《三角函数的诱导公式》(第二课时) 教案

1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。

【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。

§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．预习教材P26完成下面问题： 知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．( ) (3)sin(k π2－α)＝±cos α.( )提示 (1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角． (2)√，由诱导公式一～六可知其正确．(3)×，当k ＝2时，sin(k π2－α)＝sin(π－α)＝sin α．题型一 利用诱导公式化简、求值【例1】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值； 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35． (2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α)．解 原式＝sin α·(－cos α)·sin α·(－sin α)(－cos α)·sin α·(－sin α)·cos α＝tan α．规律方法 求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数――→用公式一或三任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式二或四、或五或六锐角三角函数【训练1】 已知cos(π6－α)＝23，求下列各式的值：(1)sin(π3＋α)；(2)sin(α－2π3)．解 (1)sin(π3＋α)＝sin[π2－(π6－α)]＝cos(π6－α)＝23．(2)sin(α－2π3)＝sin[－π2－(π6－α)]＝－sin[π2＋(π6－α)] ＝－cos(π6－α)＝－23．题型二 利用诱导公式证明恒等式【例2】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．规律方法 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 【训练2】 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1． 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ． 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ．∴左边＝右边，故原等式成立.【例3】 已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin (π2－α)cos (π＋α)的值．解 (1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35．(2)f (α)＝(－tan α)·sin α·cos α－cos α＝tan α·sin α＝sin αcos α·sin α ＝sin 2αcos α＝(－35)2×(－54)＝－920． 【迁移1】 本例条件不变，求f (α) ＝sin (5π－α)cos (7π2－α)tan (－π＋α)－tan (－19π－α)sin (－α)的值．解 f (α)＝sin α·(－sin α)·tan αtan α·(－sin α)＝sin α＝－35．【迁移2】 本例条件中“cos α＝－45”改为“α的终边与单位圆交于点P (m ，154)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求sin (α－π2)sin (π＋α)－sin (3π2－α)＋1的值．解 由题意知m 2＋(154)2＝1， 解得m 2＝116，因为α为第二象限角，故m <0， 所以m ＝－14，所以sin α＝154，cos α＝－14． 原式＝－cos α(－sin α)－(－cos α)＋1＝14－154－14＋1＝－3＋156．规律方法 用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．课堂达标1．sin 165°等于( ) A ．－sin 15° B ．cos 15° C ．sin 75°D ．cos 75°解析 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°． 答案 D2．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析 cos(π4－α)＝cos[π2－(α＋π4)]＝sin(α＋π4)＝13．答案 C3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________． 解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1． 答案 14．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos(α＋5π2)＝________．解析 由题意得sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以cos(α＋5π2)＝－sin α＝265．答案2655．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332．课堂小结1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．基础过关1．已知sin α＝14，则cos(α＋π2)＝( )A ．14B ．－14C ．154D ．－154解析 cos(α＋π2)＝－sin α＝－14．答案 B2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－23aB ．－32aC ．23aD ．32a解析 由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a ．答案 B3．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3．答案 C4．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________．解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13．答案 －135．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________．解析 原式＝sin (32π＋α)·cos (π2－α)sin (π2－α)sin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1．答案 －16．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan 2(2π－α)·tan (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．解 因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35，又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45.所以tan α＝34．故原式＝(－cos α)·(－cos α)·tan 2α·(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝34．7．设tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝m ． 求证：sin ⎝⎛⎭⎫α＋15π7＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫－α＋20π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝m ＋3m ＋1．证明 左边＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3πsin ⎣⎡⎦⎤4π－⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋1＝m ＋3m ＋1＝右边． ∴原等式成立．能力提升8．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析 f (cos x )＝f (sin(π2－x ))＝3－cos 2(π2－x )＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x ．答案 C9．α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( ) A ．355B ．377C ．31010D ．13解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，tan α－6sin β＝1②， ①式×2＋②式可得tan α＝3， 即sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角， 故可解得sin α＝31010．答案 C10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________．解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2． 答案 211．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)．①sin β＝154；②cos(π＋β)＝14；③tan β＝15； ④tan β＝155． 解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α， ∴sin α＝14，若α＋β＝90°，则β＝90°－α，故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±154，故①满足； ③中tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即③满足，而②④不满足． 答案 ①③12．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， ③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4． 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．13．(选做题)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α． ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169．又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513．。

课 题：1.3正弦、余弦的诱导公式（二）教学目的：学会关于90︒ k ± α两套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。

教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解新课：诱导公式5：（课件1.3.7）sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α. sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α诱导公式6：（课件1.3.8） sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α.tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α. sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α二、讲解范例： 例1)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证： 证：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例2的值。

1.1.1 诱导公式（二）
【课题】：诱导公式（二） 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与
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α-，
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α+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从
三角函数定义得出相应的关系式）；
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程； 二、过程与方法
1、理解诱导公式的推导方法；
2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；
3、培养学生化归、转化的能力； 三、情感态度与价值观
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径． 【教学重点】：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值、化简、证明，提高数学内部联系的认识． 【教学难点】：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线y x =对称的点得性质与（
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α±）的诱导公式的关系。

【课前准备】：三角板、圆规、多媒体． 【教学过程设计】：
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π。

湖 南 省 娄 底 市 双 峰 县 第 五 中 学 集 体 备 课 教 案高 一 年 级 数 学 组- 1 -教学环节设计 知识点解析、师生互动 教学后记课题：1.3.2 三角函数的诱导公式(二) 教学目标：1.进一步理解和掌握六组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2.通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.教学难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学过程：（导入→自学→展示→探讨→展示→讲解点拨→评价小结→练习总结） 一、导入新课 角2π-α与角α终边之间有怎样的对称关系，能否从任意角三角函数的定义出发利用这一对称关系探求角2π-α与角α的三角函数值之间的关系呢？ 二、自主学习 自学任务：课本P26—P27，独立完成导学案。

三、展示评价 (学生展示导学案答案、教师评价解析) 四、小组探讨 （分组讨论、解答探究案） 五、展示评价 （分组展示探究案答案、教师评价解析） 六、课堂小结 七、检测反馈 （学生独立完成练习案、教师巡查点拨） 一、导学案答案解析二、探究案答案解析例1 13. 例2 略例3 5716. 三、检测案答案解析1．A 2．A 3．C 4．C 5．－13 6.892 7．2 8．解 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θ·cos θ＋cos θ ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ. ∵sin θ＝33，∴原式＝6. 9．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

《1.2.3三角函数的诱导公式(二)》教学案●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式五、六．(2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导公式五、六．(2)观察公式五、六的结构特征，统一为“函数名改变，符号看象限”．(3)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式五、六的推导．难点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明.教学方案设计●教学建议关于诱导公式五、六的教学，建议教师注重公式的推导过程，特别突出关于直线y＝x对称的两点的坐标关系，这是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱导公式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式五、六.⇒引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一～四的区别，并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变，符号看象限”.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用诱导公式五、六解决给值求值问题的方法.⇒通过完成例2及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式解决化简求值问题的方法.⇒完成例3及其变式训练，总结利用诱导公式证明三角恒等式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学【问题导思】 若α为锐角，sin (π2－α)与cos α，cos (π2－α)与sin α有何关系？ 【提示】 sin (π2－α)＝cos α，cos (π2－α)＝sin α. 终边关于直线y ＝x 对称的角的诱导公式(公式五) sin (π2－α)＝cos _α；cos (π2－α)＝sin _α.【问题导思】 利用公式二和公式五，能否确定sin (π2＋α)与cos α，cos (π2＋α)与sin α的关系？【提示】 sin (π2＋α)＝sin [π2－(－α)]＝cos (－α)＝cos α，cos (π2＋α)＝cos [π2－(－α)]＝sin (－α)＝－sin α.π2＋α型诱导公式(公式六) sin (π2＋α)＝cos _α； cos (π2＋α)＝－sin _α. 当堂双基达标例1 (1)已知sin (π＋A)＝－12，则cos (32π－A)的值是________． (2)已知sin (π3－α)＝12，则cos (π6＋α)的值是________．【思路探究】 (1)先化简sin (π＋A)＝－12得sin A ＝12，再利用诱导公式化简cos (3π2－A)即可．(2)探索已知角π3－α与π6＋α之间的关系，根据诱导公式将cos (π6＋α)化为π3－α的三角函数求解．【自主解答】 (1)sin (π＋A)＝－sin A ＝－12，∴sin A ＝12，cos (3π2－A)＝cos (π＋π2－A)＝－cos (π2－A)＝－sin A ＝－12. (2)∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2， ∴π6＋α＝π2－(π3－α)，∴cos (π6＋α)＝cos [π2－(π3－α)]＝sin (π3－α)＝12. 【答案】 (1)－12 (2)12 规律方法1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等． 互动探究若本例(2)中条件不变，如何求cos (56π－α)的值？ 【解】 ∵(5π6－α)－(π3－α)＝π2， ∴5π6－α＝π2＋(π3－α)，∵cos (5π6－α)＝cos [π2＋(π3－α)]＝－sin (π3－α)＝－12.化简问题例2 化简： sin3π2－α·cos 3π－α·tan π－αcos －α－π·cos α－π2. 【思路探究】 解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式． 【自主解答】 原式＝sin[π＋π2－α]·cos π－α·－tan αcos π＋αcos π2－α ＝－sin π2－α·－cos α·－tan α－cos α·sin α ＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1. 规律方法用诱导公式化简求值的方法：(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． 变式训练 化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π. 【解】 原式＝sin[－6π＋π＋θ]cos[－π2＋θ]cos －θsin[－2π＋π2＋θ]sin －θ ＝sin π＋θcos π2＋θcos θsin π2＋θ－sin θ ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.证明三角恒等式例3 求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2sin 2θ＝ tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1.【思路探究】 考虑到等式左、右两边形式都很复杂，可以使用左右归一法证明，即证明等式的左、右两边都等于同一个式子．【自主解答】 左边＝2sin[－32π－θ]cos π2＋θ－11－2sin 2θ ＝－2cos θ·sin θ－11－2sin 2θ＝1＋2sin θcos θ2sin 2θ－sin 2θ＋cos 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1.右边＝tan 8π＋π＋θ＋1tan θ－1＝tan π＋θ＋1tan θ－1＝tan θ＋1tan θ－1. ∴左边＝右边，原式成立． 规律方法三角恒等式的证明策略：(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．变式训练求证：tan 2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α. 【证明】 左边＝tan －α·cos[π＋π2－α]cos －αsin[π＋π2＋α]cos[π＋π2＋α] ＝－tan α·[－cos π2－α]·cos α－sin π2＋α·[－cos π2＋α] ＝tan αsin αcos α－cos α·sin α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立. 思想方法技巧三角函数问题中的方程思想典例 (14分)是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使⎩⎨⎧ sin 3π－α＝2cosπ2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解．【规范解答】 将已知方程组化 为{ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②2分①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12. 4分∵α∈(－π2，π2)，∴cos α＝22，∴α＝π4或－π4， 6分将α＝π4代入②得cos β＝32，8分 ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.将α＝π4，β＝π6代入①，符合条件.10分 将α＝－π4代入②得cos β＝32， ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.12分将α＝－π4，β＝π6代入①，不符合条件，舍去． 综上可知存在满足条件的角α，β，α＝π4，β＝π6. 14分首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin 2α＋cos 2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角．建立方程是解题的关键．1.π2±α的正弦(余弦)函数值，等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．3．k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k 的取值是奇数还是偶数. 当堂双基达标1．sin 95°＋cos 175°＝________.【解析】 ∵sin 95°＝sin (90°＋5°)＝cos 5°，cos 175°＝cos (180°－5°)＝－cos 5°， ∴sin 95°＋cos 175°＝0. 【答案】 02．化简sin (π＋α)cos (3π2＋α)＋sin (π2＋α)cos (π＋α)＝________. 【解析】 原式＝－sin αsin α＋cos α(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1. 【答案】 －13．已知tan θ＝2，则sin π2＋θ－cos π－θsin π2－θ－sin π－θ＝________. 【解析】 原式＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －24．求证：cos α－π2sin 5π2＋αsin (α－π)cos (2π－α)＝－sin 2α. 【证明】 ∵左边＝－cos π2－αsin π2＋αsin αcos (－α)＝－sin αcos αsin αc os α＝－sin 2α＝右边，∴原等式成立. 课后知能检测 一、填空题1．sin 480°的值为________．【解析】 sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (90°＋30°)＝cos 30°＝32.【答案】 322．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos (α＋π2)＝________. 【解析】 由已知得，sin α＝－1－152＝－265.所以cos (α＋π2)＝－sin α＝－(－265)＝265. 【答案】 2653．若sin (θ＋3π2)＞0，cos (π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．【解析】 sin (θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos (π2－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角． 【答案】 二4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72. 【答案】 725．(2013·宁波高一检测)已知sin (α－π4)＝13，则cos (π4＋α)＝________. 【解析】 ∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴cos (π4＋α)＝cos [π2＋(α－π4)]＝－sin (α－π4)＝－13. 【答案】 －136．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos (A ＋B)＝cos C ；②sin (A ＋B)＝－sin C ； ③cos (A 2＋C)＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A2.【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos (A ＋B)＝－cos C ，sin (A ＋B)＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin (π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的． 【答案】 ④7．(2013·徐州高一检测)已知cos (π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.【解析】 cos (π2＋φ)＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3. 【答案】 － 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0， 则cos －α－πsin 2π＋αtan 2π－αsin 3π2－αcosπ2＋α＝________.【解析】 原式＝－cos α·sin α·－tan α－cos α·－sin α＝tan α，∵cos α＝13 ，－π2＜α＜0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】 －2 2 二、解答题9．已知cos (75°＋x )＝13，其中x 为第三象限角，求cos (105°－x )－2cos (x －15°)的值． 【解】 由条件，得cos (105°－x )＝cos (180°－75°－x )＝－cos (75°＋x )＝－13， cos (x －15°)＝cos (－90°＋75°＋x )＝sin (75°＋x )． 又x 为第三象限角，cos (75°＋x )＞0， 所以x ＋75°为第四象限角． 所以sin (75°＋x )＝－223. 于是原式＝－13－2×(－223)＝1. 10．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin α＋3π2sin 3π2－αtan 22π－αtan π－αcos π2－αcos π2＋α的值． 【解】 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α·tan 2α－tan αsin α·－sin α＝tan α＝±34.11．已知角α的终边经过点P (45，－35)． (1)求sin α的值；(2)求sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值． 【解】 (1)∵P (45，－35)，|OP |＝1， ∴sin α＝－35.(2)sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54. 教师备课资源备选例题 已知f (α)＝sinα－3πcos 2π－αsin －α＋3π2cos －π－αsin －π－α. (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos (α－3π2)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【思路探究】 利用诱导公式化简，根据题中所给条件求值． 【自主解答】 (1)f (α)＝－sin αcos α－cos α－cos αsin α＝－cos α. (2)∵cos (α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限角，∴cos α＝－52－15＝－256， ∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－5×2π－π3，∴f (－31π3)＝－cos (－31π3)＝－cos (－5×2π－π3)＝－cos (－π3)＝－cos π3＝－12. 规律方法此类题目是关于三角函数式的化简与求值．解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解． 备选变式 已知f (θ)＝cos θ－3π2·sin 7π2＋θsin －θ－π. (1)化简f (θ)；(2)若f (θ)＝13，求tan θ的值；(3)若f (π6－θ)＝13，求f (5π6＋θ)的值．【解】 (1)f (θ)＝cos 3π2－θ·sin 3π2＋θ－sin π＋θ＝－sin θ·－cos θsin θ＝cos θ. (2)由题意得f (θ)＝cos θ＝13＞0，故θ为第一或第四象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22； 当θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－223，tan θ＝sin θcos θ＝－2 2. (3)由题意得f (π6－θ)＝cos (π6－θ)＝13，∴f (5π6＋θ)＝cos (5π6＋θ)＝cos [π－(π6－θ)]＝－cos (π6－θ)＝－13.。

1.3三角函数的诱导公式〔第2课时〕导学案【课前要点梳理】1.诱导公式〔奇变偶不变，符号看象限〕2.同角三角函数的根本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝ 〔α为任意角〕. (2)商数关系： ＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .【课堂互动探究】题型一 整体代换，利用角之间的关系求值典例1 〔1〕计算54cos53cos 52cos5cosππππ+++= . （2）假设534sin =+）（πθ，则)4(cos πθ-= . （3）316cos =-）（απ，求）（απαπ-⋅+32sin )65(cos 的值.小结：对于一些给值(式)求值问题，要注意角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，假设满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解． (1)常见的互余关系：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等． (2)常见的互补关系：π3＋α与23π－α；π4＋α与34π－α等． 【针对训练1】1.213sin =-）（απ，则)6(cos απ+= .2.3175cos =+）（。

α，则）（。

αα-+105cos )15-sin(的值是〔 〕 A.31 B.32 C. 31- D.32-【思考诊断】典例1〔2〕中，534sin =+）（πθ，求得)4(cos πθ-=.假设534sin =+）（πθ，且α为第四象限角，则)4(tan πθ-= .题型二 诱导公式与同角三角函数关系的综合应用 典例2 〔1〕假设21sin =+）（απ，)0,2(πα-∈，则）（απ-tan = . 变式：假设21sin =+）（απ，则）（απ-tan = .〔2〕+。

1sin 2+。

2sin 2+。

3sin 2。

89sin 2+ = .小结：解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或者求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数关系进行化简或者求值．〔统一角，统一函数名〕【针对训练2】1.+。

1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。

【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。