§7向量应用举例(二)

7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例课时跟踪检测一、选择题1．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量P ＝(k ＋1,2k －3)，且P ∥v ，则k 的值为(向量v 为l 的方向向量)( )A ．73 B ．136C ．163D ．－83解析：l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与P 平行得 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.答案：D2．和直线3x －4y ＋7＝0平行的向量a 及垂直的向量b 分别是( ) A ．a ＝(3,4)，b ＝(3，－4) B ．a ＝(－3,4)，b ＝(4，－3) C ．a ＝(4,3)，b ＝(3，－4) D ．a ＝(－4,3)，b ＝(3,4)解析：直线3x －4y ＋7＝0的方向向量为(4,3)，法向量为(3，－4)，故a ＝(4,3)，b ＝(3，－4)．答案：C3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.故选C ．答案：C4．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析：设5秒后点P 运动到点A ，则PA →＝PO →＋OA →＝5v ＝(20，－15)，∴OA →＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．答案：C5．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积解析：∵|b ·c |＝|b |·|c |·|cos θ|，如图，∵a ⊥c ，∴|b |·|cos θ|就是以a ，b 为邻边的平行四边形的高，而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b |·|cos θ|)，∴|b ·c |表示以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选C ． 答案：C6．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：∵F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)，∴|F 3|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝4＋16＋2|F 1|·|F 2|·cos60°＝20＋2×2×4×12＝28.∴|F 3|＝27. 答案：D 二、填空题7．已知作用在A (1,1)点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为________．解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又∵起点坐标为A (1,1)，∴终点坐标为(9,1)． 答案：(9,1)8．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 与向量b 夹角的大小是________． 解析：设a 与b 夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝1＋2cos θ＝0，整理得cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π49．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，则AO →·BC →等于________．解析：AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝ 12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 答案：52三、解答题10．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 边长为a ，则B ，D ，C 的坐标分别为(a,0)，(0，a )，(a ，a )．∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2.从而DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0－(0，a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2－(0,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，∴DE →·AF →＝a2×a ＋(－a )×a 2＝0.∴DE →⊥AF →，故AF ⊥DE .11．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)． (1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.解：(1)由题知，AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， ∴AB →·AC →＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0. 设向量CA →、CB →夹角为θ， 根据夹角公式cos ∠ACB ＝cos θ＝CA →·CB→|CA →||CB →|.∵CA →＝(1,3)，CB →＝(4,2)，∴cos ∠ACB ＝ 4＋610×20＝22，∴∠ACB ＝π4. ∵AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →，即AB ⊥AC . 又∵|AB →|＝ 32＋(－1)2＝10， |AC →|＝ (－1)2＋(－3)2＝10. ∴|AC →|＝|AB →|，即AC ＝AB ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．(2)∵M 为BC 的中点，∴M (2,0)，∴AM →＝(1，－2)，∴|AM →|＝1＋4＝ 5.12．已知正方形ABCD 的面积为36，E 为AB 中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．解：分别以AB 、AD 所在直线为x 轴和y 轴，建立坐标系．∵正方形面积为36，∴其边长为6. 则B (6,0)，C (6,6)，E (3,0)，F (6,4)，∴AF →＝(6,4)，EC →＝(3,6)， 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )， EP →＝(x －3，y )，由于AP →∥AF →，且EP →∥EC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.∴S △APE ＝12×3×3＝92，S △BCE ＝12×3×6＝9.∴S 四边形APCD ＝36－92－9＝452.能力提升13.如图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形． 解：(1)设B 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝|OA →|＋|AB →|cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝2＋12＝52， y 0＝|AB →|sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝32.∴OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32. ∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32＋(－1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332. (2)证明：连接OC ，∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又|OC →|≠|AB →|， |OA →|＝|BC →|＝2，∴四边形OABC 为等腰梯形．。

向量在物理中的应用举例高中数学　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语　向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1　如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解　如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1　用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案　10解析　设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2　(教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2　某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案　60　30°解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3　已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解　如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3　一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案　－40解析　∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案　C 解析　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案　D解析　两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案　D 解析　F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案　D解析　作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案　A解析　在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案　D解析　因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案　D解析　为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案　B解析　由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案　D解析　如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案　BD解析　根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案　π4解析　设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案　0.5解析　如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案　B解析　对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案　D解析　设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案　－53737解析　因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案　0　98解析　物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案　AC 解析　设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解　设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。

§7 向量应用举例填一填1.若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝________.2．直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的法向量(1)与直线的方向向量________的向量称为该直线的法向量． (2)若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的一个法向量为n＝________与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝________.3．平面几何中的向量方法(1)证明线段相等，转化为证明向量的________相等；求线段的长，转化为求向量的________．(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量________． (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量________． (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的________问题．(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，判一判1.求力F 1和F 2( )2．若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) 3．若向量AB→∥CD →，则AB ∥CD .( ) 4．若AB→∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( ) 5．向量AB→，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角不相等．( ) 6．力是既有大小，又有方向的量，所以也是向量．( )7．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．( )8．四边形ABCD 中，若向量AB→∥CD →，则该四边形为平行四边形．( )想一想提示：(1)证明线段相等：通过向量运算，证明AB 2→＝CD 2→，即可证明AB ＝CD .(2)证明线段平行：利用AB→＝λCD →，点A ，B ，C ，D 不共线，可以证明AB ∥CD ，特别地，当λ＝1时，AB 綊CD .(3)证明线段垂直：利用AB →·CD→＝0，证明两线段垂直． (4)证明三点共线：利用AB→＝λAC →(λ∈R )可以证明A ，B ，C 三点共线，也可变形为OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y ∈R ，x ＋y ＝1)，其中O 为空间任意一点．(5)证明四点共面：利用P A →＝λPB →＋μPC →(λ，μ∈R )可以证明点P ，A ，B ，C 四点共面．(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用|a |＝a ·a 求长度． 思考感悟：练一练1.已知点A (－( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B.AB→⊥BC → C ．A ，B ，C 是等腰三角形的顶点 D ．A ，B ，C 是钝角三角形的顶点2．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C ．2 2D ．53．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________．4．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________.知识点一平面向量在平面几何中的应用1.已知a ＝(－1，3)，OA＝a －b ，OB ＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．42．如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .知识点二 平面向量在解析几何中的应用与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM→＝OA →＋OB →. 若点M 在圆C 上，则实数k ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．14．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，OC →＝52OA →－22OB →，|AB →|＝22，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM→的值为________．知识点三 平面向量在物理中的应用5.123处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角且|F 1|＝2，|F 2|＝4，则|F 3|＝( )A ．6B ．2C ．2 3D ．276．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．综合知识 建坐标系解决向量问题7.在线段AB 上运动，则EC →·EM→的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．[0,1] 8．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB→的值为____________，DE →·DC→的最大值为____________．基础达标一、选择题1．平面上有四个互不相同的点A ，B ，C ，D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB→－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定2．在△ABC 中，有下列命题：①AB →－AC →＝BC → ②AB →＋BC →＋CA →＝0 ③若AC →·AB→>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的命题有( )A ．①②B ．①③C ．②D ．①②③3．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD→＝0，则四边形为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形4．已知△ABC 所在平面内的一点P 满足P A →＋2PB →＋PC →＝0，则S △P AB :S △P AC :S △PBC ＝( )A ．1:2:3B ．1:2:1C ．2:1:1D ．1:1:25．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)6．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 2 JC ．24 3 JD ．24 6 J7．若O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．已知直线l 与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，AB→＝2i －3j (i ，j 分别是与x ，y 轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l 的方程是( )A ．3x －2y ＋6＝0B ．3x ＋2y ＋6＝0C ．2x ＋3y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0 二、填空题9．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是________．10．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若AE →·DB →＝－2，则AE →·BE →＝________.11.如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，则对角线AC 的长为________．12．一物体受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为60°，F1，F2的模分别为3和4，则cos〈F1，F3〉＝________.三、解答题13．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF 交于点P. 求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.14.已知两个恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j作用于同一个质点，由点A(20,15)移动到点B(7,0)，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功．能力提升15.已知Rt△ABC，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB.(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．16．在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．§7 向量应用举例 一测 基础过关填一填1.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 22．(1)垂直(2)(A ，B ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫A A 2＋B2，B A 2＋B 2 3．(1)模 模 (2)平行 (3)垂直 (4)夹角判一判1．√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.√ 7.√ 8.× 练一练1．D 2.D 3.－11 4.等腰梯形二测 考点落实1．解析：因为a ＝(－1，3)，所以|a |＝1＋3＝2.设AB 中点为C ，则OC →＝12(OA →＋OB →)＝a ，则|OC →|＝|a |＝2. 在直角三角形AOB 中，|AB →|＝2|OC →|＝4，所以S △AOB ＝12×4×2＝4.答案：D2．解析：方法一：设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a (0<a <1)， 则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ，所以DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →) ＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF → ＝1×a ×cos 180°＋1×(1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×(1－a )×cos 45°＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0.所以DP→⊥EF →，即DP ⊥EF .方法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P (x ，x )，则D (0,1)，E (x,0)，F (1，x )，所以DP→＝(x ，x －1)，EF →＝(1－x ，x )， 由于DP →·EF →＝x (1－x )＋x (x －1)＝0， 所以DP→⊥EF →，即DP ⊥EF . 3．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入x 2＋y 2＝4， 整理得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，所以，y 1＋y 2＝2kk 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，OM →＝OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1， 由于点M 在圆C 上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2＋12＝4，解得k ＝0. 答案：C4．解析：易知OM ⊥AB ，且OM ＝22－(2)2＝ 2 OC →·OM → ＝52OA →·OM →－22OB →·OM →＝52OM 2→－22OM 2→ ＝52×(2)2－22×(2)2＝5－ 2. 答案：5－ 25．解析：因为物体处于平衡状态， 所以F 1＋F 2＋F 3＝0， 所以F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2 ＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝4＋16＋2×2×4×12＝27. 答案：D 6.解析：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v －a ，设OA→＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ， 因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ， 这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO→＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a . 于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB→. 由题意：∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ，所以实际风是每小时2a 千米的西北风．7．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)， 所以EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC →＝(1－x,1)， 所以EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12， 因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EC →·EM →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 答案：C8．解析：建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)，0≤x 0≤1，则DE →＝(x 0，－1)，所以DE →·CB →＝1，又DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1，所以DE →·DC →的最大值为1.答案：1；1 三测 学业达标1．解析：由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得[(DB→－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0，所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，所以|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB→|＝|AC →|，故△ABC 是等腰三角形．答案：B2．解析：AB →－AC →＝CB →＝－BC →≠BC →，∴①错误.AB→＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0，∴②正确.AC →·AB →>0⇒cos 〈AC →，AB →〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴③错误. 故选C.答案：C3．解析：由题可知AB→∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，故四边形为菱形．答案：D4．解析：延长PB 至D ，使得PD →＝2PB →，于是有P A →＋PD→＋PC →＝0，即点P 是△ADC 的重心，依据重心的性质，有S △P AD ＝S △P AC ＝S △PDC .由B 是PD 的中点，得S △P AB S △P AC S △PBC ＝12 1.答案：B5．解析：物体平衡，则所受合力为0，即f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．答案：D6．解析：如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3，33)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,2＋43)．又位移s ＝(42，42)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝246(J)．答案：D7.解析：如图，取AB 的中点E ，连接OE ，则OA→＋OB →＝2OE →. 又OA→＋OB →＋OC →＝0， 所以OC→＝－2OE →. 又O 为公共点，所以O ，C ，E 三点共线，且|OC→|＝2|OE →|. 所以O 为△ABC 的重心．答案：D8．解析：由于i ，j 分别是与x ，y 轴的正半轴同方向的单位向量，所以AB→＝(2，－3)，而A ，B 分别在x 轴，y 轴上，可得A (－2,0)，B (0，－3)，由此可得直线l 的方程为3x ＋2y ＋6＝0.答案：B9．解析：∵A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，∴AC→＝(－3,3)，AB →＝(1,1)， ∴AC →·AB→＝0， ∴AC→⊥AB →，△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形10．解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2a ，则E (a,2a )，B (2a,0)，D (0,2a )，可得AE→＝(a,2a )，DB →＝(2a ，－2a )， 若AE →·DB→＝－2， 则2a 2－4a 2＝－2，解得a ＝1，∴BE→＝(－1,2)，AE →＝(1,2)， 则AE →·BE→＝3. 答案：311．解析：设AD→＝a ，AB →＝b ， 则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ， 而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC→|＝6，即AC ＝ 6.答案： 612．解析：∵－F 3＝F 1＋F 2，∴|F 3|2＝|F 1＋F 2|2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝9＋2×3×4×12＋16＝37，则|F 3|＝37，又∵－F 2＝F 1＋F 3，∴|F 2|2＝|F 1|2＋2F 1·F 3＋|F 3|2，即16＝9＋2F 1·F 3＋37，解得F 1·F 3＝－15.∴cos 〈F 1，F 3〉＝F 1·F 3|F 1||F 3|＝－153×37＝－53737. 答案：－5373713．证明：(1)以A 为坐标原点，以AB→的方向为x 轴的正方向，以AD→的方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0，1)．∵BE→＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)， ∴BE →·CF→＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE→⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设P (x ，y )，则FP→＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP→∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)， 即x ＝2y －2.①同理，由BP→∥BE →，得y ＝－2x ＋4.② 由①②得x ＝65，y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴|AP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝|AB →|2， ∴|AP→|＝|AB →|，即AP ＝AB . 14．解析：(1)因为A (20,15)，B (7,0)，所以AB→＝(7－20，0－15)＝(－13，－15)． 因为i ⊥j ，所以F 1对质点所做的功W 1＝F 1·AB →＝(i ＋2j )·(－13i －15j )＝－13i 2－41i ·j －30j 2＝－43，F 2对质点所做的功W 2＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝－52i 2＋5i ·j ＋75j 2＝23.(2)解法一：因为F ＝F 1＋F 2＝5i －3j ，所以W ＝F ·AB →＝(5i －3j )·(－13i －15j )＝－65i 2－36i ·j ＋45j 2＝－20.解法二：W ＝W 1＋W 2＝－43＋23＝－20. 15.解析：(1)以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)．因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2， 所以|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB→|＝m 2＋n 2， 所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB . (2)因为E 为CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4， 设F (x,0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ， AF→＝(x ，－m )． 因为A ，E ，F 三点共线，所以AF→＝λAE →. 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m . 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34mλ， 故λ＝43，即x ＝n 3，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0， 所以|AF →|＝13n 2＋9m 2， 即AF ＝13 n 2＋9m 2.16.解析：设ω＝风速，v a ＝有风时飞机的航行速度，v b ＝无风时飞机的航行速度，则v b ＝v a －ω.显然有v b ，v a ，ω构成三角形．如图所示，设|AB →|＝|v a |，|BC →|＝|ω|，|AC →|＝|v b|， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于点D ，BE ⊥AD 于点E ，则∠BAD ＝45°.由题意知|AB →|＝150，|BC →|＝75(6－2)， ∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752，|DA →|＝75 6.从而|AC →|＝1502，∠CAD ＝30°.即没有风时飞机的航速为150 2 km/h ， 方向为西偏北30°.由Ruize收集整理。

《§7.2向量的应用举例》教学设计进行分析和计算，在此过程中培养学生探究问题和解决问题的能力。

【知识与能力目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题。

2.了解直线法向量的概念。

3. 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具。

【过程与方法目标】体会由理论到实际的解决问题的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过学习，使学生认识到用向量的方法从数学的角度刻画现实问题的作用，培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。

【教学重点】利用向量的有关计算及相应的意义解决实际问题。

【教学难点】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

教材整理：向量应用举例阅读教材P 101～P 103，完成下列问题。

1．点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2。

2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量。

(2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用。

巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0。

( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行。

( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补。

( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)。

( )【解析】 △ABC 是直角三角形，若∠A ＝90°，则AB →·BC →≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确。