灌南高级中学高二数学试题 必修5第二章数列复习专题 2018.2
一、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列
数列的通项公式：⎩⎨
⎧≥-===-)2()
1(111n S S n S a a n n
n 数列的前
n 项和：n n a a a a S ++++= 321
2.等差数列
等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
等差数列的判定方法:
（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
等差数列的通项公式：
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：① 2)
(1n n a a n S +=
②d n n na S n 2
)1(1-+=
说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
等差中项：
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2
b a A +=或b a A +=2
说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=
（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。 也就是： =+=+=+--23121n n n
a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k
k S S 23-成等差数列。如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 3.等比数列
等比数列的概念：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。 等比中项：
如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么G
b a
G =，即ab G =2。
等比数列的判定方法：
（1）定义法：对于数列{}n a ，若)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列。
（2）等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。 等比数列的通项公式：
如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。 等比数列的前n 项和：
○
1)1(1)1(1≠--=q q q a S n n ○2)1(11≠--=q q
q a a S n n ○3当1=q 时，1
na S n =
等比数列的性质：
①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，
m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=
②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n
a a a a a a 。如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321 ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等
比数列。如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 4.数列前n 项和 （1）重要公式：
2
)
1(321+=
+++n n n ； 6
)12)(1(3212222++=
+++n n n n ；
2333)]1(2
1
[21+=++n n n
（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+ （3）等比数列中，n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+ （4）裂项求和：
1
1
1)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅） 四、递推关系通项公式的求法：
对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：
模式一：形如)(1n f a a n n +
=+递推式。由累加法可求得通项公式为
例1．（2007北京高考题）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式
模式二：形如)(1n f a a n n =+递推式。由)(1n f a a n n =+得
)(1
n f a a n
n =+，
