高中数学必修5数列求和精选题目(附答案)

课时训练14 数列求和一、分组求和1.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A.15B.12C.-12D.-15 答案:A解析:∵a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +n+2n (n ∈N *),则a n 为( )A.n (n -1)2+2n-1-1 B.n (n -1)2+2n -1 C.n (n+1)2+2n+1-1 D.n (n -1)2+2n+1-1 答案:B解析:∵a n+1=a n +n+2n ,∴a n+1-a n =n+2n .∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)=1+(n -1)n 2+2(1-2n -1)1-2=n (n -1)2+2n -1. 3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{a n }为等差数列,a 5=5,d=1;数列{b n }为等比数列,b 4=16,q=2.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)∵数列{a n }为等差数列,a 5=5,d=1,∴a 1+4=5,解得a 1=1,∴a n =1+(n-1)×1=n.∵数列{b n }为等比数列,b 4=16,q=2,∴b 1·23=16,解得b 1=2,∴b n =2×2n-1=2n .(2)∵c n =a n +b n =n+2n ,∴T n =(1+2+3+…+n )+(2+22+23+…+2n )=n (n+1)+2(1-2n )=n 2+n +2n+1-2. 二、裂项相消法求和4.数列{a n }的通项公式a n =11+2+3+…+n ,则其前n 项和S n =( )A.2n n+1B.n+12nC.(n+1)n 2D.n 2+n+2n+1答案:A解析:∵a n =11+2+3+…+n =2n (n+1)=2(1n -1n+1), ∴S n =a 1+a 2+…+a n=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2n n+1.5.11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1)= . 答案:n 2n+1解析:∵1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1)=12(1-13+13-15+15-17+…+12n -1-12n+1) =12(1-12n+1)=n 2n+1. 6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n .等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,且b 2+S 2=12,a 3=b 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)求数列{1S n }的前n 项和T n . 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q ,由已知可得{q +3+3+d =12,q 2=3+2d ,又q>0,∴{d =3,q =3, ∴a n =3+3(n-1)=3n ,b n =3n-1.(2)由(1)知数列{a n }中,a 1=3,a n =3n ,∴S n =n (3+3n )2,∴1S n=2n (3+3n )=23(1n -1n+1), ∴T n =23(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=23(1-1n+1)=2n 3(n+1). 三、错位相减法求和7.数列22,422,623, (2)2n ,…前n 项的和为 .答案:4-n+22n -1解析:设S n =22+422+623+ (2)2n ,① 12S n =222+423+624+ (2)2n+1,② ①-②得(1-12)S n =22+222+223+224+…+22n −2n2n+1=2-12n -1−2n2n+1.∴S n =4-n+22n -1.8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q=d ,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =a nb n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)由题意有,{10a 1+45d =100,a 1d =2,即{2a 1+9d =20,a 1d =2,解得{a 1=1,d =2,或{a 1=9,d =29.故{a n =2n -1,b n =2n -1,或{a n =19(2n +79),b n =9·(29)n -1.(2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2−2n -12n =3-2n+32n ,故T n =6-2n+32n -1.(建议用时:30分钟)1.数列{a n }的通项公式是a n =√n+√n+1,若前n 项和为10,则项数为( )A .11B .99C .120D .121答案:C解析:∵a n =√n+√n+1=√n +1−√n ,∴S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3−√2)+…+(√n +1−√n )=√n +1-1,令√n +1-1=10,得n=120.2.已知数列{a n }的通项公式a n =2n -12n ,其前n 项和S n =32164,则项数n 等于( ) A .13B .10C .9D .6 答案:D解析:a n =2n -12n =1-(12)n . ∴S n =n-12(1-12n )1-12=n-1+12n =32164=5+164,∴n=6. 3.数列{a n }的通项公式a n =n cos nπ2,其前n 项和为S n ,则S 2 012等于( )A.1 006B.2 012C.503D.0 答案:A 解析:∵函数y=cos nπ2的周期T=2ππ2=4,∴可分四组求和:a 1+a 5+…+a 2 009=0,a 2+a 6+…+a 2 010=-2-6-…-2 010=503×(-2-2 010)2=-503×1 006, a 3+a 7+…+a 2 011=0,a 4+a 8+…+a 2 012=4+8+…+2 012=503×(4+2 012)2=503×1 008. 故S 2 012=0-503×1 006+0+503×1 008=503×(-1 006+1 008)=1 006.4.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 12+a 22+…+a n 2等于( ) A.(2n-1)2B.13(2n -1) C.4n -1D.13(4n -1) 答案:D 解析:根据前n 项和S n =2n -1,可求出a n =2n-1,由等比数列的性质可得{a n 2}仍为等比数列,且首项为a 12,公比为q 2,∴a 12+a 22+…+a n 2=1+22+24+…+22n-2=13(4n -1).5.已知数列{a n }:1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…,那么数列{b n }={1n n+1}前n 项的和为( ) A .4(1-1n+1)B .4(12-1n+1)C .1-1n+1D .12−1n+1 答案:A解析:∵a n =1+2+3+…+n n+1=n (n+1)2n+1=n 2,∴b n =1n n+1=4=4(1-1). ∴S n =4(1-12+12-13+13-14+…+1n -1n+1) =4(1-1n+1). 6.如果lg x+lg x 2+lg x 10=110,那么lg x+lg 2x+…+lg 10x= .答案:2 046解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,∴55lg x=110.∴lg x=2.∴lg x+lg 2x+…+lg 10x=2+22+…+210=211-2=2 046.7.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81.若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列{1b n b n+1}的前2 013项的和为 .答案:2 0132 014解析:a41=q 3=27,∴q=3.∴a n =a 1·q n-1=3×3n-1=3n .∴b n =log 3a n =n.∴1b n ·b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1, ∴数列{1bn ·b n+1}的前2 013项的和为: (1-12)+(12-13)+…+(12 013-12 014)=1-12 014=2 0132 014.8.已知等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg a n的前n项和S n等于.答案:1+(n-1)·2n解析:∵{a n}是等比数列,∴a4a2n-4=a n2=102n.∴a n=10n,∴2n-1lg a n=n·2n-1.利用错位相减法求得S n=1+(n-1)2n.9.正项数列{a n}满足:a n2-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=1(n+1)a n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由a n2-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0.由于{a n}是正项数列,所以a n=2n.(2)由a n=2n,b n=1(n+1)a n,则b n=12n(n+1)=12(1n-1n+1),T n=12(1-12+12−13+…+1n-1−1n+1n−1n+1)=12(1-1n+1)=n2(n+1).10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*.(1)求a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.解:(1)由S n=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1.当n=1时,4×1-1=3.所以a n=4n-1,n∈N*.由4n-1=a n=4log2b n+3,得b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知a n b n=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以T n=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2T n=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2T n-T n=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故T n=(4n-5)2n+5,n∈N*.。

高三数学数列求和试题答案及解析1.设数列的前项积为，且（n∈N*）．（1）求，并证明：；（2）设，求数列的前项和．【答案】（１），祥见解析；（２）．【解析】（１）n取1,2,3求出，再利用与的关系将已知等式用表示即可证明；（２）由（1）问的结论利用等差数列的通项公式先求出的通项，再由通项利用裂项相消法求．试题解析：（1）由题意可得：，所以 5分（2）数列为等差数列，，， 10分【考点】１．数列的通项公式；２．数列的前n项和．2.已知函数且an ＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100 C．-100 D．10200【答案】B【解析】由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，选B.3.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出. 试题解析：（1）解法1：当时，， 当时，.是等差数列， ，得. 又，，，、、成等比数列， ，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.， ，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，② ①②得..解法2：由（1）得.，.，① 由，两边对取导数得，.令，得..【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导4. 数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )． A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830【答案】D【解析】∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1， 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，从而a2k＋1＋a2k－1＝2，a2k＋3＋a2k＋1＝2，因此a2k＋3＝a2k－1，∴a1＝a5＝a9＝…＝a61，于是S60＝a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝1 830.5.如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是 .【答案】【解析】根据流程图可知它的作用是求的值，由等差数列的前项和公式可知，.【考点】1.程序框图及其应用；2.等差数列的前项和6.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图7.数列中，已知且，则前项和为，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以公差，由得，所以.【考点】1、等差数列的定义；2、等差数列的前项和公式.8.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{bn }的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由于数列的递推式的结构为，在求数列的通项的时候可以利用累加法来求数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列的前项和，在比较与的大小时，一般利用作差法，通过差的正负确定与的大小，在确定差的正负时，可以利用数学归纳法结合二项式定理进行放缩来达到证明不等式的目的.试题解析：（1）当时，.又也适合上式，所以.（2）由（1）得，所以.因为①，所以②.由①－②得，，所以.因为，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，.【考点】累加法、错位相减法、二项式定理9.已知数列的通项公式为，那么满足的整数（）A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在【答案】B【解析】时，，所以，此时从到共项，从到共项，或,有2个值【考点】数列求和点评：本题中数列求和要依据通项公式特点分两种情况，分别讨论所求各项所属的范围及应代入的公式，第二种情况找到各项中正负项分界的位置是难点10.已知数列满足，则的前n项和_____【答案】【解析】根据题意，由于故可知的前n项和，故答案为【考点】数列的递推关系点评：主要是考查了数列的递推关系的运用，来求解数列的通项公式以及数列的和的运用，属于中档题。

高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。

掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。

本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。

一、简单求和练习1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。

解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为：S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。

2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。

解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。

二、综合应用题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。

解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到：139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2)化简得：139 = (n/2)(2n + 4)278 = n(2n + 4)2n^2 + 4n - 278 = 0解这个一元二次方程，得到n ≈ 11所以，该等差数列的项数为11。

2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。

故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.
一、选择题
1．已知 an＝(－1)n，数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S9 与 S10 的值分别是(
A．1,1
B．－1，－1
C．1,0
【解析】
S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.
)
D．－1,0
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
【答案】
503×(4+2 012)
=503×1
2
a4+a8+…+a2 012=4+8+…+2 012=
008.
故 S2 012=0-503×1 006+0+503×1 008
=503×(-1 006+1 008)=1 006.
4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则12 + 22 +…+2 等于(
=1-
=
1
,
+1
2 013
.
2 014
1
1
)
2 013 2 014
2 013 项的和
8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4·a2n-4=102n,则数列 lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg
a4,…,2n-1lg an 的前 n 项和 Sn 等于
.
答案:1+(n-1)·2n
解析:∵{an}是等比数列,∴a4a2n-4=2 =102n.
∴an=10n,∴2n-1lg an=n·2n-1.
利用错位相减法求得 Sn=1+(n-1)2n.
9.正项数列{an}满足:2 -(2n-1)an-2n=0.