成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理

高一竞赛数论专题2.同余设m 为正整数,若整数a 和b 被m 除的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记做(mod ).a b m ≡(mod )|,.a b m m a b b a mq q Z ≡⇔-⇔=+∈设m 是一个给定的正整数,{|(mod )},0,1,2,, 1.r C x Z x r m r m =∈≡=-我们称0121,,,,m C C C C -为模m 的同余类(或剩余类).显然0121,,,,m C C C C -构成整数集Z 的一个划分.在模m 的同余类0121,,,,m C C C C -中各取一数,0,1,,1j j a C j m ∈=-,这m 个数0121,,,,m a a a a -称为模m 的一个完全剩余系(简称完系).最常用的完系0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.如果一个模m 的同余类里面的数与m 互素,就把它叫做一个与模m 互素的同余类,在与模m 互素的全部同余类中,各取一数所组成的集叫做模m 的一个简系.模m 的一个简系的元素个数记为欧拉函数().m ϕ 欧拉函数()m ϕ是一个定义在正整数集上的函数,()m ϕ的值等于0,1,2,,1m -中与m 互素的数的个数.1.证明(mod )(mod).(,)mac bc m a b m c ≡⇔≡(特别地若(,)1,m c =则(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇔≡ 若2,m c =则2(mod )(mod ).ac bc c a b c ≡⇔≡)2.设p 是素数,1,k ≥证明1()(1).kk p p p ϕ-=-3.(Euler 定理)设(,)1,a m =证明：()1(mod ).m am ϕ≡(Fermat 小定理)设p 一个素数,对任意的整数a ,证明(mod ).pa a p ≡若(,)1,a p =则11(mod ).p a p -≡4.(Wilson 定理)设p 是素数,121,,,p r r r -是模p 的一个简系,证明1211(mod ).p r r r p -≡-特别地,有(1)!1(mod ).p p -≡-5.(Lucas 定理)设p 是一个素数,将m 和n 写成p 进制数：11101110k k k k k k k k m a p a p a p a n b p b pb p b ----=++++=++++其中0,(0,1,2,,)i i a b p i k ≤<=. 证明：0(mod ).iikb n ma i C C p =≡∏6.已知正整数2n ≥,12,,,n a a a 为整数,且其中任何一个均不为12017n -的倍数.证明：存在不全为零的整数12,,,n εεε,使得1122n n a a a εεε+++为2017n 的倍数,其中||2017,1,2,,.i i n ε<=7.已知素数*61(,1),p k k N k =+∈>证明：121127m m--为整数,其中21pm =-.8.设素数3p >,证明2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-高一竞赛数论专题2.同余解答设m 为正整数,若整数a 和b 被m 除的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记做(mod ).a b m ≡(mod )|,.a b m m a b b a mq q Z ≡⇔-⇔=+∈设m 是一个给定的正整数,{|(mod )},0,1,2,, 1.r C x Z x r m r m =∈≡=-我们称0121,,,,m C C C C -为模m 的同余类(或剩余类).显然0121,,,,m C C C C -构成整数集Z 的一个划分.在模m 的同余类0121,,,,m C C C C -中各取一数,0,1,,1j j a C j m ∈=-,这m 个数0121,,,,m a a a a -称为模m 的一个完全剩余系(简称完系).最常用的完系0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.如果一个模m 的同余类里面的数与m 互素,就把它叫做一个与模m 互素的同余类,在与模m 互素的全部同余类中,各取一数所组成的集叫做模m 的一个简系.模m 的一个简系的元素个数记为欧拉函数().m ϕ 欧拉函数()m ϕ是一个定义在正整数集上的函数,()m ϕ的值等于0,1,2,,1m -中与m 互素的数的个数.1.证明(mod )(mod).(,)mac bc m a b m c ≡⇔≡ (特别地若(,)1,m c =则(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇔≡ 若2,m c =则2(mod )(mod ).ac bc c a b c ≡⇔≡)证明：(mod )|()ac bc m m c a b ≡⇔-(),.c a b mq q Z ⇔-=∈ 因为,.(,)(,)c m Z Z m c m c ∈∈所以()().(,)(,)c mc a b mq a b q m c m c -=⇔-=即().(,)(,)m c a b m c m c - 因为(,) 1.(,)(,)m c m c m c =所以()()(mod ).(,)(,)(,)(,)c m m ma b q a b a b m c m c m c m c -=⇔-⇔≡即(mod )(mod ).(,)mac bc m a b m c ≡⇔≡2.设p 是素数,1,k ≥证明1()(1).k k p p p ϕ-=-证明：()k p ϕ等于满足以下条件的r 的个数：1,(,) 1.k kr p r p ≤≤= 由于p 是素数,所以有1,,(,),|.p r r p p p r ⎧=⎨⎩Œ显然(,)1(,)1.kr p r p p r =⇔=⇔Œ因此()kp ϕ就等于1,2,,k p 中不能被p 整除的数的个数,由于1,2,,k p 能被p 整除的数的个数有1k p -个.所以11()(1).kkk k p p p p p ϕ--=-=-3.(Euler 定理)设(,)1,a m =证明：()1(mod ).m am ϕ≡(Fermat 小定理)设p 一个素数,对任意的整数a ,证明(mod ).pa a p ≡若(,)1,a p =则11(mod ).p a p -≡证明：引理 12(),,,m r r r ϕ是模m 的一个简系,(,)1,a m =则12(),,,m ar ar ar ϕ也是模m 的一个简系.引理的证明：假设12(),,,m ar ar ar ϕ不是模m 的一个简系.则存在(mod )().i j ar ar m i j ≡≠因为(,)1,a m =所以(mod )().i j r r m i j ≡≠与12(),,,m r r r ϕ是模m 的一个简系矛盾,所以引理得证.由引理知道()12()12()12()(mod ).m m m m rr r arar ar a rr r m ϕϕϕϕ≡=由于12(),,,m r r r ϕ是模m 的一个简系,所以(,)1,1,2,,().i r m i m ϕ==于是()1(mod ).m am ϕ≡即证得了Euler 定理.令m p =,若(,)1,a p =则11(mod ).p a p -≡于是(mod ).p a a p ≡若(,) 1.a p ≠则|.p a 0(mod ),0(mod )pa p a p ≡≡,所以(mod ).pa a p ≡这就证明了Fermat 小定理.4.(Wilson 定理)设p 是素数,121,,,p r r r -是模p 的一个简系,证明1211(mod ).p r r r p -≡-特别地,有(1)!1(mod ).p p -≡-证明：引理：对取定的一个简系中的每个i r 必有唯一的一个j r 使得1(mod ).i j r r p ≡引理的证明：因为(,)1i r p =,所以存在整数00,x y 使得001i r x py +=,则0011(mod ).i r x py p =-≡ 所以0(,)1x p =,所以一定存在简系中一个j r 满足0(mod ),j r x p ≡且1(mod )i j rr p ≡,这就证明了存在性. 下面证明唯一性,若还存在简系中一个k r 使得1(mod ).i k rr p ≡则()0(mod )i j k r r r p -≡,因为(,)1i r p =,所以(mod ),j k r r p ≡所以.k j r r =这就证明了唯一性. 当2p =时结论显然成立,可设3p ≥.有引理知道对取定的一个简系中的每个i r 必有唯一的一个j r 使得1(mod ).i j r r p ≡ 又21(mod )1(mod )(1)(1)0(mod )| 1.i j i i i i rr p r p r r p p r ≡⇔≡⇔-+≡⇔± 若|1i p r +且|1i p r -,则|2p 与3p ≥矛盾.所以|1i p r +,|1i p r -不能同时成立. 也即1(mod ),1(mod )i i r p r p ≡-≡不能同时成立.同时也说明除1(mod )i r p ≡±之外,必有i j r r ≠使得1(mod )i j rr p ≡成立.不妨设111,1(mod )p r r p -≡≡-. 这样在, 模p 的一个简系121,,,p r r r -中除111,1(mod )p r r p -≡≡-外恰好两两一对且满足1(mod ).i j r r p ≡于是221(mod ).p r r p -≡所以1211(mod ).p r r r p -≡-特别地1,2,,1p -恰好是模p 的一个简系,所以(1)!1(mod ).p p -≡-5.(Lucas 定理)设p 是一个素数,将m 和n 写成p 进制数：11101110k k k k k k k k m a p a p a p a n b p b pb p b ----=++++=++++其中0,(0,1,2,,)i i a b p i k ≤<=.证明：0(mod ).i ikb n ma i C Cp =≡∏证明：引理1 设p 是一个素数,当11,j p ≤≤-时,则0(mod ).jp C p ≡其中1,2,i =.引理1的证明：因为11.j j p p p C C j--=因为p 是一个素数,所以(,) 1.p j =所以|.j p p C 即0(mod ).j p C p ≡ 引理2 设p 是一个素数,则(1)1(mod ).ppx x p +≡+ 引理2的证明：因为12211(1)1p p p p p p p x C x C x C x x --+=+++++,由引理1得证.回到原题的证明,因为(1)1(mod ).p px x p +≡+所以22(1)((1))(1)1()1(mod ).p p p p p p p p x x x x x p +=+≡+≡+=+32223(1)((1))(1)1()1(mod ).p p pp pp pp x x x x x p +=+≡+≡+≡+(1)1(mod ).k kp p x x p +≡+ 1110(1)(1)kk k k a pa p a p a m x x --+++++=+1101[(1)][(1)][(1)][(1)]k k k k a a p a p ap x x x x --=+++++1101[1][1][1][1](mod )kkk k a a p a p ap x x x x p --≡++++.即1101(1)(1)(1)(1)(1)(mod )kkk k a a m p a p a p x x x x x p --+≡++++上式右边的通项为111100101011()().k k k k kkk k k k k k kk k k i i i i i i i i i i p i p i p p a a a a a a C x Cx C x C CC x--------+++=注意到若11110110k k k k k k k k n b p b pb p b i p i p i p i ----=++++=++++,由p 进制的表示唯一性知111100,,,,.k k k k i b i b i b i b --====比较nx 的系数得0(mod ).i ikb n ma i C Cp =≡∏6.已知正整数2n ≥,12,,,n a a a 为整数,且其中任何一个均不为12017n -的倍数.证明：存在不全为零的整数12,,,n εεε,使得1122n n a a a εεε+++为2017n 的倍数,其中||2017,1,2,,.i i n ε<=证明：设集合12{|(,,,),02017}n i A αααααα==≤<.对于,A α∈令()f α=1122n n a a a ααα+++.(1)若存在不同的,A αα'∈,满足()()(mod 2017)nf f αα'≡,则令.i i i εαα'=- 则12,,,n εεε不全为零且||2017,1,2,,.i i n ε<=同时有1122111222()()()()()0(mod 2017).n n n n nn a a a a a a f f εεεαααααααα''''+++=-+-++-=-≡ (2)若所有的()f α均模2017n不同余,由于||2017,nA =则()f α模2017n的余数分别为0,1,2,,2017 1.n - 考虑多项式().f Ax αα∈∑一方面()f α模2017n的余数分别为0,1,2,,2017 1.n -即所有的()f α的一般形式为12017,0,1,2,,2017 1.nn k k q k ++=-故可以考虑复数22017ni x e π=.1222017()20172017()nnnk k ii k q f xe e ππα++==.220171()201700.n nk i f Ak x e παα-∈===∑∑另一方面1122()11n ni ii i nna a a a a f AA A Ai i x xxx αααααααααα+++∈∈∈∈=====∑∑∑∑∏∏2017022016111()1iiiiiia nna a a a a i i x xx xxx ==-=++++=-∏∏. 因为i a 不为12017n -的倍数,所以,i a 2017i a 都不是2017n的倍数.所以当22017ni x eπ=时,2017101iia a x x -≠-. 于是()0f Ax αα∈≠∑.这样就产生了矛盾.所以所有的()f α均模2017n不同余是不可能发生的. 所以命题得证.7.已知素数*61(,1),p k k N k =+∈>证明：121127m m--为整数,其中21pm =-.证明：由Fermat 小定理知22(mod )211(mod )ppp p ≡⇒-≡,则| 1.p m -所以121|21pm ---.又6|1,p -所以6121|21p ---.即163|21p --,于是17|21p --,从而7|22p -.即7| 1.m -于是7121|21m ---.下面只需要证明7(21,21)1p--=即可. 引理：设,m n 是正整数,则(,)(21,21)21.mnm n --=-回到原题, 注意到7p >且均为素数,所以7(7,)1(21,21)2121 1.pp --=-=-=于是71(21)(21)|21pm ----.即121127m m--为整数.8.设素数3p >,证明2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-证明：引理 对于任给素数p ,多项式1()(1)(2)(1)1p f x x x x p x -=---+-+的所有系数都能被p 整除.引理的证明：设()(1)(2)(1),g x x x x p =---+则1,2,,1p -是()0g x =的1p -个解.从而1,2,,1p -当然也是()0(mod )g x p ≡的1p -个解.由Fermat 小定理知1,2,,1p -是1()1p h x x -=-的1p -个解.所以1,2,,1p -是()()()0(mod )f x g x h x p =-≡的1p -个解.又231221().p p p p f x s xs x s x s ----=++++是2p -次的多项式.则|(1,2,,1).i p s i p =-回到原题,由韦达定理知道222(1)!(1)!(1)!(1).121p p p p p p s s p ------+++=-=-- 令,x p =则一方面11()(1)(2)(1)1(1)! 1.p p f p p p p p p p p --=---+-+=--+另一方面231221().p p p p f p s p s p s p s ----=++++注意到1(1)!1p s p -=-+.所以23211232.p p p p p s ps p s p s p p -----+++=-32322122p p p p p s s ss p p p p p pp------=+++,因为3,p >由引理知|(1,2,,1).i p s i p =-所以220(mod )p s p --≡.即2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-。

中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国剩余定理。

注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。

孙子定理孙子定理1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。

k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。

Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);P为满足Answer > 0的最大整数；或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;解题思路：令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。

求M=？因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。

再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。

数论一 、欧拉定理设1m >的整数，()()(),1,1ma m a modm ϕ=≡则.例1设(10005x =+，求[]x 的末三位数.解 由二项式定理，((()()()()10001000249950010002998349963998233100010001000552552352352323C C C ++-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦是一个正整数.记(100015x =-，因为1051,01,x <-<<<所以从而{}11x x =.而1x x +是一个正整数，则{}{}11,x x +=所以{}{}1111.x x x =-=-于是[]{}111 1.x x x x x x x =-=-+=+-又因为 ()()500100031252251000x x mod +≡+ ，33100025= ，()100032505,mod ≡()()50010002500325252122mod =≡≡ ，又10003255,y =所以 ()3528y mod ≡ ，()25528y mod ≡ ，()528y mod ≡，则min 所以8 2.y k =+则()()()100033332558258525210002501000.k k mod mod =+=+≡=因为()11251251100,5ϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以()()10010021125,31125mod mod ≡≡， 于是，有 ()()150050021125,31125mod mod ≡≡，()()50032232125mod ≡ ，又因为 ()150********mod ≡ ，()5003322552y =+ ，所以()35208y mod +≡，即()528y mod ≡-， 所以()68min y mod =， 于是，有86y k =+. 所以()()5003333223586256582k k =++=++所以[]()11250751111000x x x mod=+-≡+-≡.故[]x 的末三位数是001.二、费马小定理 （1）p 为素数，且(),1,a p =则()11p a modp -≡；（2）p 为素数，则()p a a mod p ≡.例2 ,,,a b c d 为整数，证明()44240/b d c d a a ++-. 证明4240235= ，由于()()()2440,13,0,13,0,13,b c a moda mod a mod≡≡≡ 所以()()444403b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡.即443/()b d c d a a ++-.由于奇数的4次方被16除余1，偶数的4次方被16除余0，故有()()4444016b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡.即4442/()b d c d a a ++-.又由于()()()4440,15,0,15,0,15,b c a moda mod a mod≡≡≡ 则()()444405b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡，即445/()b d c d a a ++-.又2,3,5两两互素，故()44240/b dc d aa ++-.例 3 设整数199919991999,,0,a b c a b c d a b c ++==++满足记，求证d 不是素数.证明由于1999aa 与同奇偶，则()()()1999199919992,2,2,a a modb b modc c mod≡≡≡ 所以()19991999199902d a b c a b c mod=++≡++≡，即2/d .又 ()()6662221999199836663222aa aa aa aa aa a ==≡=≡()()()74258374753253a aa a a aa a a=≡==≡=()()389333a a a aa a mod ≡==≡≡ ，同理()()199919993,3,b b mod cc mod≡≡则()19991999199903d a b c a b c mod=++≡++≡.即3/d . 从而d 不是素数.例4 设{}()21np n n -≥是给定的素数，证明：数列中有无穷多项被p 整除.证明 当2p =时，结论显然成立.当()()1221,21p p p modp ->=≡时，由于，所以，所以对任意的()()1,21p mm Z mod p -∈≡有，即()()121m p mod p -≡.特别地，取1,m kp k Z =-∈.则()()()()()112111kp p kp p mod p --≡≡--.令()()11,n kp p =--则()2n n mod p ≡，即()/2n p n -.三、威尔逊定理 设p 是素数，则()()1!1p mod p -≡-()()1!1p modp ⇔-≡.证明 考虑多项式()1p xmod p -.由费马小定理，当{}1,2,,1a p ∈- 时，有()11p a modp -≡所以11p a x --是多项式的根.则1,2,,1x x x p ---+ 均为11p x --的因式.则设()()()()11121p x x x x p Q x -----+ =.得()1Q x =，则()()()11121p x x x x p -----+ =.取x p =代入，得()111!p p p --=-所以()()1!1p mod p -≡-.例5 ()()1!1p p modp -≡-是素数，则.证明：若21p +为奇素数，则()()()()2!1021pp mod p +-≡+.证明：()()()()2!1021pp mod p +-≡+()()()()()()()()()()()()1!!121!1!121!121121p pp p mod p p p mod p p p p modp +⇔≡-+⇔-≡-+⇔-----≡-+⎡⎤⎣⎦()()()()()!21212211121p p p p p mod p ⇔+-+-+-≡-+()()()()()1212121p p p p mod p ⇔+-≡-+ ！()()()2!121p modp ⇔≡-+.而21p +为奇素数，有()()()2!121p mod p ≡-+.四、中国剩余定理设12,,,k m m m k 是个两两互素的正整数，则同余方程组()()()1122k k x b mod m x b mod m x b mod m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有整数解.令12.k Mm m m =则同余方程组在模M 下的解是唯一的. 令,i i iMM M m '=取使得()1i i i M M mod m '≡，则解为()111222k k k x M M b M M b M M b modM '''≡+++ .例 6 证明：对任意给定的正整数,n n 均有个连续正整数，其中每一个都有大于1的平方因子.分析：()()()2122210200n x mod p x mod p x n modp +≡+≡+≡则()()()2122212n x modp x mod p x n modp ≡-≡-≡-. 证明： 设12,,,n p p p n 为个互不相同的素数，由中国剩余定理知，()()()2122212n x modp x mod p x n modp ≡-≡-≡-存在正整数解，设S 为一个正整数解，则12S S S n +++ ，，，满足要求.例7 任给正整数n ，存在n 个连续正整数，使得其中每一个数都不是幂数.证明 设12,,,n p p p n 为个互不相同的素数，由中国剩余定理，同余方程组()()()211222212n n x p mod p x p mod p x p n mod p ⎛≡-≡-≡-⎝存在正整数解0000,12S S S S n +++ 则，，，满足要求.例8给定正整数n ，设()f n 是使()1f n k k =∑能被n 整除的最小正整数.证明：当且仅当n 为2的幂时，有()21f n n =-.分析：()112mk m m k =+=∑，因为()1/,2m m n +当21m n =-时， 1mk k =∑n/，所以()21f n n ≤-.则问题归结为：()()()()122122 1.m mn f n n f n n ==-≠<-当时，；当n 2时，证明：（1）当2mn =时，()2112122n k n n k -=-=∑. 当()1121.2rk r r r n k =+<-=∑时， ∵112,12122121m m r r n r r n +<+<<+≤+=-=- 即，∴()112/1,2/m m r r +++.∴()()112/,/.22mr r r r n ++即 综上，知()21f n n =-.（2）分析：()2121,f n n r n <-⇔∃<-使1/,rk n k =∑即()1/2r r n +.（证明）2m n ≠当时，令()21.mn a a =为大于的奇数此时需证()12/1m a r r ++，即证存在()12/,/1m r a r ++即可.构造同余方程组()()1021m x mod x mod a +⎧≡⎪⎨≡-⎪⎩（1）由中国剩余定理知，同余方程组（1）有正整数解()12rr n ≤≤，则()12/,/1m r a r ++.从而有()12/1m a r r ++ ，即()12/2mr r a + ，()1/2r r n +.考虑r 的取值范围：若()()2,020,rn r mod n r mod a =≡⇒≡则这与()1x moda ≡-相矛盾，故2r n ≠.若()()121,1212m rn r modn r mod +=-≡-⇒≡-则，这与()102m x mod+≡相矛盾,故21r n ≠-.从而有12221r n n ≤≤-<-，于是得证21,r n ∃<-使()1/2r r n +.五、阶及应用定理1 设()1,,,1n n a a n >=为整数，且，则必有一个r()11,r n ≤≤-使得()1r a mod n ≡.证明： 011,,,n a a a - 均与n 互质，所以有()0,0,1,,1i a mod n i n ≡=- .由抽屉原则，,01,i j i j n ∃≤<≤-满足使得()j i a a mod n ≡，()1j i a modn -≡，令(),11,1r r j i r n a modn =-≤≤-≡则有.定义1：设()(),1,1m a n a modn m a =≡则满足的最小正整数叫做a n 对模的阶.注：若a n r 对模的阶为，则()1r a modn ≡. 当()11ii r a modn ≤<≡时，.定理2 设()(),1,,1m a n a n r a modn =≡对模的阶为若，则/.r m证明：令()110m qr r r r =+≤<，则()()1111qqr r r r r mqr r a aa a aaa mod n +==== .而()1mamodn ≡，所以()11r a mod n ≡.而a n r 对模的阶为的定,义知10r =.从而,/.m qr r m =即推论：若a n r 对模的阶为，则()/r n ϕ.特例：当n 为素数p 时，/1r p -.例9 设1,/21,3/.n n n n >+证明：证明：显然n 为奇数.假设 3.p n p =为的最小素因数，下证 ∵/21n n +，∴()210n mod n +≡， ()21n mod n ≡-， ∴()()2221,21n n mod n mod p ≡≡. 设2/2.p r r n 对模的阶为，则 ① 又由小费马定理知，()121p mod p -≡， ∴/1r p -. ② 由①，②知，()/2,1r n p -. ∵2/,n ∴()()22/2,1,2/2,1n p n p --.又若奇数()/2,1,/,/ 1.q n p q n q p --则 ∵p n 为的最小奇素约数，∴1q =.∴()2,1 2.n p -=由()/2,1r n p -，即/2,1r r >及知2r =. 由2p r 对模的阶为，知()21r mod p ≡，即()221mod p ≡，从而 3.p =而p n 为的最小素因数，则/,3/p n n 即.。

中国剩余定理<本⼈⽐较喜欢做总结，所以许多的知识都是从⽹上找到的并且重新组织利⽤，主要⽬的是为了加深我个⼈的理解和总结，欢迎⼤家指出错误，⼀起讨论，⼀起进步>“有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？”这就是中国剩余定理的来源了，什么意思呢？就是说数⼀堆物品,如果三个三个数的话，就会剩下⼆个，如果五个五个数的话，就会剩下三个，如果是七七数的话，就会剩下⼆个，那么到底有多少个呢？（来源wiki）我想从特殊到⼀般来讨论这个问题；题⽬其实可以抽象来数学问题如下:现在我们想想，如何才能找到这么⼀个数x呢？⾸先我们定义a[1 2 3] = 2, 3, 2;m[1 2 3] = 3, 5, 7; 我们思考下，如果存在这么⼀个x的话，那么它有什么性质呢？⾸先它要满⾜被mi取模时其对应的值为ai,好那么我们从编程中的循环来思考，是否存在那么⼀个Ti使得对于Ti % mi = ai,同时Ti % mj(j != i) = 0 如果存在的话，那么我们x 就可以等于 T1 + T2 + T3 (因为可以把模分别分配到Ti上，有两个值为0)有的话，⼜要怎么构造？好，起码我们现在有⼀思路了。

那么Ti怎么构建，⾸先⼀定有⼀个 ai % mi = ai,那么我们可以找⼀个Ti/ai ，它满⾜Ti/ai % mi = 1,同时由Ti % mj(j != i) = 0、 Ti/ai % mi = 1、Ti % mi = ai可以得到这个Ti/ai 这个项有⼀个性质 Ti/ai % mj = 0;好了现在关于Ti/ai这个项已经有了⼀定的性质：Ti/ai % mj =0, Ti/ai % mi = 1,故通过构造令Ti/ai是mj的倍数，同时，它会是在mi下两个互为倒数的乘积，所以⽤取Mi 为mi的累乘，但排除第i项⽬，同时令ti = Mi 模 mi 的数论倒数，也即满⾜ti * Mi = 1 (mod mi), Ti/ai = ti * Mi;(这⾥要补充下说明，什么是模mi的数论倒数，也就是说当Mi确定的时候，可以通过 ti * Mi % mi == 1这个判断的数字，这个可以循环来求，循环的最⼤次数是mi,因为ti < mi，打到⼀个最⼩的ti就可以了)那到现在确定了Ti = ai * ti * Mi,同时对于（S)我们有⼀个ti * Mi % mi = 1 ,也就是说所以就可以确定T1、 T2、T3，也就可以求出X了。

高一竞赛数论专题1.整除设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b .整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除.10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k ka =+∏为整数?.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=-12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.高一竞赛数论专题1.整除解答设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b .整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤所以12.d d =命题得证.2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c(2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的.不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b .所以(,)|.a b ax by +即(,)|1.a b 所以(,)1a b =.另一方面设11111,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数,若10,r =则辗转相除到此为止；否则继续.1222122,0,,a r q r r r q r =+≤<为整数,若20,r =则辗转相除到此为止；否则继续.12333233,0,,r r q r r r q r =+≤<为整数,若30,r =则辗转相除到此为止；否则继续.由于123r r r >>>且123,,,r r r 均为自然数,所以经过有限步辗转相除可得0.k r =即3211.k k k k r r q r ----=+21(0).k k k k k r r q r r --=+=引理：设,a b 是两个整数且0,a ≠,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数.则(,)(,).a b a r =证明：因为(,)(,).a b a b aq =-又.r b aq =-所以(,)(,).a b a r =回到原题：利用引理我们可得112211(,)(,)(,)(,)(,).k k k k a b a r r r r r r r ---=====注意到0.k r =所以11(,)(,0).k k a b r r --==由辗转相除的过程知道1321.k k k k r r r q ----=- 2432.k k k k r r r q ----=-3123.r r r q =-212.r a r q =-11r b aq =-所以11,r b aq =-212122()(1),r a b aq q q q a q b =--=+-311223123123[(1)][(1)](1),r b aq q q a q b q q q q q a q q b =--+-=+-++所以1k r -是,a b 的线性组合即存在整数,x y 使得1.k r ax by -=+即(,).a b ax by =+所以若(,)1,a b =则存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.证明：65254222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n +--=+-+=+-=+-++ 22(2)(1)(1)(45)(2)(1)(1)(2)5(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n =+-+-+=--+++-++.5!|(2)(1)(1)(2),n n n n n --++4!|(1)(1)(2),5!|5(1)(1)(2),n n n n n n n n -++-++所以65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.解: 因为21|21m n -+,所以2121n m +≥-所以n m ≥(若不然,则 1.n m ≤-于是1212121m n m -+≥+≥-,即2m ≤矛盾).因为n m ≥,所以存在正整数,q r 使得,0.n mq r r m =+≤<1212122212(21)212(21)[(2)21]21n mq r mq r r r r mq r r m m q m r ++-+=+=-++=-++=-+++++. 因为21|21m n -+,所以21|21m r -+.从而212 1.r m+≥- 注意到0.r m ≤<所以 1.r m ≤-于是121212 1.m r m -+≥+≥-即2m ≤矛盾.所以不存在这样的.m6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.证明：()⇒正整数M 是完全平方数,则2.M d = 222222()()()()M i M d i d d d i d d i +-=+-=++-+.2d d i -+对于1,2,,i n =是连续n 个正整数,所以一定存在某个i 使得2|.n d d i -+于是2|().n M i M +- 所以对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.()⇐假设正整数M 不是完全平方数,则M 中一定有一个素因数p ,它的指数是奇数即存在正整数k 使得212|,.k k p M p M -因为对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除. 故取2k n p =,对于21,2,,k i p =一定存在某个i 使得22|().k p M i M +-注意到2k p M . 所以22()k p M i +( 若不然, 22|(),k p M i +又22|().k p M i M +-于是2k p M 矛盾).由于22|(),k p M i M +-于是212|().k p M i M -+-注意到21|k p M -.所以212|().k p M i -+我们得到212|()k p M i -+且22()k p M i +.这与2()M i +是完全平方数矛盾.所以假设错误.所以正整数M 是完全平方数.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.证明：设4411,.11x a y cy b x d--==++其中(,)1,(,)1,0,0.a b c d b d ==>> 则a c ad bcb d bd++=是整数.即|.bd ad bc + 从而|,|.b ad bc d ad bc ++于是|,|.b ad d bc 注意到(,)1,(,) 1.a b c d == 所以|,|.b d d b 又0,0b d >>,所以.b d =因为44222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).1111a c x y x x x y y y x x y yb d y x y x ---++-++⋅=⋅=⋅=-+-+++++ 所以a cb d⋅是整数,结合.b d = 所以2|.b ac 于是|b ac ,又(,)1a b =,则|,b c 又(,) 1.b c =且0.b >所以 1.b =也就是411y c x -=+.即41| 1.x y +-又44444444441049421(1)1(1)[()()1](1)(1)(1)x y x y x x y y y y x x x -=-+-=-++++++-+.所以4441| 1.x x y +-8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k kf n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.证明: 我们知道数(,)f n k 能分解成n 个连续的自然数之积,则一定能被!n 整除.所以只需要证明数(,)f n k 不能被一个很小的自然数n 整除即可.33333(,)2410(339)13(3)()1k k k k k k k k k k f n k n n n n n n n n n n =++=++-++=++--+ 33(3)(1)(1)1k k k k k n n n n n =++--++. 33|3(3),3|(1)(1),3 1.k k k k k n n n n n ++-+所以3(,).f n k也就是数(,)f n k 不能分解成3个或3个以上的连续的自然数之积. 下面再证明数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.由上可知(,)31f n k q =+.因此只需要证明31(1)q x x +=+无自然数解. 当3x m =时,(1)3(31)3[(31)]x x m m m m +=+=+,故无解.当31x m =+时,2(1)(31)(32)3(33)2x x m m m m +=++=++,故无解.当32x m =+时,(1)(32)(33)3(1)(32)x x m m m m +=++=++故无解. 所以数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.于是我们证明了对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k kf n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：pn n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除. 证明：,1,2,,1n n n n p ---+这连续p 个数有且仅有一个被p 整除,设这个数为.N 则,.N pq q Z =∈则.n Nq p p⎡⎤==⎢⎥⎣⎦且,1,,1,1,1n n N N n p -+--+除以p 的余数不计次序为1,2,,1p -.于是(1)(1)(1)(1)(1)!.n n N N n p p pA -+--+=-+(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!(1)!p n n n n N N N n p n n N N n p C q q p p p ⎡⎤⎡⎤-+--+-+--+-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)!1(1)!(1)!p pA pqAq p p ⎡⎤-+=-=⎢⎥--⎣⎦. 因为p 与1,2,,1p -互素,所以(,(1)!) 1.p p -=于是(1)!|..(1)!p n n qAp qAC p p p ⎡⎤--=⋅⎢⎥-⎣⎦所以|.pn n p C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)nk kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk k a =+∏为整数?.解(1)111(1)1(1).nk nk n k k kk p p p ===++=∏∏∏ 当3n ≥时,1,1 1.n k p p k n >+≤≤-故11((1),) 1.n knk p p -=+=∏所以|1.nn pp +又|.n n p p 所以|1.n p于是1n p =矛盾.所以2n ≤.当1n =时,111N p +∉. 当2n =时,1212121212(1)(1)111(1)(1)1.p p p p N p p p p p p ++++++==+∈ 1212|1p p p p ++,21221|1,|1.p p p p p +++又211p p ≥+.所以211.p p =+于是1111|11,|2.p p p p +++ 所以122, 3.p p ==综上,所求的数列只有一个122, 3.p p == (2)不存在. 当121n a a a <<<<时,设.n a m ≤2222222212222111(!)21(1)(1) 2.(1)!1(1)(1)1(1)!2nm m m m k k k k k k k k k m mm a k k k k k m m =====+<+≤+=<===<+--++-∏∏∏∏∏所以211(1)nk k N a =+∉∏.所以不存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk k a =+∏为整数.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=- 解：不妨设.m n ≥有带余除法得1111(1,0)m q n r q r n =+≥≤<.我们有111111111212122212(21)2 1.q n r q n r r r r q n r m++-=-=-+-=-+-因为121|21q nn--,所以1(21,21)(21,21).r m n n --=--注意到1(,)(,).m n n r =rm n n n n若10,r >则作辗转相除.,212221(1,0)n q r r q r r =+≥≤<.我们有212221221212(21)2 1.q r r r q r r n+-=-=-+-因为12121|21rq r --,所以112(21,21)(21,21)(21,21)r r r m n n --=--=--.若20,r >则继续处理,直到10k r +=为止.由辗转相除法知(,).k m n r =1112(,)(21,21)(21,21)(21,21)(21,21)(21,0)212 1.k k k k r r r r r r r m n n m n +--=--=--==--=-=-=-至此,我们证得了结论.12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.证明：我们任取n 个互不相同的正整数12,,,,n a a a 并选取一个正整数参数,K 希望12,,,n Ka Ka Ka 的积12n n K a a a 被任意两项的和i j Ka Ka +()i j ≠整除,取1().i j i j nK a a ≤<≤=+∏12,,,n Ka Ka Ka 互不相同, 1()().i j i j i j i j nKa Ka a a a a ≤<≤+=++∏12121(()).n n n i j n i j nK a a a a a a a a ≤<≤=+∏显然有12|.ni j n Ka Ka K a a a +高一竞赛数论专题2.同余设m 为正整数,若整数a 和b 被m 除的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记做(mod ).a b m ≡(mod )|,.a b m m a b b a mq q Z ≡⇔-⇔=+∈设m 是一个给定的正整数,{|(mod )},0,1,2,, 1.r C x Z x r m r m =∈≡=-我们称0121,,,,m C C C C -为模m 的同余类(或剩余类).显然0121,,,,m C C C C -构成整数集Z 的一个划分.在模m 的同余类0121,,,,m C C C C -中各取一数,0,1,,1j j a C j m ∈=-,这m 个数0121,,,,m a a a a -称为模m 的一个完全剩余系(简称完系).最常用的完系0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.如果一个模m 的同余类里面的数与m 互素,就把它叫做一个与模m 互素的同余类,在与模m 互素的全部同欧拉函数()m ϕ是一个定义在正整数集上的函数,()m ϕ的值等于0,1,2,,1m -中与m 互素的数的个数.1.证明(mod )(mod).(,)mac bc m a b m c ≡⇔≡ (特别地若(,)1,m c =则(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇔≡ 若2,m c =则2(mod )(mod ).ac bc c a b c ≡⇔≡)2.设p 是素数,1,k ≥证明1()(1).kk p p p ϕ-=-3.(Euler 定理)设(,)1,a m =证明：()1(mod ).m am ϕ≡(Fermat 小定理)设p 一个素数,对任意的整数a ,证明(mod ).pa a p ≡若(,)1,a p =则11(mod ).p a p -≡4.(Wilson 定理)设p 是素数,121,,,p r r r -是模p 的一个简系,证明1211(mod ).p r r r p -≡-特别地,有(1)!1(mod ).p p -≡-5.(Lucas 定理)设p 是一个素数,将m 和n 写成p 进制数：11101110k k k k k k k k m a p a p a p a n b p b pb p b ----=++++=++++其中0,(0,1,2,,)i i a b p i k ≤<=. 证明：0(mod ).iikb n ma i C C p =≡∏6.已知正整数2n ≥,12,,,n a a a 为整数,且其中任何一个均不为12017n -的倍数.证明：存在不全为零的整数12,,,n εεε,使得1122n n a a a εεε+++为2017n 的倍数,其中||2017,1,2,,.i i n ε<=7.已知素数*61(,1),p k k N k =+∈>证明：121127m m--为整数,其中21pm =-.8.设素数3p >,证明2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-高一竞赛数论专题2.同余解答设m 为正整数,若整数a 和b 被m 除的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记做(mod ).a b m ≡(mod )|,.a b m m a b b a mq q Z ≡⇔-⇔=+∈设m 是一个给定的正整数,{|(mod )},0,1,2,, 1.r C x Z x r m r m =∈≡=-我们称0121,,,,m C C C C -为模m 的同余类(或剩余类).显然0121,,,,m C C C C -构成整数集Z 的一个划分.在模m 的同余类0121,,,,m C C C C -中各取一数,0,1,,1j j a C j m ∈=-,这m 个数0121,,,,m a a a a -称为模m 的一个完全剩余系(简称完系).最常用的完系0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.如果一个模m 的同余类里面的数与m 互素,就把它叫做一个与模m 互素的同余类,在与模m 互素的全部同余类中,各取一数所组成的集叫做模m 的一个简系.模m 的一个简系的元素个数记为欧拉函数().m ϕ 欧拉函数()m ϕ是一个定义在正整数集上的函数,()m ϕ的值等于0,1,2,,1m -中与m 互素的数的个数.1.证明(mod )(mod).(,)mac bc m a b m c ≡⇔≡(特别地若(,)1,m c =则(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇔≡若2,m c =则2(mod )(mod ).ac bc c a b c ≡⇔≡)证明：(mod )|()ac bc m m c a b ≡⇔-(),.c a b mq q Z ⇔-=∈ 因为,.(,)(,)c m Z Z m c m c ∈∈所以()().(,)(,)c mc a b mq a b q m c m c -=⇔-=即().(,)(,)m c a b m c m c - 因为(,) 1.(,)(,)m c m c m c =所以()()(mod ).(,)(,)(,)(,)c m m ma b q a b a b m c m c m c m c -=⇔-⇔≡即(mod )(mod ).(,)mac bc m a b m c ≡⇔≡2.设p 是素数,1,k ≥证明1()(1).k k p p p ϕ-=-证明：()k p ϕ等于满足以下条件的r 的个数：1,(,) 1.k kr p r p ≤≤= 由于p 是素数,所以有1,,(,),|.p r r p p p r ⎧=⎨⎩显然(,)1(,)1.kr p r p p r =⇔=⇔因此()kp ϕ就等于1,2,,k p 中不能被p 整除的数的个数,由于1,2,,k p 能被p 整除的数的个数有1k p -个.所以11()(1).kkk k p p p p p ϕ--=-=-3.(Euler 定理)设(,)1,a m =证明：()1(mod ).m am ϕ≡(Fermat 小定理)设p 一个素数,对任意的整数a ,证明(mod ).pa a p ≡若(,)1,a p =则11(mod ).p a p -≡证明：引理 12(),,,m r r r ϕ是模m 的一个简系,(,)1,a m =则12(),,,m ar ar ar ϕ也是模m 的一个简系.引理的证明：假设12(),,,m ar ar ar ϕ不是模m 的一个简系.则存在(mod )().i j ar ar m i j ≡≠因为(,)1,a m =所以(mod )().i j r r m i j ≡≠与12(),,,m r r r ϕ是模m 的一个简系矛盾,所以引理得证.由引理知道()12()12()12()(mod ).m m m m rr r arar ar a rr r m ϕϕϕϕ≡=由于12(),,,m r r r ϕ是模m 的一个简系,所以(,)1,1,2,,().i r m i m ϕ==于是()1(mod ).m am ϕ≡即证得了Euler 定理.令m p =,若(,)1,a p =则11(mod ).p a p -≡于是(mod ).p a a p ≡4.(Wilson 定理)设p 是素数,121,,,p r r r -是模p 的一个简系,证明1211(mod ).p r r r p -≡-特别地,有(1)!1(mod ).p p -≡-证明：引理：对取定的一个简系中的每个i r 必有唯一的一个j r 使得1(mod ).i j r r p ≡引理的证明：因为(,)1i r p =,所以存在整数00,x y 使得001i r x py +=,则0011(mod ).i r x py p =-≡ 所以0(,)1x p =,所以一定存在简系中一个j r 满足0(mod ),j r x p ≡且1(mod )i j rr p ≡,这就证明了存在性. 下面证明唯一性,若还存在简系中一个k r 使得1(mod ).i k rr p ≡则()0(mod )i j k r r r p -≡,因为(,)1i r p =,所以(mod ),j k r r p ≡所以.k j r r =这就证明了唯一性. 当2p =时结论显然成立,可设3p ≥.有引理知道对取定的一个简系中的每个i r 必有唯一的一个j r 使得1(mod ).i j r r p ≡又21(mod )1(mod )(1)(1)0(mod )| 1.i j i i i i rr p r p r r p p r ≡⇔≡⇔-+≡⇔±若|1i p r +且|1i p r -,则|2p 与3p ≥矛盾.所以|1i p r +,|1i p r -不能同时成立. 也即1(mod ),1(mod )i i r p r p ≡-≡不能同时成立.同时也说明除1(mod )i r p ≡±之外,必有i j r r ≠使得1(mod )i j rr p ≡成立. 不妨设111,1(mod )p r r p -≡≡-. 这样在, 模p 的一个简系121,,,p r r r -中除111,1(mod )p r r p -≡≡-外恰好两两一对且满足1(mod ).i j r r p ≡于是221(mod ).p r r p -≡所以1211(mod ).p r r r p -≡-特别地1,2,,1p -恰好是模p 的一个简系,所以(1)!1(mod ).p p -≡-5.(Lucas 定理)设p 是一个素数,将m 和n 写成p 进制数：11101110k k k k k k k k m a p a p a p a n b p b pb p b ----=++++=++++其中0,(0,1,2,,)i i a b p i k ≤<=.证明：0(mod ).i ikb nma i C Cp =≡∏证明：引理1 设p 是一个素数,当11,j p ≤≤-时,则0(mod ).jp C p ≡其中1,2,i =.引理1的证明：因为11.j j p p p C C j--=因为p 是一个素数,所以(,) 1.p j =所以|.j p p C 即0(mod ).j p C p ≡ 引理2 设p 是一个素数,则(1)1(mod ).ppx x p +≡+引理2的证明：因为12211(1)1p p p p p p p x C x C x C x x --+=+++++,由引理1得证.回到原题的证明,因为(1)1(mod ).p px x p +≡+所以22(1)((1))(1)1()1(mod ).p p p p p p p p x x x x x p +=+≡+≡+=+32223(1)((1))(1)1()1(mod ).p p p p p p p p x x x x x p +=+≡+≡+≡+(1)1(mod ).k kp p x x p +≡+1110(1)(1)k k k k a p a p a p a mx x --+++++=+1101[(1)][(1)][(1)][(1)]k k k k a a p a p ap x x x x --=+++++1101[1][1][1][1](mod )kkk k a a p a p ap x x x x p --≡++++.即1101(1)(1)(1)(1)(1)(mod )kkk k a a m p a p ap x x x x x p --+≡++++上式右边的通项为11110010101010()().kk k k k k k k k k k k k k k k iiii i i i i i i pi p i p p a a a a a a C x C x C x C C C x --------+++=注意到若11110110kk k k k k k k n b p b pb p b i p i p i p i ----=++++=++++,由p 进制的表示唯一性知111100,,,,.k k k k i b i b i b i b --====比较nx 的系数得0(mod ).i ikb nma i C Cp =≡∏6.已知正整数2n ≥,12,,,n a a a 为整数,且其中任何一个均不为12017n -的倍数.证明：存在不全为零的整数12,,,n εεε,使得1122n n a a a εεε+++为2017n 的倍数,其中||2017,1,2,,.i i n ε<=证明：设集合12{|(,,,),02017}n i A αααααα==≤<.对于,A α∈令()f α=1122n n a a a ααα+++.(1)若存在不同的,A αα'∈,满足()()(mod 2017)nf f αα'≡,则令.i i i εαα'=- 则12,,,n εεε不全为零且||2017,1,2,,.i i n ε<=同时有1122111222()()()()()0(mod 2017).n n n n nn a a a a a a f f εεεαααααααα''''+++=-+-++-=-≡ ()f αnnαn0,1,2,,2017 1.n - 考虑多项式().f Ax αα∈∑一方面()f α模2017n的余数分别为0,1,2,,2017 1.n -即所有的()f α的一般形式为12017,0,1,2,,2017 1.nn k k q k ++=-故可以考虑复数22017ni x e π=.1222017()20172017()nnnk k ii k q f xe e ππα++==.220171()201700.n nk i f Ak x e παα-∈===∑∑另一方面1122()11n ni ii i nna a a a a f AA A Ai i x xxx αααααααααα+++∈∈∈∈=====∑∑∑∑∏∏2017022016111()1iiiiiia nna a a a a i i x xx xxx ==-=++++=-∏∏. 因为i a 不为12017n -的倍数,所以,i a 2017i a 都不是2017n的倍数.所以当22017ni x e π=时,2017101iia a x x -≠-. 于是()0f Ax αα∈≠∑.这样就产生了矛盾.所以所有的()f α均模2017n不同余是不可能发生的. 所以命题得证.7.已知素数*61(,1),p k k N k =+∈>证明：121127m m--为整数,其中21pm =-.证明：由Fermat 小定理知22(mod )211(mod )p p p p ≡⇒-≡,则| 1.p m -所以121|21p m ---.又6|1,p -所以6121|21p ---.即163|21p --,于是17|21p --,从而7|22p -.即7| 1.m -于是7121|21m ---.下面只需要证明7(21,21)1p--=即可. 引理：设,m n 是正整数,则(,)(21,21)21.mnm n --=-回到原题, 注意到7p >且均为素数,所以7(7,)1(21,21)2121 1.pp --=-=-=于是71(21)(21)|21pm ----.即121127m m--为整数.8.设素数3p >,证明2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-证明：引理 对于任给素数p ,多项式1()(1)(2)(1)1p f x x x x p x -=---+-+的所有系数都能被p 整除.引理的证明：设()(1)(2)(1),g x x x x p =---+则1,2,,1p -是()0g x =的1p -个解.从而1,2,,1p -当然也是()0(mod )g x p ≡的1p -个解.由Fermat 小定理知1,2,,1p -是1()1p h x x -=-的1p -个解.所以1,2,,1p -是()()()0(mod )f x g x h x p =-≡的1p -个解.又231221().p p p p f x s xs x s x s ----=++++是2p -次的多项式.则|(1,2,,1).i p s i p =-回到原题,由韦达定理知道222(1)!(1)!(1)!(1).121p p p p p p s s p ------+++=-=-- 令,x p =则一方面11()(1)(2)(1)1(1)! 1.p p f p p p p p p p p --=---+-+=--+另一方面231221().p p p p f p s p s p s p s ----=++++注意到1(1)!1p s p -=-+.所以23211232.p p p p p s ps p s p s p p -----+++=-32322122p p p p p s s s s p p p p p pp------=+++,因为3,p >由引理知|(1,2,,1).i p s i p =-所以220(mod )p s p --≡.即2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-高一竞赛数论专题 3.整除与同余1.设12,b b 和a 都是正整数,当12(,)(,)1a b a b ==时,证明12(,)1a b b =.2.设0.n m ≥>证明：(,)mn m n C n是一个正整数.3.设3n ≥,证明2|().n ϕ其中()n ϕ为欧拉函数.4.设p 为素数,且221,|(21).mn p k p =⋅++其中*,,, 2.m n k N n m ∈≥+ 证明：121(mod )n k p -≡.5.如果21n +是素数,证明：21n -至少有2[log ]n 个不同的素因数.6.设p 是奇素数,证明：121221(mod ).p p p k kC p --=≡-∑7.设p 是素数,证明：12(1)|(1)!(1).p p p +++----m m 的所有m的值.8.已知m是大于1的正整数,求满足|(1)!9.设p 是大于3的素数,证明：(1)1pp -+至少含有一个不同于p 的素因数.10.设p 是大于3的素数,且1111,23ap b++++=其中(,) 1.a b =证明：4|.p ap b -高一竞赛数论专题 3.整除与同余解答1.设12,b b 和a 都是正整数,当12(,)(,)1a b a b ==时,证明12(,)1a b b =.21(,)a b d =,则112|,|d a d b ,于是1112|,|d a d b b ,这表明1d 是12,a b b 的公因数,所以12.d d ≤ 122(,).a b b d =则2212|,|d a d b b ,所以2.a d q =又1(,)1a b =,所以1211.ax b y d qx b y =+=+所以21(,) 1.d b =所以22|d b ,于是2d 是2,a b 的公因数,所以21.d d ≤ 所以12.d d =因为1 1.d =所以2 1.d =即证得了12(,)1a b b =.2.设0.n m ≥>证明：(,)mn m n C n是一个正整数.证明：由Bezout 定理知存在整数,x y 使得(,).m n mx ny =+ 所以(,)!(1)!!()!(1)!()!m m m m m mn n n n n n m n mx ny m m n n C C C x C y x C y x C y n n n n m n m m n m +-==+=+=+--- 11m mn n C x C y --+是整数.注意到(,)0.m n m n C n >所以(,)mn m n C n是一个正整数.3.设3n ≥,证明2|().n ϕ其中()n ϕ为欧拉函数.证明：设12,,,r d d d 是小于2n且与n 互素的全部正整数, 因为(,)1(,) 1.n d n n d =⇔-= 所以12,,,r n d n d n d ---是大于2n 且小于n 并且与n 互素的全部正整数.显然2n与n 不互素. 于是1212,,,,,,,r r d d d n d n d n d ---是小于n 且与n 互素的全部正整数.并注意到3n ≥.故2|().n ϕ4.设p 为素数,且221,|(21).mnp k p =⋅++其中*,,, 2.m n k N n m ∈≥+证明：121(mod )n k p -≡.证明：因为21np k =⋅+,所以21(mod )nk p ⋅≡-,于是1122(2)(1)(mod )n n n k p --⋅≡-.即112221(mod )n n n k p --⋅⋅≡.另一方面,因为2|(21)mp +,所以221(mod ).mp ≡-于是222(2)(1)(mod ).mp ≡-即1221(mod ).m p +≡因为2n m ≥+,所以11n m -≥+.于是112|2.m n +-从而112|2.m n n +-⋅可设11*22,.n m n q q N -+⋅=∈11122222(2)11(mod ).n m m n qq q p -++⋅==≡=所以111222221(mod )n n n n n k p ---⋅⋅⋅≡≡.且12(2,) 1.n n p -⋅=于是121(mod ).n k p -≡5.如果21n +是素数,证明：21n -至少有2[log ]n 个不同的素因数.证明：设2,kn j =⋅k 为非负整数,j 为正奇数. 若1j >,则222212222121(2)1(21)[(2)(2)21]kk k k kkn jj j j j ⋅--+=+=+=+-+-+,2212 1.kn +<+221k+是21n +的真因数,与素数矛盾.所以 1.j =于是2.k n =设221kk a =+. 其中020213a =+=1111222222222112121(2)1(21)(21)(21)[(2)1]k k k k k k n k k a a --------=-=-=+-=-=-222122221121211210(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ----------=+-=-==-=.注意到若i j <,则(,) 1.i j a a =这是因为21210221jj j j a a a a a ---=-=.所以1210(,)(,2)(,2) 1.i j i j j i a a a a a a a a --=+==所以011,,,k a a a -这k 个数两两互素.于是011,,,k a a a -这k 个数各至少有一个不同的素因数.注意到2k n =,则22log [log ].k n n ==所以21n-至少有2[log ]n 个不同的素因数.6.设p 是奇素数,证明：121221(mod ).p p p k kC p --=≡-∑证明：因为1p -是偶数,所以111111222221212121212121111111()[()]p p p p p p p p p p p p p p k k k k k k kk kk p k k p k -------------+=======+=+-=+-∑∑∑∑∑∑因为2102112223223222221212121212121().p p p p p p p p p p p p p p p k C p C p k C p k C pk C k---------------=-+-+- 所以212102112223223222221212121()p p p p p p p p p p p p k p k C p C pk C p k C pk------------+-=-+-+ 所以212122222()(21)(mod )p p p p kp k p pk pk p ----+-≡-≡-因为11,2p k -≤≤p 是奇素数,所以(,)1k p =.由Fermat 小定理知11(mod ).p k p -≡ 于是22122()11(mod ).p p k k p --=≡≡所以222(mod ).p pk p p --≡- 从而21212()(mod )p p kp k p p --+-≡-11212221212122111[()]()(mod ).2p p p p p p p k k k p p kkp k p C p ------===-≡+-≡-≡-≡-∑∑∑所以121221(mod ).p p p k kC p --=≡-∑7.设p 是素数,证明：12(1)|(1)!(1).p p p +++----证明：方法1 (1)12(1)|(1)!(1)|(1)[(2)!1]2p p p p p p p -+++----⇔--- |2[(2)!1]|(2)!1.p p p p ⇔--⇔--因为Wilson 定理得(1)!1(mod ).p p -≡-所以(1)(2)!1(mod ).p p p --≡-即(2)!1(mod ).p p --≡- 于是(2)!1(mod ).p p -≡这就证明了|(2)!1.p p --所以12(1)|(1)!(1).p p p +++----方法2 由Wilson 定理得(1)!1(mod ).p p -≡-即|(1)! 1.p p -+所以存在整数q 使得(1)! 1.p pq -=- 于是(1)!(1)1(1)(1).p p pq p p q ---=---=-又(1)!(1)(1)[(2)!1].p p p p ---=---令(2)!1.m p =--则(1)!(1)(1).p p p m ---=- 从而(1)(1)p q p m -=-.于是|(1).p p m -又(,1) 1.p p -=所以|.p m 于是存在整数r 使得.m pr = 于是(1)(1).p q p pr -=-所以1(1).q p r -=-即(1) 1.q p r =-+ 故(1)![(1)1]1(1)(1).p p p r p p r p -=-+-=-+-因为(1)12(1)2p p p -+++-=,显然(1)2p p -是整数. 所以(1)|(1)!(1).2p p p p ---- 即证明了12(1)|(1)!(1).p p p +++----8.已知m 是大于1的正整数,求满足|(1)!m m -的所有m 的值.解：由Wilson 定理知若m 是素数,则(1)!1(mod ).m m -≡-也就是说(1)!m m -. 若m 为合数,则.m ab =其中1,.a b m <<于是,a b 必是1,2,,1m -中的某个数.若a b ≠,则|(1)!m m - 若a b =,则2.m a = 当2a >时,22a a >因为21,2,,1a -一定含有,2a a ,所以22|(1)!a a -当2a =时, 4.m =因为4(41)!- 综上满足题意的m 为除4外的全体合数.注解：本题可以说明若(1)!1(mod ).p p -≡-则p 是素数.这就证明了Wilson 定理是双向等价的. 即p 是素数(1)!1(mod ).p p ⇔-≡-9.设p 是大于3的素数,证明：(1)1pp -+至少含有一个不同于p 的素因数.证明：方法1 假设(1)1pp -+没有不同于p 的素因数.即*(1)1().pp p N αα-+=∈00111222222110(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1p pp p p p p p p pppppppp C p C pC pCp Cp C p -------+=-+-+-++-+-+-+2222122222p p p p p p p p p p C p C p C p C p C p p -----=+-+=+-+注意到p 是大于3的素数,所以2|(1)1pp p -+.且2(1)1.p p p -+>于是 3.α≥22222222223(1)(1)1(mod ).2p p p p p p p p p p C p C p p C p p p p p -----+=+-+=+-+≡ 322(1)1(1).p p p q p p pq -+=+=+又*(1)1().pp p N αα-+=∈所以2(1)(3).p pq p αα+=≥于是21.pq p α-+=注意到211(mod ),0(mod ).pq p pp α-+≡≡所以21.pq p α-+≠故矛盾.于是(1)1pp -+至少含有一个不同于p 的素因数.方法2 先证明1(1)1(3)p p p pp p p -<-+<>121(1)[(1)][(1)(1)]p p p p p p p p p p p p p -----=--+-++-121(1)(1)p p p p p p p ---=+-++- 因为p 是大于3,所以1211(1)(1) 1.p p p p pp p p p ----+-++->>即(1) 1.ppp p -->也就是(1) 1.ppp p >-+12(1)1(11)[(1)(1)(1)1]p p p p p p p p ---+=-+---+--+12123[(1)(1)(1)1]{(1)[(1)(1)][(1)1]}p p p p p p p p p p p p p p -----=---+--+=-+--+-++--+令ln ()(xf x x x=>221ln 212ln ()0.(x x x x x f x x x x⋅-⋅-'==<>所以ln ()(x f x x x =>是减函数. p 是大于3, 12p ->>所以(1)().f p f p -< 即ln(1)ln .1p pp p->-也就是ln(1)(1)ln .p p p p ->-于是1(1).pp p p-->所以1(1)1p p p p -<-+.这就证明了1(1)1(3)p p p p p p p -<-+<>注意到p 是素数,于是(1)1pp -+至少含有一个不同于p 的素因数. 方法3：12(1)1(11)[(1)(1)(1)1]pp p p p p p p ---+=-+---+--+12[(1)(1)(1)1]p p p p p p --=---+--+12122(1)(1)(1)1[(1)(1)][(1)(1)]1p p p p p p p p p p p -------+--+=---++---+224(1)(2)(1)(2)11(2)[(1)(1)(1)]p p p p p p p p p p p ---=--++--+=+--+-++-因为p 是大于3的素数,所以24(1)(1)(1) 1.p p p p p p ---+-++->-于是12(1)(1)(1)11(2)(1)11.p p p p p p p p p -----+--+>+-->+-=因为112(1)(1)(1)(1)(1)(mod )k k k k k k p C p kp p ---≡-+-≡--,所以12(1)(1)(1)1[1(1)][1(2)][1]1p p p p p p p p p p -----+--+≡--+--+-+22(1)(mod )2p p p p p -≡+≡所以存在整数q 使得122(1)(1)(1)1(1).p p p p p p q p p pq -----+--+=+=+因为12(1)(1)(1)1p p p p p p -----+--+>,所以1 1.pq +>所以 1.q ≥即存在正整数q 使得2(1)1(1).pp p pq -+=+因为(,1)1,p pq +=且11pq p +≥+,所以(1)1pp -+含有一个与p 互素的因数 1.pq +1pq +的素因数显然不同于.p所以(1)1pp -+至少含有一个不同于p 的素因数.10.设p 是大于3的素数,且1111,23ap b++++=其中(,) 1.a b =证明：4|.p ap b -证明：引理 设素数3p >,则2(1)!(1)!(1)!0(mod ).121p p p p p ---+++≡-(2.同余第8题) 由引理知道211|(1)!(1)21p p p -+++-. 于是2*11(1)!(1),.21p p q q N p -+++=∈- 从而2111,21(1)!p q p p +++=--从而2111.21(1)!qp p p +++=⋅--. 于是321111(1)!1.21(1)!!q p q p a p p p p p p b+-++++=⋅+==-- 我们可以得到3()(1)!.ap b p p qb --=同时3(1)!,!,p q p ax p bx +-==其中*.x N ∈ 因为3|,(1)!,p p q p p -所以3(1)!pp q p +-.但|!p p .也就是,|.p ax p bx因为p 是素数,所以|p b 或|.p x 若|,p x 则|p ax (矛盾),故|,.p b p x因为,,px p ax 所以p a .若不然,|,p a 从而|p ax (矛盾).故.p a所以,|.p a p b 可是*,.b pt t N =∈3444高一竞赛数论专题 5.素因数分解算术基本定理：设整数1a >,那么12.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12.s a p p p =中相同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.nn n n a p p p p p p αααααα=<<<≥正因数个数定理：设|()1d nn τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则1()(1).sii n τα==+∏正因数和定理：设|()d nn d σ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1212s s n p p p ααα=,其中j p 是素数,则111().1i si i i p n p ασ+=-=-∏1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.4.设n为正整数.证明：若n的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.n ,不超过n的素数共有k个.设A为集合{2,3,,}n的子集,A的元素个数小于,k且A中任意5.设整数3一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n的k元子集,B使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数,且B包含.A高一竞赛数论专题 5.素因数分解解答算术基本定理：设整数1a >,那么12.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12.s a p p p =中相同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.nn n n a p p p p p p αααααα=<<<≥正因数个数定理：设|()1d nn τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212ss n p p p ααα=,其中j p 是素数,则1()(1).sii n τα==+∏正因数和定理：设|()d nn d σ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则111().1i si i ip n p ασ+=-=-∏1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =证明：设素因数分解式1212121212, ,,0.n nn n n i i a p p p b p p p p p p αβααββαβ==<<<≥则11221122min{,}max{,}min{,}min{,}max{,}max{,}1212(,),[,].n n n n n n a b p p p a b p p p αβαβαβαβαβαβ==11112222min{,}max{,}min{,}max{,}min{,}max{,}12(,)[,]n n n n n a b a b p p p αβαβαβαβαβαβ+++=11221212121212.n n n nn n n p p p p p p p p p ab αβαβαβαβααββ+++==⋅=2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑证明：一方面若素数|!,p n 则|,1.p k k n <≤另一方面,任一素数p n ≤,必有|!.p n 所以12121212!, 2 ,,,,0.s s n s n p p p p p p n αααααα=≤<<<≤>下面去确定.j α设(,)p n α为整数!n 的素因数p 的次方. 因为必有整数k 满足1,kk p n p+≤<所以11.k j j j j n n p p ∞==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑设j c 表示1,2,,n 中能被j p 整除的数的个数,则.j j n c p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦j d 表示1,2,,n 中恰能被j p 整除的数的个数.则11.j j j j j n n d c c p p ++⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然当j k >时,0.j d =及12(,)12.k p n d d k d α=⋅+⋅++⋅于是1212231(,)121()2()()k k k p n d d k d c c c c k c c α+=⋅+⋅++⋅=⋅-+⋅-++⋅-12112111.kkk k k k j j j j j n n c c c c c c c c p p ∞+===⎡⎤⎡⎤++++=+++===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑所以(,)!.p n p nn p α≤=∏3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.解：这就是要求正整数k 使得10||2017!.k因为1025=⨯,实际上是求2的最大方次与5的最大方次的最小值. 显然2的最大方次大于5的最大方次. 所以就是求5的最大方次(5,2017).α 注意到520175.<。

4 中国剩余定理1．中国剩余定理也称孙子定理。

是中国先圣们对一次同余论的重大贡献。

.2．问题叙述在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。

我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》卷下记载：物不知数今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？即，求一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。

这个被称做孙子问题。

3．孙子算经之解法《孙子算经》所给答案是N＝23。

由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。

但是《孙子算经》并不是这样做的。

“物不知数”题的术文指出的解法为：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。

将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。

列成算式就是：N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。

有一首口诀就描述了孙子问题的解法：孙子歌三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。

孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。

后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。

《孙子算经》没有说明这三个数的来历。

4．现代数论求解孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题，显然，这相当于求不定方程组N=3x+2N=5y+3N=7z+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②孙子问题求解过程如下：最小公倍数在每一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；在每二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；在每三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；则有，30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数。

但不一定是最小的。

再求128除以105(即3，5，7的最小公倍数)的余数即得23。

高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,,k a a a ,一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1kj j m m ==∏的意义下解101(mod )kj j j j x x M M a m -=≡=∑唯一.其中1,j j jm M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩.3.设*,n N ∈证明：存在*,m N ∈使得同余方程21(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.(请对比拉格朗日定理).4.证明：对任意给定的正整数n,均有连续n个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.5.证明：对任意正整数n,存在n个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数.7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.lm n =高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,,k a a a ,一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1kj j m m ==∏的意义下解101(mod )kj j j j x x M M a m -=≡=∑唯一.其中1,j j jm M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm +=1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s -=于是11(mod ).j j j M M m -≡另一方面,,j jmM m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是111(mod )(1,2,,).kjj j i i ii i j MM a M M a a m i k --=≡≡=∑即11(mod )kj j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解.若00,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00(mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00|m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证.2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩.解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解.123789504,72,63,56.M M M M =⨯⨯==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡2631(mod8),M =≡-取121(mod8).M -≡- 3562(mod 9),M =≡取135(mod 9).M -≡所以x ≡724163(1)156********(mod504).⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡≡3.设*,n N ∈证明：存在*,m N ∈使得同余方程21(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.(请对比拉格朗日定理).证明：对于任意的素数p ,同余方程21(mod )x p ≡可化为(1)(1)0(mod )x x p -+≡.所以恰好有两个不同的解1,1(mod )x p p ≡-. 现在任取s 个不同的奇素数12,,,.s p p p ,这里的s 满足2.s n ≥令12s m p p p =.考虑2s个不同的数组12(,,,)s a a a ,其中{1,1}j j a p ∈-.由中国剩余定理方程组1122(mod )(mod )(mod )s s x a p x a p x a p ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有唯一解12(,,,)s x a a a (在模m 的意义下).此解满足212221(mod )1(mod )1(mod )s x p x p x p ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩,也就是满足21(mod ).x m ≡若两个不同的数组1212(,,,),(,,,)s sa a a a a a ''',则必存在j 使得.j j a a '≠不妨设1, 1.j j j a a p '==- 于是1(mod )j j x a p ≡=与1(mod )j j j x a p p '≡=-不同解. 于是1212(,,,)(,,,)(mod )s sj x a a a x a a a p '''≡/. 从而1212(,,,)(,,,)(mod )s sx a a a x a a a m '''≡/. 这就证明了21(mod )x m ≡至少有2s个解.2.s n ≥所以存在存在*,m N ∈使得同余方程21(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根.4.证明：对任意给定的正整数n ,均有连续n 个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.证明：由于素数有无穷多个,我们可取出n 个互不相同的素数12,,,n p p p ,考虑同余方程组212221(mod )2(mod )(mod )n x p x p x n p ⎧≡-⎪=-⎪⎨⎪⎪=-⎩.因为22212,,,n p p p 显然两两互素,故由中国剩余定理知上述同余方程组有正整数解0.x x =于是连续n 个数0001,2,,x x x n +++分别被平方数22212,,,n p p p 整除.命题得证.5.证明：对任意正整数n ,存在n 个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.证明：若能找到n 个连续正整数,它们中的每一个数都有两个不同的素因子,则命题得证. 为此取2n 个不同的素数1212,,,,,,,.n n p p p q q q考虑同余方程组11221(mod )2(mod )(mod )n n x p q x p q x n p q ≡-⎧⎪=-⎪⎨⎪⎪=-⎩因为1122,,,n n p q p q p q 显然两两互素,故由中国剩余定理知上述同余方程组有正整数解0.x x =于是连续n 个数0001,2,,x x x n +++中每一个数都有两个不同的素因子.命题得证.6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数.证明：设m 是任意正整数,由于素数有无穷多个,设k p 表示第k 个素数,12.s p p p p =对任意的正整数k m ≤,显然(,)1k kp p p =,由中国剩余定理知同余方程组0(mod )1(mod )kk kk p a p a p ⎧≡⎪⎨⎪≡-⎩有正整数解 k x a =.于是存在正整数k a 满足|,k kpa p |1k k p a +.注意到|1k k p a +,|,k k p a p 其中由|k kpa p 可知当k n ≠时,|.k n p a 于是*11221111,,,,,1.().k k k k k k k k m k m k k k i a p t a p t a p t a p t a p t a p t t N --++=====+=∈1111121212111212(1)(1)[12(1)(1)]m k k k m k k m k a a a a a a a a a a a a a a a qk m k k k k m k k m k -+-+++==-+=-+12111112[12(1)(1)](12(1)(1)).k k k k k k k m k k k k m k k p t p t p t p t p t p t t t t t p t t k k m k k k m k -+-+=-+=-+所以qk 是正整数的幂,幂指数是大于1的整数. 命题得证.7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.lm n =证明：设11,11,ijm p n q ==其中,i j 为非负整数,且11,11.p q 寣 为证明结论,只需要证明p q =即可. 若p q >, 考虑同余方程组0(mod )1(mod11)x p x ≡⎧⎨≡-⎩因为(,11)1,p =故由中国剩余定理知上述同余方程组有正整数解0.x x =于是*00|,111(),p x x k k N =-∈于是0(,111)(11,).i m k p x p -==0(,111)(11,).jn k q x q p -=≤<与(,111)(,111)m k n k -=-矛盾.若p q <, 考虑同余方程组0(mod )1(mod11)x q x ≡⎧⎨≡-⎩因为(,11)1,q =故由中国剩余定理知上述同余方程组有正整数解0.x x =于是*00|,111(),q x x k k N =-∈于是0(,111)(11,).j n k q x q -==0(,111)(11,).im k p x p q -=≤<与(,111)(,111)m k n k -=-矛盾.所以p q =.于是11.i jm n -=命题得证.。

成都七中高一竞赛数论专题1.整除设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b Œ. 整除关系的基本性质 (1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c (2)若|a bc 则|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21mn-+.求m 的所有可能取值.6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410kk f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除.10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)nk kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk ka =+∏为整数?.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)2 1.mnm n --=-12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.高一竞赛数论专题1.整除解答设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b Œ. 整除关系的基本性质 (1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤所以12.d d =命题得证.2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c (2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的. 不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b . 所以(,)|.a b ax by +即(,)|1.a b 所以(,)1a b =.另一方面设11111,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数,若10,r =则辗转相除到此为止；否则继续.1222122,0,,a r q r r r q r =+≤<为整数,若20,r =则辗转相除到此为止；否则继续. 12333233,0,,r r q r r r q r =+≤<为整数,若30,r =则辗转相除到此为止；否则继续.由于123r r r >>>且123,,,r r r 均为自然数,所以经过有限步辗转相除可得0.k r =即3211.k k k k r r q r ----=+21(0).k k k k k r r q r r --=+=引理：设,a b 是两个整数且0,a ≠,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数.则(,)(,).a b a r = 证明：因为(,)(,).a b a b aq =-又.r b aq =-所以(,)(,).a b a r = 回到原题：利用引理我们可得112211(,)(,)(,)(,)(,).k k k k a b a r r r r r r r ---=====注意到0.k r =所以11(,)(,0).k k a b r r --==由辗转相除的过程知道1321.k k k k r r r q ----=-2432.k k k k r r r q ----=-3123.r r r q =- 212.r a r q =- 11r b aq =-所以11,r b aq =-212122()(1),r a b aq q q q a q b =--=+-311223123123[(1)][(1)](1),r b aq q q a q b q q q q q a q q b =--+-=+-++所以1k r -是,a b 的线性组合即存在整数,x y 使得1.k r ax by -=+即(,).a b ax by =+ 所以若(,)1,a b =则存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.证明：65254222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n +--=+-+=+-=+-++22(2)(1)(1)(45)(2)(1)(1)(2)5(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n =+-+-+=--+++-++.5!|(2)(1)(1)(2),n n n n n --++4!|(1)(1)(2),5!|5(1)(1)(2),n n n n n n n n -++-++所以65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21mn-+.求m 的所有可能取值.解: 因为21|21mn-+,所以2121n m +≥-所以n m ≥(若不然,则 1.n m ≤-于是1212121m n m-+≥+≥-,即2m ≤矛盾).因为n m ≥,所以存在正整数,q r 使得,0.n mq r r m =+≤<1212122212(21)212(21)[(2)21]21n mq r mq r r r r mq r r m m q m r ++-+=+=-++=-++=-+++++.因为21|21mn-+,所以21|21mr-+.从而212 1.r m+≥- 注意到0.r m ≤<所以 1.r m ≤-于是121212 1.m r m -+≥+≥-即2m ≤矛盾.所以不存在这样的.m6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.证明：()⇒正整数M 是完全平方数,则2.M d =222222()()()()M i M d i d d d i d d i +-=+-=++-+.2d d i -+对于1,2,,i n =是连续n 个正整数,所以一定存在某个i 使得2|.n d d i -+于是2|().n M i M +-所以对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.()⇐假设正整数M 不是完全平方数,则M 中一定有一个素因数p ,它的指数是奇数即存在正整数k 使得212|,.k k p M p M -Œ因为对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.故取2kn p =,对于21,2,,k i p =一定存在某个i 使得22|().k p M i M +-注意到2k p M Œ.所以22()kp M i +Œ( 若不然, 22|(),k p M i +又22|().k p M i M +-于是2k p M Œ矛盾). 由于22|(),kpM i M +-于是212|().k p M i M -+-注意到21|k p M -.所以212|().k p M i -+我们得到212|()k pM i -+且22()k p M i +Œ.这与2()M i +是完全平方数矛盾.所以假设错误.所以正整数M 是完全平方数.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.证明：设4411,.11x a y cy b x d--==++其中(,)1,(,)1,0,0.a b c d b d ==>> 则a c ad bcb d bd++=是整数.即|.bd ad bc + 从而|,|.b ad bc d ad bc ++于是|,|.b ad d bc 注意到(,)1,(,) 1.a b c d == 所以|,|.b d d b 又0,0b d >>,所以.b d =因为44222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).1111a c x y x x x y y y x x y yb d y x y x ---++-++⋅=⋅=⋅=-+-+++++ 所以a cb d⋅是整数,结合.b d = 所以2|.b ac 于是|b ac ,又(,)1a b =,则|,b c 又(,) 1.b c =且0.b >所以 1.b =也就是411y c x -=+.即41| 1.x y +-又44444444441049421(1)1(1)[()()1](1)(1)(1)x yx y x x y y y y x x x -=-+-=-++++++-+.所以4441| 1.x x y +-8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410kk f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.证明: 我们知道数(,)f n k 能分解成n 个连续的自然数之积,则一定能被!n 整除.所以只需要证明数(,)f n k 不能被一个很小的自然数n 整除即可.33333(,)2410(339)13(3)()1k k k k k k k k k k f n k n n n n n n n n n n =++=++-++=++--+ 33(3)(1)(1)1k k k k k n n n n n =++--++. 33|3(3),3|(1)(1),3 1.k k k k k n n n n n ++-+Œ所以3(,).f n k Œ也就是数(,)f n k 不能分解成3个或3个以上的连续的自然数之积. 下面再证明数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.由上可知(,)31f n k q =+.因此只需要证明31(1)q x x +=+无自然数解. 当3x m =时,(1)3(31)3[(31)]x x m m m m +=+=+,故无解.当31x m =+时,2(1)(31)(32)3(33)2x x m m m m +=++=++,故无解. 当32x m =+时,(1)(32)(33)3(1)(32)x x m m m m +=++=++故无解. 所以数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积. 于是我们证明了对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除.证明：,1,2,,1n n n n p ---+这连续p 个数有且仅有一个被p 整除,设这个数为.N 则,.N pq q Z =∈则.n Nq p p ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦且,1,,1,1,1n n N N n p -+--+除以p 的余数不计次序为1,2,,1p -.于是(1)(1)(1)(1)(1)!.n n N N n p p pA -+--+=-+(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!(1)!p n n n n N N N n p n n N N n p C q q p p p ⎡⎤⎡⎤-+--+-+--+-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)!1(1)!(1)!p pA pqAq p p ⎡⎤-+=-=⎢⎥--⎣⎦. 因为p 与1,2,,1p -互素,所以(,(1)!) 1.p p -=于是(1)!|..(1)!p n n qAp qAC p p p ⎡⎤--=⋅⎢⎥-⎣⎦所以|.p n n p C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)nk kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk ka =+∏为整数?. 解(1)111(1)1(1).nk nk n k k kk p p p ===++=∏∏∏ 当3n ≥时,1,1 1.n k p p k n >+≤≤-故11((1),) 1.n knk p p -=+=∏所以|1.nn pp +又|.n n p p 所以|1.n p于是1n p =矛盾.所以2n ≤.当1n =时,111N p +∉. 当2n =时,1212121212(1)(1)111(1)(1)1.p p p p N p p p p p p ++++++==+∈ 1212|1p p p p ++,21221|1,|1.p p p p p +++又211p p ≥+.所以211.p p =+于是1111|11,|2.p p p p +++ 所以122, 3.p p ==综上,所求的数列只有一个122, 3.p p == (2)不存在. 当121n a a a <<<<时,设.n a m ≤2222222212222111(!)21(1)(1) 2.(1)!1(1)(1)1(1)!2nm m m m k k k k k k k k k m mm a k k k k k m m =====+<+≤+=<===<+--++-∏∏∏∏∏所以211(1)nk k N a =+∉∏.所以不存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk ka =+∏为整数.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.mnm n --=-解：不妨设.m n ≥有带余除法得1111(1,0)m q n r q r n =+≥≤<. 我们有111111111212122212(21)2 1.q n r q n r r r r q n r m++-=-=-+-=-+-因为121|21q nn--,所以1(21,21)(21,21).r m n n --=--注意到1(,)(,).m n n r =若10,r =则1(,)(,).m n n r n ==于是1(21,21)(21,21)(0,21)2 1.rmnnnn--=--=-=-结论成立. 若10,r >则作辗转相除.,212221(1,0)n q r r q r r =+≥≤<. 我们有212221221212(21)2 1.q r r r q r r n+-=-=-+-因为12121|21rq r --,所以112(21,21)(21,21)(21,21)r r r m n n --=--=--.若20,r >则继续处理,直到10k r +=为止.由辗转相除法知(,).k m n r =1112(,)(21,21)(21,21)(21,21)(21,21)(21,0)212 1.k k k k r r r r r r r m n n m n +--=--=--==--=-=-=-至此,我们证得了结论.12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.证明：我们任取n 个互不相同的正整数12,,,,n a a a 并选取一个正整数参数,K 希望12,,,n Ka Ka Ka 的积12n n K a a a 被任意两项的和i j Ka Ka +()i j ≠整除,取1().i j i j nK a a ≤<≤=+∏12,,,n Ka Ka Ka 互不相同, 1()().i j i j i j i j nKa Ka a a a a ≤<≤+=++∏12121(()).n n n i j n i j nK a a a a a a a a ≤<≤=+∏显然有12|.ni j n Ka Ka K a a a +。

高一竞赛数论专题1.整除设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b Œ. 整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除.10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k ka =+∏为整数?.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=-12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.高一竞赛数论专题1.整除解答设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b Œ. 整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤所以12.d d =命题得证.2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c(2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的.不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b .所以(,)|.a b ax by +即(,)|1.a b 所以(,)1a b =.另一方面设11111,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数,若10,r =则辗转相除到此为止；否则继续.1222122,0,,a r q r r r q r =+≤<为整数,若20,r =则辗转相除到此为止；否则继续.12333233,0,,r r q r r r q r =+≤<为整数,若30,r =则辗转相除到此为止；否则继续.由于123r r r >>>且123,,,r r r 均为自然数,所以经过有限步辗转相除可得0.k r =即3211.k k k k r r q r ----=+21(0).k k k k k r r q r r --=+=引理：设,a b 是两个整数且0,a ≠,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数.则(,)(,).a b a r =证明：因为(,)(,).a b a b aq =-又.r b aq =-所以(,)(,).a b a r =回到原题：利用引理我们可得112211(,)(,)(,)(,)(,).k k k k a b a r r r r r r r ---=====注意到0.k r =所以11(,)(,0).k k a b r r --==由辗转相除的过程知道1321.k k k k r r r q ----=- 2432.k k k k r r r q ----=-3123.r r r q =-212.r a r q =-11r b aq =-所以11,r b aq =-212122()(1),r a b aq q q q a q b =--=+-311223123123[(1)][(1)](1),r b aq q q a q b q q q q q a q q b =--+-=+-++所以1k r -是,a b 的线性组合即存在整数,x y 使得1.k r ax by -=+即(,).a b ax by =+所以若(,)1,a b =则存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.证明：65254222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n +--=+-+=+-=+-++ 22(2)(1)(1)(45)(2)(1)(1)(2)5(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n =+-+-+=--+++-++.5!|(2)(1)(1)(2),n n n n n --++4!|(1)(1)(2),5!|5(1)(1)(2),n n n n n n n n -++-++所以65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.解: 因为21|21m n -+,所以2121n m +≥-所以n m ≥(若不然,则 1.n m ≤-于是1212121m n m -+≥+≥-,即2m ≤矛盾).因为n m ≥,所以存在正整数,q r 使得,0.n mq r r m =+≤<1212122212(21)212(21)[(2)21]21n mq r mq r r r r mq r r m m q m r ++-+=+=-++=-++=-+++++. 因为21|21m n -+,所以21|21m r -+.从而212 1.r m+≥- 注意到0.r m ≤<所以 1.r m ≤-于是121212 1.m r m -+≥+≥-即2m ≤矛盾.所以不存在这样的.m6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.证明：()⇒正整数M 是完全平方数,则2.M d = 222222()()()()M i M d i d d d i d d i +-=+-=++-+.2d d i -+对于1,2,,i n =是连续n 个正整数,所以一定存在某个i 使得2|.n d d i -+于是2|().n M i M +- 所以对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.()⇐假设正整数M 不是完全平方数,则M 中一定有一个素因数p ,它的指数是奇数即存在正整数k 使得212|,.k k p M p M -Œ因为对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除. 故取2k n p =,对于21,2,,k i p =一定存在某个i 使得22|().k p M i M +-注意到2k p M Œ.所以22()k p M i +Œ( 若不然, 22|(),k p M i +又22|().k p M i M +-于是2k p M Œ矛盾). 由于22|(),k p M i M +-于是212|().k p M i M -+-注意到21|k p M -.所以212|().k p M i -+我们得到212|()k pM i -+且22()k p M i +Œ.这与2()M i +是完全平方数矛盾. 所以假设错误.所以正整数M 是完全平方数.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.证明：设4411,.11x a y cy b x d--==++其中(,)1,(,)1,0,0.a b c d b d ==>> 则a c ad bcb d bd++=是整数.即|.bd ad bc + 从而|,|.b ad bc d ad bc ++于是|,|.b ad d bc 注意到(,)1,(,) 1.a b c d == 所以|,|.b d d b 又0,0b d >>,所以.b d =因为44222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).1111a c x y x x x y y y x x y yb d y x y x ---++-++⋅=⋅=⋅=-+-+++++ 所以a cb d⋅是整数,结合.b d = 所以2|.b ac 于是|b ac ,又(,)1a b =,则|,b c 又(,) 1.b c =且0.b >所以 1.b =也就是411y c x -=+.即41| 1.x y +-又44444444441049421(1)1(1)[()()1](1)(1)(1)x y x y x x y y y y x x x -=-+-=-++++++-+.所以4441| 1.x x y +-8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k kf n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.证明: 我们知道数(,)f n k 能分解成n 个连续的自然数之积,则一定能被!n 整除.所以只需要证明数(,)f n k 不能被一个很小的自然数n 整除即可.33333(,)2410(339)13(3)()1k k k k k k k k k k f n k n n n n n n n n n n =++=++-++=++--+ 33(3)(1)(1)1k k k k k n n n n n =++--++. 33|3(3),3|(1)(1),3 1.k k k k k n n n n n ++-+Œ所以3(,).f n k Œ也就是数(,)f n k 不能分解成3个或3个以上的连续的自然数之积. 下面再证明数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.由上可知(,)31f n k q =+.因此只需要证明31(1)q x x +=+无自然数解. 当3x m =时,(1)3(31)3[(31)]x x m m m m +=+=+,故无解.当31x m =+时,2(1)(31)(32)3(33)2x x m m m m +=++=++,故无解.当32x m =+时,(1)(32)(33)3(1)(32)x x m m m m +=++=++故无解. 所以数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.于是我们证明了对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k kf n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：pn n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除. 证明：,1,2,,1n n n n p ---+这连续p 个数有且仅有一个被p 整除,设这个数为.N 则,.N pq q Z =∈则.n Nq p p⎡⎤==⎢⎥⎣⎦且,1,,1,1,1n n N N n p -+--+除以p 的余数不计次序为1,2,,1p -.于是(1)(1)(1)(1)(1)!.n n N N n p p pA -+--+=-+(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!(1)!p n n n n N N N n p n n N N n p C q q p p p ⎡⎤⎡⎤-+--+-+--+-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)!1(1)!(1)!p pA pqAq p p ⎡⎤-+=-=⎢⎥--⎣⎦. 因为p 与1,2,,1p -互素,所以(,(1)!) 1.p p -=于是(1)!|..(1)!p n n qAp qAC p p p ⎡⎤--=⋅⎢⎥-⎣⎦所以|.pn n p C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)nk kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk k a =+∏为整数?.解(1)111(1)1(1).nk nk n k k kk p p p ===++=∏∏∏ 当3n ≥时,1,1 1.n k p p k n >+≤≤-故11((1),) 1.n knk p p -=+=∏所以|1.nn pp +又|.n n p p 所以|1.n p于是1n p =矛盾.所以2n ≤.当1n =时,111N p +∉. 当2n =时,1212121212(1)(1)111(1)(1)1.p p p p N p p p p p p ++++++==+∈ 1212|1p p p p ++,21221|1,|1.p p p p p +++又211p p ≥+.所以211.p p =+于是1111|11,|2.p p p p +++ 所以122, 3.p p ==综上,所求的数列只有一个122, 3.p p == (2)不存在. 当121n a a a <<<<时,设.n a m ≤2222222212222111(!)21(1)(1) 2.(1)!1(1)(1)1(1)!2nm m m m k k k k k k k k k m mm a k k k k k m m =====+<+≤+=<===<+--++-∏∏∏∏∏所以211(1)nk k N a =+∉∏.所以不存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk k a =+∏为整数.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=- 解：不妨设.m n ≥有带余除法得1111(1,0)m q n r q r n =+≥≤<.我们有111111111212122212(21)2 1.q n r q n r r r r q n r m++-=-=-+-=-+-因为121|21q nn--,所以1(21,21)(21,21).r m n n --=--注意到1(,)(,).m n n r =若10,r =则1(,)(,).m n n r n ==于是1(21,21)(21,21)(0,21)2 1.rm n n n n--=--=-=-结论成立.若10,r >则作辗转相除.,212221(1,0)n q r r q r r =+≥≤<.我们有212221221212(21)2 1.q r r r q r r n+-=-=-+-因为12121|21rq r --,所以112(21,21)(21,21)(21,21)r r r m n n --=--=--.若20,r >则继续处理,直到10k r +=为止.由辗转相除法知(,).k m n r =1112(,)(21,21)(21,21)(21,21)(21,21)(21,0)212 1.k k k k r r r r r r r m n n m n +--=--=--==--=-=-=-至此,我们证得了结论.12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.证明：我们任取n 个互不相同的正整数12,,,,n a a a 并选取一个正整数参数,K 希望12,,,n Ka Ka Ka 的积12n n K a a a 被任意两项的和i j Ka Ka +()i j ≠整除,取1().i j i j nK a a ≤<≤=+∏12,,,n Ka Ka Ka 互不相同, 1()().i j i j i j i j nKa Ka a a a a ≤<≤+=++∏12121(()).n n n i j n i j nK a a a a a a a a ≤<≤=+∏显然有12|.ni j n Ka Ka K a a a +。

中国剩余定理的原理
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是中国古代求解一次同余式组问题的方法，也是数论中一个重要定理。

简单来说，中国剩余定理就是找出这样一个正整数，它分别能被给定的多个正整数整除，并且是其中最小的。

具体来说，设有m个线性方程，每个方程有n个未知数，形式为：x ≡ a_i (mod p_i)，其中i=1,2,...,m。

假设p_i 两两互质，那么存在一个解x，使得x ≡ a_i (mod p_i)对i=1,2,...,m都成立。

中国剩余定理的原理可以简述为：几个数相加，如果存在一个加数不能被数a整除，那么它们的和就不能被整数a 整除。

这个定理的证明可以通过数学归纳法和欧几里得算法得出。

在应用方面，中国剩余定理被广泛应用于密码学、数论等领域。

例如，在RSA加密算法中，中国剩余定理被用于快速求解大数的模幂运算。

中国剩余定理若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则可表⽰为下式：x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数，⽽且被d1除，余数为1；R1 、R2…、Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数，⽽且被dn除，余数为1；D是d1、d2、…、的最⼩公倍数；R是任意整数，可根据实际需要决定；且d1、、…、必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，…，n)都能求得.该问题可以⽤初等数论中的同余⽅程组的求解问题。

利⽤同余的符号，可以将上述问题转化为下⾯的同余⽅程组：x≡2(mod 3)；x≡3(mod 5)；x≡2(mod 7)；不难看出上述同余⽅程组的解并不唯⼀，因为如果x是⼀个解，则x+3×5×7×k=x+105k也是该同余⽅程组的⼀个解，其中的k可以是任意整数。

事实上，从3，5，7两两互质可知上述同余⽅程组的任意两个解相差105的倍数。

所以，⼀旦求出“最⼩正整数解”x0，则每个解均可表⽰为x=x0+105k。

如何求出上述同余⽅程组的⼀个解呢？我们的祖先聪明的把问题转化为以下三个⾮常特殊的同余⽅程组的求解a≡1(mod 3)； b≡0(mod 3)； c≡0(mod 3)；a≡0(mod 5)； b≡1(mod 5)； c≡0(mod 5)；a≡0(mod 7)； b≡0(mod 7)； c≡1(mod 7)；显然，如果求出了a，b，c的⼀组值，则2a+3b+2c就是原同余⽅程组的⼀个解，再把这个解除以105，则相应的余数即为所求的最⼩整数解。

经过简单计算可知a可以取70，b可以取21，c可以取15。

所以2a+3b+2c=233，除以105后得余数为23，这就是所求的最⼩正整数解。

BiorhythmsProblem DescriptionSome people believe that there are three cycles in a person's life that start the day he or she is born. These three cycles are the physical, emotional, and intellectual cycles, and they have periods of lengths 23, 28, and 33 days, respectively. There is one peak in each period of a cycle. At the peak of a cycle, a person performs at his or her best in the corresponding field (physical, emotional or mental). For example, if it is the mental curve, thought processes will be sharper and concentration will be easier.Since the three cycles have different periods, the peaks of the three cycles generally occur at different times. We would like to determine when a triple peak occurs (the peaks of all three cycles occur in the same day) for any person. For each cycle, you will be given the number of days from the beginning of the current year at which one of its peaks (not necessarily the first) occurs. You will also be given a date expressed as the number of days from the beginning of the current year. You task is to determine the number of days from the given date to the next triple peak. The given date is not counted. For example, if the given date is 10 and the next triple peak occurs on day 12, the answer is 2, not 3. If a triple peak occurs on the given date, you should give the number of days to the next occurrence of a triple peak. InputYou will be given a number of cases. The input for each case consists of one line of four integers p, e, i, and d. The values p, e, and i are the number of days from the beginning of the current year at which the physical, emotional, and intellectual cycles peak, respectively. The value d is the given date and may be smaller than any of p, e, or i. All values are non-negative and at most 365, and you may assume that a triple peak will occur within 21252 days of the given date. The end of input is indicated by a line in which p = e = i = d = -1.OutputFor each test case, print the case number followed by a message indicating the number of days to the next triple peak, in the form:Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.Use the plural form ``days'' even if the answer is 1.Sample Input0 0 0 00 0 0 1005 20 34 3254 5 6 7283 102 23 320203 301 203 40-1 -1 -1 -1Sample OutputCase 1: the next triple peak occurs in 21252 days.Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.SourcePKU1 #include <iostream>23using namespace std;45int main()6 {7int k=0;8int p,e,i,d;9 cin>>p>>e>>i>>d;10while(p!=-1&&e!=-1&&i!=-1&&d!=-1)11 {12 k++;13int t=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;14if(t==0) t=21252;15 cout<<"Case "<<k<<": the next triple peak occurs in "<<t<<" days."<<endl;16 cin>>p>>e>>i>>d;17 }18return0;19 }。

中国剩余定理古代数学的光辉业绩——中国剩余定理我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？”这里的几何指多少的意思。

翻译成数学语言就是：求正整数N，使N 除以3余2，除以5余3，除以7余2。

如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。

术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。

以二百一十减之，即得。

凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。

一百六以上，一百五减之，即得。

”过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。

歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：3 705 217 15105三组数的共同特征是：70除以3余1，除以5、7余0；21除以5余1，除以3、7余0；15除以7余1，除以3、5余0。

首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。

然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。

70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。

2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。

3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。

2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。

统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。

N必然满足原题所有三个余数条件。

但N不一定是最小的。

歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。

这个23就是问题的最小解。

这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。

中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。

目录四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 4第一次考试题 四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 8.第二次考试题 四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 15.第三次考试题 高一竞赛数论专题1.整除高一竞赛数论专题 4.第一次考试题(满分180分)1.(满分40分)设p 是素数,,a b 是整数,(mod )p p a b p ≡,证明：2(mod ).p p a b p ≡2.(满分40分)设p 是奇素数,证明：11()!(1)!p k p p k k -=--∑.(其中!(1)21,n n n =-⋅约定0! 1.=)3.(满分50分)设2012333n n m d d d d =+⋅+⋅++⋅为一个正整数的平方,且{0,1,2},0,1,2,,.i d i n ∈=证明：至少有一个 1.i d =4.(满分50分)设p 是大于1的奇数,若4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+证明：,2p p +是孪生素数. (孪生素数是指相差为2的一对素数).高一竞赛数论专题4.第一次考试题解答(满分180分)1.(满分40分)设p 是素数,,a b 是整数,(mod )ppa b p ≡,证明：2(mod ).ppa b p ≡证明：因为p 是素数,所以由Fermat 小定理知道(mod ),(mod )ppa a pb b p ≡≡. 于是(mod ).a b p ≡20分从而,.a b pq q Z =+∈011222()()()p p p p p p p p p p p a b pq C b C b pq C b pq C pq --=+=++++.所以011122()(mod )p p p p p p p p b pq C b C bpq b b p q b p --+=+≡+≡ 所以2(mod ).p p a b p ≡40分2.(满分40分)设p 是奇素数,证明：11()!(1)!p k p p k k -=--∑.(其中!(1)21,n n n =-⋅约定0! 1.=)证明：因为(1)!(1)(2)((1))()!p p p p k p k -=-----又1(1)(2)((1))(1)(2)((1))(1)(1)!(mod ).k p p p k k k p -----≡----≡--于是1(1)!(1)()!(1)!(mod ).k p p k k p --≡---20分由Wilson 定理知(1)!1(mod ).p p -≡- 所以()!(1)!(1)(mod ).kp k k p --≡- 从而1111()!(1)!(1)0(mod )(1p p kk k p k k p p --==--≡-≡-∑∑是偶数).所以11()!(1)!p k p p k k -=--∑40分3.(满分50分)设2012333n n m d d d d =+⋅+⋅++⋅为一个正整数的平方,且{0,1,2},0,1,2,,.i d i n ∈=证明：至少有一个 1.i d =证明：因为2012333n n m d d d d =+⋅+⋅++⋅为一个正整数的平方,所以012,,,,n d d d d 不全为0.对于任意的,0,1,1(mod3)x x ≡-,所以20,1(mod3).x ≡ 所以00,1(mod3).m d ≡≡所以00d =或1.若00,d =则212333.n n m d d d =⋅+⋅++⋅从而3|.m 因为2*,.m t t N =∈所以23|.t 从而3|,t 于是23|.m于是13|d ,所以10.d =则222223333(33)n n n n m d d d d d -=⋅++⋅=+⋅++⋅ .于是22333n n d d d -+⋅++⋅是一个正整数的平方,按上面的推导方法可得20.d =如此下去,可以推导出0120.n d d d d =====(矛盾)若01d =,则结论成立. 所以0 1.d = 至少有一个 1.i d =4.(满分50分)设p 是大于1的奇数,若4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+证明：,2p p +是孪生素数. (孪生素数是指相差为2的一对素数).证明：引理 若(1)!1(mod ).p p -≡-则p 是素数.引理的证明：假设p 不是素数,则p 为合数,于是.p ab =其中1,.a b p <<于是,a b 必是1,2,,1m -中的某个数.若a b ≠,则|(1)!p p -矛盾.若a b =,则2.m a = 当2a >时,22a a >因为21,2,,1a -一定含有,2a a ,所以22|(1)!a a -矛盾.当2a =时, 4.p =所以(1)!3!1(mod ).p p -=≡/矛盾. 所以假设错误, p 是素数. 10分回到原题,因为4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+所以(2)|4(1)!4p p p p +-++.因为p 是奇数,所以(,2)(,2) 1.p p p +==于是|4(1)!4p p p -++且(2)|4(1)!4p p p +-++.因为|4(1)!4p p p -++,所以|4[(1)!1]p p -+,p 是奇数,(,4) 1.p =|(1)! 1.p p -+ 即(1)!1(mod ).p p -≡- 由引理知道p 是素数. 30分因为(2)|4(1)!4p p p +-++,所以(2)|4(1)!2p p +-+,p 是奇数,(,2) 1.p =(2)|2(1)! 1.p p +-+ 即2(1)!1(mod 2).p p -≡-+于是(1)(2)(1)!1(mod 2).p p ---≡-+也就是(21)(22)(1)!1(mod 2).p p p p +-+--≡-+ 即((2)1)!(1)!(1)(1)!1(mod 2).p p p p p p +-=+=+-≡-+ 由引理知道2p +是素数. 所以,2p p +是孪生素数. 50分高一竞赛数论专题 8.第二次考试题(满分180分)1.(满分40分)设k 是非负整数,记号||k a b 表示b 恰被a 的k 次方整除,即1|,.k k a b ab +设,m s 都是大于1的正整数,且2|| 1.sm -证明：对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立.2.(满分40分)证明：对每个素数,p 有无穷多个正整数,n 使得|2.np n -3.(满分50分)证明：对于任意的正整数,k 120!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数.4.(满分50分)以(,)S n p 表示(1)nx +的展开式中不可被p 整除的系数的个数. 证明：2017(2018,2017)S 可被2018整除.高一竞赛数论专题 7.第二次考试题解答1.(满分40分)设k 是非负整数,记号||ka b 表示b 恰被a 的k 次方整除,即1|,.kk a b ab +设,m s 都是大于1的正整数,且2|| 1.sm -证明：对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立. 证明：方法1 因为2|| 1.s m -所以12|1,2 1.s s m m +--于是0021,s m q q =+是正奇数.我们用数学归纳法证明.当1n =时,2222111000001(21)1222(21).s s s s s m q q q q q ++--=+-=+=⋅+ 因为0q 是正奇数,所以1002(21).s q q -+所以12222|1,2 1.s s m m ++--即122|| 1.s m +-所以当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即22||1k k s m +-.也就是2122|1,2 1.kkk s k s m m +++--于是221,kk s k k m q q +=+是正奇数. 当1n k =+时,122222221111()1(21)1222(21).k kk s k s k s k s k s k k k k k m m q q q q q +++++++-+-=-=+-=+=+因为k q 是正奇数,所以12(21).k sk k q q -++所以1112222|1,2 1.k k k s k s m m ++++++--即1122|| 1.k k s m +++-即当1n k =+时,结论成立.于是对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立. 方法2：我们用数学归纳法证明. 当1n =时,21(1)(1).m m m -=-+因为2||1,sm -1,s >又2||2,所以2||1m +所以122|| 1.s m +-所以当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即22||1kk s m +-. 当1n k =+时,1222221()1(1)(1).k k k km m m m +-=-=-+因为22||1,kk s m +-1,s >又2||2,所以22||1,km +所以1122|| 1.k k s m +++-即当1n k =+时,结论成立.于是对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立.方法3 一方面2122221(1)(1)(1)(1)(1)nn n m m m m m m ---=-++++.由于2||1,sm -则m 为奇数.故22|1(0,1,2,,1).im i n +=-所以1202|(1).in ni m-=+∏又2| 1.s m -所以12202|(1)(1) 1.inn n si m m m -+=-+=-∏另一方面,,m s 都是大于1的正整数,所以2,s ≥于是4| 1.m -12220112(1)(1)2422(21).i iji j m m m m q q -=+=-+=-++=+=+∏即22||1(0,1,,1).im i n +=-结合2||1,sm -所以22|| 1.nn s m +-方法4 12221(1)(1)(1)(1).nn m m m m m --=-+++因为2|1,sm -对于任意的12,1(1)(1),kk k m m m m -≥-=-+++所以2|1s k m -.设12,km A -=则12|.s A -因为1,s >所以A 是偶数.112222(1).kkm m A A +=-+=+=+1A +是奇数. 所以2|| 1.k m +又2|| 1.sm - 所以12202||(1)(1) 1.i nn n si m m m -+=-+=-∏方法5 一方面,由于2||1sm -,故m 是奇数,则有22|1(0,1,,1).im i n +=-故1222|(1)(1)(1).n nm m m-+++又2|1,s m -所以22| 1.nn s m +-另一方面,若存在i 使得212,it m k k +=⋅是正奇数, 2.t ≥则211222(21)it t m k k --=⋅-=⋅-,因为121t k -⋅-是奇数,所以22||(1).im -而22|1,(1)|(1)is m m m ---,故22|(1)(1)is m s ->与22||(1)im -矛盾. 所以对0,1,2,,1i n =-都有22||1(0,1,,1).im i n +=-于是1222||(1)(1)(1).n n m m m -+++结合2|| 1.sm -所以22||1(0,1,,1).in s m i n ++=-2.(满分40分)证明：对每个素数,p 有无穷多个正整数,n 使得|2.np n - 证明：若2p =,取n 为正偶数即可.若p 是奇素数,则(2,) 1.p =于是由Fermat 小定理知道121(mod ).p p -≡若取的正整数n 满足(1)n s p =-,则21(mod ).np ≡为使得|2.np n -则正整数n 还需满足1(mod ).n p ≡ 即(1)1(mod ).n s p p =-≡所以取(1)(1)(1,2,)n kp p k =--=.则(1)(1)112122(1)(1)(2)(1)110(mod )nkp p p kp kp n kp p kp kp p p ------=---=---+≡-=.所以有无穷多个正整数(1)(1)(1,2,)n kp p k =--=使得|2.n p n -所以命题得证.法2：若2p =,取n 为正偶数即可.若p 是奇素数,取2(1)(1),0,1,2,kn p p k =+-=,2(1)(1)21(1)(1)2222(1)(1)(2)(1)(1)11(1)0(mod ).kkn p p k p p p k k n p p p p p +--+--=-+-=-+-≡--≡3.(满分50分)证明：对于任意的正整数,k 120!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数. 证明：注意到!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑所以只需证明12!(!)()!k j j k j k -=+∏对任意的素数p 的指数均为非负整数,即只要证明对于任意的素数的正整数次幂,P 有210.k j k j k j P P P -=⎡⎤⎛+⎫⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑ 因为两边均为整数,所以只需证明210 1.k j k j k j P P P -=⎡⎤⎛+⎫⎡⎤⎡⎤>--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑即2211100011k k k j j j k k j k j k j j k j k j P P P P P P P P P ---===⎧⎫⎛++⎫⎛+⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫->--+-=---⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 注意到210,k j k k P P -==∑所以只需要证明21100 1.k k j j k j j k P P P --==⎧⎫+⎧⎫⎧⎫+<+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑然而,数0,1,,1k -模P 的余数之和显然不大于数,1,,21k k k +-模P 的余数之和,也即1100k k j j j j k P P --==+⎧⎫⎧⎫<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑,再注意到21k P ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.从而211001k k j j k j j k P P P --==⎧⎫+⎧⎫⎧⎫+<+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑得证对于任意的正整数,k 120!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数. 法2注意到!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑所以只需证明12!(!)()!k j j k j k -=+∏对任意的素数p 的指数均为非负整数,即只要证明对于任意的素数p 有210.k i i i j k j k j p p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑设,,0.iik t p s t N s p =⋅+∈≤<(1)11100i i iir p p p ii i i i i i j j j rp j k j j s j j s j t tp p p p p p p +---===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 110+.i ii p s p i ii i i i j j p s j s j j s j tp tp s p p p p ---==-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑ 1111000i itp s s s s ii i i i i i i i j j j j tp j k j j k j j s j j s j t sp p p p p p p p p +----====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++-=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 10.s ii j j s sp p -=⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦∑于是11200.k s i ii i i j j j k j j s t p st sp p p p --==⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-=+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑111002.ii p s s s i i i i j j j p s j s j s j s s p p p p ----===-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 所以122202(1)2(1)22k i i i i i ii i j j k j t p st sp s p t p st sp s t p st s p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤+-=+++-=-+++<-++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑所以120(1)22 1.k ii i j j k j t p st s p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤+-≤-++- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 222222()22.i i i i ii k t p stp s s t p st p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以22222222221(1)21(1)221i i i i ii i i ik s s s t p st t p st t p st p t p st s p p p p ⎡⎤⎡⎤=++>++-=-+++-≥-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以210.k i i i j k j k j p p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑所以对于任意的正整数,k 12!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数. 4.(满分50分)以(,)S n p 表示(1)nx +的展开式中不可被p 整除的系数的个数. 证明：2017(2018,2017)S 可被2018整除.证明：设p 为素数,而2012110()k k k k p n n n p n p n p n n n n -=+⋅+⋅++=是n 的p 进制表达式.引理：01(,)(1)(1)(1).k S n p n n n =+++若引理已证明,因为2017是素数,201720172017201702018(12017)2017.ii i C ==+=⋅∑ 因为20172017|(1,2,,2016)iC i =,所以从第4项起,都可以被42017整除.而前3项的和为12223201720171201720171201710082017.C C +⋅+⋅=++⋅2017234201812017100820172017M =++⋅+⋅201711020172018()k k n n n n -=的01231,0,1,1008.n n n n ====201701(2018,2017)(1)(1)(1).m S n n n =+++其中03(1)(1)(11)(10081)2018.n n ++=+⨯+= 所以2017(2018,2017)S 可被2018整除.下面证明引理,(1)nx +的展开式中i x 的系数为,i n C 所以应该计算!(0,1,,)!()!in n C i n i n i ==-中不可被p整除的个数.2012110()k k k k p n n n p n p n p n n n n -=+⋅+⋅++=,2012110()k k k k p i i i p i p i p i i i i -=+⋅+⋅++=由Lucas 定理知道0101(mod )k kii iin n n n C C C C p ≡,所以0110(mod )kki i i n nn C C C p =表示i n C 可被p 整除, 01011,2,,1(mod )k ki i i n n n C C C p p =-均表示不可被p 整除.注意到!(0)!()!ba a Cb a p b a b =≤≤<-均不能被素数p 整除.于是!(0,1,,)!()!in n C i n i n i ==-中不可被p 整除等价于0011,,,.k k i n i n i n ≤≤≤这个的i 的个数为01(1)(1)(1)k n n n +++个.所以01(,)(1)(1)(1).k S n p n n n =+++所以引理得证.法2 我们证明,若p 是奇素数,((1),)pS p p +可被1p +整除.(1)(1)pp x ++的展开式的每一项的系数为(1)(0,1,2,,(1)).pmp p C m p +=+(1)(1)!.!((1))!pp mpp p Cm p m ++=+-考虑此式的分子分母中p 的幂次. 注意到3p ≥,ln ()p f p p=单调递减,所以1(1).p p p p ++< 111(1)(1)((1)!),((1))!),(!).p p pp pppp p p i ii i i i p p m m V p V p m V m p p p ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+=+-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 注意到(1)(1).p p i ii p p m m p p p++-=+ 所以012211110122()(1)i i i i p p i i p p i i p p p p p p p p p p p i i i iC C p C p C p C p C p C p C C p C p p p p p p --------++++++++++==+012211110122()(1)i i i i p p i i p p i i p p p p p p p p p p p i i i iC C p C p C p C p C p C p C C p C p p p p p p--------++++++++++==+ 注意到!!(!k kk p p C p p k p k =-的p 的幂次为1.k p +所以11(1).i i p p p p p i i C p C p p p p --++⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦所以0122(1)(1).i i p p p p p i i iC C p C p p p p p p --++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦若m 模ip 的余数超过0122i i p p p C C p C p --++,高一竞赛数论专题 15.第三次考试题(满分180分)1.设k 为不等于1的整数,证明存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.nn C2.是否存在正项数列{}n a 满足1(),n n a a d n +=+(其中()d n 表示n 的正因数的个数)且至少连续两项为完全平方数.3.设,m n 为大于1的整数,用()n a a a n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦表示(mod )a n 的最小非负剩余.求120,,,1max min ()m mjn k na a a j ak ≤<=+∑,其中最大遍及所有的m 项整数数列.高一竞赛数论专题 15.第三次考试题解答(满分180分)1.设k 为不等于1的整数,证明存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.nn C证明：当1k >时,k 有素因子,p 取,mn p k =-其中正整数m 足够大,使得0,n >这样的n 有无穷多个. 我们证明对这些n 有2,nnn kC +即2.m n n p C 设素数p 在22(2)!(!)n nn C n =中出现的幂次为.α则1122.j j j j n n p p α∞∞==⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑因为,m n p k =-所以122,m m n p p+<≤所以1,j m ≥+20,0.j j n n p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦于是1122()22m m mm j j jj j j n n p k p k p p p p α==⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑ 12222mm j m jj j j k k p p p p --=⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑122.m j j j k k p p =⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 因为|,p k 所以220.k k p p ⎡⎤⎡⎤---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以222m j j j k k p p α=⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 因为1[2][][][][]12[] 1.2x x x x x x =++≤++=+所以[2]2[] 1.x x -≤于是2221.mj j j k k m m p p α=⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=-≤-< ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑所以2.mn n pC 当0k ≤时,因为素数有无穷多个,故可取奇素数2||,p k >令||,n p k =+这样的正整数n 有无穷多个. 我们证明对这些n 有2,nn n kC +即2.n n p C设奇素数p 在22(2)!(!)nnn C n =中出现的幂次为.α则1122.j j j j n n p p α∞∞==⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑因为||,n p k =+所以2222||3.n p k p p <+<≤所以2,j ≥20,0.j j n n p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以22(||)||2||||2||||222222n n p k p k k k k k p p p p p p p p α⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=-=-=+--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 因为2||,p k >所以2||||0,0.k k p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦于是2||||20.k k p p α⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以2.nn p C 于是我们证明了k 为不等于1的整数,存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.nn C2.是否存在正项数列{}n a 满足1(),n n a a d n +=+(其中()d n 表示n 的正因数的个数)且至少连续两项为完全平方数.解：不存在这样的正项数列{}n a .先证明()d n ≤设121212(2,ss s i n p p p p p p p ααα=≤<<<都是素数,.i N α∈于是12()(1)(1)(1).s d n ααα=+++于是只需证明31212222121212394(1)(1)(1)33()().43sss s s n p p p p p p p αααααααααα+++≤==下面分别证明(1)12119(1),4p αα≥+(2)22224(1),3p αα≥+(3)2(1)(3,4,,).i i i p i s αα≥+=先证明(1)12119(1).4p αα≥+ 因为111992.44p αα≥⋅于是只需证明12192(1).4αα⋅≥+ 下面用数学归纳法证明.当1120,1,2ααα===时显然成立. 假设当1(2)k k α=≥时结论成立即292(1).4kk ⋅≥+ 当11k α=+时,112999222(2)2(1).444k k k α+⋅=⋅=⋅⋅≥+ 注意到222222(1)(11)2(1)(2)20,k k k k k +-++=+-+=-> 所以112221999222(2)2(1)(11)(1).444k k k k αα+⋅=⋅=⋅⋅≥+>++=+ 所以当11k α=+结论成立. 所以11199244p αα≥⋅成立.我们不难发现当且仅当112,2p α==时等号成立. 再证明(2)22224(1).3p αα≥+ 因为222443.33p αα≥⋅于是只需证明22243(1).3αα⋅≥+ 下面用数学归纳法证明. 当220,1αα==时显然成立. 假设当2(1)k k α=≥时结论成立即243(1).3kk ⋅≥+ 当21k α=+时,212444333(3)3(1).333k k k α+⋅=⋅=⋅⋅≥+ 注意到222223(1)(11)3(1)(2)2210.k k k k k k +-++=+-+=+-> 所以212222444333(2)3(1)(11)(1).333k k k k αα+⋅=⋅=⋅⋅≥+>++=+所以当21k α=+结论成立. 所以22244333p αα≥⋅成立.我们不难发现当且仅当223,1p α==时等号成立. 最后证明(3)2(1)(3,4,,).i i i p i s αα≥+=因为3,i ≥所以 5.i p ≥于是只需证明25(1).i i αα≥+ 下面用数学归纳法证明. 当0i α=时显然成立.假设当(0)i k k α=≥时结论成立即25(1).k k ≥+当1i k α=+时,1222222555(5)5(1)4(1)(22)(2)(11)(1).ik k i k k k k k αα+==≥+>+=+>+=++=+所以当1i k α=+结论成立.所以25(1)i i αα≥+成立.我们不难发现当且仅当0i α=时等号成立.于是我们证明了()d n ≤回到原题.由1()n n a a d n +=+知道1(1)(2)(1).n a a d d d n =++++-对于素数p 有() 2.d p =又(1) 1.d =对于合数a 有() 2.d a ≥于是112(2)2 2.n a n n ≥++-=- 若存在连续两项为完全平方数设22*1,(,).n n a s a t s t N +==∈1()1,n n a a d n +-=≥即221,t s -≥于是 1.t s ≥+所以 1.s t ≤-22221()(1)211 1.n n d n a a t s t t t +=-=-≥--=-=≥1.≥于是1 1.≥≥>矛盾. 所以不存在这样的正项数列{}n a .3.设,m n 为大于1的整数,用()n a a a n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦表示(mod )a n 的最小非负剩余.求120,,,1max min()m mjn k na a a j ak ≤<=+∑,其中最大遍及所有的m 项整数数列.解：不妨设0(1),j a n j m ≤<≤≤令121(,,,)().mk m j n j S a a a a k ==+∑当0k =时,m 项整数数列为{()}j n a , 当1k =时,m 项整数数列为{(1)}j n a +,当k t =时,m 项整数数列为{()}j n a t +,当k m =时,m 项整数数列为{()}j n a m +, 如果120120min (,,,)(,,,),k m m k nS a a a S a a a ≤<<则存在0t n <<使得1212(,,,)(,,,)(0).t m k m S a a a S a a a k n ≤≤<令(1),j j a a t j m '=+≤≤于是()(),(1)(1),(2)(2),,j n j n j n j n j n j n a a t a a t a a t '''=++=+++=++()(),(1)(),(2)(1),,j n j n j n j n j n j n a m t a m a m t a a m t a '''+-=++-+=+-+=+()(1).j n j n a m a t '+=+- 于是我们有01212(,,,)(,,,)(0).mk mS a a a S a a a k n ''''''≤≤< 这表明对遍及所有的m 项整数数列求120,,,1max min ()m mj n k na a a j a k ≤<=+∑ 可以限定在满足12012min (,,,)(,,,)k m m S a a a S a a a =的那些数列12,,,m a a a 上求解.因为()j j n j a k a k a k n n +⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦,所以,(),j j j n jj a k n a n k a k a k a n k +-≥-⎧+=⎨+<-⎩若若.设j a i =的次数为.i μ所以1211()().mmk jn j n n n k j j S ak a mk n μμμ---===+=+-+++∑∑当且仅当12(0)n n n kmkk n nμμμ---+++≤≤<时1201211min (,,,)(,,,).mk m m j k n j S a a a S a a a a ≤<===∑于是11111110121111111(,,,)()=(1)jmn n n n n n n m j i n i n i n i n i j i i i j ii j i j i S a a a a i n i μμμμμ-----------============-==∑∑∑∑∑∑∑∑∑因为12(0),n n n kmkk n n μμμ---+++≤≤<所以11012111(,,,).jn n m n i j i j mj S a a a n μ---===⎡⎤=≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑考虑函数m y x n =及矩形,OABC 其中(1)(1)(1,0),(1,),(0,).m n m n A n B n C n n---- 由矩形的中心对称性知道112((,)1)(1)(1).n j mj m n m n n -=⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑于是111((1)(1)(,)1).2n j mj m n m n n -=⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑ 所以101211(,,,)((1)(1)(,)1).2n m j mj S a a a m n m n n -=⎡⎤≤=--+-⎢⎥⎣⎦∑于是120,,,11max min()((1)(1)(,)1).2m mj n k na a a j a k m n m n ≤<=+≤--+-∑ 选取(1),1,2,,.n i mi m i i n n n μ--⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则121(1)(0),kn n n k i m i m i m k mk k n n n n n μμμ---=⎛⋅⋅-⎫⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=-=≤≤< ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 于是此时1201211min (,,,)(,,,).mk m m j k nj S a a a S a a a a ≤<===∑于是数列12,,,m a a a 有(1),1,2,,n i mi m i i n n n μ--⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个.n i -且121(1)(0),kn n n k i m i m i m k k n n n n μμμ---=⎛⋅⋅-⎫⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=-=≤< ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 于是110121111(,,,)((1)(1)(,)1).2jn n m n i j i j mj S a a a m n m n n μ---===⎡⎤===--+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑所以120,,,11max min()((1)(1)(,)1).2m mj n k na a a j a k m n m n ≤<=+=--+-∑ 高一竞赛数论专题1.整除设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b . 整除关系的基本性质 (1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除.10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k k a =+∏为整数?.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=-12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.高一竞赛数论专题1.整除解答设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b .整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤所以12.d d =命题得证.2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c(2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的.不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b .所以(,)|.a b ax by +即(,)|1.a b 所以(,)1a b =.另一方面设11111,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数,若10,r =则辗转相除到此为止；否则继续.1222122,0,,a r q r r r q r =+≤<为整数,若20,r =则辗转相除到此为止；否则继续.12333233,0,,r r q r r r q r =+≤<为整数,若30,r =则辗转相除到此为止；否则继续.由于123r r r >>>且123,,,r r r 均为自然数,所以经过有限步辗转相除可得0.k r =即3211.k k k k r r q r ----=+21(0).k k k k k r r q r r --=+=引理：设,a b 是两个整数且0,a ≠,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数.则(,)(,).a b a r =证明：因为(,)(,).a b a b aq =-又.r b aq =-所以(,)(,).a b a r =回到原题：利用引理我们可得112211(,)(,)(,)(,)(,).k k k k a b a r r r r r r r ---=====注意到0.k r =由辗转相除的过程知道1321.k k k k r r r q ----=-2432.k k k k r r r q ----=-3123.r r r q =-212.r a r q =-11r b aq =-所以11,r b aq =-212122()(1),r a b aq q q q a q b =--=+-311223123123[(1)][(1)](1),r b aq q q a q b q q q q q a q q b =--+-=+-++所以1k r -是,a b 的线性组合即存在整数,x y 使得1.k r ax by -=+即(,).a b ax by =+所以若(,)1,a b =则存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.证明：65254222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n +--=+-+=+-=+-++ 22(2)(1)(1)(45)(2)(1)(1)(2)5(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n =+-+-+=--+++-++.5!|(2)(1)(1)(2),n n n n n --++4!|(1)(1)(2),5!|5(1)(1)(2),n n n n n n n n -++-++所以65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.解: 因为21|21m n -+,所以2121n m +≥-所以n m ≥(若不然,则 1.n m ≤-于是1212121m n m -+≥+≥-,即2m ≤矛盾).因为n m ≥,所以存在正整数,q r 使得,0.n mq r r m =+≤<1212122212(21)212(21)[(2)21]21n mq r mq r r r r mq r r m m q m r ++-+=+=-++=-++=-+++++. 因为21|21m n -+,所以21|21m r -+.从而212 1.r m+≥-所以不存在这样的.m6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.证明：()⇒正整数M 是完全平方数,则2.M d = 222222()()()()M i M d i d d d i d d i +-=+-=++-+.2d d i -+对于1,2,,i n =是连续n 个正整数,所以一定存在某个i 使得2|.n d d i -+于是2|().n M i M +- 所以对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.()⇐假设正整数M 不是完全平方数,则M 中一定有一个素因数p ,它的指数是奇数即存在正整数k 使得212|,.k k p M p M -因为对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.故取2k n p =,对于21,2,,k i p =一定存在某个i 使得22|().k p M i M +-注意到2k p M . 所以22()k p M i +( 若不然, 22|(),k p M i +又22|().k p M i M +-于是2k p M 矛盾).由于22|(),k p M i M +-于是212|().k pM i M -+-注意到21|k p M -.所以212|().k p M i -+ 我们得到212|()k p M i -+且22()k p M i +.这与2()M i +是完全平方数矛盾.所以假设错误.所以正整数M 是完全平方数.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除. 证明：设4411,.11x a y c y b x d--==++其中(,)1,(,)1,0,0.a b c d b d ==>> 则a c ad bc b d bd++=是整数.即|.bd ad bc + 从而|,|.b ad bc d ad bc ++于是|,|.b ad d bc 注意到(,)1,(,) 1.a b c d ==所以|,|.b d d b 又0,0b d >>,所以.b d =因为44222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).1111a c x y x x x y y y x x y yb d y x y x ---++-++⋅=⋅=⋅=-+-+++++ 所以ac b d⋅是整数,结合.b d = 所以2|.b ac 于是|b ac ,又(,)1a b =,则|,b c 又(,) 1.b c =且0.b >所以 1.b = 也就是411y c x -=+.即41| 1.x y +- 又44444444441049421(1)1(1)[()()1](1)(1)(1)x y x y x x y y y y x x x -=-+-=-++++++-+.所以4441| 1.x x y +-8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.证明: 我们知道数(,)f n k 能分解成n 个连续的自然数之积,则一定能被!n 整除.所以只需要证明数(,)f n k 不能被一个很小的自然数n 整除即可.33333(,)2410(339)13(3)()1k k k k k k k k k k f n k n n n n n n n n n n =++=++-++=++--+33(3)(1)(1)1k k k k k n n n n n =++--++.33|3(3),3|(1)(1),3 1.k k k k k n n n n n ++-+所以3(,).f n k也就是数(,)f n k 不能分解成3个或3个以上的连续的自然数之积.下面再证明数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.由上可知(,)31f n k q =+.因此只需要证明31(1)q x x +=+无自然数解.当3x m =时,(1)3(31)3[(31)]x x m m m m +=+=+,故无解.当31x m =+时,2(1)(31)(32)3(33)2x x m m m m +=++=++,故无解.当32x m =+时,(1)(32)(33)3(1)(32)x x m m m m +=++=++故无解.所以数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.于是我们证明了对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n C ⎡⎤-能被p 整除.证明：,1,2,,1n n n n p ---+这连续p 个数有且仅有一个被p 整除,设这个数为.N 则,.N pq q Z =∈则.n Nq p p ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦且,1,,1,1,1n n N N n p -+--+除以p 的余数不计次序为1,2,,1p -.于是(1)(1)(1)(1)(1)!.n n N N n p p pA -+--+=-+(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!(1)!p n n n n N N N n p n n N N n p C q q p p p ⎡⎤⎡⎤-+--+-+--+-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)!1(1)!(1)!p pA pqAq p p ⎡⎤-+=-=⎢⎥--⎣⎦. 因为p 与1,2,,1p -互素,所以(,(1)!) 1.p p -=于是(1)!|..(1)!p n n qAp qAC p p p ⎡⎤--=⋅⎢⎥-⎣⎦所以|.pn n p C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)nk kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk ka =+∏为整数?. 解(1)111(1)1(1).nk nk n k k kk p p p ===++=∏∏∏ 当3n ≥时,1,1 1.n k p p k n >+≤≤-故11((1),) 1.n knk p p -=+=∏所以|1.nn pp +又|.n n p p 所以|1.n p于是1n p =矛盾.所以2n ≤.当1n =时,111N p +∉. 当2n =时,1212121212(1)(1)111(1)(1)1.p p p p N p p p p p p ++++++==+∈ 1212|1p p p p ++,21221|1,|1.p p p p p +++又211p p ≥+.所以211.p p =+于是1111|11,|2.p p p p +++ 所以122, 3.p p ==综上,所求的数列只有一个122, 3.p p ==(2)不存在. 当121n a a a <<<<时,设.n a m ≤2222222212222111(!)21(1)(1) 2.(1)!1(1)(1)1(1)!2nm m m mk k k k k k k k k m mm a k k k k k m m =====+<+≤+=<===<+--++-∏∏∏∏∏所以211(1)nk k N a =+∉∏.所以不存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk k a =+∏为整数.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=- 解：不妨设.m n ≥有带余除法得1111(1,0)m q n r q r n =+≥≤<.我们有111111111212122212(21)2 1.q n r q n r r r r q n r m++-=-=-+-=-+-因为121|21q nn--,所以1(21,21)(21,21).r m n n --=--注意到1(,)(,).m n n r =若10,r =则1(,)(,).m n n r n ==于是1(21,21)(21,21)(0,21)2 1.rm n n n n--=--=-=-结论成立.若10,r >则作辗转相除.,212221(1,0)n q r r q r r =+≥≤<.我们有212221221212(21)2 1.q r r r q r r n+-=-=-+-因为12121|21rq r --,所以112(21,21)(21,21)(21,21)r r r m n n --=--=--.若20,r >则继续处理,直到10k r +=为止.由辗转相除法知(,).k m n r =1112(,)(21,21)(21,21)(21,21)(21,21)(21,0)212 1.k k k k r r r r r r r m n n m n +--=--=--==--=-=-=-至此,我们证得了结论.12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.证明：我们任取n 个互不相同的正整数12,,,,n a a a 并选取一个正整数参数,K 希望12,,,n Ka Ka Ka 的积12n n K a a a 被任意两项的和i j Ka Ka +()i j ≠整除,取1().i j i j nK a a ≤<≤=+∏12,,,n Ka Ka Ka 互不相同, 1()().i j i j i j i j nKa Ka a a a a ≤<≤+=++∏12121(()).n n n i j n i j nK a a a a a a a a ≤<≤=+∏显然有12|.ni j n Ka Ka K a a a +。