版数学必修2 第三章《直线与方程》第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时——3.1.1 倾斜角与斜率. 它是高中平面解析几何内容的开始，起着承上启下的重要作用. 本课时的学习不仅为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础，而且也为以后进一步学习其他数学知识奠定思想和方法的基础. 直线的倾斜角是这一章所有概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学此章的关键. 过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种比值，要让学生理解这种表达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫；其二是斜率的本质是与所取的点无关.二、目标分析1．知识与技能：使学生正确理解倾斜角与斜率的概念，理解二者之间的关系，会求过两点的直线的斜率；2．过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培养学生分类讨论的思想，体验“坐标法”，感受数形结合思想；3．情感、态度与价值观：在探索倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学态度．三、学生情况分析学生已经学习了一次函数（直线），对直线的倾斜角会具有直观的认同感；三角函数为解决斜率的引入和斜率公式的推导提供了知识的支持. “直线的倾斜角和斜率” 一节是解析几何的入门课，学生对几何的认识仅仅停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此教学时要从学生最熟悉的图形和事例入手，去研究刻画直线性质的量——倾斜角与斜率，将会让学生学会用代数方法研究几何图形的性质.四、教学重难点分析重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率公式.难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解.倾斜角概念的形成对学生来说有点困难. 为了突破这个难点，在教学过程中引导学生观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念.对斜率概念的理解是本节的难点，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难. 教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识——坡度概念，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念.五、教学条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲解和演示相结合，可以更有效地实现教学目标. 因此教学地点选择多媒体教室.学生在课前要复习一次函数以及正切函数图象与性质等有关知识，并对本节内容进行预习，教师要准备好多媒体课件.六、教学过程设计（一）课题引入在平面直角坐标系内，画出几条相对于x 轴位置关系不同的几条直线，引导学生观察思考，它们有何不同？确定一条直线的位置需要哪些条件呢？【设计意图】学生在教师“问题串”的引导下去思考，引出本节的课题.（二）探究新知1. 倾斜角概念探究1:如图1,对于平面直角坐标系内的一直线I，你认为它的位置由哪些条件确定呢？师生活动：教师可以固定直线上某一点旋转直线，引导学生发现：经过一点可以作无数条直线，即过一点不能确定一条直线的位置y k/ \/ ■ 0 \ > 0A / 图1/ \ ® 2 【设计意图】明确探究方向：探索确定直线位置的几何要素.探究2：如图2,在平面直角坐标系中，过点 P i 的不同直线的区别在哪里？师生活动：学生思考，必要时教师可以提示学生观察直线相对于 x 轴的倾斜 程度•【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同•从而发现直线上一点和直线的倾斜程度能确定一条直线•探究3：在直角坐标系中，任何一条直线与 x 轴都有一个相对倾斜度，怎么 描述直线的倾斜程度呢？师生活动：教师板书倾斜角的概念，展示几个倾斜角不同的直线，让学生找 出其倾斜角•【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念.2. 斜率的概念探究4：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量?师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，展示图3和图4.图3图4【设计意图】结合学生的生活经验寻找表示直线倾斜程度的量.让学生体会数学概念来自于日常生活.探究5：日常生活中，我们经常能够用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” •如果使用“倾斜角”的概念，你认为“坡度”和“倾斜角”有什么关系？由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？师生活动：教师展示图5,学生思考讨论，教师引导总结并板书斜率概念.【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念.探究6:是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？师生活动：根据斜率和倾斜角的关系式，结合图6探究用斜率表示直线的倾斜程度时应该注意的地方•比如：倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，斜率也不同•【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度•3.倾斜角和斜率的变化关系探究7:结合图7所示的“几何画板”课件，探究直线的倾斜角和斜率的变化关系.师生活动：教师或学生操作演示“几何画板”课件，观察直线的倾斜角和斜率的变化情况，完成相关问题.探究1:直线的斜率、倾斜角的变化关系点击“点B 运动”的动画按钮，观察直线 00的位置，以及它的斜率和倾斜角的变化。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高中数学微课题研究篇一：中学数学微课题一、在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。

为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。

许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，?，n?”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，?，n?”为自然数集。

显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。

自然数的功能自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。

一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数；二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质；第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。

为什么要把“0”作为自然数我们从自然数的功能上回答这个问题。

第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。

我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“Φ”表示。

例如方程x2＋1=0的实根集合就是一个空集。

有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。

首先，对任意集合A，我们定义A＋=A∪{A}为集合A的后继。

其次，定义：0=Φ；1=0＋=Φ∪{Φ}={Φ};2=1＋={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2＋={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};??从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==圆周角评课稿篇一：《圆周角》说课稿《圆周角》的说课稿《圆周角》是义务教材人教版初中《数学》九年级上册，第二十四章第一节《圆》中第四小节的内容，共两个课时。

下面，我将从五个方面对本小节第一课时的设计进行说明。

一、教材分析 1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上，对圆周角性质的探索，圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛.所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带. 2、教学重点和难点重点：圆周角定理及其简单的应用难点：让学生发现并分情况证明圆周角定理二、目标分析1、让学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理；能运用圆周角定理进行简单的计算和证明，并提高学生的识图能力。

2、在探索圆周角和圆心角关系的过程中，让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。

3、引导学生对图形进行观察，激发学生的求知欲；并让学生在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，从而培养学生的自信心。

三、教学方法和手段 1、教法与学法教法:以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合学法：动手实践、自主探究、合作交流 2、教具与学具：教师：圆规、三角板等教学用具和课件学生：圆形硬纸片、圆规、量角器等学习用具. 四、教学过程活动1：类比联想，引入新课活动2：创设情景，提出问题活动3：探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角的关系活动4：发现并证明圆周角定理活动5：圆周角定理的应用活动6：小结、布置作业篇二：圆周角第一课时的说课稿《圆周角》说课稿一、教材分析（1）教材的地位与作用《圆周角》这节课是新世纪苏科版数学教材九年级上册第五章第三节的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛.所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.教材把《圆周角》这节分为两个课时进行教学，第一课时是探索圆周角与圆心角的关系，第二课时是探索直径所对圆周角的特殊性.我今天说的是第一课时.（2）教学目标一、知识与技能1、掌握圆周角的概念.2、体会圆周角与圆心角关系的探索过程，发现、验证圆周角与圆心角的关系.3、能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情的推理意识，逐步掌握说理的基本方法，从而提高数学素养.二、过程与方法1、通过学生的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力.2、让学生口述，培养学生的表达能力，使学生的个性得到充分的展示.三、情感态度与价值观目标1、通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神。

数学小课题研究丰厚学生核心素养侯小卿（漳州市龙文区鸿浦小学，福建漳州363005）杜威曾说过：经验的过程也是生命的过程、探究的过程。

数学小课题研究是帮助学生构建数学经验的有效手段。

小学生的数学小课题研究有两个显著的特色，一是积累丰富的数学活动经验，儿童在数学小课题的研究中有大量的时间进行操作、查找与思考，慢慢有自己对数学的见解；二是小课题研究指向明确，富含思辨，注重数学关系的观察、理解和应用。

小课题1：真的只有三类？此课题源于三角形分类教学后，我们班的“问题小博士”趁笔者还未离开教室，问道：“三角形形态万千，无以计数，为何我们课堂上仅凭几个三角形的分类和学生没能画出不属于这三类的三角形，就断定三角形按角的特征分有且只有这三类？”“对啊！”在第二次课时，我把小博士的质疑提供大家并建议，既然这样，那么就做个小课题，大家一起研究吧!大家一听小课题都来劲儿！于是笔者开始课题前期指导，结合多媒体演示连点成线，两点确定线段AB，然后出现第三点C，把它们连起来，不断变换点C的位置引导得出“不在同一直线上的三个点可以构成三角形”，通过动态演示充分让学生直观体验连点成线、连线成面，进一步巩固“由三条线段围成的图形是三角形”这一概念的同时，感悟从不同角度描述三角形的意义———“不在同一直线上的三个点可以构成三角形”。

为开展小课题研究做好铺垫。

紧接着引导学生利用几何画板或者方格图自主探究第三点C位置变化与已知线段AB构成三角形，研究这些三角形角的特征，探究变化规律。

明确的研究目标：在形态万千的三角形中会有除直角三角形、锐角三角形、钝角三角形这三类以外的三角形吗？必要的方法指导：不在同一直线上的三个点可以构成三角形，借助几何画板把三角形静态的点不断运动变化，进行三角形分类的探究，给他们充分的时间、空间，利用周末、团队合作。

孩子的能量是不可估量的。

经过一个周末，笔者被学生们带来的小课题报告惊艳到了。

其中一个课题小组这样描述道：我们组先借助Word打印了一张方格纸，在方格纸中，我们不断变换点C的位置，画出各种三角形，发现形成直角三角形点C的变化是有规律的，拿出圆规画出一个圆，再在圆弧上任意取一个点，连接起三角形，用量角器一量，是直角三角形，紧接着我们组继续探究，发现如果点C 在圆内，连接起来的三角形，经过量角器测量，都是钝角三角形。

4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒一．选择题（共6小题）1．（2018•河南二模）如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种2．（2017•太原三模）四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（）A．B．C．D．3．（2016•故城县校级三模）某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）在上述四个方案中最短的道路系统是方案（）A．一B．二C．三D．四4．（2016•太原二模）有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边△ABC的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连结这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为BC边的中点，点O为△ABC的中心，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案45．（2016•南京二模）将一块长为a米，宽为b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草，现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为S1，S2和S3，则它们的大小关系为（）A．S3＜S1＜S2B．S1＜S2＜S3C．S2＜S1＜S3D．S1=S2=S36．（2015秋•房山区期末）如图，直线m表示一条河，点M、N表示两个村庄，计划在m上的某处修建一个水泵向两个村庄供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是（图中实线表示铺设的管道）（）A． B．C．D．二．填空题（共7小题）7．（2018•河西区一模）在每个小正方形的边长为1的网格中，有以AB为直径的半圆和线段AP，AB组成的一个封闭图形，点A，B，P都在网格点上．（Ⅰ）计算这个图形的面积为；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一条能够将这个图形的面积平分的直线，并简要说明这条直线是如何找到的（不要求证明）．8．（2017•自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．9．（2017春•东城区期末）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小军同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是．10．（2017春•尚志市期末）如图是一个5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，请在此网格中画出一个顶点都在格点且面积为17的正方形．11．（2016•河西区二模）如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．12．（2015秋•顺义区期末）在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为．13．（2015秋•朝阳区期末）阅读下面材料：在数学课上，教师出示了一个如图1所示的六角星，并给出了得到与之形状完全相同（大小忽略不计）的六角星的两种方法．方法一：如图2，任意画一个圆，并以圆心为顶点，连续画相等的角，与圆相交于6点，连接每隔一点的两个点，擦去多余的线即可得到符合要求的六角星．方法二：按照图3所示折一个六角星．请回答：∠α与∠β之间的数量关系为．三．解答题（共4小题）14．（2018•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．15．（2018•龙岩二模）如图，在每个小正方形是边长为1的网格中，A，B，C均为格点．（Ⅰ）仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明道理；（Ⅱ）连接AB，求△ABC的周长．16．（2018•莲湖区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）17．（2018•鹿城区模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点四边形．（1）在图1中画一个四边形OABP，使得点P的横、纵坐标之和等于5．（2）在图2中画一个四边形OABQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于20．2018年暑假七年级数学一日一练： 4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴在图①中，DE=AC，EF=AB，DF=BC，∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．同理可得图②，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．故选：D．2．【解答】解：因为正方形的边长为100km，则方案A需用线200km，方案B需用线（200+100）km，方案C需用线300km，方案D如图所示：∵AD=100km，∴AG=50km，AE=km，GE=km，∴EF=100﹣2GE=（100﹣）km，∴方案D需用线×4+（100﹣）=（1+）×100=（100+100）km，所以方案D最省钱．故选：D．3．【解答】解：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线2a，方案③需用线2a+a，如图所示：∵AD=a，∴AG=，AE=a，GE=a，∴EF=a﹣2GE=a﹣a，∴方案④需用线a×4+（a﹣a×2）=（+1）a．∴方案④最省钱．故选：D．4．【解答】解：设等边三角形的边长为a，方案1：铺设路线的长为AB+AC=2a，方案2：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为AB+AD+DC=a+a；方案3：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为BC+a=a+a；方案4：如图所示：过点O作OD⊥BC于点D，∵BD=，则BO==a，铺设路线的长为AO+BO+CO=3×a=a；因为a+a＞2a＞a+a＞a，所以方案4铺设路线最短．故选：D．5．【解答】解：∵矩形的长为a米，宽为b米，小路的宽为x米，∴S1=ab﹣（a+b）x+S4；S2=ab﹣（a+b）x+S5；S3=ab﹣（a+b）x+S6．∵S4=x•x=x2，S5=x•sin60°•x•sin60°=x2，S6=x•sin60°•=x2，∴S2＜S1＜S3．故选：C．6．【解答】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．故选：D．二．填空题（共7小题）7．【解答】解：（Ⅰ）这个图形的面积为=•π•42+×5×8=20+8π；故答案为20+8π．（Ⅱ）如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．故答案为：如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．8．【解答】解：如图所示：所画正方形即为所求．9．【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短10．【解答】解：如图所示：∵42+12=17，∴AB=．∴正方形ABCD的面积为17．11．【解答】解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB 于点P，矩形ABPQ即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，∵S正方形ABGH=（）2=26，∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．12．【解答】解：①如图1中，当底BC=10 米时，作AD⊥BC垂足为D，∵•BC•AD=30，∴AD=6，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=5，∵AB=AC==．②如图②当AB=AC=10时，作BD⊥AC，垂足为D，∵，∴BD=6，∴AD==8，BC==6．综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．故答案为为和或10和6．13．【解答】解：∠α==60°，∠β==30°，则∠α和∠β之间的关系是∠α=2∠β．故答案是：∠α=2∠β．三．解答题（共4小题）14．【解答】解：符合条件的图形如图所示：15．【解答】解：（Ⅰ）取线段AC的中点为格点D，则有DC=AD．连BD，则BD⊥AC，理由：由图可知BC=5，连接AB，则AB=5，∴BC=AB，又CD=AD，∴BD⊥AC．（Ⅱ）由图易得AB=5，AC==2，BC==5，∴△ABC的周长=5+5+2=10+2．16．【解答】解如图所示：，△ACD和△CDB即为所求．17．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：。

一、内容和内容解析内容：本节课主要探究“边边角”在哪些条件下能够证明两个三角形全等.内容解析：本节课是对人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第十二章第二节“三角形全等的判定”中“边边角”能否判定两个三角形全等所做的一个补充探究.希望通过教师适当的引导，让学生通过动手画图、推理论证的过程，学会用已有的关于三角形全等的知识，探究出在哪些特定条件下“边边角”能够证明两个三角形全等.本节课作为对课堂内容的一个补充探究，主要是为了拓宽学生思考问题的思路，让学生学以致用，能够用已有的知识、技能、方法去解决新的问题，提高学生的数学思维.学情分析：由于本节课并不是教材上的规定内容，所以是在八年级的选修课上进行探究，面对的是数学学习能力相对较好，并且对数学学科有较强兴趣的八年级学生.因为他们已经学过了“全等三角形”这一节，所以为本节探究课提供了知识、态度和能力上的准备.二、目标和目标解析教学目标：（1）本节课以“HL ”作为引导，启发学生从多个角度进行探究，应用所学的全等三角形的相关知识，得到在哪些条件下“边边角”能够证明两个三角形全等.（2）学生通过小组合作探究，经历思考、讨论、动手操作、推理论证等过程，学会探究学习的方法，会用已有的数学知识、技能和方法去探究新的问题.（3）学生通过本节课课题的选取来培养质疑意识；通过本节课的探究过程来提高探究精神；通过小组合作的学习模式来加强协作精神.目标解析：本节课是一节探究课，首先就需要学生有质疑的意识，“边边角”不一定能够证明两个三角形全等，那么在什么条件下它能够证明两个三角形全等呢？带着这样的疑问，引导学生通过分类讨论思想，对每一种他们能想到的情况进行探究.而探究的方法则可以类比教材上已经学过的探究两个三角形全等的判定定理的过程，通过猜想、作图、推理论证等步骤来进行，从而使学生学到探究问题的基本思路和方法，为他们今后进行自主探究学习打下基础，提高学生的探究能力.采用小组合作的学习模式，主要有收稿日期：2017—12—24作者简介：熊莹盈（1984—），女，中学一级教师，主要从事初中数学教育教学研究.熊莹盈全等三角形判定定理的应用——“探究‘边边角’在部分条件下证明三角形全等”教学设计摘要：由几何画板软件的演示引入课题，让学生运用分类讨论思想，通过小组合作探究，经历动手作图、推理论证等过程，探究出“边边角”在哪些特定条件下能够证明两个三角形全等，并用思维导图的形式进行小结，提高学生的数学思维.关键词：合作探究；逻辑推理；思维导图本文配套课件微信扫码观看中国数学教育2018年第5期（总第185期）№5，2018General ，№185ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU两个原因：（1）学生自己完成本节课的探究任务有一定的难度，会使学习积极性受到影响；（2）在合作的过程中，不仅能培养学生的团队意识和合作精神，也能使学生学习他人的长处，接受他人不同的观点，从而开阔自己的视野.三、教学问题诊断分析由于探究课是学生不熟悉的课型，所以学生看到课题时可能会感到无从下手，那么本节课的第一个难点就是启发学生从哪些方向去进行分类探究.借助几何画板软件的展示，让学生发现可以从相等的角是什么类型的角入手进行分类，从而突破难点.在后面的探究过程中，学生还会出现对分类讨论考虑不全的问题.因为当相等的角为锐角时，这个三角形可以是直角三角形、锐角三角形或者钝角三角形，此时教师要进一步进行引导，帮助学生将问题考虑周全.有了探究的方向，学生可能还是不知道该怎么办，这也就是本节课的第二个难点，即启发学生找到探究的方法和步骤.如何找到探究的方法和步骤呢？其实我们已经学过三角形全等的五个判定定理，它们都是按照作图、猜想、论证来进行探究的，所以我们不妨类比来做.由此得到本节课的重点和难点如下.教学重点：通过分类讨论思想，探究出“边边角”在哪些特定条件下能够证明两个三角形全等.教学难点：（1）启发学生如何进行分类探究；（2）引导学生按照作图、猜想、论证的步骤进行探究.四、教学支持条件分析本节课主要运用几何画板软件、多媒体辅助，以及分组合作的学习模式.五、教学过程设计1.课题引入，激发兴趣师：两个三角形全等的定义是什么？生：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.师：通过前面的学习，要证明两个三角形全等，我们已经学习了哪些判定定理呢？生：SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形中）.师：一个三角形有六个元素，三条边和三个角.我们至少要知道三组元素对应相等才能证明两个三角形全等.对于两边一角的情况，我们往往要强调这个角是两边的夹角，此时满足SAS，这两个三角形一定全等.那么如果这个角不是两边的夹角，而是某条边的对角时，我们就得到了“边边角”的情况，此时两个三角形不一定全等.在哪些条件下，“边边角”能够证明两个三角形全等呢？这就是本节课我们要探究的问题.【设计意图】在这个环节里首先设置两个问题.第一个问题，是让学生感受全等的三角形是能够完全重合的，为后面作图、剪图之后判断做出的三角形是否和原图形全等做个铺垫.第二个问题则为后面的论证过程做铺垫.后面这一段引导是为了让学生进一步明确三角形的“边、角”元素所起的作用，从而为后面的探究过程中的画图部分打下基础，即要做两组边、一组角相等的三角形，我们可以先确定一组边和一组角，通过观察第二组边来得到结论.师：我们学过的判定定理里面有没有满足“边边角”的两个三角形全等的特例呢？生：有，HL的情况（如图1）.ACB（1）A′C′B′（2）图1结论：HL就是当相等的角为直角时SSA成立的特例.【设计意图】这个问题既能激发学生的兴趣，为学生树立探究的信心，又能引出本节课的一个基本模型.接着，教师用几何画板软件展示两个直角三角形满足HL（即斜边和一条直角边对应相等）的情况（如图1），然后拖动点C，让学生观察图形发生的变化（如图2和图3）.AB CC C图2AB CC C图3师：为什么会出现两个三角形？生：因为当以点A为圆心，AC长为半径画弧时，会与BC边所在的直线有两个交点.师：试观察出现的这两个三角形，它们有什么特点呢？生：这两个三角形满足“边边角”，但它们并不全等.师：这两个三角形为什么不全等？生：形状不一样，一个是钝角三角形，一个是锐角三角形.师：这两个三角形中相等的角是什么角？而刚才HL全等的情况中相等的角又是什么角呢？生：这两个三角形相等的角是锐角，而HL全等的情况中相等的角为直角.师：这有没有给我们一点探究的思路和方向呢？也就是说，接下来我们可以从哪些方向去探究，“边边角”在什么条件下能够证明两个三角形全等呢？生：可以按相等的角是直角、钝角、锐角来分类讨论.【设计意图】运用几何画板软件可以很直观地让学生观察出当拖动点C时，会出现两种情况，也就是“边边角”不能证明两个三角形全等的反例.同时让学生去感受，相等的角所在的三角形的形状不唯一，就是导致“边边角”不能证明两个三角形全等的原因.从而得到本节课探究的方向，应该按相等的角为直角、钝角、锐角去分类讨论.2.合作探究，发现新知师：现在我们已经有了探究的方向，那么我们应该利用什么样的方法或者步骤进行探究呢？我们在教材上已经学习了五个判定定理，都是按照什么样的方法和步骤进行探究的呢？首先要做什么？生：作图.【设计意图】这两个问题的设计是帮助学生找到探究的方法和步骤.其实已经学习过的内容都可以作为我们研究新内容的工具，要让学生学以致用，融会贯通.于是提出探究任务：已知△ABC，试作出△A′B′C′，使得A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′=∠C.学生通过小组合作探究，将所作的图形在卡纸上剪下来，之后每组派一名代表进行展示，在黑板上将本组所剪的三角形展示出来.第一次探究：由于相等的角可以是钝角或者锐角，所以学生很容易作出以下几种情况的图.（1）相等的角为钝角的情况.如图4，已知钝角△ABC，先作∠C′=∠C，然后以点C′为圆心，AC长为半径画弧，与∠C′的一边交于点A′，再以点A′为圆心，AB长为半径画弧，与∠C′的另一边交于点B′，得到如图5所示的△A′B′C′.ABC（1）A′B′C′（2）图4A′B′C′图5此时作出的图形是唯一的，剪出的两个三角形可以完全重合，由此猜想这两个三角形可能是全等的.（2）相等的角为锐角的锐角三角形情况.如图6，已知锐角△ABC，先作∠C′=∠C，然后以点C′为圆心，AC长为半径画弧，与∠C′的一边交于点A′，再以点A′为圆心，AB长为半径画弧，会与∠C′的另一边所在的直线有两个交点，此时有两种情况（如图7）.AC B（1）A′C′B′B′（2）图6A′B′（1）A′B′（2）图7此时作出的图形一种情况可能是与原图形全等的，另一种情况是一定不全等的.【设计意图】这个探究任务的设计，是让学生从作图的角度出发，开始本节课的探究，符合学生的知识生成.因为前面已经有了探究方向，所以这里相等的∠C′和∠C可以是钝角或者锐角.作图步骤先要画一个角等于已知角，然后用圆规来截取相等的边画弧，方法与教材上也一样，是学生可以完成的任务.第二次探究：由于学生的探究结果并不完整，所以要继续引导.师：还有没有其他情况存在呢？当三角形里面有一个角为直角或者钝角时，这个三角形的形状有没有确定？生：当三角形中有一个角是直角时，这个三角形只能是直角三角形；当三角形中有一个角是钝角时，这个三角形只能是钝角三角形.师：当三角形中有一个角是锐角时，这个三角形的形状确定了吗？生：没有确定.当三角形中有一个角为锐角时，这个三角形可能是直角三角形、锐角三角形，还可能是钝角三角形.让学生在此基础上继续进行探究.（3）相等的角为锐角的直角三角形情况（如图8和图9）.A（1）A ′B ′（2）图8A B C （1）A ′B ′C ′（2）图9这两种情况画出的三角形和原三角形都是全等的，但此时其实已经有四组相等的条件了.同时要引导学生观察图形发现这两种情况是不一样的：第一种情况相等的边是一组斜边和一组直角边；第二种情况相等的边是两组直角边.（4）相等的角为锐角的钝角三角形情况.第一种情况：如图10，已知△ABC ，先作∠C′=∠C ，然后以点C′为圆心，AC 长为半径画弧，与∠C′的一边交于点A′，再以点A′为圆心，AB 长为半径画弧，会与∠C′的另一边所在的直线有两个交点，得如图11所示的两种情况.（2）ABC（1）图10A ′B ′C ′（1）A ′C ′B ′（2）图11此时作出的图形，一种情况可能是与原图形全等的，一种情况是一定不全等的.第二种情况：已知如图12（1）所示的△ABC ，画法同上，得如图13所示的△A′B′C′.ACB（1）A ′C ′B ′（2）图12A ′C ′B ′图13此时作出的图形是唯一的，剪出的两个三角形可以完全重合，所以猜想它们可能是全等的.【设计意图】此环节的设计是让学生能够更全面地考虑问题，尽可能地探究出所有的情况.同时，在作图的过程中，进一步加强学生的几何直观，理解每一种情况都是在作图的前提下得到的，从而使学生学会几何探究的一个有力的方法——作图.3.应用所学，进行论证师：刚才我们都是通过作图，也就是实验几何的角度进行的探究.大家想一想，作图之后还要做什么呢？生：推理论证.提出任务：每个小组的学生讨论一下，如何对以上通过作图发现的可能全等的情况进行严密的论证呢？可以先选择本小组作出来的情况进行论证.学生很快能证出以下两种情况.（1）相等的角为钝角的情况.已知：在如图4（1）和图5所示的△ABC 和△A′B′C′中，∠C′与∠C 均为钝角，A′B′=AB ，A′C′=AC ，∠C′=∠C ，求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：如图14，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，过点A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′的延长线于点D′，先证明△ADC ≌△A′D′C′（AAS ），得AD =A′D′.再证明Rt△ADB ≌Rt△A′D′B′（HL ），得∠B =∠B′.最后证明△ABC ≌△A′B′C′（AAS ）.AB C D （1）A ′B ′C ′D ′（2）图14（2）相等的角为锐角的锐角三角形的情况.已知：在如图6（1）和图7（2）所示的锐角△ABC 和锐角△A′B′C′中，A′B′=AB ，A′C′=AC ，∠C′=∠C ，求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：如图15，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，过点A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′于点D′，先证明△ADC ≌△A′D′C′（AAS ），得AD =A′D′.再证明Rt△ADB ≌Rt△A′D′B′（HL ），得∠B =∠B′.最后证明△ABC ≌△A′B′C′（AAS ）.ACB （1）A ′C ′B ′D ′（2）图15其他几种情况也是如此，辅助线作法和证明过程也是一样的（如图16和图17）.A ′B ′D ′（2）ABD （1）图16（2）A ′B ′C ′D ′（1）ABCD图17师：通过这几种情况的证明，你有什么发现呢？生：辅助线都是作高线，证明方法是一样的.【设计意图】此环节是在上一环节作图的基础上进行的一个理论上的逻辑推理，是从实践到理论的一个完善.同时，也是学生对于三角形全等的判定定理的一个直接应用.要让学生体会在论证的过程中我们都要对着相等的角在第三条边上作高，而这么做的目的其实就是为了构造我们本节课最开始就给出的核心图形“HL ”全等的情况，因为在作图时只有直角三角形才是唯一的.并且引导学生发现，在本节课的开始，我们引入了“HL ”的特殊情况，从这个特殊情况出发探究一般的情况，而对一般情况进行论证的时候，辅助线作法又回到了之前最特殊的“HL ”的情况，并且所有的论证过程都是一样的.这其实就是数学中从特殊到一般，再由一般化归到特殊的数学思想.4.总结所学，归纳结论师：从以上的探究中，我们能得到哪些结论呢？由于是按相等的角为直角、钝角、锐角进行分类，所以也按相等的角为直角、钝角、锐角来总结.结论1：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为直角或者钝角时，这两个三角形全等．结论2：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为锐角，且另一对应相等的边所对的角为同一类型的角时，这两个三角形全等．【设计意图】设计这个环节是对本节课探究所得的结果进行的一个归纳.学生应该比较容易得出结论1，归纳起结论2来会有困难，可能学生会去考虑三角形的形状.所以需要引导学生去看相等的两组边，一组边对着相等的角，而另一组边所对的角是否是同一类型的角就决定了这两个三角形是否全等.5.思维导图，感悟提升用思维导图的形式对本节课进行总结，学生先分小组自己完成，然后和教师一起归纳（如图18）.从特殊到一般化归分类讨论直观几何逻辑推理边边角思想方法知识相等的角为锐角相等的角为直角相等的角为钝角锐角三角形直角三角形钝角三角形图18【设计意图】思维导图的引入不仅能使本节课的内容清晰明了，还能训练学生的逻辑思维，对学生今后的数学学习也会有很大的帮助.6.布置作业，巩固提高以小组为单位将这节课的内容写成一篇探究小报告，下周同一时间交探究报告.六、教学反思作为一节探究课，本节课的内容并不是教材上的常规内容，所以在设计之初就进行了多次修改.之后笔者又经历了备课、磨课、上课，以及说课展示的全过程，可谓收获颇多.接下来就来谈谈笔者对本节课的反思.1.总结经验，感悟提升（1）探究思路要适合于学生的知识生成.本节课主要是探究“边边角”在哪些特定条件下能够证明两个三角形全等.在备课的过程中，笔者查阅了很多相关资料和论文，发现大概有以下两种情况：第一种是先按三角形的形状进行分类，再按相等的角进行分类；第二种是先按相等的角进行分类，再按三角形的形状进行分类.而沪教版《义务教育教科书·数学》七年级下册在“全等三角形”这一章之后，以小阅读的方式，从作图的角度对这个问题进行了探究.在考量了多种情况之后，笔者决定从作图入手，采取第二种分类方法.这样的设计会更贴合学生的知识生成，作图的方法都是一样的，只是由于角的不同会出现不同的情况，从而为学生设定一条清晰明确而又切实可行的探究主线.（2）解决问题的同时要注重方法的总结.在本节课的推理论证过程中，笔者发现论证本身对学生来说并不困难，困难的是从论证的背后发现规律性的结论和隐含的数学思想.所以在推理论证之后，对辅助线的作法进行了总结.旨在引导学生发现辅助线都是作高，而作这条高就是为了构造直角三角形，就回到了本节课的核心图形——“HL”的情况.这就是从特殊到一般，又从一般化归到特殊的数学思想.（3）思维导图小结碰撞出思维的火花.本节课采用思维导图来进行小结，不仅能为学生理清本节课的思路，更能帮助学生发现本节课还存在的问题.思维导图能够很清楚地发现学生的思维障碍在哪里，以便之后完善.而学生往往也能带来意想不到的惊喜，在他们所画的思维导图里，处处有碰撞出的思维小火花.2.发现问题，完善提高本节课展示之后，笔者又进行了反思，发现还存在以下几个问题.（1）是否能给学生一个更开放的探究.虽然本节课的探究主线是清晰的，但在课后笔者仍然在思考，这条主线是否在某种程度上也限定了学生的思维呢？能否给学生一个更开放的探究呢？那么在最初的引导上就要让学生明确，“边边角”其实已经是三个关于“边、角”的元素对应相等了，所以所添加的特定条件，不能是另一组“边”或者“角”相等.因此，应该从三角形是否唯一的方向去考虑添加的条件，这样既可以从三角形的形状入手，又可以从相等的角入手，让学生自己选择，还能让学生比较不同分类的特点以及优缺点，更有利于学生的思维发展.（2）能否更加充分地调动学生的主体性.虽然本节课是以学生探究为主，所有的探究结果以及推理论证的过程都是学生自己完成的，但是课后笔者观看课堂实录时，还是发现教师的引导过多了，有些地方过于担心学生无法完成，或者学生的表述不够准确，当然这与上课的时间限制有一定的关系.本节课既然作为探究课，就应该让学生的主体作用充分发挥出来.教师用更精炼的语言进行适当的引导，让学生畅所欲言，将课堂还给学生.3.引发思考，开拓创新在数学核心素养被提出来之后，很多教师都有过这样的困惑，如何在平时的教学中培养学生的数学核心素养呢？观望我们目前的教学模式，大多数还是以教师的教为主，学生被动地接受知识.为了应试，有些教师也不注重知识的生成，只注重大量做题，所以学生对很多知识都是知其然，而不知其所以然，更不要谈数学思维了.所以本节课的设计，就是试图改变这种情况，希望学生通过本节课的学习，能够学会探究学习的方法，在今后的学习过程中，会用已有的数学知识和技能方法去探究新的知识.当然，这种情况也不是一、两节课能够改变的，本节课也还存在着很多问题.但笔者认为，只要教师愿意去学习、去思考、去改变、去进步，我们的教学就一定能发生相应的变化，学生才能最终获得数学核心素养的培养，发挥数学教学的作用.参考文献：［1］陈德前.满足“SSA”的两个三角形全等吗？［J］.中学生数理化，2014（7/8）：40-42.［2］陶家友.“错误”岂能“错过”，“跌宕起伏”成就精彩［J］.中学数学（初中版），2012（6）：73-74.［3］徐成祥.追根溯源找错因实验探究出真知：以“满足‘边边角’的两个三角形何时全等”数学活动为例［J］.中学数学参考（中旬），2015（5）：14-16.。

永教体字〔2019〕3号
关于2018年省、市、县级课题立项（结项）
评审结果的通报
各中小学、幼儿园：
2018年各校申报的省、市、县教育教学研究课题，经过省、市、县专家组评审并报经省、市教育主管部门与省、市、县实验基地工作领导小组批准，永修县共有3项省级课题准予立项，1项准予结项；市级课题共有7项准予立项，4项准予结项；县级课题共有19项准予立项，5项准予结项。

现将各校的课题立项及结项情况予以通报（详情见附件）。

希望各校加强对课题的有效指导及组织管理，切实有效地发挥课题研究在促进教学和课程改革中的作用。

附件：1.2018年度江西省中小学教育教学研究立项课题
2.2018年度江西省中小学教育教学研究结项课题
3.2018年度九江市中小学教育教学研究立项课题
4.2018年度九江市中小学教育教学研究结项课题
5.2018年度永修县中小学教育教学研究立项课题
6.2018年度永修县中小学教育教学研究结项课题
永修县教育体育局
2018年2月21日
抄送：市教育局，县政府，县委宣传部。

永修县教育体育局办公室2019年2月21日印发
感谢你的聆听
附件1 2018年度江西省中小学教育教学研究立项课题（赣研室字〔2018〕27号）（3项）
附件2 2018年度江西省中小学教育教学研究结项课题（赣研室字〔2019〕2号）（1
项）
附件3 2018年度九江市中小学教育教学研究立项课题（7项）
附件5 2018年度永修县中小学教育教学研究立项课题（19项）
感谢你的聆听
附件6 2018年度永修县中小学教育教学研究结项课题（5项）
感谢你的聆听。

课题“提高初中阶段学生数学运算能力的研究”调查测试报告***调查时间：2018年6月12日调查对象：七年级（2）（5）（8）班学生共计160人八年级（1）（3）（8）班学生共计152人九年级（5）（7）（8）班学生共计123人调查形式：现场测试调查目的：课题组成员经过讨论，分别编制出三套检测七年学生、八年级学生及九年级学生数学运算能力综合测试试题。

为了了解学生数学运算习惯、运算能力的现状，使我们课题研究者能及时有效地进行课堂教学研究与改革。

下面就此次调查结果做以下报告：一、测试试卷的基本结构本次三个年级测试试题设计满分均为100分，测试时间为45分钟。

试卷共四类大题，分别是(一)计算；（二）解方程或不等式（组）；（三）化简求值；（四）综合解答题。

七年级测试卷结构。

（一）计算题共6小题，每题5分，共30分。

重点考察七年级学生对有理数加、减、乘、除、乘方运算熟练掌握程度。

考察学生对符号准确判断的能力，考题中涉及小数、分数等较复杂的数字运算。

（二）解方程及不等式（组）共4小题，每题5分，共20分。

重点考察学生对二元一次方程组、代分母的一元一次方程、不等式组等问题求解。

考题中涉及利用加减消元法求解二元一次方程组，分母含小数的一元一次方程求解，含分母的不等式组求解。

（三）化简求值共2小题，每题10分，共20分。

重点考察学生多项式运算综合能力。

考题中涉及含分母数字的复杂运算。

（四）综合解答题共3小题，每题10分，共30分。

重点考察学生利用所学知识解决实际问题。

考题涉及较复杂的数字运算。

八年级测试卷结构。

（一）计算题共6小题，每题5分，共30分。

重点考察八年级学生对整式及分式加、减、乘、除、乘方运算熟练掌握程度。

考察学生对完全平方公式、平方差公式熟练掌握情况，考题涉及较复杂符号运算。

（二）解方程及不等式（组）共4小题，每题5分，共20分。

重点考察学生对分式方程组、因式分解等问题求解。

考题中涉及去分母、完全平方公式、平方差公式的运用。

2018年暑假七年级数学一日一练4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒一．选择题（共6小题）1．（2018•河南二模）如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种2．（2017•太原三模）四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（）A．B．C．D．3．（2016•故城县校级三模）某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）在上述四个方案中最短的道路系统是方案（）A．一B．二C．三D．四4．（2016•太原二模）有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边△ABC的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连结这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为BC边的中点，点O为△ABC的中心，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案45．（2016•南京二模）将一块长为a米，宽为b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草，现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为S1，S2和S3，则它们的大小关系为（）A．S3＜S1＜S2B．S1＜S2＜S3C．S2＜S1＜S3D．S1=S2=S36．（2015秋•房山区期末）如图，直线m表示一条河，点M、N表示两个村庄，计划在m 上的某处修建一个水泵向两个村庄供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是（图中实线表示铺设的管道）（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）7．（2018•河西区一模）在每个小正方形的边长为1的网格中，有以AB为直径的半圆和线段AP，AB组成的一个封闭图形，点A，B，P都在网格点上．（Ⅰ）计算这个图形的面积为；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一条能够将这个图形的面积平分的直线，并简要说明这条直线是如何找到的（不要求证明）．8．（2017•自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．9．（2017春•东城区期末）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小军同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是．10．（2017春•尚志市期末）如图是一个5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，请在此网格中画出一个顶点都在格点且面积为17的正方形．11．（2016•河西区二模）如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．12．（2015秋•顺义区期末）在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为．13．（2015秋•朝阳区期末）阅读下面材料：在数学课上，教师出示了一个如图1所示的六角星，并给出了得到与之形状完全相同（大小忽略不计）的六角星的两种方法．方法一：如图2，任意画一个圆，并以圆心为顶点，连续画相等的角，与圆相交于6点，连接每隔一点的两个点，擦去多余的线即可得到符合要求的六角星．方法二：按照图3所示折一个六角星．请回答：∠α与∠β之间的数量关系为．三．解答题（共4小题）14．（2018•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．15．（2018•龙岩二模）如图，在每个小正方形是边长为1的网格中，A，B，C均为格点．（Ⅰ）仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明道理；（Ⅱ）连接AB，求△ABC的周长．16．（2018•莲湖区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）17．（2018•鹿城区模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点四边形．（1）在图1中画一个四边形OABP，使得点P的横、纵坐标之和等于5．（2）在图2中画一个四边形OABQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于20．2018年暑假七年级数学一日一练：4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴在图①中，DE=AC，EF=AB，DF=BC，∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．同理可得图②，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．故选：D．2．【解答】解：因为正方形的边长为100km，则方案A需用线200km，方案B需用线（200+100）km，方案C需用线300km，方案D如图所示：∵AD=100km，∴AG=50km，AE=km，GE=km，∴EF=100﹣2GE=（100﹣）km，∴方案D需用线×4+（100﹣）=（1+）×100=（100+100）km，所以方案D最省钱．故选：D．3．【解答】解：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线2a，方案③需用线2a+a，如图所示：∵AD=a，∴AG=，AE=a，GE=a，∴EF=a﹣2GE=a﹣a，∴方案④需用线a×4+（a﹣a×2）=（+1）a．∴方案④最省钱．故选：D．4．【解答】解：设等边三角形的边长为a，方案1：铺设路线的长为AB+AC=2a，方案2：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为AB+AD+DC=a+a；方案3：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为BC+a=a+a；方案4：如图所示：过点O作OD⊥BC于点D，∵BD=，则BO==a，铺设路线的长为AO+BO+CO=3×a=a；因为a+a＞2a＞a+a＞a，所以方案4铺设路线最短．故选：D．5．【解答】解：∵矩形的长为a米，宽为b米，小路的宽为x米，∴S1=ab﹣（a+b）x+S4；S2=ab﹣（a+b）x+S5；S3=ab﹣（a+b）x+S6．∵S4=x•x=x2，S5=x•sin60°•x•sin60°=x2，S6=x•sin60°•=x2，∴S2＜S1＜S3．故选：C．6．【解答】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．故选：D．二．填空题（共7小题）7．【解答】解：（Ⅰ）这个图形的面积为=•π•42+×5×8=20+8π；故答案为20+8π．（Ⅱ）如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．故答案为：如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．8．【解答】解：如图所示：所画正方形即为所求．9．【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短10．【解答】解：如图所示：∵42+12=17，∴AB=．∴正方形ABCD的面积为17．11．【解答】解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，∵S正方形ABGH=（）2=26，∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．12．【解答】解：①如图1中，当底BC=10 米时，作AD⊥BC垂足为D，∵•BC•AD=30，∴AD=6，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=5，∵AB=AC==．②如图②当AB=AC=10时，作BD⊥AC，垂足为D，∵，∴BD=6，∴AD==8，BC==6．综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．故答案为为和或10和6．13．【解答】解：∠α==60°，∠β==30°，则∠α和∠β之间的关系是∠α=2∠β．故答案是：∠α=2∠β．三．解答题（共4小题）14．【解答】解：符合条件的图形如图所示：15．【解答】解：（Ⅰ）取线段AC的中点为格点D，则有DC=AD．连BD，则BD⊥AC，理由：由图可知BC=5，连接AB，则AB=5，∴BC=AB，又CD=AD，∴BD⊥AC．（Ⅱ）由图易得AB=5，AC==2，BC==5，∴△ABC的周长=5+5+2=10+2．16．【解答】解如图所示：，△ACD和△CDB即为所求．17．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：。