从效用函数得出需求函数的计算例子

消费者对商品的需求函数公式在市场经济中，消费者是商品需求的主体，而商品的需求函数则是描述消费者对商品需求的数学模型。

需求函数通常包含商品的价格、消费者收入、相关商品价格和其他影响因素等变量，通过建立需求函数，可以帮助我们理解消费者对商品的需求规律，进而指导企业的生产和营销策略。

一、商品价格对需求的影响商品价格是影响消费者需求的最重要因素之一。

一般来说，当商品价格上涨时，消费者购买该商品的意愿会下降，需求量会减少；反之，当商品价格下降时，消费者的购买意愿会增加，需求量会增加。

这种价格与需求的负相关关系可以用需求函数来表达，一般形式为：Qd = f(P)，其中Qd表示需求量，P表示商品价格，f()表示需求函数。

二、消费者收入对需求的影响消费者收入是另一个重要的影响因素。

一般来说，当消费者收入增加时，其购买能力增强，对商品的需求量也会增加；相反，当消费者收入减少时，购买能力减弱，对商品的需求量也会减少。

因此，需求函数通常还包括消费者收入变量，可以写成：Qd = f(P, Y)，其中Y表示消费者收入。

三、相关商品价格对需求的影响除了商品价格和消费者收入，相关商品的价格也会影响消费者对某一商品的需求。

相关商品可以分为替代品和互补品两种情况。

当替代品价格上涨时，消费者可能会转而购买该商品的替代品，从而导致对该商品的需求减少；而当互补品价格上涨时，消费者购买某一商品时还需要购买相应的互补品，从而导致对该商品的需求减少。

因此，需求函数还应包括相关商品价格变量，可以写成：Qd = f(P, Y, Pr)，其中Pr表示相关商品的价格。

四、其他影响因素对需求的影响除了商品价格、消费者收入和相关商品价格外，还有其他一些影响因素可能对商品需求产生影响。

例如，消费者的个人偏好、社会文化因素、市场推广活动等都可能对需求产生影响。

因此，需求函数可能还包括其他影响因素的变量，可以写成：Qd = f(P, Y, Pr, X)，其中X表示其他影响因素。

x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
16
列昂剔夫型效用函数的等效用曲线
U A [a x b y ]
x
, 1/
或 U Ax / 1, y / 2
y
17
第二节 效用最大法则与需求函数
问题？
简述：求极值的方法。
18
一、效用最大的数学模型
Max s.t
U ( x1, x2 ) p1x1 p2 x2 M
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 1
/( 1) 1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
31
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
a1/(1 ) 1
等效用曲线
x
U A xa yb
y
12
第2种类型： 不变替代弹性型、或者CES型
U A[a1x1 an xn ]
1
பைடு நூலகம்
13
•线性生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1
y
14
•CD生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
15
•一般CES生产函数形式：
p2 /( 1) a 1/(1 )
2
p /( 1) 2
M
34
• 于是可得最优支出比例为：
1
p1x1 :
p2 x2
a b
1
p1 p2
1
35

5、一个人的效用函数为 这里0<a<1，A>0。

假定存在内点解，请导出其马歇尔需求函数。

分析：目标函数为max: 约束为：St. p1x1+p2x2<=M 构造拉格朗日函数L=利用极值的一阶条件， dL/d =0结合预算方程p1x1+p2x2=M ，可得： X1=aw/p1 x2=（1-a ）w/p21、某个消费者的效用函数是 ，商品1和2的价格分别为p1和p2，此消费者的收入为m ，求瓦尔拉斯需求函数和效用为u 的支出函数。

分析：构造拉格朗日函数 max 结合一阶条件，有， 结合预算方程 可得瓦尔拉斯需求函数构造拉格朗日函数 Min由一阶条件，有 条件约束： 可得支出函数 e(p,u)= = 2、已知‘一个消费者对牛奶的需求函数为：x=10+w/(10p),其中x 为一周内牛奶的消费量，w=120元为收入，p=3元（每桶），现在假定牛奶价格从3元降为2元。

问：3.下面的说法对吗？为什么？某个消费者将它的全部收入花在两种商品上，其中一种商品是吉芬 商品。

如果吉芬商品的价格上升，那么另外一种商品的需求必定下降。

答案：正确。

因为：吉芬商品是一种劣等品,和正常商品正好相反，它的价格变化引起需求量与之发生同向变化，题中吉芬商品价格上升，则对其需求量增加，消费者有限的收入中花在吉芬商品上的就增加，用于另一种商品的收入就减少，在另一种商品价格不变的条件下，对其需求量也必然下降。

4、某个消费者的效用函数为 。

令p1、p2与m 分别表示商品1的价格、商品2的价格与收入。

（1）如果m 为24，p1为1，p2为1，现在p1上升为2，求此消费者关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应。

（2）根据计算验证恩格尔合并条件。

分析：构造拉格朗日方程，求解瓦尔拉斯需求函数，可得11212(,),u x x Ax x αα-=11212(,),u x x Ax x αα-=1121122(p x p x m)Ax x ααλ-++-12L L 0,0;d d dx dx ==21212(,)u x x x x =2121122L x x (m p x p x )λ=+-+1122p x 2p x =1122p x p x+112m x 3p =22m x 3p =2112212L p x p x (x x u)λ=++-123112p u x ()p =1213222p u x ()4p =21212(,)u x x x x =1122p x p x +21212(,)u x x x x =112m x (p,m)3p =22m x (p,m)3p =113231211e(p,u)(2+)(p p u)43=31)2(),,(2123221121u p p x p x p u p p e h h =+=间接效用函数求解EMP 问题，得到支出函数 ，得解得到支出函数希克斯需求函数关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应，由斯拉茨基方程对应结果为（1） （2）计算可得， 可知，满足恩格尔合并条件 作业一：设消费者的反需求函数为p=a-bq ，这里，a,b>0。

（⾼级微观笔记）⽀出函数与希克斯需求函数⽀出函数与希克斯需求函数⽀出函数：间接效⽤函数的反函数称之为⽀出函数，即在针对v(p,m)，我们对该函数求反函数，解出m；即给定⼀个效⽤⽔平和价格⽔平，我们可以达到效⽤u的最⼩收⼊m，我们可以⽤e(p,u).即，e(p,u)=minpx希克斯需求函数，就是关于解得的（p,u）的⼀函数，记为h(p,u)。

该效⽤函数⼜称之为补偿效⽤函数，它描述的是当效⽤不变，当价格变动，收⼊必须变动以补偿价格变动所导致的效⽤变化。

但是在实际情况中，因为我们的效⽤通常是不可以观测的，所以，我们会通常使⽤马歇尔需求函数，即x(p,m).证明：（1）由于⽀出函数和效⽤函数是互为反函数，所以⽀出函数的单调性和间接效⽤函数的单调性是⼀致的。

令B={x:px=m}，B’={x:p’x=m}，为了使⽀出最⼩，⼜因为p’p,因此B包含于B’，则e(p,u)在B’上的最⼩值⾄少⽐在B上的最⼩值要⼩。

因此，当p’p时，e(p,m)e(p’,m)，得证。

（2）价格乘上正标量t不改变最⼩⽀出消费组合的性质，且⽀出增加t倍e(tp,u)=te(p,u)（3）令（p,x）和（p’,x）是两个最⼩⽀出消费组合，再令p''=tp+(1-t)p’，则有：e(p’’,u)=p’’x=tpx’’+(1-t)p’x’’⾸先，我们不确定x''是否是价格p'或p的最⼩⽀出消费组合，我们px''e(p,u),p’x''e(p’,u)从⽽有：e(p’’,u)te(p,u)+（1-t）e(p’,u)最后证得，e(p,u)关于p是凹的。

（4）最⼩值定理推论。

（5）间接函数的反函数。

（6）⾸先，这⾥引理的意思就是：⽀出最⼩组合等于⽀出函数关于价格的导数。

g（p）=e（p,u）-px*e（p,u）是达到效⽤U的最⼩⽀出，所以g（p）⼀定是⾮正的。

因此，只有在p=p*时，g（p）达到最⼤值，解得，如上即，⽀出最⼩组合等于⽀出函数关于价格的导数。