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平面几何的几个重要的定理~~梅涅劳斯定理

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平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。

的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ '''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP CE//BF CKEFKB KEBKKC KF BEBKFC KF BEBK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CEBH 90HCB ACE HCB HBC ACEHBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证： 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆C BA1A 1B 1C 三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-= 直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习EAAZ DC CY CEFBXC BX AF AE 1FB AFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆ ==⋅⋅共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VBUC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆；相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’‘M CR BQ AP R R AB R R RB AR B R AR BR AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB ARQA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCMACMABMBCMACM ABMCMP BMP ACP ABP 111=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1交于一点；成立，即而显然有：我们只须证明，，，的中线证明：记ABC AB CBC A BA B C AC A B CB C A BA B C AC AB CBC A BA B C AC CC BB AA ABC ∆∴=⋅⋅====⋅⋅∆1,,1111111111111111111111分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1ABCP P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ⊥∠∆，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2ABCP P AN BM CK BLBCAC AL BLBCAC AL BLBCNB BK BKC BNL ACALAK AM AKC AML NBBKAK AM CNMC AKBKNB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK ABCK ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒∆≅∆=⇒∆≅∆=⋅==⋅⋅⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1111FDAEDA ANAM BF BD AF CE CD AE FBAFEA CE DC BD P CF BE AD BFBD AF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF ANF CDE AME BC MN BCAD ∠=∠∴=∴⋅=⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴∆≅∆∆≅∆⊥1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故三线共点；、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=∠=∠=∠=∠=∠∆,,3K LNMCBAFDAEDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3ANAM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。

欲证、交于的延长线分别、的垂线，与作证：过于一点；也相交、、直线分线对称于这些直线的一点，证明，关于角平相交于、、，使、、上取点、、的边】在【练习2221111114CC BB AA CC BB AA C B A AB CA BC ABC ∆BA B CBB AC A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC C B A AB CA BC ABC 111111111111111sin sin sin sin sin sin .4∠∠⋅∠∠⋅∠∠=⋅⋅∆证明：，、、上取点、、的边在例BAB CBB AC A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC C ABA B CBB A B CB BC AC A BAA C A BA A B CB C ACC B C AC CBC BB C CC AACC C C AC BCC ACC 11111111111111111111111111111111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=⋅⋅∠∠⋅∠∠=∠∠⋅∠∠=∠∠⋅∠∠=∠∠=∠∠=∆∆从而同理：即：应用正弦定理，可得：和证：如图对一点；三角形的角平分线交于的角平分线分别是证：记答案：练习∴=⋅⋅∴===∆1,,,,,1111111111111111AB CBC A BA B C AC c aA B CB b c C A BA a b B C AC CC BB AA ABC同理可得：则：则：＝，那么＝设的角平分线分别是证：记锐角答案：练习=⋅⋅∴-+=-+=-+=-+=-+=-+==⇒-==---∆12,22,222)(,,,,21111112221222122212221222122212212211111AB CBC A BA B C AC ac a b C A a b a c BA c b c a B C c a c b AC ba b c A B bc b a x CB x a BB x b c x b AB x CB CC BB AA ABC平面几何的几个重要定理－－托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之)sin(sin )sin(sin )sin(sin )sin(sin )sin(sin )sin(sin 1)sin(1)sin(sin sin ,,3ααγγγγββγγββγβ+∠⋅+∠⋅+∠⋅+∠⋅+∠⋅+∠⋅=⋅+∠⋅⋅⋅+∠⋅⋅=∠∠==∠∠∠∆∆∆A BA C BC ANCN C AC B AB CM BM C AC B AB AMC CM AC AM A BM AB CAM AC BAM AB S S CMBM CB A ABC R AB CR N AC BN M BC AM ACM ABM ＝同理：＝即：、、三个内角分别记为的交于与，交于与交于与证：设的答案：练习‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘三点共线。

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数学奥赛平面几何

数学奥赛平面几何

《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。

5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。

（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。

平面几何中的几个重要定理

平面几何中的几个重要定理

平面几何中的几个重要定理一．塞瓦定理塞瓦（G 。

Ceva 1647—1743），意大利著名数学家。

塞瓦定理 设S 为ABC ∆三边所在直线外一点，连接CS BS AS ,,分别和ABC ∆的边或三边的延长线交于R Q P ,,（如图1），则1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理。

塞瓦定理逆定理 设R Q P ,,为ABC ∆的边或三边的延长线上的三点（R Q P ,,都在三边上或只有其中之一在边上），如果有1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP ，则三直线CR BQ AP ,,交于一点或互相平行。

ABCSPQRABCPQR2图ABCSPQRBACSP QR1图例1． 如图3，P 是ABC ∆内一点，CP BP AP ,,分别与边ABCA BC ,,交于F E D ,,，过FE D ,,三点作圆，与三边交于F E D ''',,。

求证：F C E B D A ''',,交于一点。

例2．设C B A ''',,分别为ABC ∆三边AB CA BC ,,的中点，P 为C B A '''∆内一点，P C P B P A ''',,分别交B A A C C B '''''',,于N M L ,,（如图4）。

求证：CN BM AL ,,三线共点。

例3． 以ABC ∆各边为底边向外作相似的等腰三角形ABGCAF BCD ,,（如图5）。

求证CG BF AE ,,相交于一点。

3图∙B 'ABCA 'L 'M 'N 'C 'MNP K 4图E MNLABCFG5图二．梅涅劳斯定理Menelaus （公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里。

平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理

平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理

平面几何的几个重要的定理（一）梅涅劳斯定理一、基础知识梅涅劳斯定理 若直线l 不经过△ABC 的顶点，并且与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线分别交于P 、Q 、R ，则1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅= 梅涅劳斯定理的逆定理 设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线上的三点（并且P 、Q 、R 三点中，位于△ABC 边上的点的个数为0或2），若1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅=，则P 、Q 、R 三点共线.由和分比定理可得R R '∴与重合 ∴P 、Q 、R 三点共线二、典型例题与基本方法1. 恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1 如图，在四边形ABCD 中，△ABD 、△BCD 、△ABC 的面积之比是3∶4∶1，点M 、N 分别在AC 、CD 上，满足AM ∶AC =CN ∶CD ，且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点.A BC DM N1A B C C B A C A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：BP 1PC CQ AR PQ AB R QA R B ''⋅⋅='证：设直线与直线交于，于是由梅氏定理得：BP 1PC CQ AR AR AR QA RB R B RB '⋅⋅='又，则：＝AR AR AB AB'＝2. 梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2 点P 位于△ABC 的外接圆上，111A B C 、、是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足，证明点111A B C 、、共线.三、解题思维策略分析1. 寻求线段倍分的一座桥梁例3 △ABC 是等腰三角形，AB=AC ，M 是BC 的中点；O 是AM 延长线上的一点，使得OB ⊥AB ； Q 为线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 、F 分别在直线AB 、AC 上使得E 、Q 、F 是不同的和共线的．求证：（1）若OQ EF ⊥，则QE QF =；（2）若QE QF =，则OQ EF ⊥.111111*********|cos |,|cos ||cos ||cos ||cos ||cos |,,1801BA BP PBC CA CP PCB CB CP PCA AB AP PAC AC AP PAB BC PB PBA PAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC CA AB BC A B C ⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=︒⋅⋅证：易得：将上面三个式子相乘，且可得＝依梅涅劳斯定理可知、、三点共线.2. 导出线段比例式的重要途径例4 直角△ABC 中，CK 是斜边上的高，CE 是∠ACK 的平分线，E 点在AK 上，D 是AC的中点，F 是DE 与CK 的交点. 求证：//BF CE .3. 论证点共线的重要方法例5 设不等腰△ABC 的内切圆在三边BC CA AB 、、上的切点分别为D E F 、、，证明：EF 与CB ，FD 与AC ，ED 与AB 的交点X Y Z 、、在同一条直线上.X Y Z ABC X Y Z ∆又、、都不在的边上，由梅氏定理的逆定理可得、、三点共线 例6 如图，△ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，点X 是△ABC 的一个内点，△XBC 的内切圆也在点D 处与BC 边相切，并与CX 、XB 分别相切于点Y 、 Z. 证明：EFZY 是圆内接四边形.11BX CE AF ABC XFE XC EA FB ∆⋅⋅=证：被直线所截，由定理可得：BX FB AE AF XC CE=又代人上式可得：＝CY DC AZ EA YA AF ZB BD同理可得：＝＝1BX CY AZ XC YA ZB⋅⋅=将上面三条式子相乘可得：。

平面几何的著名定理

平面几何的著名定理

平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。